核心考点01实数(原卷版+解析)

核心考点01实数目录考点一：近似数和有效数字考点二：平方根考点三：算术平方根考点四：非负数的性质：算术平方根考点五：立方根考点六：无理数考点七：实数考点八：实数的性质考点九：实数与数轴考点十：实数大小比较考点十一：估算无理数的大小考点十二：分数指数幂考点考向考点考向一、实数的概念或者：1.有理数：有理数就是能表示成两个整数之比的数；有理数包括：整数和分数；有理数是有限小数或无限循环小数。2.无理数：无理数是无限不循环小数。3.实数：有理数和无理数统称为实数，实数与数轴上的点是一一对应的。二、数的开方4.若，则x叫做a的平方根；正数有两个平方根是，其中表示正的平方根；表示负的平方根；零的平方根记作=0；负数没有平方根。求一个数的平方根的运算叫做开平方，叫做被开方数；5.平方根与开平方的性质（1）当时，＝，＝（2）当时，，当时，6.若，则叫做的立方根，记作：，叫做被开方数，3叫做根指数.正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，零的立方根是零。即：任意一个实数都有立方根，而且只有一个。求一个数的立方根的运算叫做开立方.7.立方根与开立方的性质：；8.若（的整数），则x叫做a的n次方根；当为奇数是，叫的奇次方根；当为偶数是，叫的偶次方根；实数的奇次方根有且只有一个，表示为：正数的偶次方根有两个，它们互为相反数,正次方根表示为：，负次方根表示为：负数的偶次方根不存在.零的偶次方根为零，表示为.求一个数的次方根的运算叫做开n次方.叫做被开方数，叫做根指数.9.估计无理数的范围三、实数的运算1.实数范围内绝对值、相反数、倒数等概念（1）绝对值：一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。（2）相反数：只有符号不同的的两个数互为相反数。若互为相反数，则0（3）倒数：若两个数的乘积为1，则这两个数互为倒数，即：.2.两个实数比较大小（1）性质法：负数_小于_零__小于_正数；两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小。（2）数轴法：数轴上，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大.（3）比差法：若，则。3.数轴上两点的距离：如果A、B两点对应的数分别为、，则AB＝4.实数的运算（三级六则运算）（1）加法法则：互为相反数的两数和为零；同号相加，取相同的符号，再把它们的绝对值相加；异号相加，取绝对值较大的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值；任何数与0相加，和仍然是这个数.（2）减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。（3）乘法法则：同号相乘得正，异号相乘得负,任何数与0相乘，积为零.（4）除法法则：除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数.（5）混合运算：先算幂，再乘除，后加减；如果有括号，要先算括号里的.混合运算遵循交换律和结合律。（6）当时，5.准确数与近似数完全符合实际地表示一个量多少的数叫准确数；与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数。6.精确度：（1）近似数的精确度通常有两种表述方式，一是精确到哪一个数位，二是指定保留几个有效数字.（2）有效数字：一个近似数从左边第一个不为零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字。7.科学记数法：把一绝对值大于10（或小于1）的数用形式.四、分数指数幂1.分数指数幂：分数指数幂就是一个数的指数为分数.即叫分数指数幂.整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂.（），（）。2.有理数指数幂的运算性质：设为有理数，那么（1）＝，＝;（2）＝;（3）考点精讲考点精讲一．近似数和有效数字（共2小题）1．（2022春•杨浦区校级期末）0.0520亿保留到，有有效数字．2．（2022春•松江区校级期中）将80450保留三个有效数字为．二．平方根（共2小题）3．（2022春•松江区校级期中）下列说法正确的是（）A．任何正数都有平方根 B．任何实数都有平方根 C．（﹣2）2的平方根是﹣2 D．|﹣4|的平方根是24．（2022春•静安区期中）若2m﹣4与3m﹣1是同一个正数a的平方根，则m＝，a＝．三．算术平方根（共4小题）5．（2022春•杨浦区校级期末）有一个如图的数值转换器，当输出值是4时，输入的是（）A．8 B．16 C．4 D．86．（2022春•静安区期中）的平方根为（）A．±3 B．3 C． D．7．（2022春•杨浦区校级期中）已知＝2.493，＝7.882，则﹣＝，6.213×104的平方根是．8．（2022春•徐汇区校级期中）计算：＝．四．非负数的性质：算术平方根（共2小题）9．（2022春•闵行区校级期末）若实数a、b满足|a+2|+＝0，则a+b的正平方根是．10．（2022春•杨浦区校级期末）已知与|b﹣2|互为相反数，ab＝．五．立方根（共6小题）11．（2022春•徐汇区校级期中）已知a3＝﹣27，则实数a＝．12．（2022春•徐汇区校级期中）用幂的形式表示：＝．13．（2022春•闵行区校级期中）下列说法正确的是（）A．1的平方根是1 B．3次方根是本身的数有0和1 C．﹣m的3次方根是﹣ D．a＜0时，﹣a的平方根为±14．（2022春•杨浦区校级期末）216的立方根是．15．（2022春•普陀区校级期末）下列说法中，不正确的是（）A．的立方根是±2 B．的立方根是2 C．的立方根是2 D．的立方根是﹣216．（2022春•杨浦区校级期中）如果＝3n，那么n＝．六．无理数（共3小题）17．（2022春•杨浦区校级期中）若a、b是不相等的无理数，则（）A．a+b一定是无理数 B．a﹣b一定是无理数 C．a•b一定是无理数 D．不一定是无理数18．（2021春•普陀区期中）下列各数中，是无理数的是（）A．﹣6.94 B． C．0 D．19．（2022春•徐汇区校级期中）下列各数中：0、﹣、、、π、0.3737737773…（它的位数无限且相邻两个“3”之间“7”的个数依次加1个），无理数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个七．实数（共2小题）20．（2021春•静安区期中）下列语句中正确的是（）A．0.001的算术平方根是0.1 B．1的n次方根（n是大于1的整数）是1 C．一个正数的两个平方根互为相反数 D．一个实数的立方根不是正数就是负数21．（2021•越秀区校级二模）在﹣，，﹣，3.，﹣1，，|﹣1|中，有理数有（）个．A．3 B．4 C．5 D．6八．实数的性质（共2小题）22．（2021春•徐汇区校级期中）已知，那么（xy）2021的值＝．23．（2021春•浦东新区期中）﹣的绝对值是．九．实数与数轴（共2小题）24．（2022春•普陀区校级期末）在数轴上表示2的点与表示﹣的点之间的距离为．25．（2022春•闵行区校级期末）在数轴上，如果点A表示的数是，那么到点A的距离等于2个单位的点所表示的数是．一十．实数大小比较（共2小题）26．（2022春•闵行区校级期中）比较大小：（用“＞”、“＜”“＝”）．27．（2022春•杨浦区校级期中）比较大小：﹣5﹣﹣2．（填＞、＝或＜）一十一．估算无理数的大小（共3小题）28．（2022春•闵行区校级期中）﹣3的小数部分是．29．（2022春•闵行区校级期中）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分，则3a﹣b+c的平方根为．30．（2022春•杨浦区校级期中）已知n＜＜n+1，那么整数n＝．一十二．分数指数幂（共6小题）31．（2022春•松江区校级期中）（﹣9）2的四次方根是．32．（2022春•闵行区校级期中）计算：×＝．33．（2022春•杨浦区校级期中）把写成底数是整数的幂的形式是．34．（2022春•闵行区校级月考）计算：．35．（2022春•闵行区校级期末）利用幂的性质计算（写出计算过程）：．36．（2022春•闵行区校级期末）利用幂的性质计算：．巩固提升巩固提升一、单选题1．（2021春·上海浦东新·七年级校联考期末）16的平方根是（

）A．8 B．4 C． D．2．（2023春·七年级单元测试）在数字，3.33，，，0，，，2.121121112…（相邻两个2之间1的个数逐次多1）中，无理数的个数是（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．（2023春·七年级单元测试）下列说法正确的是（

）A．一个数的倒数等于它本身，则这个数是，0B．一个数的相反数等于它本身，则这个数一定是0，1C．一个数的绝对值等于它本身，则这个数一定是正数D．一个数的平方等于1，则这个数是4．（2023春·上海·七年级专题练习）下列计算正确的是（

）A． B． C． D．5．（2022春·上海闵行·七年级上海市实验学校西校校考阶段练习）下列各数中是无理数的是（

）A． B． C． D．0.20200200020．6．（2023春·七年级单元测试）如图，数轴上有A，B，C，D四点，则所表示的数与最接近的是（

）A．点A B．点B C．点C D．点D7．（2022春·上海宝山·七年级校考阶段练习）下列等式正确的是（

）A． B． C． D．二、填空题8．（2023春·七年级单元测试）把写成幂的形式是_____．9．（2023春·七年级单元测试）4的平方根是______；算术平方根是______；是______的立方根．10．（2023春·七年级单元测试）如图，实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为_______．11．（2023春·七年级单元测试）已知，且，则________．12．（2021春·上海崇明·七年级统考期末）如果，那么_____．三、解答题13．（2023春·七年级单元测试）将下列各数的序号填在相应的集合里．①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧．整数集合：；分数集合：；负数集合：；有理数集合：；无理数集合：．14．（2023春·七年级单元测试）计算：．15．（2023春·七年级单元测试）用的运算性质计算：（结果表示为含幂的形式）16．（2023春·七年级单元测试）计算：．17．（2022春·上海闵行·七年级上海市七宝中学校考期中）计算：18．（2022春·上海·七年级专题练习）计算：﹣＋÷|0.77﹣1|．19．（2022秋·上海·七年级期末）如果正整数x能够写成两个正整数a与b的和与它们的乘积之和，即x＝a＋b＋ab，那么x叫做“和谐数”，其中a＋b＋ab叫做x的“表达式”．例如，因为5＝1＋2＋1×2，24＝4＋4＋4×4，所以5与24都是“和谐数”．(1)3与20都是“和谐数”，请分别写出它们的“表达式”：3＝

20＝(2)如果正偶数y是两位数且y是“和谐数”，那么y的最小值是；(3)在小于20的正整数中，“和谐数”共有个；(4)如果“和谐数”x＝a＋b＋ab，其中a＝n2，b＝（n＋1）2，n是正整数，请说明“和谐数”x是一个完全平方数．20．（2022春·上海·七年级专题练习）阅读材料，完成下列问题：材料一：若一个四位正整数（各个数位均不为0），千位和十位数字相同，百位和个位数字相同，则称该数为成对数，，例如5353、3535都是成对数材料二：将一位四位正整数m的百位和十位交换位置后得到四位数n，F（m）=，（1）F(1234)=：F(3232)=（2）试证明任意成对数能被101整除；（3）若t为一个成对数，另一个成对数s＝1000a＋100（a＋4）＋10a＋（a＋4）．（1≤a≤8）．若F（s）＋F（t）为一个完全平方数，请求出所有满足条件的F（t）的值．21．（2023春·七年级单元测试）计算：22．（2022春·上海·七年级专题练习）若一个三位数t＝（其中a，b，c不全相等且都不为0），重新排列各数位上的数字必可得到一个最大数和一个最小数，此最大数和最小数的差叫作原数的差数，记为F（t）．例如，246的差数F（246）＝642﹣246＝396，452的差数F（452）＝542﹣245＝297．（1）已知一个三位数（其中a＞b＞2）的差数F（a2b）＝693，则a＝．（2）若一个三位数t＝（其中a、b都不为0）能被4整除，将百位上的数字移到个位得到一个新数被4除余3，再将新数的百位数字移到个位得到另一个新数被4除余2，则称原数为4的“循环数”．例如：因为344＝4×86，443＝4×110+3，434＝4×108+2．所以344是4的一个“循环数”．求出所有三位数中4的“循环数”t，并求F（t）最大值．23．（2023春·上海·七年级专题练习）已知：，，求的值.核心考点01实数目录考点一：近似数和有效数字考点二：平方根考点三：算术平方根考点四：非负数的性质：算术平方根考点五：立方根考点六：无理数考点七：实数考点八：实数的性质考点九：实数与数轴考点十：实数大小比较考点十一：估算无理数的大小考点十二：分数指数幂考点考向考点考向一、实数的概念或者：1.有理数：有理数就是能表示成两个整数之比的数；有理数包括：整数和分数；有理数是有限小数或无限循环小数。2.无理数：无理数是无限不循环小数。3.实数：有理数和无理数统称为实数，实数与数轴上的点是一一对应的。二、数的开方4.若，则x叫做a的平方根；正数有两个平方根是，其中表示正的平方根；表示负的平方根；零的平方根记作=0；负数没有平方根。求一个数的平方根的运算叫做开平方，叫做被开方数；5.平方根与开平方的性质（1）当时，＝，＝（2）当时，，当时，6.若，则叫做的立方根，记作：，叫做被开方数，3叫做根指数.正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，零的立方根是零。即：任意一个实数都有立方根，而且只有一个。求一个数的立方根的运算叫做开立方.7.立方根与开立方的性质：；8.若（的整数），则x叫做a的n次方根；当为奇数是，叫的奇次方根；当为偶数是，叫的偶次方根；实数的奇次方根有且只有一个，表示为：正数的偶次方根有两个，它们互为相反数,正次方根表示为：，负次方根表示为：负数的偶次方根不存在.零的偶次方根为零，表示为.求一个数的次方根的运算叫做开n次方.叫做被开方数，叫做根指数.9.估计无理数的范围三、实数的运算1.实数范围内绝对值、相反数、倒数等概念（1）绝对值：一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。（2）相反数：只有符号不同的的两个数互为相反数。若互为相反数，则0（3）倒数：若两个数的乘积为1，则这两个数互为倒数，即：.2.两个实数比较大小（1）性质法：负数_小于_零__小于_正数；两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小。（2）数轴法：数轴上，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大.（3）比差法：若，则。3.数轴上两点的距离：如果A、B两点对应的数分别为、，则AB＝4.实数的运算（三级六则运算）（1）加法法则：互为相反数的两数和为零；同号相加，取相同的符号，再把它们的绝对值相加；异号相加，取绝对值较大的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值；任何数与0相加，和仍然是这个数.（2）减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。（3）乘法法则：同号相乘得正，异号相乘得负,任何数与0相乘，积为零.（4）除法法则：除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数.（5）混合运算：先算幂，再乘除，后加减；如果有括号，要先算括号里的.混合运算遵循交换律和结合律。（6）当时，5.准确数与近似数完全符合实际地表示一个量多少的数叫准确数；与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数。6.精确度：（1）近似数的精确度通常有两种表述方式，一是精确到哪一个数位，二是指定保留几个有效数字.（2）有效数字：一个近似数从左边第一个不为零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字。7.科学记数法：把一绝对值大于10（或小于1）的数用形式.四、分数指数幂1.分数指数幂：分数指数幂就是一个数的指数为分数.即叫分数指数幂.整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂.（），（）。2.有理数指数幂的运算性质：设为有理数，那么（1）＝，＝;（2）＝;（3）考点精讲考点精讲一．近似数和有效数字（共2小题）1．（2022春•杨浦区校级期末）0.0520亿保留到万位，有3有效数字．【分析】根据近似数的精确度和有效数字的定义求解．【解答】解：0.0520亿保留到万位，有3个有效数字．故答案为：万位，3．【点评】本题考查了近似数和有效数字：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式．2．（2022春•松江区校级期中）将80450保留三个有效数字为8.05×104．【分析】先用科学记数法表示，然后把十位上的数字5进行四舍五入即可．【解答】解：将80450保留三个有效数字为8.05×104．故答案为：8.05×104．【点评】本题考查了近似数和有效数字：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式二．平方根（共2小题）3．（2022春•松江区校级期中）下列说法正确的是（）A．任何正数都有平方根 B．任何实数都有平方根 C．（﹣2）2的平方根是﹣2 D．|﹣4|的平方根是2【分析】根据平方根的性质求解即可．【解答】解：A、任何正数都有平方根，正确，符合题意；B、负数没有平方根，故本选项错误，不符合题意；C、（﹣2）2的平方根是±2，故本选项错误，不符合题意；D、|﹣4|的平方根是±2，故本选项错误，不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查的是平方根的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．4．（2022春•静安区期中）若2m﹣4与3m﹣1是同一个正数a的平方根，则m＝1或﹣3，a＝4或100．【分析】根据平方根的定义，求出m的值，进而确定a的值即可．【解答】解：①当2m﹣4与3m﹣1不相等时，有2m﹣4+3m﹣1＝0，解得m＝1，当m＝1时，2m﹣4＝﹣2，3m﹣1＝2，所以a＝22＝4，此时，m＝1，a＝4，②当2m﹣4与3m﹣1相等时，即2m﹣4＝3m﹣1，解得m＝﹣3，当m＝﹣3时，2m﹣4＝﹣10，3m﹣1＝﹣10，所以a＝100，此时m＝﹣3，a＝100，故答案为：1或﹣3，4或100．【点评】本题考查平方根，理解平方根的定义是解决问题的关键．三．算术平方根（共4小题）5．（2022春•杨浦区校级期末）有一个如图的数值转换器，当输出值是4时，输入的是（）A．8 B．16 C．4 D．8【分析】设输入的数为x，根据输出值是4即可求出答案．【解答】解：设输入的数为x，∴＝4，∴x＝16，故选：B．【点评】本题考查的是算术平方根的概念和性质，掌握一个正数的正的平方根是这个数的算术平方根是解题的关键，注意有理数的概念．6．（2022春•静安区期中）的平方根为（）A．±3 B．3 C． D．【分析】先将计算出来，再计算平方根即可求解．【解答】解：∵（﹣3）2＝9，∴＝＝3，∵（±）2＝3，∴3的平方根为±，即的平方根为±，故选：C．【点评】本题考查平方根，算术平方根，解题的关键是先化简式子，再利用平方根的定义求解．7．（2022春•杨浦区校级期中）已知＝2.493，＝7.882，则﹣＝﹣78.82，6.213×104的平方根是±249.3．【分析】根据平方根的计算得出结论即可．【解答】解：∵＝2.493，＝7.882，∴﹣＝﹣78.82，6.213×104的平方根是±249.3，故答案为：﹣78.82，±249.3．【点评】本题主要考查平方根的知识，熟练掌握平方根的知识，科学记数法的知识等是解题的关键．8．（2022春•徐汇区校级期中）计算：＝﹣π．．【分析】根据二次根式的化简方法进行计算即可．【解答】解：原式＝|π﹣|＝﹣π．故答案为：﹣π．【点评】本题考查了算术平方根和二次根式的化简，掌握二次根式的化简方法是解题的关键．四．非负数的性质：算术平方根（共2小题）9．（2022春•闵行区校级期末）若实数a、b满足|a+2|+＝0，则a+b的正平方根是2．【分析】直接利用非负数的性质得出a，b的值，再利用算术平方根的定义得出答案．【解答】解：∵|a+2|+＝0，∴a+2＝0，b﹣6＝0，解得：a＝﹣2，b＝6，则a+b＝4，故a+b的正的平方根是：2．故答案为：2．【点评】此题考查的是非负数的性质及平方根，掌握其性质是解决此题的关键．10．（2022春•杨浦区校级期末）已知与|b﹣2|互为相反数，ab＝1．【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列式，再根据非负数的性质列式求出a、b，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：∵与|b﹣2|互为相反数，∴＝0，∴a+1＝0，b﹣2＝0，解得a＝﹣1，b＝2，所以，ab＝（﹣1）2＝1故答案为：1．【点评】本题考查了非负数的性质，关键是根据“几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0”列出方程．五．立方根（共6小题）11．（2022春•徐汇区校级期中）已知a3＝﹣27，则实数a＝﹣3．【分析】a3＝﹣27，则a是﹣27的立方根，据此即可求解．【解答】解：a＝＝﹣3，故答案是：﹣3．【点评】本题考查了立方根，正确理解立方根的定义是关键．12．（2022春•徐汇区校级期中）用幂的形式表示：＝．【分析】根据分数指数幂的定义表示即可．【解答】解：＝，故答案为：．【点评】本题考查立方根，解题的关键是掌握立方根的定义及分数指数幂的表示．13．（2022春•闵行区校级期中）下列说法正确的是（）A．1的平方根是1 B．3次方根是本身的数有0和1 C．﹣m的3次方根是﹣ D．a＜0时，﹣a的平方根为±【分析】直接利用立方根以及平方根的性质分别化简，进而得出答案．【解答】解：A.1的平方根是±1，故此选项不合题意；B.3次方根是本身的数有0和1、﹣1，故此选项不合题意；C．﹣m的3次方根是﹣，故此选项符合题意；D．a＜0时，﹣a的平方根为±，故此选项不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了立方根以及平方根，正确掌握相关性质是解题关键．14．（2022春•杨浦区校级期末）216的立方根是6．【分析】根据立方根的定义即可求出答案．【解答】解：由于63＝216，故216的立方根是6，故答案为：6．【点评】本题考查立方根，解题的关键是熟练运用立方根的定义，本题属于基础题型．15．（2022春•普陀区校级期末）下列说法中，不正确的是（）A．的立方根是±2 B．的立方根是2 C．的立方根是2 D．的立方根是﹣2【分析】利用立方根、算术平方根的定义一一进行计算判断即可．【解答】解：A.的平方根是±2，此选项错误，符合题意；B.的立方根是2，此选项正确，不符合题意；C.的立方根是2，此选项正确，不符合题意；D．﹣的立方根是﹣2，此选项正确，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了有关平方根，立方根的计算问题，解题关键在于运用法则进行计算．16．（2022春•杨浦区校级期中）如果＝3n，那么n＝﹣．【分析】先化成分数指数幂再计算．【解答】解：∵＝＝＝＝3n．∴n＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查平方根和立方根的运算，将根式转化为分数指数幂是求解本题的关键．六．无理数（共3小题）17．（2022春•杨浦区校级期中）若a、b是不相等的无理数，则（）A．a+b一定是无理数 B．a﹣b一定是无理数 C．a•b一定是无理数 D．不一定是无理数【分析】根据有理数和无理数的定义和性质分析即可判定选择项．【解答】解：A、当a＝2﹣，b＝2+，a+b＝4，a+b是有理数，原说法错误，故此选项不符合题意；B、当a＝1+，b＝2+，a﹣b＝﹣1，a﹣b是有理数，原说法错误，故此选项不符合题意；C、当a＝，b＝2，ab＝8ab是有理数，原说法错误，故此选项不符合题意；D、若a、b是不相等的无理数，则不一定是无理数，原说法正确，故此选项符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了实数的运算．无理数的运算法则与有理数的运算法则是一样的．18．（2021春•普陀区期中）下列各数中，是无理数的是（）A．﹣6.94 B． C．0 D．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A、﹣6.94是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；B、是分数，属于有理数，故本选项不合题意；C、0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；D、是无理数，故本选项符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.5757757775…（相邻两个5之间的7的个数逐次加1）等有这样规律的数．19．（2022春•徐汇区校级期中）下列各数中：0、﹣、、、π、0.3737737773…（它的位数无限且相邻两个“3”之间“7”的个数依次加1个），无理数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：无理数有：﹣，π，0.3737737773…（它的位数无限且相邻两个“3”之间“7”的个数依次加1个），共3个．故选：C．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．七．实数（共2小题）20．（2021春•静安区期中）下列语句中正确的是（）A．0.001的算术平方根是0.1 B．1的n次方根（n是大于1的整数）是1 C．一个正数的两个平方根互为相反数 D．一个实数的立方根不是正数就是负数【分析】根据算术平方根、平方根、立方根的定义判断即可．【解答】解：A：0.001的算术平方根是，故原题说法不正确，不符合题意，B：举例：1的2次方根是±1，故原题说法不正确，不符合题意，C：一个正数的两个平方根互为相反数，故原题说法正确，符合题意，D：一个实数的立方根不是正数就是负数，也可能是0，故原题说法不正确，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了算术平方根、平方根、立方根的定义，熟练掌握算术平方根、平方根、立方根的定义是解决此题的关键．21．（2021•越秀区校级二模）在﹣，，﹣，3.，﹣1，，|﹣1|中，有理数有（）个．A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据有理数的定义、无理数的定义进行判断即可得解．【解答】解：∵﹣是分数，﹣＝﹣是分数，3.是循环小数，|﹣1|＝1是整数，∴﹣，﹣，3.，|﹣1|是有理数，∴有理数有4个．故选：B．【点评】本题考查了实数，主要利用了有理数和无理数定义，熟记概念是解题的关键．八．实数的性质（共2小题）22．（2021春•徐汇区校级期中）已知，那么（xy）2021的值＝﹣1．【分析】直接利用非负数的性质得出x，y的值，再利用有理数的乘方运算法则得出答案．【解答】解：∵|x﹣|+＝0，∴x﹣＝0，y+＝0，∴x＝，y＝﹣，∴（xy）2021＝[×（﹣）]2021＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了非负数的性质、有理数的乘方运算，正确得出x，y的值是解题关键．23．（2021春•浦东新区期中）﹣的绝对值是．【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．【解答】解：﹣的绝对值是．故答案为：．【点评】本题考查了实数的性质，负数的绝对值是它的相反数，非负数的绝对值是它本身．九．实数与数轴（共2小题）24．（2022春•普陀区校级期末）在数轴上表示2的点与表示﹣的点之间的距离为3．【分析】数轴上两点间的距离，即两点对应的数的差的绝对值．【解答】解：在数轴上，表示2的点与表示﹣的点之间的距离为2﹣（﹣）＝3．故答案为：3．【点评】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点．25．（2022春•闵行区校级期末）在数轴上，如果点A表示的数是，那么到点A的距离等于2个单位的点所表示的数是+2或﹣2．【分析】到点A的距离等于2个单位的点有2个，分别位于点A的右侧和左侧，分别求解即可．【解答】解：如果这个点在点A的右侧，表示的数为+2；如果这个点在点A的左侧，表示的数为﹣2；故答案为：+2或﹣2．【点评】本题考查了实数与数轴，体现了分类讨论的思想，掌握到点A的距离等于2个单位的点有2个是解题的关键．一十．实数大小比较（共2小题）26．（2022春•闵行区校级期中）比较大小：＜（用“＞”、“＜”“＝”）．【分析】先通分，分母为20，比较分子5（﹣1）与4的大小关系，估算5＝的大小，从而得结论．【解答】解：∵＝，＝，∵5＝，且8＜＜9，∴8﹣5＜﹣5＜9﹣5，∴3＜5﹣5＜4，∴＜，∴＜．故答案为：＜．【点评】此题考查无理数的估算，注意找出最接近的取值范围的数值．27．（2022春•杨浦区校级期中）比较大小：﹣5＜﹣﹣2．（填＞、＝或＜）【分析】根据＜3，则+2＜5，再判断负数即可．【解答】解：∵＜3，则+2＜5，∴﹣5＜﹣﹣2，故答案为：＜．【点评】本题主要考查实数大小比较，熟练根据正数的大小比较其相反数大小是解题的关键．一十一．估算无理数的大小（共3小题）28．（2022春•闵行区校级期中）﹣3的小数部分是﹣10．【分析】估算无理数的大小即可得出答案．【解答】解：∵100＜117＜121，∴10＜＜11，∴7＜﹣3＜8，∴﹣3的小数部分是﹣3﹣7＝﹣10．故答案为：﹣10．【点评】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．29．（2022春•闵行区校级期中）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分，则3a﹣b+c的平方根为±4．【分析】根据立方根，算术平方根的定义求出a，b的值，估算无理数的大小得到c的值，代入代数式求值，最后求平方根即可．【解答】解：∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，∴5a+2＝33＝27，3a+b﹣1＝42＝16，∴a＝5，b＝2，∵9＜13＜16，∴3＜＜4，∴c＝3，∴3a﹣b+c＝3×5﹣2+3＝15﹣2+3＝16，∴16的平方根为±4．故答案为：±4．【点评】本题考查了平方根，估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键，注意一个正数的平方根有2个，不要漏解．30．（2022春•杨浦区校级期中）已知n＜＜n+1，那么整数n＝3．【分析】估算无理数的大小即可得出答案．【解答】解：∵9＜12＜16，∴3＜＜4，∴n＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．一十二．分数指数幂（共6小题）31．（2022春•松江区校级期中）（﹣9）2的四次方根是±3．【分析】根据四次方根的定义即可求出答案．【解答】解：由于（﹣9）2＝81，∴81的四次方根是±3，故答案为：±3．【点评】本题考查四次方根，解题的关键是熟练运用四次方根的定义，本题属于基础题型．32．（2022春•闵行区校级期中）计算：×＝35．【分析】根据分数指数幂的意义即可求出答案．【解答】解：原式＝5×7＝35，故答案为：35．【点评】本题考查分数指数幂的意义，解题的关键是熟练运用分数指数幂的意义，本题属于基础题型．33．（2022春•杨浦区校级期中）把写成底数是整数的幂的形式是．【分析】利用分数指数幂的法则，进行计算即可解答．【解答】解：＝＝＝，∴把写成底数是整数的幂的形式是，故答案为：．【点评】本题考查了分数指数幂，熟练掌握分数指数幂的法则是解题的关键．34．（2022春•闵行区校级月考）计算：．【分析】根据分数指数幂的运算法则，二次根式的运算法则，负整数指数幂的运算法则计算即可．【解答】解：原式＝﹣3×÷+﹣1＝﹣3+﹣1＝4﹣2﹣1＝3﹣2．【点评】本题考查了分数指数幂，二次根式，负整数指数幂，掌握分数指数幂的运算法则，二次根式的运算法则，负整数指数幂的运算法则是关键．35．（2022春•闵行区校级期末）利用幂的性质计算（写出计算过程）：．【分析】直接利用分数指数幂的性质将原式变形进而计算得出答案．【解答】解：原式＝×＝×＝×＝50＝1．【点评】此题主要考查了分数指数幂的性质，正确将原式变形是解题关键．36．（2022春•闵行区校级期末）利用幂的性质计算：．【分析】先转换成底数相同的幂，再利用同底数幂乘法与除法（底数不变，指数相加减）解决此题．【解答】解：＝＝＝＝＝32＝9．【点评】本题主要考查n次方根，即＝（其中n为正整数且a为正实数）、同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法、n次方根的定义是解决本题的关键．巩固提升巩固提升一、单选题1．（2021春·上海浦东新·七年级校联考期末）16的平方根是（

）A．8 B．4 C． D．【答案】D【分析】根据平方根可直接进行求解．【详解】解：∵，∴16的平方根是；故选D．【点睛】本题主要考查平方根，熟练掌握求一个数的平方根是解题的关键．2．（2023春·七年级单元测试）在数字，3.33，，，0，，，2.121121112…（相邻两个2之间1的个数逐次多1）中，无理数的个数是（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】根据无理数的定义逐个判断即可．无限不循环小数叫无理数，常见形式有：①开方开不尽的数，如等；②无限不循环小数，如0.101001000…等；③含π的基本都是无理数．【详解】解：无理数有：，，2.121121112…（相邻两个2之间1的个数逐次多1），共3个，故选：B．【点睛】本题考查了无理数的定义，熟记定义是解题的关键．3．（2023春·七年级单元测试）下列说法正确的是（

）A．一个数的倒数等于它本身，则这个数是，0B．一个数的相反数等于它本身，则这个数一定是0，1C．一个数的绝对值等于它本身，则这个数一定是正数D．一个数的平方等于1，则这个数是【答案】D【分析】根据倒数、相反数、绝对值、平方定义逐个判断即可得到答案．【详解】解：0没有倒数，故选项A错误；1的相反数是，故选项B错误；0的绝对值也是0，故选项C错误；，故选项D正确；故选D．【点睛】本题考查倒数、相反数、绝对值、平方定义，解题关键是知道几个定义的一些特殊值．4．（2023春·上海·七年级专题练习）下列计算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据立方根及n次方根可进行求解．【详解】解：A、由可得，故原计算错误；B、由，可知，故原计算错误；C、由可得，故原计算正确；D、，故原计算错误；故选：C．【点睛】本题主要考查立方根及n次方根，正确计算是解题的关键．5．（2022春·上海闵行·七年级上海市实验学校西校校考阶段练习）下列各数中是无理数的是（

）A． B． C． D．0.20200200020．【答案】A【分析】根据无理数的定义进行判断即可．【详解】解：、、0.20200200020是有理数，是无理数．故选：A．【点睛】本题主要考查了无理数的定义，解题的关键是熟练掌握无理数的定义，无限不循环小数是无理数．6．（2023春·七年级单元测试）如图，数轴上有A，B，C，D四点，则所表示的数与最接近的是（

）A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】D【分析】根据二次根式的性质和无理数的估算方法求出的范围即可得到答案．【详解】解：由题意可得，∵，∴，∴，∴D点离得近一些，故选D．【点睛】本题考查实数在数轴上的位置及无理数的估算，解题的关键是根据根式的性质求出其取值范围．7．（2022春·上海宝山·七年级校考阶段练习）下列等式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平方根与立方根的定义，逐个计算得结论．【详解】解：A、，故选项错误，不符合题意；B、，故选项错误，不符合题意；C、，故选项错误，不符合题意；D、，故选项正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的性质与化简，掌握平方根和立方根的定义解决本题的关键．二、填空题8．（2023春·七年级单元测试）把写成幂的形式是_____．【答案】【分析】利用公式换算即可．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题主要考查分数指数幂的计算公式，熟练运用公式是解题关键．9．（2023春·七年级单元测试）4的平方根是______；算术平方根是______；是______的立方根．【答案】

2

【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的计算方法计算即可；【详解】解：4的平方根：，算术平方根：；∵，∴是的立方根，故答案是：，2，．【点睛】本题主要考查了平方根、算术平方根和立方根的求解，准确计算是解题的关键．10．（2023春·七年级单元测试）如图，实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为_______．【答案】【分析】根据数轴确定的取值范围，再进行化简即可．【详解】解：由图可知：，∴；故答案为：．【点睛】本题考查二次根式和绝对值的化简．根据数轴确定的取值范围，是解决本题的关键．11．（2023春·七年级单元测试）已知，且，则________．【答案】1或##或1【分析】利用绝对值的定义求出，利用平方根的定义求出，利用立方根的定义求出．再根据，得到异号，最后分类讨论代入求值即可．【详解】解：∵，∴．∵，∴．∵，∴．当时，，∴；当时，，∴．综上可知或．故答案为：1或．【点睛】本题考查代数式求值、绝对值的定义、平方根的定义、立方根的定义．正确求出a，b，c的值，并利用分类讨论的思想是解答本题的关键．12．（2021春·上海崇明·七年级统考期末）如果，那么_____．【答案】##﹣0.5【分析】根据条件可求出x与y的值，然后代入原式即可求出答案．【详解】解：∵，∴，，∴，，∴；故答案为：【点睛】本题考查非负数的性质、解题的关键是正确求出x与y的值，本题属于基础题型．三、解答题13．（2023春·七年级单元测试）将下列各数的序号填在相应的集合里．①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧．整数集合：；分数集合：；负数集合：；有理数集合：；无理数集合：．【答案】故答案为：，，，，【分析】根据实数的分类解答即可．【详解】解：整数集合：；分数集合：；负数集合：；有理数集合：；无理数集合：．故答案为：，，，，．【点睛】此题考查实数，关键是根据实数的分类解答．14．（2023春·七年级单元测试）计算：．【答案】【分析】根据幂的乘方，零指数幂，负整数指数幂及数的乘方，开方法则分别计算出各数，再根据有理数的加减法则进行计算即可．【详解】解：．【点睛】本题考查分数指数幂，零指数幂，负整数指数幂及数的乘方，开方法则．熟知分数指数幂的运算法则是解题的关键．15．（2023春·七年级单元测试）用的运算性质计算：（结果表示为含幂的形式）【答案】【分析】根据分数指数幂的运算法则、积的乘方法则计算即可．【详解】解：=．【点睛】本题考查分数指数幂，解题的关键是掌握分数指数幂的运算法则．16．（2023春·七年级单元测试）计算：．【答案】【分析】先根据零指数幂，二次根式的乘法，分数指数幂的意义，同底数幂的乘法法则计算，再算乘法，后算加减即可．【详解】解：原式【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握根据零指数幂，二次根式的乘法，分数指数幂的意义，同底数幂的乘法法则是解答本题的关键．17．（2022春·上海闵行·七年级上海市七宝中学校考期中）计算：【答案】【分析】根据分数指数幂，零次幂，负整数次幂的运算法则计算即可．【详解】解：．【点睛】本题考查分数指数幂，零次幂，负整数次幂的运算法则，解题的关键是掌握分数指数幂，零次幂，负整数次幂的运算法则能够正确计算．18．（2022春·上海·七年级专题练习）计算：﹣＋÷|0.77﹣1|．【答案】【分析】根据算术平方根和立方根的定义计算求值即可；【详解】解：原式＝﹣3﹣+（7﹣0.1）÷（1﹣0.77），＝﹣3﹣+6.9÷0.23，＝﹣3﹣+30，＝26；【点睛】此题主要考查了算术平方根以及立方根的计算、绝对值的化简等知识，掌握相关运算法则是解题关键．19．（2022秋·上海·七年级期末）如果正整数x能够写成两个正整数a与b的和与它们的乘积之和，即x＝a＋b＋ab，那么x叫做“和谐数”，其中a＋b＋ab叫做x的“表达式”．例如，因为5＝1＋2＋1×2，24＝4＋4＋4×4，所以5与24都是“和谐数”．(1)3与20都是“和谐数”，请分别写出它们的“表达式”：3＝

20＝(2)如果正偶数y是两位数且y是“和谐数”，那么y的最小值是；(3)在小于20的正整数中，“和谐数”共有个；(4)如果“和谐数”x＝a＋b＋ab，其中a＝n2，b＝（n＋1）2，n是正整数，请说明“和谐数”x是一个完全平方数．【答案】(1)3＝1＋1＋1×1；20＝2＋6＋2×6(2)14(3)11(4)见解析【分析】（1）根据“和谐数”的定义直接写出3和20的表达式即可；（2）由y是正偶数知，a与b都是偶数，从最小的非零偶数开始试即可得出结果；（3）设正整数m为“和谐数”，令a≤b，当a＝1时，根据m＜20，求出b的值进而求出“和谐数”，同理求出a＝2时，a＝3时，a＝4时求出“和谐数”，排除重复的“和谐数”，即为所求．（4）因正整数x是“和谐数”，x＝n2+（n+1）2+n2（n+1）2，整理后可得x＝[n2+（n+1）]2，即可证明x是一个完全平方数．(1)3＝1＋1＋1×1；20＝2＋6＋2×6；故答案为：1＋1＋1×1；2＋6＋2×6；(2)因为y是正偶数且为两位数，所以a、b都是偶数，令a和b取最小的正偶数，即a＝2，b＝2，得2＋2＋2×2＝8，不符合题意，舍去；再令a＝2，b＝4，得2＋4＋2×4＝14，符合题意；故y最小值为14，故答案为：14；(3)设正整数m为“和谐数”，令a＝1且b＝x时，则m＝1＋x＋1•x＝2x＋1＜20，得x＜9.5，故x可取1、2、3、4、5、6、7、8、9，解得m＝3、5、7、9、11、13、15、17、19共9个；令a＝2且b＝x（不等于1），则m＝2＋x＋2x＝3x＋2＜20，得x＜6，故x取2、3、4、5，故得m＝8、11、14、17，其中不与a＝1时重复的有两个；当a＝3且b＝x（不等于1且不等于2），则m＝3＋x＋3x＝4x＋3＜20，得x＜4.25，故x可取3或4，得m＝15、19，与上述不重复的有0个；令a＝4且b＝x（x不等于1且不等于2且不等于3），m＝5x＋4＜20，得x＜3.2，此时x无解；综上所述：“和谐数”共9＋2＝11个，故答案为：11；(4)＝＝＝＝＝，故此时“和谐数”x是一个完全平方数．【点睛】本题主要考查对新定义的理解，以及完全平方数的知识，正确理解“和谐数”的定义及熟练掌握完全平方公式是解题的关键．20．（2022春·上海·七年级专题练习）阅读材料，完成下列问题：材料一：若一个四位正整数（各个数位均不为0），千位和十位数字相同，百位和个位数字相同，则称该数为成对数，，例如5353、3535都是成对数材料二：将一位四位正整数m的百位和十位交换位置后得到四位数n，F（m）