平行的判定与性质讲义-高三数学一轮复习

知识点一线面平行的判定

【基础指数框架】

1.线线平行的判定

（1）平行四边形的对边（2）三角形的中位线或等高线（3）线面平行与面面平行的性质

2.线面平行的判定

线文字语言图形语言符号语言

面如果平面外一条直线与

平

此平面内的一条直线平

行

行，那么该直线与此平面

的

判平行.

定

【例题分析】

例1.（2024•甲卷•节选）如图，在以A,B,C,D,E,尸为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形CDEF

均为等腰梯形，AB//CD,CD//EF,AB=DE=EF=CF=2,CD=4,AD=BC=y/10,AE=2^/3,M为CD

的中点.

（1）证明：EM//平面i?cr；

例2.（2024•北京•节选）如图，在四棱锥尸—A5CD,BC//AD,AB^BC=1,AD=3,点E在4）上，且PE_LAD,

DE=PE=2.

（1）若尸为线段PE的中点，求证：3尸//平面PCD.

例3.如图，四边形ABCD为正方形，石4_1_平面ABCD,EF//AB,AB=4,AE=2,EF=1.若点M在线段AC上

,且满足。加=工。1,求证：EW平面FBC；

4

【变式训练】

1.（2023•天津•节选）在三棱台ABC-4左£中，若AA_L平面ABC,AB±AC,AB=AC=AAi=2,4£=1,

M,N分别为BC,AB中点.

(I)求证：AN//平面GM4；

2.（2022•广东广州•统考一模）如图，已知四棱锥P-ASCD的底面A3C。是菱形，平面平面ABCD,

/4。。=30。,片为AD的中点，点尸在PA上，AP=3AF.

证明：PC〃平面BE尸；

知识点二线面平行的性质

【基础指数框架】

线文字语言图形语言符号语言

面一条直线与一个平面平

平

行，如果过该直线的平面

行

与此平面相交，那么该直

的

性线与交线平行.

质

【例题分析】

例1.（2324高一下•北京•期中•节选）如图，已知三棱柱ABC-A4G中，A。与AC1交于点QD为BC边上

(1)\BHOD,

例2.(2023春•湖北黄冈•高一校考阶段练习•节选)如图，四棱锥尸-ABCD的底面为平行四边形.设平面

PAD与平面P3C的交线为/,M、N、。分别为PC、CD、48的中点.

(1)求证：5C〃平面Q4D；

(2)求证：BC//1.

【变式训练】

1.(2324高二下•浙江衢州•期末•节选)如图，在棱长为1的正四面体A-3C。中，E是的中点，F,G

分别在棱AD和CZ＞上(不含端点)，且产G//平面ABC.

(1)证明：AC//平面EFG；

知识点三面面平行的判定

【基础指数框架】

面文字语言图形语言符号语言

面如果一个平面内的两条

平

相交直线与另一个平面

行

平行，那么这两个平面平

的

判行.

定

【例题分析】

例1.（2024高二下•天津南开•学业考试•节选）如图，在正方体ABCD-ABCiA中,

例2.(2324高一下•山西运城•阶段练习•节选)如图，直四棱柱ABC。-ABGR中，底面即为菱形,

?

ZDAB=60,AAi=AD=l,p,M,"分别为切，AA,,的中点.

(1)证明：平面PMN//平面BCR；

【变式训练】

1.(2324高一下•山西忻州•阶段练习•节选)如图，在六面体ABCDEF中，DE//CF,正方形ABCD的边长

为2,DE=2FC=2,AE=20BE=2卮

(1)证明：平面AZ)£7/平面3c产.

2.如图，在三棱柱ABC—中，A4,，AC且A4=AC,点E，/分别为耳G和3C的中点，与A与

AB相交于点G.

(1)证明：平面ERG//平面AACG；

知识点四面面平行的性质

【基础指数框架】

面文字语言图形语言符号语言

面(1)两个平面平行，如果

平另一个平面与这两个平

行面相交，那么两条交线平

的行.

性(2)两个平面平行，一个

质平面内的任意一条直线

与另外一个平面平行.

【例题分析】

例1.(2023•上海•节选)已知直四棱柱45。一4戈。12，ABYAD,AB//CD,AB=2,AD=3,CD=4.

(1)证明：直线AB//平面DCG2；

AB

例2.（2023春•全国•高一专题练习）如图，平面ABCD,3/〃平面ADE,CF//AE,ADJ.AB,

AB=AD=1,AE=BC=2.求证：AD//BC.

例3.（2022.越秀期末.T22）在如图所示的圆台中，ABCD是圆台的轴截面，口,。分别是上、下底面圆的圆

心，£是下底面圆周上异于A,6的一点，设圆台的上、下底而圆的半径分别为一与R（H>〃），高为人体积为

V.

（1）若M,N外别是AD与CE的中点，试判断直线MN与平面樨的位置关系，并加以证明；

E

【变式训练】

1.（2023•江苏•高一专题练习）如图，在四棱柱ABC。-A4cA中，底面ABC。为梯形，A