沪科版九年级数学 23.2 解直角三角形及其应用（学习、上课课件）

23．2解直角三角形及其应用第二十三章解直角三角形第1课时解直角三角形逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2解直角三角形的定义直角三角形中的边角关系知识点解直角三角形的定义知1－讲1解直角三角形在直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角.在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.知1－讲注意：(1)在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一个元素是边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三).(2)一个直角三角形可解，则其面积可求，但在解直角三角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积.知1－讲深度理解1.已知两个角不能解直角三角形，因为只有角的条件，三角形边的大小不唯一，即有无数个三角形符合条件.2.已知一角一边时，角必须为锐角，若为已知直角，则不能求解.知1－练根据下列所给的条件解直角三角形，不能求解的是()①已知一直角边及其对角；②已知两锐角；③已知两直角边；④已知斜边和一锐角；⑤已知一直角边和斜边.A.②③ B.②④ C.只有② D.②④⑤例1知1－练解题秘方：紧扣解直角三角形中“知二求三”的特征进行解答.答案：C解：①能够求解；②不能求解；③能够求解；④能够求解；⑤能够求解.知1－练感悟新知

45°45°3知2－讲知识点直角三角形中的边角关系21.

直角三角形中的边角关系如图23.2-1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有下列关系：三边关系a2＋b2＝c2锐角关系∠A

＋∠B＝90°边角关系

知2－讲2.解直角三角形的类型和方法已知条件选择的边角关系两边两直角边(

a，b)斜边、一直角边(

c，a)知2－讲一边一角一直角边、一锐角锐角、邻边(∠A，b)锐角、对边(∠A，a)斜边、一锐角(c，∠A)∠B=90°－∠A，a=c·sinA，b=c·cosA

知2－讲活学巧记口诀记忆法：有斜求对乘正弦，有斜求邻乘余弦，无斜求对乘正切.“有斜求对乘正弦”的意思是：在一个直角三角形中，对一个锐角而言，如果已知斜边长，要求该锐角的对边长，那么就用斜边长乘该锐角的正弦，其他口诀的意思可类推.知2－练

解题秘方：紧扣“直角三角形的边角关系”选择合适的表达式求解.例2

知2－练

知2－练

知2－练感悟新知

知2－练感悟新知

知2－练[母题教材P125练习T2]根据下列条件，解直角三角形：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，b＝12；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，c＝6.解题秘方：求边时，一般用未知边比已知边(或已知边比未知边)，去找已知角的某一个三角函数.例3知2－练(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，b＝12；

知2－练(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，c＝6.

知2－练感悟新知

知2－练感悟新知(2)

b＝7.234，∠A＝7°20′(长度精确到0.001)

.解直角三角形解直角三角形依据定义条件三边之间的关系锐角之间的关系边角之间的关系23．2解直角三角形及其应用第二十三章解直角三角形第2课时解直角三角形的应用逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2解直角三角形在解实际问题中的应用解直角三角形在解仰角和俯角中的应用解直角三角形在解方向角问题中的应用解直角三角形在解坡角、坡度问题中的应用坐标系中直线与x

轴的夹角知识点解直角三角形在解实际问题中的应用知1－讲11.

利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤(1)画出平面图形，将实际问题抽象为数学问题，转化为解直角三角形的问题；(2)根据已知条件的特点，灵活选用锐角三角函数等知识解直角三角形；(3)得到数学问题的答案；(4)得到实际问题的答案.知1－讲2.

解决实际问题时，常见的基本图形及相应的表达式图形表达式图形表达式AC＝BC·tanα，AG＝AC＋BEBC＝DC－BD＝AD·(tanα－tanβ)知1－讲续表图形表达式图形表达式AB＝DE＝AE·tanβ

，CD＝CE＋DE＝AE·(tanα＋tanβ)知1－讲续表图形表达式图形表达式知1－讲特别提醒1.当实际问题中涉及的图形可以直接转化为直角三角形时，可利用解直角三角形的知识直接求解.2.若相关的角不是直角三角形的内角，应利用平行线的性质或互余、互补的角的性质将其转化为直角三角形的内角，再利用解直角三角形的知识求解.3.问题中有两个或两个以上的直角三角形，当用其中一个直角三角形不能求解时，可考虑分别由两个直角三角形找出含有相同未知元素的表达式，运用方程求解.知1－练感悟新知[母题教材P126例3]如图23.2-8所示，某居民楼Ⅰ高20m，窗户朝南，该楼内一楼住户的窗台离地面的距离CM为2m，窗户CD高1.8m.现计划在楼Ⅰ的正南方距楼Ⅰ30m处新建一居民楼Ⅱ.当正午时刻太阳光线与地面成30°角时，要使楼Ⅱ的影子不影响楼Ⅰ所有住户的采光，新建楼Ⅱ最高只能建多少米？例1知1－练感悟新知解：设正午时刻，太阳光线正好照在楼Ⅰ一楼的窗台处，此时新建居民楼Ⅱ高EG=xm，如图23.2-8所示，过点C

作CF⊥EG

于点F，则FG=CM=2m.解题秘方：将实际应用问题建模成解直角三角形问题.知1－练感悟新知

知1－练感悟新知1-1.

[模拟·宿州]合肥包公园是合肥市有名的4A级旅游景区，是为了纪念北宋著明清官包拯而修建的园林.为了让游客能更好地休息，在园中设计如图所示的凉亭，点D，A，E

在同一水平线上，测得∠DAC=79°，∠BCA=109°，AC=2m，AN=1.35m，求凉亭最高点到地面的距离BN的长.(sin79°≈0.98，cos79°≈0.19，结果精确到0.1m)知1－练感悟新知解：过点C作CF⊥BN于点F，过点C作CG⊥DE于点G，则∠AGC＝90°，∠BFC＝90°.易得四边形CGNF为矩形，∴CF∥GN，CG＝FN，CF＝GN.∴∠ACF＝∠DAC＝79°.∴∠BCF＝∠ACB－∠ACF＝30°.在Rt△ACG中，CG＝AC·sin∠GAC≈2×0.98＝1.96(m)，知1－练感悟新知知1－练

例2知1－练解题秘方：在建立的非直角三角形模型中，用“化斜为直法”解含公共直角边的直角三角形问题.知1－练

知1－练

知1－练感悟新知2-1.如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA

的垂线PB

上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA

等于(

)

A.100sin35°米B.100sin55°米C.100tan35°米D.100tan55°米C知2－讲知识点解直角三角形在解仰角和俯角问题中的应用21.

仰角和俯角的定义在进行高度测量时，由视线与水平线所夹的角中，当视线在水平线上方时叫做仰角；当视线在水平线下方时叫做俯角.知2－讲2.

示图如图23.2-10所示.知2－讲特别提醒1.仰角和俯角是视线的位置相对于水平线而言的，可巧记为“上仰下俯”.2.实际问题中遇到仰角或俯角时，要放在直角三角形中或转化到直角三角形中，注意确定水平线.知2－练如图23.2-11，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30°，已知教学楼AB高4m.解题秘方：将实际问题转化为解直角三角形问题求解.例3知2－练(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD(结果保留根号)；

知2－练(2)求旗杆CD的高度.

知2－练感悟新知3-1.

[月考·合肥]浮山是安徽省名山之一，也是我国著名文山，山上有大量的摩崖石刻，奇峰异石，有大小七十二个溶洞．如图，为了测量浮山与学校的相对高度DO，某校数学兴趣小组在操场A

处观测到山顶最高点D的仰角为35°，向着山的方向前进20米后到达点B，观测到知2－练感悟新知山顶最高点D

的仰角为37°.求浮山与学校的相对高度DO.(参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)知2－练感悟新知知3－讲知识点解直角三角形在解方向角问题中的应用31.

方向角的定义一般地，指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角.特别警示：方向角和方位角不同，方位角是指从某点的指北方向线起，按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角，变化范围为0°~360°，而方向角的变化范围是0°~90°.知3－讲2.示图如图23.2-12，目标方向线OA，OB，OC的方向角分别可以表示为北偏东30°、南偏东45°、北偏西30°.南偏东45°习惯上又叫做东南方向，北偏东45°习惯上又叫做东北方向，北偏西45°习惯上又叫做西北方向，南偏西45°习惯上又叫做西南方向.知3－讲特别提醒1.因为方向角是指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的角，所以方向角通常都写成“北偏……”“南偏……”的形式.2.解决实际问题时，可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形来求解.3.观测点不同，所得的方向角也不同，但各个观测点的南北方向线是互相平行的，通常借助此性质进行角度转换.知3－练

例4知3－练解题秘方：建立数学模型后，用化斜为直法，将斜三角形问题转化为直角三角形问题求解.知3－练解：如图23.2-11，过点C作CE⊥AB于点E，则∠AEC=∠BEC=90°.易得∠ACE＝30°，∠BCE＝45°=∠CBE，

∴BE=CE.(1)分别求出A与C及B与C的距离AC，BC(结果保留根号)；知3－练

知3－练

知3－练

知3－练感悟新知4-1.

[中考·安徽]如图，为了测量河对岸A，B

两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B

均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D

的北偏西53°方向上.求A，B两点间的距离.(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)知3－练感悟新知解：如图，易知∠ADB＝53°，∠ECA＝37°，∠ADC＝90°，CE∥AD，∴∠BDC＝90°－53°＝37°，∠A＝∠ECA＝37°.∴∠CBD＝∠A＋∠ADB＝37°＋53°＝90°.∴∠ABD＝90°.在Rt△BCD中，∠BDC＝37°，CD＝90米，知3－练感悟新知知4－讲知识点解直角三角形在解坡角、坡度问题中的应用41.

坡角与坡度(坡比)的定义(1)坡角：坡面与水平面的夹角，如图23.2-14中的α.知4－讲(2)坡度(坡比)：我们通常把坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡度(坡比)(如图23.2-14所示)，坡度(坡比)也可写成i＝h∶l的形式，在实际应用中常表示成1∶x的形式.知4－讲

知4－讲特别提醒1.坡度是两条线段的比值，不是度数.2.表示坡度时，通常把比的前项取作1，后项可以是小数.3.坡面的倾斜程度通常可用坡度表示.坡度越大，坡角越大，坡面越陡；反之，坡度越小，坡角越小，坡面越缓.知3－练感悟新知[母题教材P129例6]如图23.2-15，水坝的横断面为梯形ABCD，迎水坡BC

的坡角为30°，背水坡AD

的坡度为1：1.2，坝顶宽DC

＝2.5米，坝高4.5米．求：(1)迎水坡BC

的长；(2)迎水坡BC

的坡度；(3)坝底AB

的长．例5知3－练感悟新知解题秘方：紧扣坡角和坡度的定义，构造直