重庆市2025届高三年级上册9月大联考数学试题+答案

重庆市2025届高三9月考试

数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1.已知集合A={-4,-3,-2,0,2,3,4},8=旧2尤?-9Wo},则集合AcB的真子集的个数为（）

A.7B.8C,31D.32

7

2.若复数z满足币=一一,则2=（)

A.2+21B.-2-2iC.-2iD.2i

3.已知且〃b=2,贝1]（。+1）（匕+2）的最小值为（）

A.4B.6c.2V2D.8

4.已知向量扇B的夹角为与，且同=5,归=4,

则商在B方向上的投影向量为（）

3一5一5一7

A.—bB.--bC.-bD.--br

8888

3=得，贝!jcos£=(

5.已知a,万£(0,兀)，且cosa=w，sin(a—0)

56163363

A.—B.——C.——D.——

65656565

x2+2ax-7,-l<x<2

6.命题p:f(x)=<在xe（-2,2]上为减函数，命题q：g（x）=竺斗在

(〃+4)In(x+2)-ci—1,-2<x<-1X-1

（1,+co）为增函数，则命题P是命题4的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

7.某校高三数学老师共有20人，他们的年龄分布如下表所示，下列说法正确的是（）

年龄[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)[45,50)[50,55]

人数126542

A.这20人年龄的80%分位数的估计值是46.5

B.这20人年龄的中位数的估计值是41

C.这20人年龄的极差的估计值是55

D.这20人年龄的众数的估计值是35

8.已知函数〃无）=lnx-（a+l）x+l,g（尤）=a（Y+l）.当尤21时，2〃x）+g（x）N0恒成立，则。的取值范

围为（）

A.（0,1）B.（1,+«>）C.（0,1]D.[1,+动

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要

求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.

9.某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为14、21、14,现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行

某项兴趣调查.已知抽出的7人中有5人对此感兴趣，有2人不感兴趣，现从这7人中随机抽取3人做

进一步的深入访谈，用X表示抽取的3人中感兴趣的学生人数，则（）

A.从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为2人、3人、2人

B.随机变量X〜

C.随机变量X的数学期望为/

D.若事件4="抽取的3人都感兴趣”，则尸（A）=,

10.在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国

艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌.艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它

可看作由抛物线C：/=2px（p>0）绕其顶点分别逆时针旋转90°、180°270°后

所得三条曲线与C围成的（如图阴影区域），A8为C与其中两条曲线的交点,

若P=l,则（）

A.开口向上的抛物线的方程为>=；/

B.\AB\=4

3

C.直线=f截第一象限花瓣的弦长最大值为】

4

D.阴影区域的面积大于4

11.已知直线力是44之间的一定点并且点力到44的距离分别为1，2,6是直线4上一动点，作

ACVAB,且使力。与直线&交于点GAG=1（AB+AC）,贝（）

A.△ABC面积的最小值为2

B.点G到直线4的距离为定值

C.当|9|=仗@时，△GAB的外接圆半径为手

D.演•反;的最大值为-2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.一个词典里包含10个不同的单词，其中有4个以字母“A”开头，其余以其他字母开头.从中选择5个

单词组成一个新的子集，其中至少包含两个“A”开头，一共有个这样的子集.（要求用数字

作答）

13.在（3-x）"的展开式中，若彳2的系数为。“（让2）,则支+£+…+"=.

〃2%

1

,、---F1Ll,若函数g（x）=/（〃x）-同-2,当g（x）恰有3个零点时，求机的

14.已知函数〃x）=2'

2x2+4x+2（x<0）

取值范围为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)如图，三棱锥P-ABC中，M同=忸。|=3五，|/训=|PB|=|PC|=|AC|=6,。是AC的中点.

(1)求△POB绕尸。旋转一周形成的几何体的体积；

(2)点M在棱BC上，且忸闾=:忸1,求直线尸C与平面PAM所

成角的大小.

16.(15分)已知"BC的内角AB,C所对的边分别是a,6,c,q三=?吧二芈.

a+bsinC

(1)求角B；

(2)若△ABC外接圆的面积为12兀，且AABC为锐角三角形，求AABC周长的取值范围.

17.(15分)夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在

2

两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是若在前一天选择绿豆汤的条件下,

后一天继续选择绿豆汤的概率为:，而在前一天选择银耳羹的条件下，后一天继续选择银耳羹的概率

为(，如此往复.(提示：设4表示第〃天选择绿豆汤)

(1)求该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率

(2)求该同学第2天选择绿豆汤的概率；

(3)记该同学第〃天选择绿豆汤的概率为勺，求出勺的通项公式.

18.(17分)已知数列｛%｝的前〃项和为3,满足2s“=3/+5〃，数列加,｝是等比数列，公比

q>。也=6力3=2a3+4.

(1)求数列｛4｝和他,｝的通项公式；

12“<几<

/ck，其中左eN*.

)4,w=2

①求数列｛c“｝的前2024项和；

②求象2乌,(〃eN)

1=1

19.（17分）已知双曲线E的中心为坐标原点，左焦点为卜6,0）,渐近线方程为y=土*x.

（1）求£的方程；

⑵若互相垂直的两条直线//均过点尸（。“。（2〉血，且〃eN*）,直线《交E于AB两点，4交E

于C,£>两点，M,N分别为弦AS和C。的中点，直线交x轴于点。&⑼（"N*）,设p“=2".

①求小

2n

②记％=|尸。|,勿=2l（〃eN*）,求£出+「（一1）厩%*.

k=T

名校方案重庆市2025届高三9月考试

数学答案

题号1234567891011

答案ACDBAABDACDABDABD

1.A【试题解析】2=同2尤2-9v0}=>亨，亨，Afi8={-2,0,2},三个元素，真子集个数为23-1=7.

7

2.C【试题解析】因为币=-1,所以+

3.D【试题解析]且〃b=2,贝!J（Q+l）S+2）=〃8+2〃+b+2=4+2〃+b24+2V^^=8,当且仅当

2a=b,即。=1,%=2时取等号，所以当。=1,6=2时，（。+1）（6+2）的最小值为8.

―-同区cos臼-5x4x---

4.B【试题解析】一/_Lxa_____92x2一汴，故苕在B方向上的投影向量为s

\b\\b\~\b\可-44-808

■1>0,贝贝兀（Jsina贝［一兀,兀

5.A【试题解析】由。，5«0,兀）,cosa=

22

由sin（a-7?）=尚cos（«-^）=^|

3124556

cos[3=cos[a—（0一6）]=cosacos（a-尸）+sinasin（a-尸）=—x----1——x——=—

51351365

-->2

2

6.A【试题解析】要在xe（-2,2］上单调递减，贝。，6Z+4<0,解得-5«〃<—4,

-a-l>l-2a-7

/8（尤）二艺/"1）+4+°=”+£±£在（1,+8）为增函数,贝U4+a<0,解得°<一4,因为一54a<—4

x~lx~lx—1

是a<-4的真子集，故命题P是命题4的充分不必要条件.

7.B【试题解析】因为，=20x80%=16,故80%分位数落在区间［45,50）,设其估计值为m,则

+京+《+焉〕+］(冽—45)=68，解得加=46，A错；因为，=20x50%=10,所以中位数(50%分位

\乙U4VJ/V/4UJ/U

数)落在区间［40,45),设其估计值为〃，则［1+总+曰+4("-40)=0.5,解得H,B正确；有表

格中数据可知极差不超过55-25=30,C错;因为本题无法确定年龄的具体数值，故无法判断众数的值.

8.D【试题解析】=2/(x)+g(x)=21nx-2(a+l)x+ax2+a+2(x>l),贝|

〃⑺=Z_2(a+l)+2办/(I)(办T).若/0,贝也(司<0在［1,+动上恒成立，则〃(x)在［1,+⑹上单

/1(%)</!(1)=0,不符合题意.若“21,则/«x)20在［1,+8)上恒成立，则〃(x)在［1,+⑹上单调递增，即

h(x)>h(l)=0,符合题意.

9.ACD【试题解析】设甲、乙、丙三个社团分别需抽取x»，z人，则言====：，“，所以x=2,

y=3,Z=2,所以从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为2人、3人、2人，A正确；随机变量X的取

C(21C2cl4r3c02

值有1,2,3,尸(X=l)=-^=］,P(X=2)=-^=-,P(X=3)=-^=-,所以随机变量X的

分布列为：

123

142

777

所以B错误；

14?15?

由期望公式可得随机变量X的数学期望片(XhlX'+ZX'+BxiM7,C正确；因为尸(A)=P(X=3)=］,

所以D正确.

10.ABD【试题解析】由题，开口向右的抛物线方程为C:丁=2尤，顶点在原点，焦点为K(g,0),将其逆

时针旋转90。后得到的抛物线开口向上，焦点为心(0,；),则其方程为尤2=2丫，即y=故A正确；

2_2X

“可解得，x=0或x=2,即%=2,代入可得以=2,

{x=2y

由图象对称性，可得4(2,2),3(2,-2),故恒同=4,即B正确；

对于C,定如图，设直线x+y=t与第一象限花瓣分别交于点M,N,

y=-x+t

y=-x+txM=/+1-y]2t+1由，fy…=-x+1解x得N=J2/+1g—1

由…解得

yM=J2/+1-1

即得M(r+1-J2r+1,V2/+1-1),N(j2r+1-l,z+l-J21+1),

则弦长为：IMN|=j2(f+2-2j2f+l)2=V2|f+2-2j2r+l|，

由图知，直线x+y=f经过点A时f取最大值4,经过点。时力取最小值0,

即在第一象限部分满足0<rV4,不妨设"=历1，贝也<"43,且/=也二L,

2

代入得，|MN|=V^|^^+2-2a|=也|(a-2)2-l|,(1<M<3)

22

由此函数的图象知，当M=2时，取得最大值为交，即C错误；

2

对于D,根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求。部分面积的近似值.

O

如图，在抛物线丫=3^,520)上取一点p,使过点P的切线与直线。4平行,

由y'=x=l可得切点坐标为尸(1二)，因心：无7=0,则点p到直线。4的距离为2_V2,

2正一彳

于是加工匠方乂旦」,由图知，半个花瓣的面积必大于:，

MPA2422

故原图中的阴影部分面积必大于8X；=4,故D正确.

11.ABD【试题解析】对于A,过A作44的垂线，分别交44于点E],则AE=1,AP=2,设/E4c=夕,

AF2

则在RtZSACF中,AC=

cos3cos6

AE1

因为AC_LA5,所以在RtZXABE中，/ABE=6,所以A5=

sin0sin6

11212

所以S口.c——AB,AC——x-------x--------

22cos。sin。sin20

因为所以当且仅当e=:时，sin28=l取到最大值,

所以AABC面积的最小值为2,所以A正确,

对于B,如图，以A为原点，EF所在的直线为1轴，建立平面直角坐标系,

11711___►—►1

则FC=2tan0,BE=——，所以。(2tan仇一2),B(——,1),。w0,一,所以AC=(2tan仇—2),AB=(——,1),

tan。tan。2)tan3

所以衣=」(而+衣)=」(2tan6*+^—,_l)=(2tan(9+^—「3,所以G(2tan0+-^—厂3,

33tan。33tan6>333tan6>3

4

所以点G到直线的距离为是定值，所以B正确，

对于因为。,一向+/),

C,C(2tan2)tan6+---

3tan03

—►224—►415

所以GB=(------------tan0一),GC=(—tan6-----------,——),

3tan。3333tan<93

因为|9|=|历I，所以一:tanO)2+¥=(《tanO-T^)2+3,

11113tan6^3933tan89

4.1„.161,.八1j25

所以HI一(------tanff)2H二一(4tan0---------)H------,

9tan<999tan<99

所以4(」--tan6>)23=(4tanQ一——)2+9,

tan0tan6

所以4(——-2+tan26>)=16tan26>-8+^—+9

tan0tan0

41

—-----8+4tan90—16tan9。-8H--------F9,

tan26tan26

所以—团备+3=。，解得t^。J或t/O=-1(舍去),

所以tan»=；,所以C(1,-2),B(2,1),,

，3

因为而，/<0,兀］,所以

5

GB3_5百

所以由正弦定理得2'=

sinZBAGJ23

2

所以“还，即AGAB的外接圆半径为迪，所以C错误,

66

—►224—­41

对于D,因为G5=(------------tan。,一),GC=(—tanO-----------,

3tan<93333tan6>

—►—►22。-—-祖

所以MGC=(菰犷”tanL-)

3tan<99

号.+"型7，丁+»tan2O)_W<_2282cl08A，

-------------tarr0

99tan2(99999tan*99-9tan2619-----------99

oQ1

当且仅当即tan?。时取等号，

9tan~092

所以演•文的最大值为-2,所以D正确，

12.186【试题解析】从含有4个以字母“A”开头的10个不同的单词选择5个单词，其中至少包含两个

“A”开头的选法可分为4类，

第一类：所选5个单词中，有且只有两个“A”开头的单词，符合要求选法有C：C：；

第二类：所选5个单词中，有且只有三个“A”开头的单词，符合要求选法有C：C；；

第三类：所选5个单词中，有且只有四个“A”开头的单词，符合要求选法有C：C)；

由分类加法计数原理可得，符合要求的子集共有C；C：+C：C；+C：C：=186个.

13.IN"」)【试题解析】由二项式的展开式的通项公式可得第&|=C：3"T(T)'=C；3i(-l)b"

n

令厂=2,可得犬的系数为C；3-2(一I)?,所以为=^3"-2=若2.3"-2,

3"_23_18_J8__18

n-2

ann(n-1)-3n{n-1)n-1n

32333〃1818181818181818(n-l)

则jj•••+——=--------+--------+•••+--------=118O----=-----

14.(1,3]U{4}

令g(x)=/(/(%)-时一2=0,即/(/⑴—时=2,

由图可知，/(%)-加=一2或/(%)-机=。，则/(x)=加-2或/⑶=祇，

当〃x)<0,函数无解；

当〃x)=0或〃尤)>2,函数只有一个解;

当。</(x)Wl或/。)=2,函数有两个解;

当l</(x)<2,函数有三个解;

m-2<0m-2=0、m-2=0

当g(x)恰有3个零点时,1<加<2或0<i或

m=2

[fOm<>m2-2<1或fO<m-或2<11<m-2<2

或

m<0

fm-2=2(m-2=2(m-2>2fm-2>2

[m=0或耳>2或1ocwWl或1m=2解得mw(1,3]U{4}.

15.(1)(6分)如图：因为△尸OB绕尸。旋转一周形成的几何体为以为底面圆半径的圆锥，

由\AB\=\BC\=3V2,\PA\=\PB\=\PC\=|AC|=6,所以|AB「+|BC『=|AC|2,所以NABC=%,所以|。同=3,

又因为|PA|=|PC|=|AC|=6,点。是AC的中点，所以P01AC,且1Poi=后二第=3百,

所以|尸。『+|02『=|尸城，所以尸且ACnOB=。，

所以尸。，平面ABC,所以XPOB绕PO旋转一周形成的几何体

为以|0同=3为底面圆半径,以|PO|=3G为高的圆锥，所以丫=；皿32.36=9百几

（2）（7分）如图:可知：P。，平面ABC,又14可=\BC\=3V2,|PA|=\PB\=\PC\=\AC\=6,

所以|AB『+忸c「=|AC「，所以NABC=],△ABC为等腰直角三角形，

又由点。是AC的中点，所以。B_LAC,

以。为坐标原点，以O3,OC,OP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角

坐标系。一乎，由忸闾=，BC|,P（0,0,3A/3）,C（0,3,0）,A（0,-3,0）,川（2,1,0）,

所以定=（0,3,-36），又有Q=（0,3,36）,疯=（2,4,0）,

,、n-AP^O3y+3j§z=0.r1-

设平面MAC的一个法向量为n二(x,y,z),则｛___.即＜'令y=■,则x=-2j^,z=-l

n-AM=02x+4y=0

所以为=卜26,若,-1）,设直线PC与平面PA"所成角为仇0,曰，

mr、i-nPCn66G

所以sin6=.——,，=-~~-=——,所以8=arcsin——.

|PC|-|n|6x444

“x”八、a-csinA-sinB^,a-ca-b

16.(1)(6分)因m为一-=一七一,所以由正弦定rr理aZF得一-=——,

a+bsinCa+bc

〃2〜2_*1

化简可得a2+c2-b2=ac,由余弦定理得cosB==

2ac2

7T

因为8为三角形内角，Be（o,n）,所以B=§.

（2）（9分）因为△ABC的外接圆面积为12%，故其外接圆半径为26,

因为8=]，所以由正弦定理可得三=二°,「

sinAsinBsinC

故Q=4V3sinA,b=4V3sinB=6,c=4V3sinC=4Gsin

A--

所以a+Z?+c=6+4^/3=6+4^3—sinAd——-cosAj=6+12cosf

(22JI3.

-2兀'兀

C=------A<—

32

因为5c为锐角三角形，则<

.7T

0<A<—

2

^>6+12cosA-|-e(6+6>/3,18]

即"BC的周长的取值范围为(6+66,18］.

212

17.(1)(2分)该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率为§><§=§；

(2)(5分)设4表示第1天选择绿豆汤，&表示第2天选择绿豆汤，则］表示第1天选择银耳羹，

根据题意得，尸(4)=|,尸(A)=g尸(414)=:，尸(4闾=1-：=:,

所以尸(4)=尸⑷尸(414)+尸闾尸(4l4)=H+；x；q.

JJJ乙_LO

(3)(8分)设4表示第〃天选择绿豆汤，则月=尸(六),尸(4)=1-尺，

根据题意得，尸(4+/4)4,网心|%)=1-；=；,

由全概率公式得，2(%)=2(4)网电14)+「伍加4+"工)=，+：(1-月)=-卜+；,

113“3、35

即月讨=一7匕+1，整理得，匕+1一弓=一公匕一不，又片_亍二五"0，

o2/ovI)721

所以［匕-：］是以三为首项，4为公比的等比数列.所以匕一=3(一3"、所以e=3(一!严+"

［7J21672162167

18.(1)(5分)当〃=1时，2sl=2%=8n%=4,

2S=3n2+5n

当〃22时，/、2/、，所以=Si=3〃+1,显然4符合上式，所以为=3〃+1,

[2S〃T=35-1)+5(~1)

由题意&=2(3、3+1)+4=24=4，=4=2,所以“二乙/一1=3-2〃.

(2)①(6分)易矢口21°=1024,2"=2048>2024,

即数歹U｛c〃｝的前2024项中有10项分别为。2=伉，。4="2,…，。512二4,。1024二40，其余项均为1，

故数列｛%｝的前2024项和G.=2024一10+々+仇+…+如=2014+，*心：)=8152；

②(6分)由(1)知旬=32+1