专题12.6正比例函数的图象和性质（拓展提高）

专题12.6正比例函数的图象和性质（拓展提高）一、单选题1．正比例函数的图象经过点，则它一定经过（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先将(2，1)代入正比例函数解析式中，解出k的值，得到正比例函数的解析式，再进行判断即可；【详解】∵经过(2，1)，∴将(2，1)代入中，得：，∴，∴函数解析式为：．∴点(2，1)在函数的图象上，故选：D．【点睛】本题考查了正比例函数的性质以及求解析式，正确掌握知识点是解题的关键；2．若正比例函数y＝（m﹣2）x的图象经过点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（）A．m＞0 B．m＜0 C．m＞2 D．m＜2【答案】D【分析】根据正比例函数的大小变化规律判断k的符号．【详解】解：根据题意，知：y随x的增大而减小，则k＜0，即m﹣2＜0，m＜2．故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的性质：当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．3．下列表示一次函数与正比例函数（m、n为常数，且mn≠0）图象中，一定不正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据一次函数与正比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．【详解】A、由一次函数的图象可知，m<0，n>0，故n<0，mn>0;由正比例数的图象可mn<0，故本选项错误;B、由一次函数的图象可知，m<0，n>0，故n<0，mn>0;由正比例数的图象可知mn>0，两结论一致，故项正确;C、由一次函数的图象可知，m>0，n>0，故n<0，mn<0;由正比例数的图象可知mn<0，两结论一致，故本选项正确;D、由一次函数的图象可知，m>0，n<0故n>0．mn>0;由正比例函数的图象可知mn>0，两论一致，本选项正确。故选：A【点睛】本题考查一次函数、正比例函数的图像性质，熟练掌握一次函数的图像性质是关键4．在平面直角坐标系中，若一个正比例函数的图象经过A（m，2），点B（5，n）两点，则m，n一定满足的关系式为（）A．m﹣n＝3 B． C． D．mn＝10【答案】D【分析】设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0），再把A、B点的坐标代入得到mk＝2，5k＝n，然后消去k得到m、n的关系式．【详解】解：设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0），把A（m，2），点B（5，n）代入得mk＝2，5k＝n，可得，，代入mk＝2得，m•＝2，所以mn＝10．故选：D．【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式：先设出正比例函数的解析式为y＝kx，然后把一组对应值代入求出k即可．5．路程，速度，时间三者之间的关系式为，当其中一个量是常量时，另外两个变量的函数图象不可能是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】分s，v，t是常量，确定函数的属性，根据属性判断图像即可【详解】当v是常量时，s是t的正比例函数，A是可能的，不符合题意；当t是常量时，s是v的正比例函数，B是可能的，不符合题意；当t是常量时，v是s的正比例函数，D是不可能的，符合题意；故选D．【点睛】本题考查了反比例函数的图像，正比例函数的图像，熟练掌握各类函数的根本属性是解题的关键．6．如图是某蓄水池的横断面的示意图，分深水区和浅水区，如果向这个蓄水池中以固定的水流量（单位时间注水的体积）注水（注满水后停止注水），那么下列图中能大致表示水的深度h与注水时间t之间关系的图象的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知条件及注水深度h与水体积之间的关系求解．【详解】解：∵在底面积不变的情况下，水的深度h与注水时间t之间是成正比例的，∴在底面积不变的情况下，水的深度h与注水时间t之间是一次函数关系，∴在底面积不变的情况下，水的深度h与注水时间t之间的图象是射线或线段，∵深水区的底面积小于整个水池的底面积，∴第一根线比第二根线要陡，并且两根线不会与坐标轴平行，∴C图象是正确的，其他都是错误的，故选C．【点睛】本题考查函数图象的应用，熟练掌握一次函数的定义式及图象特征是解题关键．二、填空题7．正比例函数的图象经过第______象限．【答案】二、四【分析】由题目可知，该正比例函数过原点，且系数为负，故函数图象过二、四象限．【详解】由题意，y＝2x，可知函数过二、四象限．故答案为：二、四【点睛】一次函数的图象与坐标系的位置关系，要求学生可根据函数式判断出函数图象的位置．8．如果正比例函数的图像经过点（2，4）和（，－3），那么的值等于__________．【答案】．【分析】正比例函数的一般形式为y=kx，正比例函数的图象经过点（2，4）和（a，3），那么相关点纵坐标与横坐标的比相等，列式求值即可．【详解】解：设y=kx，

∵正比例函数的图象经过点（2，4）和（a，3），

∴k==，

解得：a=．

故答案为：．【点睛】一次函数图象上点的坐标特征，用到的知识点为：正比例函数上的点的纵坐标与横坐标的比为正比例函数的比例系数．9．如果函数（为常数）的图像经过点（－1，－2），那么随着的增大而_______．【答案】增大．【分析】根据题意知此函数为正比例函数，则根据坐标点知道此函数过一三象限，得出y随着x的增大而增大．【详解】正比例函数的性质∶当时，正比例函数自变量的值逐渐增大时，的值也随着逐渐增大；当时，正比例函数自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐减小．根据题意代入点（－1，－2），得：，∴y随着x的增大而增大．【点睛】此题考查正比例函数的图像的性质：当k>0时，正比例函数自变量x的值逐渐增大时，y的值也随着逐渐增大；当k<0时，正比例函数自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐减小．10．当﹣1≤x≤3时，不等式mx+4＞0始终成立，则m的取值范围是______．【答案】﹣＜m＜4．【分析】根据正比例函数的性质分类讨论即可解答．【详解】令y=mx，由不等式mx+4＞0得到y＞﹣4，即在﹣1≤x≤3内，y＞﹣4恒成立．①当m＞0时，把（﹣1，﹣4）代入y=mx，得﹣4=﹣m，此时m=4，则0＜m＜4．②当m＜0时，把（3，﹣4）代入y=mx，得﹣4=3m，此时m=﹣，则﹣＜m＜0．③当m=0时，得到：4＞0，不等式mx+4＞0始终成立．综上所述：m的取值范围是﹣＜m＜4．故答案为：﹣＜m＜4．【点睛】考查了正比例函数的性质，解题时，需要注意正比例函数的增减性．11．函数的图象经过点，则的值为__________；点_________（填“在”或“不在”）该函数图象上．【答案】不在【分析】函数的图象经过点，将其代入即可得到k的值．把x=2代入求出y的值，看y的值是否等于5即可【详解】解：∵函数的图象经过点，，∴1＝3k，解得：．则k的值为:．∵当x=2时，，∴点不在函数的图象上．故答案为：，不在．【点睛】本题考查的是正比例函数图象上点的坐标特点，熟知正比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．12．已知，在正比例函数的图象上，则___________.（填“”或“”或“”）.【答案】【分析】根据正比例函数的增减性解答.【详解】∵<0，∴y随着x的增大而减小，∵1<2，∴>，故答案为：>.【点睛】此题考查了正比例函数的增减性：当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小，熟练掌握正比例函数的增减性是解此题的关键.13．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，轴，点的坐标为，若直线与正方形有两个公共点，的取值范围是__________.（写出一个即可）【答案】【分析】根据，正比例函数必定经过原点，利用数形结合代入D，B的坐标求出值即可求解．【详解】解：因为ABCD为正方形，A∴B，D若直线经过D时，解得：若直线经过B时，解得：∴若直线与正方形有两个公共点，则的取值范围为故答案为：【点睛】本题主要考查了正比例函数的图形性质，正方形的性质，利用待定系数法和数形结合求出的取值是解题的关键．14．如图，10个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l，将这10个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为_______________【答案】【分析】设直线和十个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，过A作AC⊥OC于C，易知OB=3，利用三角形的面积公式和已知条件求出A的坐标即可得到该直线的解析式．【详解】解：设直线l和10个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，过A作AC⊥OC于C，∵正方形的边长为1,∴OB=3，∵经过原点的一条直线将这10个正方形分成面积相等的两部分，∴两边面积都为分别是5，∴三角形ABO面积是7，∴OB•AB=7，∴AB=，∴OC=AB=，由此可知直线经过，设直线方程为y=kx（k≠0），则3=k，解得k=，∴直线l解析式为．故答案为：．【点睛】此题考查的是用待定系数法求一次函数的解析式，考查了正方形的性质，解题的关键是作AB⊥y轴，作AC⊥x轴，根据题意即得到：直角三角形ABO，利用三角形的面积公式求出AB的长．三、解答题15．已知点（2，﹣4）在正比例函数y＝kx的图象上．（1）求k的值；（2）若点（﹣1，m）也在此函数y＝kx的图象上，试求m的值．【答案】（1）2；（2）2【分析】（1）结合点（2，4）在正比例函数y＝kx的图象上，根据正比例函数的性质，列方程并求解，即可得到答案；（2）根据（1）的结论，得到正比例函数的解析式；结合题意，通过计算即可得到答案．【详解】（1）∵点（2，4）在正比例函数y＝kx的图象上∴4＝2k解得：k＝2；（2）结合（1）的结论得：正比例函数的解析式为y＝2x∵点（1，m）在函数y＝2x的图象上∴当x＝1时，m＝2×（1）＝2．【点睛】本题考查了正比例函数的知识；解题的关键是熟练掌握正比例函数、坐标的性质，从而完成求解．16．如图，一次函数y＝（m﹣3）x﹣m＋1图象分别与x轴正半轴、y轴负半轴相交于点A、B．（1）求m的取值范围；（2）若该一次函数的图象向上平移4个单位长度后可得某正比例函数的图象，试求这个正比例函数的解析式．【答案】（1）m＞3；（2）y＝2x【分析】（1）根据一次函数的图象经过的象限可得m的取值范围；（2）根据图象平移规则“左加右减，上加下减”求得平移后的解析式，然后根据正比例函数的特征求得m值即可解答．【详解】解：（1）如图，一次函数y＝（m﹣3）x﹣m＋1图象经过第一、三、四象限，∴m﹣3＞0，且﹣m+1＜0，解得：m＞3，即m的取值范围为m＞3；（2）将该一次函数的图象向上平移4个单位长度后可得y＝（m﹣3）x﹣m＋5，由题意得：﹣m+5=0，解得：m=5，∴这个正比例函数的解析式为y＝2x．【点睛】本题考查一次函数的图象与系数的关系、一次函数的图象与几何变换，熟练掌握一次函数的图象与性质是解答的关键．17．已知函数，y＝kx（k为常数且k≠0）；（1）当x＝1，y＝2时，则函数解析式为；（2）当函数图象过第一、三象限时，k；（3）k，y随x的增大而减小；（4）如图，在（1）的条件下，点A在图象上，点A的横坐标为1，点B（2，0），求△OAB的面积．【答案】（1）y＝2x；（2）＞0；（3）＜0；（4）2．【分析】（1）将，代入即可求的值，进而确定函数解析式；（2）根据正比例函数的图象特点与的关系，可得；（3）根据正比例函数的图象特点可确定，随的增大而减小时；（4）求出，，则的面积．【详解】解：（1）当，时，，，故答案为；（2）函数图象过第一、三象限，，故答案为；（3）随的增大而减小，函数图象经过第二、四象限，，故答案为；（4），点的横坐标为1，，，，的面积．【点睛】本题考查正比例函数的图象及性质，熟练掌握的取值与函数图象的关系是解题的关键．18．已知一次函数的图象经过点和点（1）求一次函数的表达式；（2）若点在该一次函数图象上，求a的值；（3）已知点在该一次函数图象上，设，判断正比例函数的图象所在的象限，说明理由．【答案】（1）；（2）a的值是－1或－3；（3）在第二、四象限．【分析】（1）把点和点两点坐标分别代入一次函数，进而求得k、b的值，即可求出一次函数的表达式；（2）将点代入一次函数，即可求得a的值；（3）根据点在一次函数图象上，由可得，据此可以判断m的取值，结合正比例函数的性质解答即可．【详解】解：（1）∵一次函数的图象经过点和点，根据题意得：，解得，∴一次函数的表达式为；（2）∵点在一次函数的图象上，∴，解得或，即a的值是－1或－3；（3）正比例函数的图象在第二、四象限．理由：∵点在一次函数图象上，，∴，∴m＜0，∴正比例函数的图象在第二、四象限．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．19．已知：正比例函数y＝kx的图象经过点A，点A在第四象限，过A作AH⊥x垂足为H，点A的横坐标为3，S△AOH＝3．（1）求点A坐标及此正比例函数解析式；（2）在x轴上能否找到一点P使S△AOP＝5，若存在，求点P坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）A（3，2），y＝x；（2）存在，P点坐标为（5，0）或（5，0）【分析】（1）结合题意，得；再结合△AOH的面积为3，通过计算得AH的值以及点A的坐标，将点A坐标代入y＝kx，经计算即可得到答案；（2）设P（t，0），结合S△AOP＝5，列方程并求解，即可得到答案．【详解】（1）如图，∵过A作AH⊥x垂足为H，点A的横坐标为3∴∵△AOH的面积为3∴∴AH＝2∵点A在第四象限∴A（3，2），把A（3，2）代入y＝kx，得3k＝2解得：∴正比例函数解析式为y＝x；（2）设P（t，0），即∵△AOP的面积为5∴∴t＝5或t＝5∴能找到一点P使S△AOP＝5，P点坐标为（5，0）或（5，0）．【点睛】本题考查了绝对值、正比例函数、一元一次方程、坐标的知识；解题的关键是熟练掌握正比例函数、一元一次方程的性质，从而完成求解．20．小融同学根据学习