专题06二次函数中的线段及周长问题(原卷版+解析)

专题06二次函数中的线段及周长问题1．如图，已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于，连接．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P是直线下方抛物线上一点，过点P作于点D，过点P作轴交于点E，求周长的最大值及此时点P的坐标；2．如图，抛物线经过和两点，点是线段上异于的动点，过点作轴于点，交抛物线于点．(1)求抛物线的解析式；(2)是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；3．抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，点是直线上方的抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)过点作于点，求的最大值及此时点的坐标．4．如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于两点．(1)___________，__________；(2)求点B的坐标；(3)点P在直线上方的抛物线上，过点P做直线平行于y轴交直线于点M，求的最大值(4)直接写出当时，x的取值范围是___________．5．在平面直角坐标系中，抛物线经过点A、B，C，已知，．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，P为线段上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，是否存在这样的P点，使线段PD的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．6．如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过B、C两点，与x轴另一交点为A，顶点为D．(1)求抛物线的解析式；(2)在x轴上找一点E，使的周长最小，求符合条件的E点坐标；7．如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴交于点，点D为抛物线的顶点．(1)直接写出抛物线的函数表达式；(2)如图，抛物线的对称轴上是否存在点F，使得△BCF周长最小，若存在求点F坐标，并求周长的最小值；若不存在，请说明理由8．已知抛物线具有如下性质：给抛物线上任意一点到定点的距离与到x轴的距离相等，如图，点M的坐标为，P是抛物线上一动点，则(1)当面积为4时，求P点的坐标；(2)求周长的最小值．9．如图，抛物线与x轴交两点(A点在B点左侧)，直线与抛物线交于两点，其中C点的横坐标为．(1)求两点的坐标;(2)求直线的函数表达式;(3)若P是线段上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段长度的最大值．10．如图，已知二次函数的图象经过点，与y轴交于点C．(1)求该二次函数表达式；(2)直接写出直线的解析式；(3)P为第一象限内该二次函数图象上一动点，过P作，交直线于点Q，作轴交于M．求线段的最大值及此时点P的坐标．11．如图，已知抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点，点是轴上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点，设．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当时，求线段的最大值；(3)在和中，当其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的倍时，求相应的值．12．如图，一次函数与二次函数的图象交于和(1)直接写出两个函数的解析式；(2)点为直线下方抛物线线上一个动点，过作轴与交于点，当为最大值时，求点坐标．专题06二次函数中的线段及周长问题1．如图，已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于，连接．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P是直线下方抛物线上一点，过点P作于点D，过点P作轴交于点E，求周长的最大值及此时点P的坐标；【答案】(1)(2)，【分析】（1）根据点A和点B的坐标，设，再将点C的坐标代入求解即可；（2）延长交x轴于点F，证明，通过相似三角形周长比等于相似比，即可得出周长的表达式，再将其改写为顶点式即可求出最值．【详解】（1）设，把代入得：，解得：，∴；（2）解：如图，延长交x轴于点F，设点，的周长是l，∵，∴，∵，∴的周长是12，设直线BC的解析式为，把，代入得：，解得：，∴直线的解析式是：，∴，∴，∵，∴，

∵轴，∴，∴，∴，∴，∴，∴当时，l有最大值，最大值为，即周长的最大值为，当时，，∴．综上：周长的最大值为，此时点P的坐标．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解二次函数表达式的方法，通过相似三角形的周长比等于相似比得出周长的表达式．2．如图，抛物线经过和两点，点是线段上异于的动点，过点作轴于点，交抛物线于点．(1)求抛物线的解析式；(2)是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）先求得直线的解析式为，设动点P得坐标为，则C点得坐标为，进而表示出的长度，根据二次函数的性质求得最值即可求解．【详解】（1）解：∵、在抛物线上，∴，解得，∴抛物线的解析式为．（2）解：设直线的解析式为：，∵、在直线上，∴，解得，∴直线AB的解析式为，设动点P得坐标为，则C点得坐标为，∴，∵，，∴当时，当P点坐标为，线段PC有最大且为．【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，线段问题，待定系数法求解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键．3．抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，点是直线上方的抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)过点作于点，求的最大值及此时点的坐标．【答案】(1)(2)的最大值为，点的坐标为【分析】（1）应用待定系数法即可求出抛物线解析式，再求出点的坐标，可得直线的解析式；（2）过点作轴于点，交直线于点，设点，则，应用二次函数最值可得线段的最大值，证明是等腰直角三角形，可得出，即可求得答案．【详解】（1）解：抛物线与轴交于和两点，，解得：，二次函数的解析式为；（2）二次函数与轴交于点，点的坐标为，设直线的解析式为，直线经过点，，解得：，直线的解析式为，过点作轴于点，交直线于点，设点，则，，当时，最大，最大值是．，，，，轴，，，是等腰直角三角形，，，的最大值为，此时点的坐标为．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的性质、二次函数最值的应用等，关键是二次函数性质的掌握．4．如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于两点．(1)___________，__________；(2)求点B的坐标；(3)点P在直线上方的抛物线上，过点P做直线平行于y轴交直线于点M，求的最大值(4)直接写出当时，x的取值范围是___________．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）将分别代入两个函数解析式进行计算即可；（2）联立两个函数解析式，解一元二次方程即可；（3）设利用，得到一个二次函数，求最值即可；（4）根据图象，找到抛物线在直线上方时，的取值范围即可．【详解】（1）解：将代入：得：，解得：；将代入：得：，解得：；故答案为：；（2）解：由（1）得：抛物线的解析式为：，一次函数的解析式为：；则：，∴，解得：；当时，，∴；（3）解：设，∵P在直线上方，∴，∵轴，∴，∴，∴当时，取最大值为：；（4）解：由图象可知：当时，抛物线在直线的上方，∴时：；故答案为：．【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，根据二次函数的性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．5．在平面直角坐标系中，抛物线经过点A、B，C，已知，．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，P为线段上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，是否存在这样的P点，使线段PD的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，线段的最大值为【分析】（1）把已知A，C两点坐标代入解b，c的值，求函数解析式；（2）求直线得解析式，设D点的横坐标为x，则，化成顶点式求最值．【详解】（1）解：经过点C，则，将点A的坐标代入抛物线表达式：，得：，解得：，抛物线的表达式为：；（2）解：存在，理由：令，得：，解得：或，故点，设直线为，将点B、C的坐标代入得：，解得：．∴直线的表达式为：，设点，则点，则，∵，，∴当x时，线段最大值为：；【点睛】本题考查二次函数的解析式和图像上的动点问题、坐标与图形，用待定系数法求函数解析式是解题的关键．6．如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过B、C两点，与x轴另一交点为A，顶点为D．(1)求抛物线的解析式；(2)在x轴上找一点E，使的周长最小，求符合条件的E点坐标；【答案】(1)(2)【分析】（1）由直线解析式可求出点B、C的坐标，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，此时为最小，且为的长，即此时的周长最小．由抛物线的解析式可求出点C和点D的坐标，从而得出点的坐标，再利用待定系数法可求出直线的解析式，从而即可求出E点坐标．【详解】（1）解：∵直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，∴令，则；令，则，∴点B、C的坐标分别为，将点B、C的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：，故该抛物线的解析式：；（2）解：如图，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，此时为最小，且为的长，即此时的周长最小．对于，令，则，∴点C的坐标为，∴点的坐标为．∵，∴抛物线的顶点D的坐标为．设直线的表达式为，将、D的坐标代入得：，解得：，∴直线的表达式为：，对于，当时，，故点E的坐标为．【点睛】本题为二次函数与一次函数的综合题，考查一次函数与坐标轴的交点问题，利用待定系数法求函数解析式，轴对称的性质，二次函数的图象和性质等知识．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．7．如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴交于点，点D为抛物线的顶点．(1)直接写出抛物线的函数表达式；(2)如图，抛物线的对称轴上是否存在点F，使得△BCF周长最小，若存在求点F坐标，并求周长的最小值；若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)存在，；【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出抛物线的对称轴，即可得出，设直线的解析式为：，求出解析式，把代入，求出，再求出，，，即可求出周长．【详解】（1）将，，代入得:,解得:所以抛物线的函数表达式：（2）存在；∵抛物线的解析式为：，∴抛物线的对称轴，，∴，设直线的解析式为：，∵，∴解得，∴

直线的解析式为：，把代入直线的解析式，得，∴；∴∴【点睛】本题考查二次函数，利用待定系数法求出解析式是解题的关键，利用对称轴求出坐标是解（2）题的关键．8．已知抛物线具有如下性质：给抛物线上任意一点到定点的距离与到x轴的距离相等，如图，点M的坐标为，P是抛物线上一动点，则(1)当面积为4时，求P点的坐标；(2)求周长的最小值．【答案】(1)或(2)5【分析】（1）设P点的坐标为，根据面积为4求出点P的横坐标，代入解析式得到对应y值，即可求解；（2）过点M作轴于点E，与抛物线交于点，由点在抛物线上可得出，结合点到直线之间垂线段最短及为定值，即可得出当点P运动到点时，周长取最小值，由此可解．【详解】（1）解：设P点的坐标为，点F的坐标为，，当的面积为4时，，解得：，，点P的坐标为或．（2）解：过点M作轴于点E，与抛物线交于点．抛物线上任意一点到定点的距离与到x轴的距离相等，，又为定值，当点P运动到点时，周长取最小值，,，，，，周长的最小值为5．【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及点到直线的距离，根据点到直线之间垂线段最短找出周长取最小值时点P的位置是解题的关键．9．如图，抛物线与x轴交两点(A点在B点左侧)，直线与抛物线交于两点，其中C点的横坐标为．(1)求两点的坐标;(2)求直线的函数表达式;(3)若P是线段上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段长度的最大值．【答案】(1)，(2)(3)的长度最大值为【分析】（1）令可得点的坐标，然后根据C点的横坐标为代入二次函数解析式可得C点的坐标；（2）运用待定系数法求一次函数解析式即可；（3）设点，则点，表示出的长度表达式，根据二次函数的性质解答即可．【详解】（1）解：令，即，解得：，∴点，∵C点的横坐标为，将代入，得，∴；（2）设直线的函数表达式为，∴，解得：，∴直线的函数表达式为；（3）如图：设点，则点，∵在线段上抛物线始终在一次函数的上方，∴，∴当时，的长度最大，最大值为．【点睛】本题考查了二次函数与轴交点问题，待定系数法求一次函数解析式，求二次函数最大值，熟练掌握二次函数以及一次函数的性质是解本题的关键．10．如图，已知二次函数的图象经过点，与y轴交于点C．(1)求该二次函数表达式；(2)直接写出直线的解析式；(3)P为第一象限内该二次函数图象上一动点，过P作，交直线于点Q，作轴交于M．求线段的最大值及此时点P的坐标．【答案】(1)(2)(3)线段的最大值为，此时点P的坐标为【分析】（1）设二次函数的解析式为，把代入得：，即可求解；（2）利用待定系数法解答，即可求解；（3）根据轴，可得，从而得到，进而得到，可得到当最大时，最大，然后设点，则点，可得，即可求解．【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，把代入得：，解得：，∴二次函数的解析式为；（2）解：当时，，∴点C的坐标为，设直线的解析式为，把代入得：，解得：，∴直线的解析式为；（3）解：∵，∴，∴，∴，∵轴，∴，∴，∵，∴，∴当最大时，最大，设点，则点，∴，∴当时，最大，最大值为4，此时最大，∴线段的最大值为，此时点P的坐标为．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，解直角三角形，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．11．如图，已知抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点，点是轴上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，交直线于点，设．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当时，求线段的最大值；(3)在和中，当其中一个三角形的面积是另一个三角