2025年高考数学二轮复习 三角函数的图像与性质 学案讲义

三角函数的图像与性质

知识导引

本专题主要知识为三角函数的图象与性质、函数y=Asin（s+°）.三角函数的图象与性质的

基础是正弦曲线,关键是利用其图象来理解、认识性质，并要掌握好“五点法”作图;对函数

y=Asin（0x+0）图象的研究,教材采取先讨论某个参数对图象的影响（其余参数相对固定），

再整合成完整的问题解决的方法安排内容.

1.会用“五点法”作正弦函数、余弦函数的简图,能借助图象理解正弦函数、余弦函数的性

质（周期性、奇偶性、单调性、最大值和最小值等）；能借助正切线讨论正切函数的性质（周期

性、奇偶性、单调性、值域等），理解利用正切线画出正切曲线.能从图象变换的观点画函数

图象,用变量代换的观点讨论函数的性质.

（1）“五点法”作图的关键在于抓好三角函数中的两个最值点，三个平衡位置（点）；

（2）对周期函数与周期定义中的“当x取定义域内每一个值时”，要特别注意“每一个值”

的要求；

⑶正切曲线是被相互平行的直线xg+kMZ所隔开的无数支曲线组成的，正切曲线的

对称中心坐标为/叫,keZ.

2.对于函数y=Asin（tov+°）,要注意以下几点.

（1）会用"五点法"作函数y=Asin（0x+°）（A>O,o>O）的图象.

⑵理解并掌握函数尸Asin（Ox+e）（A>0,o>0）图象和函数y=sin无图象的变换关系，通常

为:相位（平移）变换一周期变换一振幅变换.

相位变换:所有点向左（0>0）或向右（°<0）

具体：y=sinx=>y=sin(兀+0)

平移|勿个单位长度

周期变换：横坐标伸长（0<啰<1）或缩短①>1）.

---------------------------------------------------------------=>y=sm（0x+（p）

到原来的人（纵坐标不变）

CD

振幅变换：各点纵坐标伸长（A>1）或缩短（O<A<1）

=>y=Asin(0x+0)

到原来的A倍（横坐标不变）

注意,若周期变换在前,则一般公式为

平移变换

y=sincoxy=sinQ（x+（p]\=sin（8+a）（p）,

平移I勿个单位长度口

平移变换

y=sina)x-sm(a)x+(p).

平移里个单位长度

3

（3）当函数y=Asin（s:+0）（A>O,G>O,xw[O,+oo））表示一个振动量时，A叫做振眼i,T=——

CD

叫做周期，/=力叫做频率，3+0叫做相位，。叫做初相.

一般结论：函数y=Asin（0x+°）及函数y=Acos3%+°）（其中为常数，且

Aw0,（y>0）的周期7=红.

数形结合的思想方法贯穿了本专题的内容,要熟练把握三角函数图使的形状特征,并能借

【进阶提升】

【题目9］

求函数y=Jcosx—t的定义域.

审题将复合函数的定义域问题转化为三角不等式问题求解,考虑用图像或单位圆中三角函数

线解决.

解析利用y=cosx的图象（图1）或单位圆（图2）知:在一个周期［-肛乃］内，满足cos尤..；的解

为号瓢字故所求函数的定义域为

卜|-t+2后超/-^+2k7r,kGzj.

图1图2

回炉本题是求复合函数的定义域问题，应先确定使二次根式、三角函数有意义x的的取值范

围，易错误提示：当列出有关tanx的式子时，应注意其中隐含的条件.

xekn+—,k7i+—\,k&Z

_62)

［相似题9］

求函数y=lg（-sinx）+VI-tan%的定义域.

函数/（x）=（l+褥tanx）cosx在区间上的值域为审题本题为含正切与余弦的三角

函数在某一区间上求值域的问题，一般化为同角且同名的三角函数，转化为探讨形如

f{x）=Asm（a）x+（p）的式子在某一区间上的值域.

解析由已知得f(x)=(1+tan%)cosx=cosx+A/3sinx=2sin.

因为9,所以-/融+9g,所以-1瓢in[x+§]1,所求值域为-1,2].

回炉先利用三角函数公式将已知函数化为/(x)=Asin(ox+9)的形式，再利用正弦函数的性

质可得所求的值域,解题时要注意定义域的范围和A的符号.

【相似题10)

已知y=o-6cos3x的最大值为;，最小值为,求实数。与6的值.

【题目H】

已知sinx+siny=(，贝！Jsiny-cos2x的最大值是.

审题本题为由两个不同角的三角函数关系，求解不同角、不同名、不同次函数siny-cc^x

的值域问题.一般解法为消元，根据已知条件将siny用sinx表示，利用三角函数的基本关系

式将cos?》用sinx表示，所求的式子肺般化为关于sinx的二次式，其中整理得到

siny-cos2x=^sinx--段，最后利用sinx的取值范围,结合二次函数图象进行求解.

解析因为sinx+siny=■，所以siny='-sinx.

-3-3

函数siny-cos2x=y-sinx--sin2xj=sin2x-sinx--1-=^sinx-.又因为

-1轰!tiny1,所以一1麴g-sinxl,--|-l!hinx1.

当sinx时，siny-cos2x取最大值—.

39

回炉解本题主要利用了同角三角函数的基本关系式、正角函数的有界性、二次函数的图象与

性质.解题关键在于消元，将目标式siny-cos2x转化为关于sinx的二次式,这里确定sinx

的取值范围•釉in尤1是一个易错点.事实上sinx=-1不成主,否则siny=y>1,矛盾.

【相似题11】

已知3sin2%+2sin2y=2sinx,贝(Jsin2x+sin2y的最大值为,最小值为.

[题目12]

函数y=sinxcosx+sinx+cosx的值域是.

审题令sinx+cos%=九借助sinx,cosx的平方关系进行换元,将三角函数转化为关于，的二次

函数，由二次函数图象的对称轴和单调性求出最值.

解析令sinx+cosx=。，贝IJ%=y/2sin(尤+-^Je\~6,

、,t2-1

对sinx+cos;i=/平方，得l+2sinxcos%=/2,所以sin%cos%=——.

2

所以丫=彳1+”：《+1)2一1,值域为-1,V2+1.

回炉三角函数运算中和(sinx+cosx)、差(sin%-cos%)、积(sinxcosx)存在着密切的联系.如

(sinx±cosX)2=1±2sin%cosx,(sinx+cosx)2+(sinx—cosx)2=2,(sinx+cosx)2

-(sinx-cosx)2=4sinxcosx等.在做题时要害于观察，进行相互转化.本题在换元时，注意

^[-72,72],

【相似题12]

函数)=sinxcosx(o</〈万)的值域是________.

sinx-cosx+1

[题目13]

函数y=sinx的最大值是_______.

2+cosx

审题本题涉及异名三角函数的分式型函数y=2迎坐，可用反解和三角函数的有界性求

CCOSX+a

最大值;或用二倍角公式、万能公式将正弦、余弦化为半角的正切，利用基本不等式求值;或

用斜率的几何睢义求解.

解析1(反解与有界性)

去分母可得2y+ycosx=sinx,所以sinx-ycos%=2y,

故Jl+y?sin(x+0)=2y,sin(x+夕)=,其中tan(p=-y.

Ji+y

/T/T

由三角函数的有界性知Isin(尤+⑼|,,1,所以2y,,1,解得一号知号

+F

故所求的最大值为§.

解析2(斜率的几何意义)

将丫=sin工化为产sinx-0,

2+cosxcosx-(-2)

y可看作动点P(cosx,sin%)与定点A(-2,0)连线的斜率k.

易得P(cosx,sinx)在单位圆d+9=1上，且左=—X—,

x+2

单位圆V+丁=1的圆心。到直线y=-X+2)的距离d=4=„1，

，左+1

可得/强g,_当上？号.故所求的最大值为q.

解析3(代数法)

y-Z(x+2),

由

x2+y2=1

令A=16/—4(1+用(必2T..0,可得廿延「与左？专.故所求的最大值为今.

解析4(半角公式、万能公式、基本不等式)

因为

.2sin—cos—2sin--cos—2tan—

>==------------------1_2-----------------=----------2==——二.

2222222

2+cos尤2sin+cos+cossin3cos^+sin^3+tan^

\22/22222

(分子分母同除以cosz工)

2

要使函数白=sinx最大,则tan工＞0.

2+cosx2

2tan—

-----二^，，3=巫，当且为当tan?=7T时取等号.故所求的

从而y=----------

3+tan2^tanA+_3_27332

22tan工

2

最大值为十

2tan--

解析5由解析4得,=------,将其化为ytan2^-2tan^+3y=0.

3+tan2—22

2

当y=0时，tany=0,成立;

当yN0时，tan金eR,则A=4-4y.3y..0,得y2„y.

故所求的最大值为普.

回炉本题考查分式型函数〉=义皿士与最大值的求法,用到多种方法求解，体现代数、几何

ccosx+a

的统一.

【相似题13］

函数y=2sinx+l的值域是________.

sinx-2

【题目14］

已矢口函数/1(犬)=$111［：-2X］,求：

(1)函数/(幻的单调递减区间.

(2)函数“X)在区间［-万,0］上的单调递减区间.

审题本题研究三角函数/(x)=Asin((yx+°)的图象与性质，在求单调区间时，一般将0r+(p

看作一个整体，将正弦函数的单调区间代入求解，同时注意A,。的符号对增减的影响.

解析⑴原函数化为/(x)=-sin12x-：j,求函数f(x)的单调递减区间等价于求y=

sin12x-：j的单调递增区间.

令2k;r-—^x-—2k兀+匹~,keZ,解得k/r-—^ijvkjr+^-.kGZ.故函数f(x)的单调

2321212

递减区间为kn~—,k7T+(GeZ).

L1212J

(2)函数于(x)的单调递陵区间与区间［-万,0］取交集即可.

函数/(x)的单调递减区间为k兀-宗k兀+1QteZ),经分析可得%只能取0

和-1.故/'(x)在区间［-巩0］上的单调递减区间为-岩,0和—.

回炉解本题的关健是先把所给函数式化为标准形式/(x)=Asin(0x+°),应注意。＞0,把

皿+0看作一个整体,根据正弦函数的单调性列出不等式,求得函数的递减区间的通解.若

要求某一个区间上的单保区间，则对通解中的左进行取值，便可求得函数在这个区间上的单

调区间.

【相似题14］

已知。是正数，函数y=2sintyx在区号-匹，至上是增函数，求。的取值范围.

_34_

题目15

己知函数f(x)=sin(20x-gJ(0>O)的最小正周期为万，则函数〃幻的图象的一条对称轴

方程是()

A.x=—B.x=—C.x=^-D.尤=匹

126123

审题本题已知函数/(x)的最小正周期,先利用周期性求得三角函数的解析式,再进一步研究

其图象对称轴方程的求法.

解析1结合函数/(元)的周期公式7=红，得。=1,所以〃x)=sin(2x-2].由于函数在对

2coV37

称轴处取到最值，将选项代人/(%)的解析式检验即可,故选C.

解析2由解析1知/(x)=sin(2九一彳J.

令2x-母=左乃+^OteZ),解得天=甘+需OteZ).

所以直线苫=色是/(x)图象的一条对称轴，故选C.

回炉本题解题的关键是先由周期公式求得。的值,再解决对称轴问题.求解对称轴方程有两

种方法:一种是直接求出对称轴方程;另一种是根据对称轴的特征(即对称轴处的函数值为函

数的最值)解决.同样地,求解对称中心也类似.

【相似题15]

若函数/(x)=sinW(。e[0,2%))是偶函数，则夕等于

题目16

若函数f(x)=asinx+cos尤的图象关于直线x=[对称,则实数。=.

审题三角函数的图象直观体现了三角函数的性质，主要特征是对称性、值域和单调性.解决

问题时应先把三合函数的综合表达式转化为标准式,再进行处理.

解析1若函数f(x)=次币'sin(x+夕)的图象关于直线x=(对称,则

二]="TT为最大值,即±"ZT=今a+=，解得a=3故填3

I3J22

解析2若函数/(%)=溷11%+85%的图象关于直线1=<对称,则

=岑”1■，解得.=3故填3

*解析3若函数/(x)=GTTsin(x+0)的图象关于直线x=[对称,则

r=0.又f'(x)=(asinx+cosx)'=acosx—sinx,即acos-|^-sin^=0,解得a=y/3.故

填旧.

回炉正弦函数在对称轴处取到最值.解本题的关艇是求a的值，由图象关于直线》=里对称

3

得+金=/11一j,从而求求。的值，过程比较复杂.若换用特殊值点来求，小

/(0)=/乃］,注意f(a-x)=f(b+x),则f(x)的图象关于直线x=〃丁对称；而

y=/(a-x)与y=f(b+x)的图象关于直线关=且?■对称.

【相似题16］

若函数f(x)=asinx-bcosx(a,b为常数，aw0,xeR)在x=工处取得最小值，则函数

4

是()

A.偶函数,且它的图象关于点(万,0)对称

B.偶函数,且它的图象关于点［看,o］对称

C.奇函数,且它的图象关于点(万,0)对称

D.奇函数,且它的图象关于点［看,0)对称

［题目17］

若函数/(x)=2sin］;rx-看［对于任意xeR,者B有/(玉)豺(x)〃切，则上一引的最小值为

A.—B.—C.1D.2

42

审题本题考查三副函数定义,三角函数周期的求法，以及计算能力和理解能力.

解析由题意知〃者)和〃尤2)分别为函数/(x)的最小值和最大值，故居-引的最小值为函

数的半周期.又周期T=2,故昆-村的最小值为1.答案为C.的最小值就是函数的半周期，

求解即可.

*一般地，函数〃x)=sin例x+sin在x的周期为7］=红和T2=红的最小公倍数，但函数

a\a>2

/(x)=sin2x+sin;rx不是周期函数,不存在周暝.

易错警示:考虑到|sinx|,|cosx|的周期均为%,则y=|sinx|+|cosx|的周期为万.此为错误解

法.

【相似题17］

为了使函数y=sin(ox3>0)在区间［0,1］上至少出现50次最大值,则。的最小值是.

【题目18］

已知函数y=2sin［2x+：j.

(1)求它的振幅、周期和初相.

(2)用“五点法”作出它的图象.

⑶y=2sin(2x+：J的图象可由y=cosx的图象经过怎样的变换得到?

审题熟悉三角函数图象的特征，掌用“五点法”作图不图象变换.

解析⑴y=2sin12x+gj的振幅为2、周期为万、初相为年.

⑵列表如下.

_三7T77r57r

X

12T12T

37r

2x4-5-07t

~2XT2K

sin（22+附010-10

2sin（2#+1）020-20

所作图象如下.

(3)解析1(先平移后伸缩)

先将函数尸8$》=$布1+1)的图象向右平移专个单位长度，得y=sin(x+：j;再将横

坐标变为原来的y,纵坐标不变,得y=sin"x+;

最后将纵坐标变为原来的2倍,横坐标保持不变,得y=2sin(2x+：j.

解析2(先伸缩后平移)

先将函数＞=3$犬=$也1+])的横坐标变为原来的纵坐标不变,得》=5缶(2_¥+方)；

再将图象向右平移有个单位长度,得y=sin"x+;

最后将纵坐标变为原来的2倍,横坐标保持不变,得y=2sin[2x+：j.

回炉本题主要考查y=Asin(s+°)的图象，以“五点法”作图求解最为方便，但必须清楚它

的图象与函数y=sinx,y=cosx图象间的关系，弄清怎样由函放y=sinx,y=cosx图象变换

得到.要注意,在不同的变换中顺序可以不同,平移的单位长度可能不同.

【相似题18]

已知。是实数,则函数“x)=l+asina尤的图像不可能是()

【题目191

己知函数y=Asin(tyx+9)(A>0,[d的一个周期的图象如图所示.

⑴写出解析式.

(2)求该函数图象的对称轴方程及对称中心坐标.

(3)求函数的单调区间.

审题本题为己知函数y=Asin(s+°)的部分图象求三角函数的解析式等问题.一般观点

(“五点法”)求夕.

解析(1)由图象知振幅A=|■，周期7=乃，所以。=与=2,所以

3.

y=—sin(2x+

代人初始点，得2x看]+9=2k兀9=2k;r+^,keZ.

又191<半，所以°=5，函数的解析式为丫=1^1112苫+：1.

(2)令2彳+匹=%"+工，得》=红+匹，对称轴方程为天=红+匹伏eZ).

32212212