2024届高考一轮复习物理教案（新教材鲁科版）：带电粒子在电场中的偏转

第4讲带电粒子在电场中的偏转

【目标要求】1.掌握带电粒子在电场中的偏转规律.2会分析带电粒子在电场中偏转的功能关

系.3掌握带电粒子在电场和重力场的复合场中的运动规律.4会分析、计算带电粒子在交变电

场中的偏转问题.

考点一带电粒子在匀强电场中的偏转

■梳理必备知识

带电粒子在匀强电场中偏转的两个分运动

―/—H

V.dCD

m,q小

（1用初速度方向做匀速直线运动，t=/枷图）.

vo

（2用电场力方向做匀加速直线运动

、士心FqEqU

①加速度：a=—=1=七.

mmmd

②离开电场时的偏移量：y=/at2=^；.

③离开电场时的偏转角：tan船.

vomGVo

■提升关键能力

1.两个重要结论

（1环同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，偏移量和偏转

角总是相同的.

证明：在加速电场中有qU0=1mvQ2

在偏转电场偏移量y=|at2=1^^-）2

偏转角0,tan4£=制

得：丫=罚,tan卜哥

y、。均与m、q无关.

（2淞子经电场偏转后射出，速度的反向延长线与初速度延长线的交点O为粒子水平位移的中

点，即O到偏转电场边缘的距离为偏转极板长度的一半.

2.功能关系

当讨论带电粒子的末速度v时也可以从能量的角度进行求解：qUy=|mv2~1mv02,其中Uy

=*,指初、末位置间的电势差.

考向1带电粒子在匀强电场中的偏转

[例1]（2023广东佛山市模拟）如图所示，正方形ABCD区域内存在竖直向上的匀强电场，质

子《H）和a粒子〈He）先后从A点垂直射入匀强电场，粒子重力不计，质子从BC边中点射出,

则（）

A.若初速度相同,a粒子从CD边离开

B.若初速度相同,质子和a粒子经过电场的过程中速度增量之比为1：2

C.若初动能相同,质子和a粒子经过电场的时间相同

D.若初动能相同,质子和a粒子经过电场的过程中动能增量之比为1：4

答案D

解析对任一粒子，设其电荷量为q,质量为m,粒子在电场中做类平抛运动，水平方向有x

11

-qE

-2-一

=vt,竖直万向有y2at2mV法2，若初速度相同，水平位移X相同时，由于a粒子的比

0

荷比质子的小，则a粒子的偏转距离y较小，所以a粒子从BC边离开，由1=已知两个粒子

在电场中的运动时间相等，由Av=at=9M,知则质子和a粒子经过电场的过程中

mm

速度增量之比为2：1,故A、B错误；粒子经过电场的时间为t=至，若初动能相同，质子

,

的初速度较大，则质子的运动时间较短，故C错误；由y=!再工，£=%丫2得丫=第,

2mv02k204Ek

若初动能相同，已知x相同，则yzq,根据动能定理知：经过电场的过程中动能增量AE=

k

qEy,E相同，则施;8q2，则质子和a粒子经过电场的过程中动能增量之比为「4,故D

正确.

【例2】（2020浙江7月选考8）如图所示，一质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子以速度v0从

MN连线上的P点水平向右射入大小为E、方向竖直向下的匀强电场中.已知MN与水平方

向成45。角，粒子的重力可以忽略，则粒子到达MN连线上的某点时（）

M

X

A.所用时间为m亲v

B.速度大小为3v0

,一,“—、，2\/2mv2

C.与P点的距离为Y.Fn

D.速度方向与竖直方向的夹角为30。

答案C

解析粒子在电场中只受电场力，F=qE,方向向下，如图所示.粒子的运动为类平抛运动.水

平方向做匀速直线运动，有x=v0t,竖直方向做初速度为0的匀加速直线运动，有y=,at2=

Y=tan45。，联立解得t=粤，故A错误；

2mxqE

Vy=at=M2£°=2丫0,则速度大小丫=，^^7=0^,tan则速度方向与竖直

4y

方向夹角后30°,故B、D错误；

2mv2与P点的距离,=f=喑£,故c正确•

x—vA——n

oqE

考向2带电粒子在组合场中的运动

【例3】（2023广东湛江市模拟）示波管原理图如图甲所示.它由电子枪、偏转电极和荧光屏组

成，管内抽成真空.如果在偏转电极XX和YY之间都没有加电压，电子束从电子枪射出

后沿直线运动，打在荧光屏中心，产生一个亮斑如图乙所示.若板间电势差和UYY随

时间变化关系图像如丙、丁所示，则荧光屏上的图像可能为（）

答案A

解析U。和U,均为正值，两偏转电极的电场强度方向分别由X指向X，，Y指向Y，,

电子带负电，所受电场力方向与电场强度方向相反，所以分别向X、Y方向偏转，可知A正

确.

【例4】侈选）（2023福建福州市模拟）如图所示是一个示波器工作的原理图，电子经过电压为

5的电场加速后垂直进入偏转电场，离开偏转电场时偏转位移是y,两平行板间的距离为d,

电压为板长为L,每单位电压引起的偏移才叫作示波管的灵敏度，为了提高示波管的灵

敏度.下列方法可行的是（）

A.增大U2B.增大L

C.减小dD.增大UI

答案BC

解析电子在加速电场中运动，根据动能定理有qU]=|mv2，电子在偏转电场中运动时有y

=；at2=/4舄8日联立解得十=考^,增大U2,灵敏度不变，A错误；增大L或者减小d,

灵敏度都增大，B、C正确；增大灵敏度减小，D错误.

考点二带电粒子在重力场和电场复合场中的偏转

【例5】侈选）（2023福建龙岩市第一中学模拟）如图所示，在竖直平面内xOy坐标系中分布着

与水平方向成45。角的匀强电场，将一质量为m、带电荷量为q的小球，以某一初速度从O

1

-

点竖直向上抛出，它的轨迹恰好满足抛物线方程X=kQ,且小球通过点k已知重力

加速度为g,则（）

A.电场强度的大小为詈

B.小球初速度的大小为

C.小球通过点P时的动能为^差

D.小球从O点运动到P点的过程中，电势能减少弹垩

K

答案BC

解析小球做类平抛运动，则电场力与重力的合力沿x轴正方向，可知qE=，^mg,电场强

度的大小为E=F辿，选项A错误；因为FA=mg=ma,所以a=g,由类平抛运动规律有1

q口k

=vt,r=|gt2＞得小球初速度大小为v=、俘，选项B正确；由P点的坐标分析可知％=1,

L,s

0k20\l2kvx2

所以小球通过点P时的动能为4mv2=1m32+v2）=噂，选项C正确；小球从。到P过程

乙/Ox4k

中电势能减少，且减少的电势能等于电场力做的功，即0=4£=芈，选项D错误.

kcos45°k

【例6】（2019全国卷III24）空间存在一方向竖直向下的匀强电场，O、P是电场中的两点.从

O点沿水平方向以不同速度先后发射两个质量均为m的小球A、B.A不带电，B的电荷量为

qG〉0）.A从O点发射时的速度大小为v。，到达P点所用时间为t；B从O点到达P点所用

时间为会.重力加速度为g,求：

⑴电场强度的大小；

（2沿运动到P点时的动能.

答案（2）2n^02+g2t2）

解析（1股电场强度的大小为E,小球B运动的加速度为a.根据牛顿第二定律、运动学公式

和题给条件，有mg+qE=ma①

|a专）2=/gt2②

解得E=若③

（2股B从。点发射时的速度为V],到达P点时的动能为0、P两点的高度差为h,根据

动能定理有mgh+qEh=Ek—④

且有vi⑤

h=1gt2@

__

联立③④⑤⑥式得E^=2m^02lg2t2）.

考点三带电粒子在交变电场中的偏转

1.带电粒子在交变电场中的运动，通常只讨论电压的大小不变、方向做周期性变化加方波）

的情形.

当粒子垂直于交变电场方向射入时，沿初速度方向的分运动为匀速直线运动，沿电场方向的

分运动具有周期性.

2.研究带电粒子在交变电场中的运动，关键是根据电场变化的特点，利用牛顿第二定律正确

地判断粒子的运动情况.根据电场的变化情况，分段求解带电粒子运动的末速度、位移等.

3.注重全面分析份析受力特点和运动规律）：抓住粒子运动时间上的周期性和空间上的对称

性，求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的临界条件.

4.对于锯齿波和正弦波等电压产生的交变电场，若粒子穿过板间的时间极短，带电粒子穿过

电场时可认为是在匀强电场中运动.

【例7】在如图甲所示的极板A、B间加上如图乙所示的大小不变、方向周期性变化的交变电

压，其周期为T,现有一电子以平行于极板的速度%从两板中央OO'射入.已知电子的质

量为m、电荷量为e,不计电子的重力，问：

(1诺电子从t=0时刻射入，在半个周期内恰好能从A板的边缘飞出，则电子飞出时速度的

大小为多少？

(2曜电子从t=0时刻射入，恰能平行于极板飞出，则极板至少为多长？

(3塔电子恰能沿OO'平行于极板飞出，电子应从哪一时刻射入？两极板间距至少为多大？

答案见解析

解析(1油动能定理得a°=jmv2—Imv/

(2)=0时刻射入的电子，在垂直于极板方向上做匀加速运动，向A极板方向偏转，半个周期

后电场方向反向，电子在该方向上做匀减速运动，再经过半个周期，电子在电场方向上的速

度减小到零，此时的速度等于初速度v0,方向平行于极板，以后继续重复这样的运动；要使

电子恰能平行于极板飞出，则电子在00'方向上至少运动一个周期，故极板长至少为L=

voT-

(3睹要使电子沿00'平行于极板飞出，则电子在电场方向上应先加速、再减速，减速到零

后反向加速、再减速，每阶段时间相同，一个周期后恰好回到00'上，可见应在t7+k某

=0,1,2…)时射入，极板间距离要满足电子在加速、减速阶段不打到极板上，设两板间距为

d,由牛顿第二定律有a=需，加速阶段运动的距离百日生

解得臣,故两极板间距至少为KM

8m\J8m,

【例8］如图甲所示，热电子由阴极飞出时的初速度忽略不计，电子发射装置的加速电压为

Uo，电容器极板长L=10cm,极板间距d=10cm,下极板接地，电容器右端到荧光屏的距

离也是L=10cm,荧光屏足够长，在电容器两极板间接一交变电压，上极板与下极板的电势

差随时间变化的图像如图乙所示.每个电子穿过极板的时间都极短，可以认为电子穿过极板

的过程中电压是不变的.求:

(1成t=0.06s时刻，电子打在荧光屏上的位置到O点的距离;

(2泰光屏上有电子打到的区间长度.

答案(1)13.5cm(2)30cm

解析(1股电子经电压U0加速后的速度为%,根据动能定理得eUo=：mVo2,

设电容器间偏转电场的场强为E,则有E=¥，

d

设电子经时间t通过偏转电场，偏离轴线的侧向位移为y,则沿中心轴线方向有t=1,垂直

vo

中心轴线方向有a=—,联立解得丫=濡2=；q2=5昌,

m22mdvQ24UQd

设电子通过偏转电场过程中产生的侧向速度为Vy,偏转角为e,则电子通过偏转电场时有丫丫

=at,tan4匕，则电子在荧光屏上偏离。点的距离为Y=y+Ltan4的，由题图乙知t

vo4U°d

=0.06s时刻，U=l.SJo，解得Y=13.5cm.

(2油题知电子偏移量y的最大值为，根据丫=看可得，当偏转电压超过2U。时，电子就打

不到荧光屏上了，所以代入得Y=斗，所以荧光屏上电子能打到的区间长度为2Y=3L

max2max

=30cm.

课时精练

学基础落实练

1.侈选)如图所示，一带正电的小球向右水平抛入范围足够大的匀强电场，电场方向水平向

左.不计空气阻力，则小球（）

A.做直线运动B.做曲线运动

C.速率先减小后增大D.速率先增大后减小

答案BC

解析对小球受力分析，小球受重力、电场力作用，合外力的方向与初速度的方向不在同一

条直线上，故小球做曲线运动，故A错误，B正确；在运动的过程中合外力方向与速度方向

间的夹角先为钝角后为锐角，故合外力对小球先做负功后做正功，所以速率先减小后增大，

故C正确，D错误.

2.侈选）（2023通宁葫芦岛市高三检测）如图所示，在竖直向上的匀强电场中，A球位于B球的

正上方，质量相等的两个小球以相同初速度水平抛出，它们最后落在水平面上同一点，其中

只有一个小球带电，不计空气阻力，下列判断正确的是（）

A

B

A.如果A球带电，则A球一定带负电

B.如果A球带电，则A球的电势能一定增加

C.如果B球带电，则B球一定带负电

D.如果B球带电，则B球的电势能一定增加

答案AD

解析平抛时的初速度相同，在水平方向通过的位移相同，故下落时间相同，A球在上方，

竖直位移较大，由h=5t2可知，A球下落的加速度较大，所受合外力较大，如果A球带电,

则A球受到向下的电场力，一定带负电，电场力做正功，电势能减小，故A正确，B错误；

如果B球带电，由于B球的竖直位移较小，加速度较小，所受合外力较小，则B球受到的电

场力向上，应带正电，电场力对B球做负功，电势能增加，故C错误，D正确.

3.侈选）（2023福建省福州第十五中学月考）如图所示，a、b两个不同的带电粒子，从同一点

平行于极板方向射入电场，a粒子打在B板的a'点，b粒子打在B板的b，点，不计重力,

)

Ba'b'

A.若粒子比荷相同，则初速度一定是粒子大

B.若粒子比荷相同，则初速度一定是a粒子大

C.两粒子在电场中运动的时间一定相同

D.若粒子初动能相同，则带电荷量一定是a粒子大

AD

正

1叱9

解析S-th--2-

,2m2mS2若粒子比荷相同，0b

1V2

粒子的水平位移大，则初速度一定较大，选项A正确，B错误；由h=［更t可知，因两粒

2m

子的比荷不确定，则时间关系不能确定，选项C错误；由11=看霄2=^=嗒，则若粒子

2m2mv24Ek

初动能相同，因a粒子的水平位移较小，则带电荷量一定较大，选项D正确.

4.（多选）（2021全国乙卷20）四个带电粒子的电荷量和质量分别为（+q,m）、（+q,2n）、（+

3q,3n）、（-q,m）,它们先后以相同的速度从坐标原点沿x轴正方向射入一匀强电场中，电

场方向与y轴平行.不计重力，下列描绘这四个粒子运动轨迹的图像中，可能正确的是（）

答案AD

加速度为当，由类平抛运动规律可知，带

解析带电粒子在匀强电场中做类平抛运动,a=

电粒子在电场中运动时间为t=~U离开电场时，带电粒子的偏转角的正切值为tan=匕=生

VoVxV0

——，因为四个带电的粒子的初速度相同，电场强度相同，水平位移相同，所以偏转角只

m2

与比荷有关，（+q,m）粒子与（+3q,3n）粒子的比荷相同，所以偏转角相同，轨迹相同，且与

（―q,m）粒子的比荷也相同，所以（+q,m）、（+3q,3n）、（-q,m）三个粒子偏转角相同，

但（一q,m）粒子与上述两个粒子的偏转角方向相反，（+q,2n）粒子的比荷比（+q,m）、（+3q,3n）

粒子的比荷小，所以（+q,2n）粒子比（+q,m）什3q,3m）粒子的偏转角小，但都带正电，偏转

方向相同，故A、D正确，B、C错误.

5.一电子枪发射出的电子（初速度很小，可视为零）经过加速电场加速后，垂直射入

偏转电场，射出后偏转位移为Y要使偏转位移增大，下列哪些措施是可行的（不考虑电子射出

时碰到偏转极板的情况）（）

一勺

---------------------r

IIu

A.增大偏转电压U

B.增大加速电压U。

C.增大偏转极板间距离

D.将发射电子改成发射负离子

A

解析设偏转极板长为1,极板间距为d,由eUo=；mVo2，t=J，a=需，y=：at2，联立得偏

转位移y=耨，增大偏转电压U,减小加速电压U。，减小偏转极板间距离，都可使偏转位

移增大，选项A正确，B、C错误；由于偏转位移y=%与粒子质量、带电荷量无关，故

4U°d

将发射电子改成发射负离子，偏转位移不变，选项D错误.

6.（多选）如图甲所示，真空中水平放置两块长度为2d的平行金属板P、Q,两板间距为d,

两板间加上如图乙所示最大值为U。且周期性变化的电压，在两板左侧紧靠P板处有一粒子

源A,自t=0时刻开始连续释放初速度大小为v°、方向平行于金属板的相同带电粒子，t=0

时刻释放的粒子恰好从Q板右侧边缘离开电场，已知电场变化周期丁=”，粒子质量为m,

不计粒子重力及相互间的作用力，贝M）

pUg

甲乙

A=0时刻进入的粒子离开电场时速度大小仍为°

B.粒子的电荷量为学

C.在t=!?时刻进入的粒子离开电场时电势能减少了|mv02

D.在t=；T时刻进入的粒子刚好从P板右侧边缘离开电场

AD

解析水平方向做匀速运动，贝It=0时刻进入电场的粒子在电场中运动时

间1=打，此时间正好是交变电压的一个周期，粒子在竖直方向先做加速运动后做减速运动，

vo

经过一个周期，粒子的竖直速度为零，故粒子离开电场时的速度大小等于水平速度v°,选项

A正确；在竖直方向,t=0时刻进入电场的粒子在劣时间内的位移为'则?=%,)2=黑/)2,

计算得出q=¥¥，选项B错误；在t=5时刻进入电场的粒子，离开电场时在竖直方向上的

Uo8

—x==mv2

位移为d=2X-ia(|T)22x|a^)2=^,故电场力做功为W=2o,电势能

减少了31Vo2,选项C错误；t=［时刻进入的粒子，在竖直方向先向下加速运动号，然后向下

减速运动?再向上加速然后再向上减速［由对称可以知道，此时竖直方向的位移为零,

444

故粒子从P板右侧边缘离开电场，选项D正确.

7.(2023重庆市高三模拟)如图所示，一圆形区域有竖直向上的匀强电场，。为圆心，两个质

量相等、电荷量大小分别为qrq2的带电粒子甲、乙，以不同的速率%、V2从A点沿AO方

向垂直射入匀强电场，甲从C点飞出电场，乙从D点飞出，它们在圆形区域中运动的时间相

同，已知/AOC=45°,NAOD=120。，不计粒子的重力，下列说法正确的是()

%=2一中

D*皿

运动时间t相同，在水平方向上，根据题图中几何关系可得x°=vt=R—Rcos45。，x=vt

AC1A4Dn29

一虚-r

=R+Rcos600,联立可得工=一L=£_^,A错误，B正确；甲、乙在电场中沿电场力方

v-13

21+2

向均做初速度为零的匀加速直线运动，则有y=［典2=Rsin45。，v=4鸣2=Rsin60。,

AC2mAD2m

联立可得生=四嚼=平，c、D错误.

q2sin60°邓

e能力综合练

8.（2022浙江6月选考9）如图所示，带等量异种电荷的两正对平行金属板M、N间存在匀强

电场，板长为L（不考虑边界效应）.t=0时刻，M板中点处的粒子源发射两个速度大小为v0

的相同粒子，垂直M板向右的粒子，到达N板时速度大小为噩v。；平行M板向下的粒子，

刚好从N板下端射出.不计重力和粒子间的相互作用，贝M）

MN

如

r

A.M板电势高于N板电势

B.两个粒子的电势能都增加

C.粒子在两板间的加速度为a=^

D.粒子从N板下端射出的时间t=8

乙%

答案C

解析由于不知道两粒子的电性，故不能确定M板和N板的电势高低，故A错误；根据题

意垂直M板向右的粒子到达N板时速度增加，动能增加，则电场力做正功，电势能减小，则

板向下的粒子到达N板时电场力也做正功，电势能同样减小，故错误；设两板间

距离为d,对于平行M板向下的粒子刚好从N板下端射出，在两板间做类平抛运动，有/=

ot,d=1at2,对于垂直M板向右的粒子，在板间做匀加速直线运动，因两粒子相同，则在

电场中加速度相同，有g2Vo)2—v02=2ad,联立解得t=楙J,a,故C正确，D错误.

9.侈选)L,板间

距离为d,距板右端L处有一竖直屏M.一带电荷量为q、质量为m的质点以初速度％沿中线

射入两板间，最后垂直打在M上，则下列说法中正确的是(已知重力加速度为g)()

A.两极板间电压为喈

B.板间电场强度大小为臂

C.整个过程中质点的重力势能增加外

D.若仅增大两极板间距，则该质点不可能垂直打在M上

BC

解析据题分析可知，质点在平行板间轨迹应向上偏转，做类平抛运动，飞出电场后，轨迹

向下偏转，才能最后垂直打在M屏上，前后过程质点的运动轨迹有对称性，如图所示，

可知两次偏转的加速度大小相等，对两次偏转分别由牛顿第二定律得qE—mg=ma,mg=ma,

解得a=g,E=匈，由U=Ed得两极板间电压为U=&2国，故A错误，B正确；质点在电

'qq

场中向上偏转的距离y=[t2,t=L,解得y=联，故质点打在屏上的位置与P点的距离为

2vo2V

s=2y=&，整个过程中质点的重力势能的增加量£=mgs=❷四，故C正确；仅增大两极

J&

VA2PVA2

因两极板上电荷量不变，根据=¥=£=_冬_=当可知，板间电场强度不

dCd_S_eS

变，质点在电场中受力情况不变，则运动情况不变，仍垂直打在M上，故D错误.

10.(2023黑龙江佳木斯市第八中学调研)A、B长L=8cm,两板间

距离d=8cm,A板比B板电势高300V,一个不计重力的带正电的粒子电荷量q=lO-ioC、

质量in=10-20kg,沿电场中心线RO垂直电场线飞入电场，初速度o=2XlO6tn/s,粒子飞

出平行板电场后，可进入界面MN和光屏PS间的无电场的真空区域，最后打在光屏PS上的

D点侏画出).已知界面MN与光屏PS相距12cm,O是中心线RO与光屏PS的交点.sin37°

=0.6cos37°=0.8,求：

P.

A-M

如"12cm-*»

外——制

L

5!

(1港子穿过界面MN时偏离中心线RO的距离；

(2淞子射出平行板电容器时偏转角；

(3X)D两点之间的距离.

(1)0.03m(2)37°(3)0.12m

解析(1)带电粒子垂直进入匀强电场后做类平抛运动，加速度为a=:=胃

水平方向有L=vt

o

竖直方向有y=5t2

联立解得y=皆==0.03m

2mdy。2

(2股粒子射出平行板电容器时偏转角为9,Vy=at

tan9=匕=生=*=机故偏转角为37。.

vovomdvo24

(3滞电粒子离开电场时速度的反向延长线与初速度延长线的交点为水平位移的中点，设两界

面MN、PS相距为L',由相似三角形得一--=多解得Y=4y=0.12m.

L+UY

2

11.(2023我宁大连市第八中学高三检测)如图甲所示，真空中的电极可连续不断均匀地逸出

电子(设电子的初速度为零)，经加速电场加速，由小孔穿出，沿两个彼此绝缘且靠近的水平

金属板A、B的中线射入偏转电场，A、B两板距离为d,A、B板长为L,AB两板间加周期

性变化的电场UAR,如图