第二十七章圆与正多边形（7大题型）（56道压轴题专练）（原卷版）

第二十七章圆与正多边形（7大题型）（56道压轴题专练）压轴题型一圆的确定1．如图，的半径为5，弦的长为6，延长至点，使得点为的中点，在上任取一点，连接、，则的最大值为（

）

A．290 B．272 C．252 D．2442．如图，，以点B为圆心，作半径为2的圆，点C在上，连接作等腰直角三角形，使，，则的面积的最大值为（）A． B． C．4 D．83．如图，矩形中，，，以A为圆心，1为半径画圆，E是上一动点，P是上的一动点，则的最小值是（

）

A．2 B．3 C．4 D．4．左老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题，操作学具时，点在轨道槽上运动，点既能在以为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．

有以下结论：①当，时，可得到形状唯一确定的；②当，时，可得到形状唯一确定的；③当，时，可得到形状唯一确定的；④当，时，可得到形状唯一确定的；其中所有正确结论的序号是（

）A．①④ B．②③ C．②④ D．②③④5．如图，在中，，，，点P为上一点，过点C，D，P作，当点P从点A运动到点B时，点O运动路线的长为．

6．如图，，O为的中点，的半径为1，点P是上一动点，以为边作等边三角形（点P、B、C按逆时针方向排列），连接，则线段长的最大值为．

7．定义：在平面直角坐标系中，若某函数的图象上存在点，满足，m为正整数，则称点P为该函数的“m倍点”．例如：当时，点在函数的图像上，且满足，即点为函数的“2倍点”．(1)在点中，是函数的“1倍点”；(2)若函数存在唯一的“4倍点”，求b的值；(3)若函数的“m倍点”在以点为圆心，半径长为的圆外，求m的所有值．8．在等边中，将扇形按图1摆放，使扇形的半径分别与重合，，固定等边不动，让扇形绕点O逆时针旋转，线段也随之变化，设旋转角为．（）（1）当时，旋转角___度；当时旋转角____度．（2）发现：线段与有何数量关系，请仅就图2给出证明．（3）应用：当A，C，D三点共线时，求的长．（4）拓展：P是线段上任意一点，在扇形的旋转过程中，请直接写出线段的最大值_____与最小值________．压轴题型二圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系1．如图，等腰三角形的顶点是圆的等分点，且腰，所对的劣弧（不包括，，）上分别有个等分点，若等腰三角形是钝角三角形．则至少是（

）A．15 B．16 C．17 D．182．如图，在半圆O中，C是半圆上一点，将沿弦折叠交直径于点D，点E是的中点，连结，若的最小值为，则的长为（

）A． B． C． D．3．如图，半径为的圆中有一个内接矩形，，点是的中点，于点，若矩形的面积为，则线段的长为

A． B． C． D．4．已知钝角内接于，，将沿所在直线翻折，得到，连接、，如果，那么的值为．5．在中，，，，点、分别在边、上，且，，将绕点旋转至，点、分别对应点、，当、、三点共线时，的长为．6．如图，在四边形中，，，，为上一点，且，则．7．如图，四边形为的内接四边形，连接，相交于点，连，，，，已知．

(1)求证：(2)如图，若，延长，相交于点，，，求的长．8．【特例感知】

（1）如图①，是的直径，是的圆周角，平分交于点D，连接．已知，，则的度数为，点D到直线的距离为；【类比迁移】（2）如图②，是的圆周角，平分交于点D，过点D作，垂足为M，探索线段之间的数量关系，并说明理由；【问题解决】（3）图③，四边形为的内接四边形，，平分，，求线段的长．压轴题型三垂径定理1．如图，在扇形中，点D在上，点C在上，．若，则的半径为(

)A．4 B． C． D．2．如图，四边形是的内接四边形，，E为上一点，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．3．如图，的顶点均在上，且，，为弦的中点，弦经过点，且．若的半径为2，则弦的长是（

）

A． B． C． D．4．如图，的半径为，点是半圆的中点，点是的一个三等分点（靠近点），点是直径上的动点，则的最小值．

5如图，已知是的内接三角形，的半径为2，将劣弧沿折叠后刚好经过弦的中点．若，则弦的长为．

6．如图，，，，是线段上的一个动点，以为直径画分别交、于、，连接，则线段长度的最小值为．7．如图（），是的直径，点、在上，，，．(1)求证：平分；(2)求的长；(3)如图（），是半圆的中点，连接，求的长．8．如图1，点是直径上一点，，，过点作弦，点在上运动，连接．

(1)求的长．(2)如图，连接，作的角平分线交于点，在点运动的过程中，的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不会发生变化，请求出其值．(3)如图，过点作于，连接，求的最小值．压轴题型四直线与圆的位置关系1．如图，为半圆的直径，，分别切于，两点，切于点，连接，，下结论错误的是（

）

A． B．C． D．2．在平面直角坐标系中，点，，若在直线上存在点P满足，则m的取值范围是（）A． B．C． D．3．如图，点在线段上，，以为圆心，为半径作，点在上运动，连接，以为一边作等边，连接，则长度的最小值为（）

A． B． C． D．4．如图，点A是上一定点，点B是上一动点、连接、、、分别将线段、绕点A顺时针旋转到，，连接，，，，下列结论正确的有（）①点在上；②；③；④当时，与相切．

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个5．如图，，半径为的与角的两边相切，点是上任意一点，过点向角的两边作垂线，垂足分别为，，设，则的取值范围是．6．已知，点，点，直线l经过点B且垂直于y轴，点P是直线l上一个动点，的角平分线与直线l交于点Q，则的形状一定是；当点P运动至某一位置时，的外接圆与一条坐标轴相切，则所有符合情况的点P的坐标为．7．如图，在平面直角坐标系中，直线：与坐标轴分别交与、两点，与轴相切于点连接．(1)的度数是．(2)若直线以每秒的速度绕点顺时针旋转秒，当直线与有公共点时，的取值范围是．(3)在（2）的条件下，直线与有公共点的条件下，若在直线上截得的弦的中点为．试判断的度数是否会发生变化，并说明理由；8．如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点为圆心，为半径作圆．从点出发，以每秒个单位的速度沿轴负半轴运动，运动时间为．连结，将沿翻折，得到．求有一边所在直线与相切时直线的解析式．

压轴题型五圆与圆的位置关系1．和外切于点和的半径分别为1和2，直线与相切于点，与相交于，则的值为（

）

A． B． C． D．12．如图，在等腰中，，BC=，同时与边的延长线、射线相切，的半径为3．将绕点按顺时针方向旋转，、的对应点分别为、，在旋转的过程中边所在直线与相切的次数为（

）A．1 B．2 C．3 D．43．如图，B是的半径延长线上一点，，C是上一动点，以为边在的上方作等边，连接，则长的取值范围是．4．在中，点D在边上，点E在延长线上，且，如果过点A，过点D，若与有公共点，那么半径r的取值范围是．5．如图，在平面直角坐标系中，有7个半径为1的小圆拼在一起，下面一行的4个小圆都与x轴相切，上面一行的3个小圆都在下一行右边3个小圆的正上方，且相邻两个小圆只有一个公共点，从左往右数，y轴过第2列两个小圆的圆心，点P是第3列两个小圆的公共点．若过点P有一条直线平分这7个小圆的面积，则该直线的函数表达式是．6．如图，如果两个圆只有一个公共点，那么我们称这两个圆相切，这个公共点就叫做切点，当两圆相切时，如果其中一个圆（除切点外）在另一个圆的内部，叫做这两个圆内切；其中一个圆（除切点外）在另一个圆的外部，叫做这两个圆外切．如图所示：两圆的半径分别为R，r（R＞r），两圆的圆心之间的距离为d，若两个圆外切则d=R+r，若两个圆内切则d=R﹣r，已知两圆的半径分别为方程x2+mx+3=0的两个根，当两圆相切时，已知这两个圆的圆心之间的距离为4，则m的值为．7．如图，已知在等腰中，，，点D为边上一动点（不与点B重合），过点D作射线交于点E，，以点D为圆心，的长为半径作．(1)设，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；(2)当与边相切时，求的长；(3)如果是以E为圆心，的长为半径的圆，那么当为多少长时，与相切？8．在平面直角坐标系中，对于两个点，和图形，如果在图形上存在点，（，可以重合）使得，那么称点与点是图形的“一对平衡点”．如图1，已知点．(1)设点与线段上一点的距离为，则的最小值是______，最大值是______；(2)在，，这三个点中，与点是线段的“一对平衡点”的是______；(3)如图2，已知的半径为1，点的坐标为．若点在第一象限，且点与点是的“一对平衡点”，求的取值范围；(4)如图3，已知点，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点．点（其中是坐标平面内一个动点，且，是以点为圆心，半径为2的圆，若上的任意两个点都是的“一对平衡点”，直接写出的取值范围．

压轴题型六正多边形与圆1．如图，是等边的外接圆，点D是弧上一动点（不与A，C重合），下列结论：①；②当最长时，；③；④当，时，；⑤当时，四边形最大面积是．其中一定正确的结论有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．如图，已知正方形的边长为2，E是边上的动点，交于点，垂足为点G，连接；①；②；③点G运动的路径长为；④的最小值．其中正确的说法有（）个．A．4 B．3 C．2 D．13．我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形内切圆半径为，则大正方形的内切圆半径为（）

A． B． C．15 D．4．如图，点O是正六边形的中心，以为边在正六边形的内部作正方形连接，则°．

5．如图，正方形的边长为4，的半径为2，为上的动点，则的最大值是．6．如图，已知正方形ABCD，以AB为腰向正方形内部作等腰△BAE，其中BE＝BA，过点E作EF⊥AB于点F，点P是△BEF的内心，连接CP，若正方形ABCD的边长为2，则CP的最小值为．6．如图①，，分别是半圆的直径上的点，点，在上，且四边形是正方形．

(1)若，则正方形的面积为；(2)如图②，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形，且其面积为16①求的值；②如图③，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形．直接写出正方形与正方形的面积比．8．已知正方形的边长为．(1)将正方形对折，折痕为，如图①把这个正方形展平，再将点折到折痕上的点的位置，折痕为．①判断的形状，并说明理由；②求的长；(2)如图②当时，在点由点移动到中点的过程中，直接写出面积的取值范围．压轴题型七弧长与扇形面积1．如图，已知一个半圆形工件，搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，半圆的直径为，则圆心所经过的路线长是（

）．A． B． C． D．2．如图，是的直径，是弦，，在直径上截取，延长交于点E．若，则的长为（

）

A． B． C． D．3．如图，圆心角都是的扇形与扇形叠放在一起，，，分别连接、，则图中阴影部分的面积为（

）

A． B． C． D．4．如图，扇形的半径，，分别以、的中点C、D为圆心，、为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为平方厘米．5．新定义：在中，点D、E分别是边的中点，如果上的所有点都在的内部或边上，那么称为的中内弧．已知在中，，，点D、E分别是边的中点，如果是的中内弧，那么长度的最大值等于．6．如图，以为圆心，半径为4的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为圆G上一动点，于F．（1）的长度为；（2）当点E在圆G的运动过程中，线段的长度的最小值为．7．如图1．扇形中，，，点P在半径上，连接．(1)把沿翻折，点O的对称点为点Q．①当点Q刚好落在弧上，求弧的长；②如图2，点Q落在扇形外，与弧交于点C，过点Q作，