黄金卷01-【赢在中考黄金八卷】备战2023年中考数学全真模拟卷(原卷版+解析)(广东专用)

【赢在中考黄金八卷】备战2023年中考数学全真模拟卷（广东专用）第一模拟（本卷满分120分，考试时间为90分钟）一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项中只有一个选项是最符合题意的）1．2020的相反数是（）A． B．- C．-2020 D．±20202．据报道，中国医学研究人员通过研究获得了纯化灭活新冠病毒疫苗，该疫苗在低温电镜下呈椭圆形颗粒，最小直径约为90nm，已知1nm＝10﹣9m，则90nm用科学记数法表示为（

）A．0.09×10﹣6m B．0.9×10﹣7m C．9×10﹣8m D．90×10﹣9m3．如右图是某个几何体的三视图，该几何体为（

）A．长方体 B．四面体 C．圆柱体 D．四棱锥4．下列运算正确的是（）A．a2+a3=a5 B．a2•a3=a6 C．（a2b3）3=a5b6 D．（a2）3=a65．如图，AC与BD相交于点O，且，，则下列结论错误的是A． B． C． D．6．对一批校服进行抽查，统计合格校服的套数，得到合格校服的频率频数表如下：抽取件数501001502005008001000合格频数3080120140445720900合格频率0.60.80.80.70.890.90.9估计出售1200套校服，其中合格校服大约有（

）A．1080套 B．960套 C．840套 D．720套8．已知函数，，的图象交于一点，则值为（

）．A． B． C． D．8．如图，将长方形纸片ABCD，沿折痕MN折叠，B分别落在A1，B1的位置，A1B1交AD于点E，若∠BNM＝65°，以下结论：①∠B1NC＝50°；②∠A1ME＝50°；③A1M∥B1N；④∠DEB1＝40°．正确的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．如图，某社会实践学习小组为测量学校与河对岸江景房之间的距离，在学校附近选一点，利用测量仪器测得，，AC=300米．由此可求得学校与江景房之间的距离等于

A．150米 B．600米 C．800米 D．1200米10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：其中正确的有（）①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，A．5个 B．4个 C．3个 D．2个第II卷（非选择题）填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．函数中，自变量的取值范围是_____．12．在创建“平安校园”活动中，鄂州市某中学组织学生干部在校门口值日，其中五位同学月份值日的次数分别是，，，，已知这组数据的平均数是，则这组数据的中位数是________．13．如图，已知AB∥CD∥EF，FC平分∠AFE，∠C＝25°，则∠A的度数是_____．14．如图，在矩形ABCD中，，，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交BD，BC于M，N两点；再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交CD于点F；再以B为圆心，BD的长为半径画弧，交射线BP于点E，则EF的长为______．15．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的BC边落在y轴上，其它部分均在第二象限，双曲线过点A，延长对角线CA交x轴于点E，以从AD、AE为边作平行四边形AEFD，若平行四边形AEFD的面积为2，则k的值为_____．16．如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置，已知△ABC的面积为18，阴影部分三角形的面积为8，若AA′=1，则A′D的值为______．17．如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形.（1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形，其中顶点位于轴上，顶点，位于轴上，为坐标原点，则的值为____.（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点，摆放第三个“7”字图形得顶点，依此类推，…，摆放第个“7”字图形得顶点，…，则顶点的坐标为_____.三、解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）18．先化简再求值：，其中x取﹣1、+1、﹣2、﹣3中你认为合理的数．19．某校为了组织一项球类对抗赛，在本校随机调查了若干名学生，对他们每人最喜欢的一项球类运动进行了统计，并绘制成如图①、②所示的条形和扇形统计图．根据统计图中的信息，解答下列问题：（1）求本次被调查的学生人数，并补全条形统计图；（2）若全校有1500名学生，请你估计该校最喜欢篮球运动的学生人数；（3）根据调查结果，请你为学校即将组织的一项球类对抗赛提出一条合理化建议．20．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.若D为AC的中点，求证：DE是⊙O的切线．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）21．已知点，是反比例函数图象上两点．（1）若点A，B关于原点中心对称，求的值（则用含k的代数式表示）．（2）设，，若，求a的取值范围．22．某玩具店购进一批甲、乙两款乐高积木，它们的进货单价之和是720元．甲款积木零售单价比进货单价多80元．乙款积木零售价比进货单价的1.5倍少120元，按零售单价购买甲款积木4盒和乙款积木2盒，共需要2640元．（1）分别求出甲乙两款积木的进价．（2）该玩具店平均一个星期卖出甲款积木40盒和乙款积木24盒，经调查发现，甲款积木零售单价每降低2元，平均一个星期可多售出甲款积木4盒，商店决定把甲款积木的零售价下降元，乙款积木的零售价和销量都不变．在不考虑其他因素的条件下，为了顾客能获取更多的优惠，当为多少时，玩具店一个星期销售甲、乙两款积木获取的总利润恰为5760元．23．关于三角函数有如下的公式：①cos(α+β)＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；②sin(α+β)＝sinαcosβ+cosαsinβ；③；利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如．根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：(1)求，cos75°的值；(2)如图，直升机在一建筑物CD上方的点Α处测得建筑物顶端点D的俯角α为60°，底端点C的俯角为75°，此时直升机与建筑物CD的水平距离BC为30m求建筑物CD的高．五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）24．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在△ABC的外部作∠ACM，使得∠ACM=∠ABC，点D是直线BC上的动点，过点D作直线CM的垂线，垂足为E，交直线AC于F．（1）如图1所示，当点D与点B重合时，延长BA，CM交点N，证明：DF=2EC；（2）当点D在直线BC上运动时，DF和EC是否始终保持上述数量关系呢？请你在图2中画出点D运动到CB延长线上某一点时的图形，并证明此时DF与EC的数量关系．25．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．【赢在中考黄金八卷】备战2023年中考数学全真模拟卷（广东专用）第一模拟（本卷满分120分，考试时间为90分钟）一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项中只有一个选项是最符合题意的）1．2020的相反数是（）A． B．- C．-2020 D．±2020【答案】C【分析】根据“相反数”可知，本题考察相反数的定义，根据相反数的定义进行求解．【详解】绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数，所以2020的相反数为-2020．故选C．

2．据报道，中国医学研究人员通过研究获得了纯化灭活新冠病毒疫苗，该疫苗在低温电镜下呈椭圆形颗粒，最小直径约为90nm，已知1nm＝10﹣9m，则90nm用科学记数法表示为（

）A．0.09×10﹣6m B．0.9×10﹣7m C．9×10﹣8m D．90×10﹣9m【答案】C【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：90nm=90×10-9m=9×10-8m．故选：C．【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．3．如右图是某个几何体的三视图，该几何体为（

）A．长方体 B．四面体 C．圆柱体 D．四棱锥【答案】A【详解】试题分析：根据几何体的三视图，可由主视图、左视图、俯视图可知这个几何体为长方体.故选A.4．下列运算正确的是（）A．a2+a3=a5 B．a2•a3=a6 C．（a2b3）3=a5b6 D．（a2）3=a6【答案】D【详解】解：A、a2与a3不是同类项不能合并，故本选项错误；B、应为a2•a3=a5，故本选项错误；C、应为（a2b3）3=a6b9，故本选项错误；D、（a2）3=a6，正确；故选D．5．如图，AC与BD相交于点O，且，，则下列结论错误的是A． B． C． D．【答案】D【分析】由SAS证明△AOB≌△COD，得出AB=CD，∠A=∠C，OA=OC，再由内错角相等，即可得出AB∥CD，即可判断.【详解】在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（SAS）∴AB=CD，∠A=∠C，OA=OC，∴AB∥CD．故答案为：D.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定方法；熟练掌握全等三角形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．6．对一批校服进行抽查，统计合格校服的套数，得到合格校服的频率频数表如下：抽取件数501001502005008001000合格频数3080120140445720900合格频率0.60.80.80.70.890.90.9估计出售1200套校服，其中合格校服大约有（

）A．1080套 B．960套 C．840套 D．720套【答案】A【分析】根据表格中数据估计合格校服的概率约为0.9，再根据概率公式计算即可．【详解】解：根据表格数据可估计合格校服的概率约为0.9，∴估计出售1200套校服，其中合格校服大约有1200×0.9=1080（套），故选：A．【点睛】本题考查频率估计概率、样本估计总体，根据表格数据估计出合格校服的概率是解答的关键．7．已知函数，，的图象交于一点，则值为（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】解得将代入，，．故选．8．如图，将长方形纸片ABCD，沿折痕MN折叠，B分别落在A1，B1的位置，A1B1交AD于点E，若∠BNM＝65°，以下结论：①∠B1NC＝50°；②∠A1ME＝50°；③A1M∥B1N；④∠DEB1＝40°．正确的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】由折叠的性质可得∠B1NM=∠BNM＝65°，再根据平角的定义可得∠B1NC，故可判断①；根据平行线的性质可得∠AMN＝115°，由折叠得∠A1MN＝115°，依据∠AMN+∠A1MN-180°=50°可判断②；由∠B1NM+∠A1MN=180°可判断③；根据直角三角形的两个锐角互余可得④．【详解】解：在长方形纸片ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，∴∠BNM+∠AMN=180°，∵∠BNM＝65°，∴∠AMN＝115°，由折叠的性质可得：∠B1NM=∠BNM＝65°，∠AMN＝∠A1MN＝115°，∵∠BNM+∠B1NM+∠B1NC=180°，∴∠B1NC＝50°；故①正确；∵∠AMN＝∠A1MN＝115°，∴∠A1ME＝∠AMN+∠A1MN-180°=50°，故②正确；∵∠A1MN＝115°，∠B1NM＝65°，∴∠B1NM+∠A1MN=180°，∴A1M∥B1N，故③正确；∵∠A1=∠A=90°，∴∠A1ME+∠A1EM=90°，∵∠A1ME=50°，∴∠DEB1=∠A1EM＝40°，故④正确；故选D．【点睛】本题主要考查折叠的性质、平行线的性质与判定及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握折叠的性质、平行线的性质与判定及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．9．如图，某社会实践学习小组为测量学校与河对岸江景房之间的距离，在学校附近选一点，利用测量仪器测得，，AC=300米．由此可求得学校与江景房之间的距离等于

A．150米 B．600米 C．800米 D．1200米【答案】B【分析】由，，先求解可得从而可得答案.【详解】解：，，而AC=300米，（米），故选B【点睛】本题考查的是含的直角三角形的性质，掌握“所对的直角边是斜边的一半”是解本题的关键.10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：其中正确的有（）①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】C【分析】根据二次函数的图象与性质，结合图象分别得出a，c，以及b2﹣4ac的符号进而求出答案．【详解】①由图象可知：a＞0，c＜0，∴ac＜0，故①错误；②由于对称轴可知：﹣＜1，∴2a+b＞0，故②正确；③由于抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，故③正确；④由图象可知：x＝1时，y＝a+b+c＜0，故④正确；⑤由图象可得，当x＞﹣时，y随着x的增大而增大，故⑤错误；故正确的有3个．故选：C．【点睛】此题考查二次函数的一般式y＝ax2+bx+c的性质，熟记各字母对函数图象的决定意义是解题的关键.第II卷（非选择题）填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．函数中，自变量的取值范围是_____．【答案】【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．【详解】解：由题意得，，解得故答案为【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．12．在创建“平安校园”活动中，鄂州市某中学组织学生干部在校门口值日，其中五位同学月份值日的次数分别是，，，，已知这组数据的平均数是，则这组数据的中位数是________．【答案】5【分析】先根据平均数的定义计算出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数．【详解】】解：∵某班五个兴趣小组的人数分别为4，5，4，x，6，已知这组数据的平均数是5，∴x=5×5-4-5-4-6=6，∴这一组数从小到大排列为：4，4，5，6，6，∴这组数据的中位数是5．故答案为：5．【点睛】本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．也考查了平均数的定义．13．如图，已知AB∥CD∥EF，FC平分∠AFE，∠C＝25°，则∠A的度数是_____．【答案】50°【分析】先根据平行线的性质以及角平分线的定义，得到∠AFE的度数，再根据平行线的性质，即可得到∠A的度数．【详解】∵CD∥EF，∠C=∠CFE=25°．∵FC平分∠AFE，∴∠AFE=2∠CFE=50°．又∵AB∥EF，∴∠A=∠AFE=50°．故答案为50°．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．14．如图，在矩形ABCD中，，，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交BD，BC于M，N两点；再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交CD于点F；再以B为圆心，BD的长为半径画弧，交射线BP于点E，则EF的长为______．【答案】或【分析】过F作FG⊥BD于G，由角平分线的性质求得△BDF面积∶△BCF面积=5∶3，再由△BCD面积=△BDF面积+△BCF求得△BCF面积，从而得出FC的长；根据勾股定理求得BF即可解答；【详解】解：由作图步骤可得：BP是∠DBC的角平分线，如图，过F作FG⊥BD于G，由矩形性质可得：∠C=90°，BD=，由角平分线的性质可得：GF=FC，∴△BDF面积=，△BCF面积=，∴△BDF面积∶△BCF面积=5∶3，∵△BCD面积=△BDF面积+△BCF=，∴△BCF面积=9，∴CF=3，∴BF=，∵BE=BD=10，∴FE=BE=BF=，故答案为：；【点睛】本题考查了角平分线的作法和性质，矩形的性质，勾股定理等知识；利用面积关系求CF的长是解题关键．15．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的BC边落在y轴上，其它部分均在第二象限，双曲线过点A，延长对角线CA交x轴于点E，以从AD、AE为边作平行四边形AEFD，若平行四边形AEFD的面积为2，则k的值为_____．【答案】-2【分析】延长CD，EF交于H，延长DA交x轴于G，延长AB交EF于N，根据S四边形ABOG＝S四边形AEFD＝2，求出k.【详解】解：延长CD，EF交于H，延长DA交x轴于G，延长AB交EF于N，则△DHF≌△AGE≌△AEN，∴S四边形ABOE＝S四边形ADHE，∴S四边形ABOG＝S四边形AEFD＝2，∵双曲线y＝过点A，∴k＝﹣2．故答案为﹣2．【点睛】考核知识点：反比例函数与结合应用.16．如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置，已知△ABC的面积为18，阴影部分三角形的面积为8，若AA′=1，则A′D的值为______．【答案】2【分析】由S△ABC=18、S△A′EF=8且AD为BC边的中线知S△A′DE=S△A′EF=4，S△ABD=S△ABC=9，根据△DA′E∽△DAB知()2=，据此求解可得．【详解】解：如图，∵S△ABC=18、S△A′EF=8，且AD为BC边的中线，∴S△A′DE=S△A′EF=4，S△ABD=S△ABC=9，∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，∴A′E∥AB，∴△DA′E∽△DAB，则()2=，即()2=，解得A′D=2（负值舍去），故答案为：2．【点睛】本题主要平移的性质，三角形中线的性质，以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．17．如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形.（1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形，其中顶点位于轴上，顶点，位于轴上，为坐标原点，则的值为____.（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点，摆放第三个“7”字图形得顶点，依此类推，…，摆放第个“7”字图形得顶点，…，则顶点的坐标为_____.【答案】

（1）；

（2）【分析】（1）根据题意可得，，由同角的余角相等得，根据相似三角形判定得，由相似三角形性质即可求得答案.（2）根据题意标好字母，根据题意可得，，，，，在Rt△DCB中，由勾股定理求得，由（1）知，从而可得，，，结合题意易得：，根据相似三角形性质可得，，，，，从而可得，，观察这两点坐标知由点到点横坐标增加了，纵坐标增加了，依此可得出规律：的坐标为：，将n=2019代入即可求得答案.【详解】（1）依题可得，，，∵，，∴，又∵，∴，∴；（2）根据题意标好字母，如图，依题可得：，，，∴，由（1）知，∴，，易得：，∴，，，，∴，，∴，，∴由点到点横坐标增加了，纵坐标增加了，……∴的坐标为：，∴的坐标为：，故答案为，.【点睛】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．三、解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）18．先化简再求值：，其中x取﹣1、+1、﹣2、﹣3中你认为合理的数．【答案】，当时，原式=2【分析】先把括号内通分后进行同分母的减法运算，再把分子分母因式分解和把除法运算化为乘法运算，然后约分后得到原式=，根据分式有意义的条件，把x=-3代入计算即可．【详解】解：原式====

∵∴当时，原式==2．【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．19．某校为了组织一项球类对抗赛，在本校随机调查了若干名学生，对他们每人最喜欢的一项球类运动进行了统计，并绘制成如图①、②所示的条形和扇形统计图．根据统计图中的信息，解答下列问题：（1）求本次被调查的学生人数，并补全条形统计图；（2）若全校有1500名学生，请你估计该校最喜欢篮球运动的学生人数；（3）根据调查结果，请你为学校即将组织的一项球类对抗赛提出一条合理化建议．【答案】（1）50人，图见解析．（2）390人（3）见解析．【分析】（1）根据条形统计图中提供的用喜欢篮球或足球或乒乓球人数及及扇形图形图中所提供的喜欢这些球类人数所占的百分率，即可求出被调查的总人数；再求分别出喜欢羽毛球的人数、喜欢其他项目的人数即可补全条形统计图．（2）用1500乘喜欢篮球人数据所点的百分率就可估计该校最喜欢篮球运动的学生人数．（3）根据调查结果提出合理、健康、积极的建议即可．【详解】解：（1），本次被调查的人数是50．50×16%=8（人），50×（1-20%-32%-16%-26%）=3（人），即喜欢羽毛球的有8个，喜欢其他项目的有3人，条形统计图补全如下图：（2），该校最喜欢篮球运动的学生约为390人．（3）如“由于最喜欢乒乓球运动的人数最多，因此，学校应组织乒乓球对抗赛”等．（只要根据调查结果提出合理、健康、积极的建议即可给分）【点睛】此题主要考查的是如何绘制条形统计图、观察条形统计图和扇形统计图，并从图中获取信息，然后再进行有关计算．20．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.若D为AC的中点，求证：DE是⊙O的切线．【答案】见解析.【分析】连接AE和OE，根据直径所对的圆周角是直角得到∠AEB=90°，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到DE=AD=CD=AC，根据等边对等角得到∠DEA=∠DAE，∠OAE=∠OEA，得到∠OED=90°，可得DE是⊙O的切线；【详解】解：证明：如图连接AE，OE∵AB是⊙O的直径∴∠AEB=90°∵AC是⊙O的切线∴∠BAC=90°∵在RtΔACE中，D为AC的中点∴DE=AD=CD=AC∴∠DEA=∠DAE∵OA=OE∴∠OAE=∠OEA∴∠DEO=∠DEA+∠OEA=∠DAE+∠OAE=∠BAC=90°∴OE⊥DE∵OE为半径∴DE是⊙O的切线【点睛】考查切线的判定，掌握圆周角定理，直角三角形的性质以及切线的判定定理是解题的关键.四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）21．已知点，是反比例函数图象上两点．（1）若点A，B关于原点中心对称，求的值（则用含k的代数式表示）．（2）设，，若，求a的取值范围．【答案】（1）；（2）时，；当时，或【分析】（1）利用关于原点中心对称的点的坐标特征得到，，则，然后利用反比例函数图像上点的坐标得到，从而得到的值；（2）分类讨论：当时，点A、B在不同象限，则；当时，点A、B在相同象限，则或，然后分别解不等式即可．【详解】解：(1)∵点A，B在反比例函数的图象上，且关于原点中心对称，∴，，∴，∵是反比例函数图象上，∴，∴．(2)当时，∵，，，∴，解得；当时，∵，，，∴或，解得或，综上所述，时，；当时，或．【点睛】本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数的性质．22．某玩具店购进一批甲、乙两款乐高积木，它们的进货单价之和是720元．甲款积木零售单价比进货单价多80元．乙款积木零售价比进货单价的1.5倍少120元，按零售单价购买甲款积木4盒和乙款积木2盒，共需要2640元．（1）分别求出甲乙两款积木的进价．（2）该玩具店平均一个星期卖出甲款积木40盒和乙款积木24盒，经调查发现，甲款积木零售单价每降低2元，平均一个星期可多售出甲款积木4盒，商店决定把甲款积木的零售价下降元，乙款积木的零售价和销量都不变．在不考虑其他因素的条件下，为了顾客能获取更多的优惠，当为多少时，玩具店一个星期销售甲、乙两款积木获取的总利润恰为5760元．【答案】（1）（1）甲款每盒400元，乙款每盒320元；（2）40．【分析】（1）设甲款积木的进价为每盒元，乙款积木的进价为每盒元，列出二元一次方程组计算即可；（2）根据题意得出，计算即可；【详解】（1）设甲款积木的进价为每盒元，乙款积木的进价为每盒元，则，解得：．答：甲款积木的进价为每盒400元，乙款积木的进价为每盒320元．（2）由题可得：，解得，，因为顾客能获取更多的优惠，所以．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，结合二元一次方程组求解计算是解题的关键．23．关于三角函数有如下的公式：①cos(α+β)＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；②sin(α+β)＝sinαcosβ+cosαsinβ；③；利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如．根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：(1)求，cos75°的值；(2)如图，直升机在一建筑物CD上方的点Α处测得建筑物顶端点D的俯角α为60°，底端点C的俯角为75°，此时直升机与建筑物CD的水平距离BC为30m求建筑物CD的高．【答案】(1)；(2)建筑物CD的高为60米【分析】(1)根据所给的公式进行运算，即可分别求得；(2)过点D作DE⊥ΑB于点E，可求得BC＝ED＝30，再根据∠ΑDE＝α＝60°，∠ΑCB＝β＝75°，即可求得．（1）解：；；（2）解：如图，过点D作DE⊥ΑB于点E，则∠ΑED＝∠BED＝90°，∵∠EBC＝∠BED＝∠BCD＝90°，∴四边形BCDE是矩形，∴BC＝ED＝30，由平行得∠ΑDE＝α＝60°，∠ΑCB＝β＝75°，在Rt△ΑBC中，，∴(米)，在Rt△ΑED中，，∴（米），∴CD＝BE＝ΑB﹣ΑE＝60（米）．答：建筑物CD的高为60米．【点睛】本题考查了三角函数公式的应用，解直角三角形的应用，灵活运用三角函数的定义和公式是解决本题的关键．五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）24．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在△ABC的外部作∠ACM，使得∠ACM=∠ABC，点D是直线BC上的动点，过点D作直线CM的垂线，垂足为E，交直线AC于F．（1）如图1所示，当点D与点B重合时，延长BA，CM交点N，证明：DF=2EC；（2）当点D在直线BC上运动时，DF和EC是否始终保持上述数量关系呢？请你在图2中画出点D运动到CB延长线上某一点时的图形，并证明此时DF与EC的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）DF=2CE【详解】试题分析：（1）延长BA，CM交点N，先证明BC=BN，得出CN=2CE，再证明△BAF≌△CAN，得出对应边相等BF=CN，即可得出结论；（2）作∠PDE=22.5，交CE的延长线于P点，交CA的延长线于N，先证明PD=CD，得出PC=2CE，再证明△DNF≌△PNC，得出对应边相等DF=PC，即可得出结论．解：（1）如图（1），延长BA，CM交点N，∵∠A=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵∠ACM=∠ABC=22.5°，∴∠BCM=67.5°，∴∠BNC