专题13相似三角形中的动态问题-2021-2022学年九年级数学上册常考题专练（北师大版）

专题13相似三角形中的动态问题题型一动点问题1．如图，，，垂足分别为点，，点是线段上的动点，点是射线上的动点，增加下列条件，不能得到与相似的是A． B． C． D．【解答】解：，，，、，，，故选项不合题意，、，，故选项不合题意，、，，，故选项不合题意，若，不能判定与相似，故选：．2．如图，在中，，，点是边的中点，点是边上一动点，若与相似，则的长为5或．【解答】解：，，点是边的中点，．当时，则，故，解得．；当时，则，故，解得，．综上所述：当或时，与相似．故答案为：5或．3．在中，，，动点从点开始沿边运动，速度为；动点从点开始沿边运动，速度为．如果，两动点同时运动，那么当它们运动或时，由，，三点连成的三角形与相似．【解答】解：根据题意得：，，，，分两种情况：①当时，即，解得：；②当时，即，解得：；综上所述：当或时，与相似．4．如图，矩形中，，，点是上的一个动点，若以，，为顶点的三角形与相似，则满足条件的点的个数是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：四边形是矩形，，，，设，则，若，则，，即，解得：；若，则，，即，解得：或9；所以当或5或9时，以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似，即这样的点有三个．故选：．5．如图，在中，，，，点从点出发，沿方向以每秒的速度向终点运动；同时，动点从点出发沿方向以每秒的速度向终点运动．当一个点运动到终点，另一个点随之停止运动．设点运动的时间为秒，当是直角三角形时，的值为．【解答】解：在中，，，，，由题意可知点运动时间为秒时，，，，，当是直角三角形时，有两种情况：①当时，如图1，，，，又，△，，，解得：；②当时，如图，，，又，△，，，解得：，故答案为：或．6．如图，在等腰中，，，点是边上一点，且，点是边上一动点，作，射线交边于点，当时，则满足条件的点的个数是A．1 B．2 C．3 D．以上都有可能【解答】解：为等腰三角形，，，即，而，，而，，，设，则，当时，，，△，原方程只有一个实数根，点有且只有一个，故选：．7．如图，在等边三角形中，，点是边上一点，且，点是边上一动点、两点均不与端点重合），作，交边于点．若，当满足条件的点有且只有一个时，则的值为A．4 B． C． D．5【解答】解：是等边三角形，，，，，，，；，，，满足条件的点有且只有一个，方程有两个相等的实数根，△，．故选：．8．将三角形纸片按如图所示的方式折叠，使点落在边上，记为点，折痕为．已知，，若以点、、为顶点的三角形与相似，求的长度．【解答】解：设，则，由翻折的性质得，当△，，即，解得，即．当△，，即，解得：．的长度为：2或．9．如图，在矩形中，、分别在、上运动（不与端点重合），连接、，交于点，且满足．连接，若，，则的最小值为A． B． C．5 D．3【解答】解：四边形是矩形，，则，又，，，，即，点为以的中点为圆心，为直径的圆上一点，则当点、、三点共线时，的值为最小值，即的值也为最小值．当取最小值时，，，，，，则，．故选：．10．如图，在中，，，．是边上一动点，过点作交于点，为线段的中点，当平分时，的长度是A． B． C． D．【解答】解：，，．，，，又，，，，，，，，解得，，．故选：．11．如图，在直角坐标系中，点，点，过点的直线垂直于线段，点是直线上一动点，过点作轴，垂足为，把沿翻折，使点落在点处．若以，，为顶点的三角形与相似，则所有满足此条件的点的坐标为，，，，，．【解答】解：点，点，直线的解析式为直线过点，且，直线的解析式为；，，轴，，，，，，，设，则，，，，，如图1：当时，则，则，，，，，当时，，，点的坐标为，当时，如图2，，，点的坐标为，如图3，若，则，，则，，当时，，，点的坐标为，，当时，如图4，，，点的坐标为，；故答案为：，，，，，．12．如图，在正方形中，点是上一动点（不与、重合），对角线、相交于点，过点分别作、的垂线，分别交、于点、，交、于点、．下列结论：①；②；③；④；⑤点在、两点的连线上．其中正确的是①②③⑤．【解答】解：①四边形是正方形，，，，在和中，，，故①正确；②，，同理，，正方形中，，又，，，且中四边形是矩形．，在中，，，为等腰直角三角形，，，又，，，，故②正确；③四边形是矩形，，在直角中，，，故③正确；④，是等腰直角三角形，而不一定是，与不一定相似，故④错误；⑤，，是是中垂线，，又，，同理可证，，，点，点，点三点共线，故⑤正确，故答案为①②③⑤．13．如图，点是线段上一个动点，，，，．（1）当，时，求的长度；（2）若时，点有两个符合要求即，，且，求的值；（3）若时，点有且只有一个点符合要求，求的值．【解答】解：（1），，，，，，即，解得或12；（2）设，则，由（1）可知，，即，，设方程的两个根为，，根据根与系数的关系可知，，，，，，解得（负数舍去），；（3）作，，，，，，，，，，，设，则，，，△，，，．14．如图，四边形是边长为2的正方形，点为线段上的动点，为的中点，射线交的延长线于点，过点作的垂线交于点、交的延长线于点，则以下结论：①；②；③当点与点重合时；④当时，．成立的是A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．②④【解答】解：①如图1，四边形是正方形，，，，，，，，故①正确；②，，，故②正确；③当点与点重合时，如图2，是的中点，，在和中，，，，，，，设，则，，，中，，，，，，故③正确；④如图3，是的中点，，中，，，，中，，，在和中，，，，故④不正确；故选：．15．如图，在正方形中，，点是上一动点（不与、重合），对角线、相交于点，过点分别作、的垂线，分别交、于点、，交、于点、．下列结论：①；②；③；④；⑤四边形的面积可以为3．其中正确的个数是A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：①四边形是正方形，．，，在和中，，，故①正确；②四边形是正方形，，，，，四边形是矩形，，，，是等腰直角三角形，，，故②正确；③在直角中，，由，，故③正确；④，，是等腰直角三角形，而是直角三角形，与不相似；故④错误；⑤四边形是矩形，四边形的面积，设，则，若四边形的面积为3，则，，△，此方程无实数解，四边形的面积不可以为3，故⑤错误．故选：．16．如图，在矩形中，，，为的中点，，分别是边，上的动点，且，连接，交于点，若，则．【解答】解：延长交的延长线于，过作于点，过作于点，四边形是矩形，，，，，，为的中点，，，，，，，设，则，，，，，，，，，，．解得．，，，，，，．故答案为：．17．如图，矩形中，，，点为边上一动点，交于点．（1）求证：；（2）点从点出发沿边以每秒1个单位长度的速度向点移动，移动时间为秒，为何值时，．【解答】（1）证明：四边形是矩形，，，，；（2）解：当时，；，，，，，，，解得：，即当时，．18．如图，在矩形中，，，点沿边从点开始向点以的速度移动，点沿边从点开始向点以的速度移动，如果，同时出发，用表示移动的时间，那么：（1）当为何值时，的长为？（2）当为何值时，以点、、为顶点的三角形与相似？（3）求四边形的面积．【解答】解：（1）由题意有：，，，，，根据勾股定理得，，，或．（2）以点、、为顶点的三角形与相似，由（1）有，，且，，①当时，有，，；②当时，有，，．以点、、为顶点的三角形与相似，有或．（3）．题型二动形问题19．如图，菱形菱形，菱形的顶点在菱形的边上运动，与相交于点，，若，，则菱形的边长为A．8 B．9 C． D．【解答】解：连接．菱形菱形，，，是等边三角形，设，则，，，，，，，，，，，或1（舍弃），，故选：．20．如图，在正方形中，是对角线上的动点，以为边作正方形，是的中点．连接，若的最小值是，则正方形的边长为．【解答】解：连接，四边形是正方形，四边形是正方形，，，，，，在和中，，，，点的运动轨迹是射线，根据垂线段最短可知，当时，，，故答案为：．21．如图，在和中，，，点在边上，与相交于点，，则．【解答】解：连接，如图，，，，，即，，，，，，，在中，，，，，，，，，，故答案为：．22．如图，在中，，为边上一点，且点到的距离等于点到的距离．将绕点旋转得到△，连接，．若，则的值为．【解答】解：连接、，过点作于点，如图，绕点旋转得到△，，，，即，，，设，，点到的距离等于点到的距离，，，在中，，，即．故答案为：．23．如图，在等腰中，，的顶点是的中点，且，现将绕点旋转一周，在旋转过程中，当的两边、分别交直线于点、，把沿折叠，点落在点处，连接，若，则的长为或或．【解答】解：①如图1中，当点在线段上，点在的延长线上时，连接，作于，设，．，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，在中，，，解得或（舍弃），．②如图2中，当点在线段上，点在上时，连接，作于，设，．同法可得：，解得（舍弃）或，．③如图3中，当点在线段的延长线上，点在线段上时，连接，作于，设，．同法可得：，解得或（舍弃），，综上所述，满足条件的的值为或或．故答案为或或．24．如图中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为．【解答】解：，，，，四边形是平行四边形，，，最短也就是最短，过作的垂线，，，△，，，，则的最小值为，方法二：不用相似的方法，只利用等面积得，，求得，而其他部分的步骤共用．故答案为：．25．如图，已知为正方形的对角线，点是平面内不与点，重合的任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，．（1）求证：；（2）当线段与相交时，设交点为，求的值以及的度数；（3）若正方形的边长为3，，当点，，在同一直线上时，求线段的长．【解答】解：（1）是正方形的对角线，，，由旋转知，，，，；（2）在中，，，由（1）知，，，，，，，，，，；（3）如图，在中，，，点，，在同一条线上，且，，或，由（2）知，，或；即：的长为或．26．在平面直角坐标系中，为原点，四边形是矩形，点，，，点是对角线上一点（不与、重合），连接，作，交轴于点，以线段、为邻边作矩形．（1）是否存在这样的点，使得是等腰三角形？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由；（2）求证：；（3）求矩形的面积的最小值？【解答】解：（1）存在；理由如下：点，，，，，，，，分两种情况：①当在线段上时，是等腰三角形，观察图像可知，只有，如图1所示：，，是等边三角形，，在中，，，，，当时，是等腰三角形；②当在的延长线上时，是等腰三角形，只有，，如图2所示：，，综上所述，满足条件的的值为2或；（2）证明：过点作交于，交于，如图3所示：设，，，，，，，，，；（3）作于，