人教版九年级上册数学期中考试试卷（含答案解析）

人教版九年级上册数学期中考试试题

一、选择题。(每小题只有一个正确答案)

1.近几年我国国产汽车行业蓬勃发展，下列汽车标识中，是中心对称图形的是()

AB也)C.。

2.一元二次方程3N+1=6%的一次项系数为()

A.-6B.3C.1D.6

3.已知点A(-l,%),点5(2,四)在抛物线y=-3N+2上，则%，”的大小关系是

A.yi>j2B.yi<y2C.yi=y2D.无法判断

4.用配方法解一元二次方程尤2—4X+1=0时，下列变形正确的是()

A.(x—2『=1B.(无一2)2=5C.(x+2)2=3D.(无一2『=3

5.将抛物线>=2必向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线

为().

A.y=2(x+2)"+3；B.y—2(x—2)2+3；

C.y=2(x-2>-3；D.y=2(x+2)2-3.

6.如图，若AB是。。的直径，CD是。。的弦，ZABD=50°,则NC的度数为()

A.60°B.50°C.40°D.30°

7.某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均

每月增长率为x,则根据题意列方程为()

A.200(1+x)2=1000B.200+200(1+x)2=1000

C.200(1+x)3=1000D.200+200(1+x)+200(1+x)2=1000

8.如图，四边形ABCD内接于半径为5的。O,且AB=6,BC=1,CD=8,则的长度

是()

1

c.4百D.2A/13

9.如图，二次函数丁=办2+加什。（存0）的图象过点（-2,0）,对称轴为直线x=l.有以

下结论：①次?c>0；②7〃+cV0；③a+b^m（。祖+6）（加为任意实数）④若A（xi,m）,B（垃，

m）是抛物线上的两点，当x=%i+%2时，y=c；⑤若方程。（%+2）（4-%）=-1的两根为

其中正确结论的个数有（)

C.4个D.5个

二、填空题

10.如图，在方格纸上4DEF是由△ABC绕定点P顺时针旋转得到的.如果用（2,1）表示

方格纸上A点的位置，（1,2）表示B点的位置，那么点P的位置为（）

A.（5,2）B.（2,5）C.（2,1）D.（1,2）

11.已知一元二次方程N-4x+3=0的两根为由、处则％i・X2=.

12.若点A（〃，4）与点3（-3,b）关于原点成中心对称，则〃+/?=.

2

13.如图，四边形ABC。内接于。。,£为CD延长线上一点，若NB=100。,则

14.如图，铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y=-—

15.如图，在四边形ABC。中，ZABC=ZADC=45°,AB=AC,BD=屈,CD=3,则

40=.

16.如图，在△ABC中，NB4C=120。，AB=AC=6,。为边AB上一动点(不与8点重合),

连接CD,将线段CD绕着点D逆时针旋转90。得到DE,连接BE,则以BDE的最大值为.

三、解答题

17.解方程：(1)X2+2A-=0(2)尤2-4X-7=0.

3

18.已知抛物线的顶点为（-1,-4）,且过点（0,-3）

（1）求抛物线的解析式；

（2）求抛物线与x轴交点的坐标.

19.改善小区环境，争创文明家园.如图所示，某社区决定在一块长（40）167"，宽（AB）

9m的矩形场地A3CD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行,

其余部分种草.要使草坪部分的总面积为112m2,则小路的宽应为多少？

20.如图，在△ABC中，48=90。，点。为边AC的中点，请按下列要求作图

并解决问题:

（1）作点D关于BC的对称点O；

（2）在（1）的条件下，将△ABC绕点。顺时针旋转90。,

①画出旋转后的△所G（其中A、B、C三点旋转后的对应点分别是点E、F、G）；

②若/C=a,则N2GC=.（用含。的式子表示）

21.已知，AABC内接于。。，AC为。。的直径，点。为优弧8C的中点

（1）如图1,连接。。，求证：AB//OD-,

4

(2)如图2,过点。作。ELAC,垂足为E.若AE=3,BC=8,求。。的半径.

22.某网店销售一种儿童玩具，每件进价20元，规定单件销售利润不低于10元，且不高于

18元.试销售期间发现，当销售单价定为35元时，每天可售出250件，销售单价每上涨1

元，每天销售量减少10件，该网店决定提价销售.设每天销售量为y件，销售单价为尤元.

(1)请直接写出y与龙之间的函数关系式和自变量x的取值范围；

(2)当销售单价是多少元时，网店每天获利3840元？

(3)网店决定每销售1件玩具，就捐赠。元(0<a<6)给希望工程，每天扣除捐赠后可获

得最大利润为3300元，求。的值.

23.如图，直线/：尸3尤-3分别与x轴，y轴交于点A,点2,抛物线-2。尤+。-4

(1)求抛物线的解析式；

(2)点C是第四象限抛物线上一动点，连接AC,BC.

①当△ABC的面积最大时，求点C的坐标及^ABC面积的最大值；

②在①的条件下，将直线/绕着点A逆时针方向旋转到直线八/'与线段8c交于点。，设点

3,点C到/'的距离分别为由和必，当4+必最大时，求直线/旋转的角度.

24.已知，在AABC中，NA8C=90。,AB=BC=4,点。是边AC的中点，连接02,将AAOB

绕点A顺时针旋转a。至△ANM,连接CM,点尸是线段CM的中点，连接尸8,PN.

5

(1)如图1,当a=180时，请直接写出线段PN和PB之间满足的位置和数量关系；

(2)如图2,当0<a<180时，请探索线段PN和之间满足何位置和数量关系？证明你

的结论

(3)当AAOB旋转至C,M,N三点共线时，线段8尸的长为

参考答案

1.D

【解析】

把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形

就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.根据中心对称图形的概念求解.

【详解】

解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意.

故选D.

【点睛】

6

此题主要考查中心对称图形与轴对称图形的识别，解题的关键是熟知其定义.

2.A

【解析】

将所给方程化为3x2-6x+l=0的形式即可求解.

【详解】

解：3N+i=6x化为3x2-6x+l=0,

・•・一次项系数为-6,

故选：A.

【点睛】

此题考查一元二次方程的一般形式，能够将已知一元二次方程化为一般形式是解题的关键.

3.A

【分析】

将点A(-1,%),点B(2,四)分别代入丁=-3x2+2,求出相应的川、”，即可比较大小.

【详解】

解：\•点A(-1,%),点8(2,”)在抛物线》=-3N+2上，

・•・当冗=-1时，yi=-1,

当x=2时，yi=-10,

・』〉”，

故选：A.

【点睛】

此题考查二次函数的图象上点的特点，能够用代入法求二次函数点的坐标是解题的关键.

4.D

【分析】

根据配方法的原理，凑成完全平方式即可.

【详解】

角麻%2—4x+1=0,

f—4x=-1，

f—4x+4=—1+4，

7

（x-2）2=3,

故选D.

【点睛】

本题主要考查配方法的掌握，关键在于一次项的系数等于2倍的二次项系数和常数项的乘积.

5.B

【分析】

根据抛物线图像的平移规律“左加右减，上加下减”即可确定平移后的抛物线解析式.

【详解】

解：将抛物线丁=2必向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的

解析式为y=2（x—2『+3,

故选B.

【点睛】

本题考查了二次函数的平移规律，熟练掌握其平移规律是解题的关键.

6.C

【分析】

由A8是。。的直径，推出NAOB=90。，再由NA8O=50。，求出/A=40。，根据圆周角定

理推出/C=40°.

【详解】

解：是。。的直径，

ZADB=9Q0,

'：/AB£）=50。，

/A=40。，

.\ZC=ZA=40°.

故选：C.

【点睛】

此题考查圆周角定理，余角的性质，解题关键在于推出/A的度数，正确的运用圆周角定理.

7.D

【分析】

可先表示出二月份的营业额，那么二月份的营业额x（1+增长率）=三月份的营业额，等量

8

关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=1000,把相应数值代入即可

求解.

【详解】

解:二月份的营业额为200X(1+X),三月份的营业额在二月份营业额的基础上增加尤，

为200x(1+x)x(1+x),则列出的方程是200+200(1+x)+200(1+无)2=1000.

故选：D.

【点睛】

此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握求平均变化率的方法是解决问题的关键；注

意本题的等量关系为3个月的营业额之和.

8.A

【分析】

作直径AE,连接防，DE.利用勾股定理求出BE,推出推出弧CD芍jCiBE,再

利用勾股定理求出即可.

【详解】

解：作直径AE,连接班，DE.

\'AE是直径,

ZABE=ZADE=90°,

BE=y/AE2-AB2=^102-62=8,

,;CD=BE=8,

...弧CD=MBE,

...弧DE=<BC,

：.DE=BC=1,

-"-AD=^JAE2-DE2=V102-72=5>

故选：A.

【点睛】

9

此题考查了直径所对的圆周角是直角，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理，正确添加辅助线,

熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

9.C

【分析】

根据二次函数的图象与性质即可求出答案.

【详解】

解：①由图象可知：a>0,c<0,

b

------>0,

2a

.'.abc>Q,故①正确；

②：抛物线的对称轴为直线尤=1,抛物线的对称轴为直线％=1,

.b

••一--——1,

2a

:・b=-2a,

当％=-2时，y=4〃-2/7+c=0,

4〃+4〃+c=0,

8a+c=0,

.•・7〃+c=-a,

Vd!>0,

**•-aVO,

・・・7〃+cV0,故②正确；

③由图象可知，当％=1时，函数有最小值，

/.a+b+c^arrfi+bm+c(机为任意实数)，

a+b<m(am+b),故③正确；

@VA(xi,m),B(垃，m)是抛物线上的两点，

由抛物线的对称性可知：为+&=1x2=2,

・••当x=2时，y=44+2b+c=4〃-4“+c=c,故④正确；

⑤・・•图象过点(-2,0),对称轴为直线x=l.抛物线与工轴的另外一个交点坐标为(4,0),

y=aj^+bx+c=a(x+2)(x-4)

若方程a(x+2)(4-x)=-1,

即方程。(x+2)(x-4)=1的两根为制，X2,

10

则为、垃为抛物线与直线y=l的两个交点的横坐标，

V%1<X2,

...尤i<-2<4<X2,故⑤错误；

故选：C.

【点睛】

此题考查二次函数图象和性质的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题

属于基础题型.

10.A

【详解】

如图，分别连接AD、BE,

然后作它们的垂直平分线，它们交于P点，则它们旋转中心为P,

根据图形知道△ABC绕P点顺时针旋转90。得到△DEF,

；.P的坐标为（5,2）.

故选A.

11.3

【分析】

直接根据一元二次方程ax2+bx+c=0（存0）的根与系数的关系求解即可.

【详解】

解：：一元二次方程N-4x+3=0的两根为打、孙

3

/.X1*X2=—=3.

1

故答案为3.

【点睛】

此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a/»的根与系数的关系，解题关键在于掌握若方程

11

bc

的两根分别为Xl,X2,则Xl+X2=-—,%F=—.

aa

12.-1

【分析】

直接利用关于原点对称点的性质得出a,6的值，进而得出答案.

【详解】

解：：点A(a,4)与点8(-3,b)关于原点成中心对称，

.".a—3,b--4,

/.a+b—3+(-4)=-1.

故答案为-1.

【点睛】

此题考查关于原点对称的点的坐标，要熟练掌握，解题的关键是要明确：两个点关于原点对

称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点O的对称点是P(-x,-y).

13.100°

【分析】

根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(就是和它相邻的内角的对角)可得答案.

【详解】

解：：四边形ABCD内接于。O,ZB=100°,

ZAD£=ZB=100°.

故答案为：100°.

【点睛】

此题考查了圆内接四边形的性质，解题关键是熟练掌握圆内接四边形的性质定理.

14.10

【分析】

根据铅球落地时，高度y=0,把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可.

【详解】

125

解：在丁=----x+—x+—中，当y=0时，

1233

1225n

1233

整理得：x2-8x-20=0,

(x-10)(x+2)=0,

12

解得xi=10,X2=-2（舍去），

即该运动员此次掷铅球的成绩是10m.

故答案为：10.

【点睛】

本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函

数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键.

15.4

【分析】

过A作AELAD,使AE=AD,连接DE,根据全等三角形的性质得到CE=BD=d,求得

NEDC=90。，根据勾股定理得到DE=^CE^-CD2=两二？=4应，根据等腰直角三角形的性

质得至IjAD=—DE=4.

2

【详解】

过A作AE_LAD,使AE=AD,连接DE,

ZEAD=ZCAB=90°,

ZDAB=ZEAC,

在小ACE与AABD中，

AD=AE

<ZEAC=ZDAB,

AB=AC

.•.△ACE^AABD(SAS)

；.CE=BD=历，

VZADE=ZADC=45°,

ZEDC=90°,

13

VCD=3,

DE=y/cE2-CD2=A/41-9=40，

.-.AD=—DEM,

2

故答案为:4.

【点睛】

此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作

出辅助线是解题的关键.

81

16.

【分析】

作CM_LAB于M,EN_LAB于N,根据AAS证得△EDNgZ\DCM,得出EN=DM,然后

解直角三角形求得AM=3,得至UBM=9,设BD=X,贝ljEN=DM=9-X,根据三角形面积公式

得到SABDE=^BD・EN=LX(9-x)=--(x-4.5)2+—,根据二次函数的性质即可求得.

2228

【详解】

作CM_LAB于M,EN_LAB于N,

ZEDN+ZDEN=90°,

ZEDC=90°,

ZEDN+ZCDM=90°,

ZDEN=ZCDM,

在4EDN和4DCM中

ZDEN=ZCDM

<ZEND=ZDMC=90°,

ED=DC

14

AAEDN^ADCM(AAS),

AEN=DM,

VZBAC=120°,

・•・ZMAC=60°,

ZACM=30°,

11

..AM=—AC=—x6=3,

22

・・・BM二AB+AM=6+3=9,

设BD=x,贝ljEN=DM=9-x,

111081

ASABDE=-BD*EN=-X(9-X)(x-4.5)2+—,

2228

8]

.•.当BD=4.5时，SABDE有最大值为—,

8

QI

故答案为J.

8

【点睛】

此题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，含30。角的直角三角形的性质，三角形全等的判

定和性质，二次函数的性质等，得到三角形的面积关于x的函数解析式是解题的关键.

17.(1)石=—2与％=0;(2)石=2+而与4=2—而

【解析】

【分析】

(1)运用因式分解法解方程即可；

(2)利用公式法解方程即可.

【详解】

解：(l)x(x+2)=0

/.%=-2,%=0

(2)〃=1,尻-4,c=-7

.••△=庐4〃。=44

15

4±V44

♦・石=2+1，x,=2—A/11

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法，根据方程的特征选择合适的解法可以事半功倍.

18.(1)尸(x+1)2-4；(2)(1,0),(3,0)

【分析】

(1)根据抛物线的顶点为(-1,-4),且过点(0,-3),可以设出该抛物线的顶点式，再将

点(0,-3)代入题目中的解析式，即可求得该抛物线的解析式；

(2)令(1)中求得的函数解析式中y=0,即可求得相应的x值，从而可以写出该抛物线与

x轴的交点坐标.

【详解】

解：(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)2-4,

:该抛物线过点(0,-3),

-3—tz(0+1)2-4,

解得，a—l!

.••该抛物线的解析式为y=(x+1)2-4；

(2)当y=0时，

0=(x+1)2-4,

解得，Xl=l,尤2=-3,

即抛物线与无轴交点的坐标是(1,0),(3,0).

【点睛】

此题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关

键是明确题意，利用二次函数的性质解答.

19.小路的宽应为1机.

【分析】

设小路的宽应为x米，那么草坪的总长度和总宽度应该为(16-2x),(9-x)；那么根据题意

得出方程，解方程即可.

【详解】

16

解：设小路的宽应为X米,

根据题意得：(16—2x)(9—%)=112,

解得：%=1,%?=16.

V16>9,

二x=16不符合题意，舍去，

x=1.

答：小路的宽应为1米.

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键.

20.(1)见解析；(2)①见解析；②90°-a

【分析】

(1)利用网格特点和轴对称的性质画出。点；

(2)①利用网格特点和旋转的性质分别画出A、B、C三点对应点点E、F、G即可；

②先确定/OCB=/OCB=a,再利用O8=OC和三角形内角和得到/8OC=180。-2a,根

据旋转的性质得到/COG=90。，贝|NBOG=270o-2a,于是可计算出/OGB=a-45。，然

后计算/OGC-ZOGB即可.

【详解】

解：(1)如图，点。为所作；

(2)①如图，△£以；为所作；

②：点。与点。关于8C对称,

：.ZOCB=ZDCB=a,

,COB^OC,

：.ZOBC=ZOCB=a,

NBOC=180°-2a,

17

：/COG=90。，

ZBOG=180°-2a+90°=270°-2a,

•：OB=OG,

1

ZOGB=-[180°-(270°-2a)]=a-45°,

2

：.ZBGC^ZOGC-ZOGB^45°-(a-45°)=90°-a.

故答案为90°-a.

【点睛】

此题考查作图-旋转变换，解题关键在于掌握对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，

由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出

旋转后的图形.

25

21.(1)见解析；(2)一

6

【分析】

(1)如图1,延长DO交BC于F,根据垂径定理得到DF±BC,根据圆周角定理得到AB±BC

根据平行线的判定定理即可得到AB〃OD；

(2)连接DO并延长交BC于F,由垂径定理得到DFLCB,求得CF=1BC=4,根据全等

2

三角形的性质得到OF=OE=OA-3,根据勾股定理即可得至I]结论.

【详解】

(1)如图1,延长DO交BC于F,

:点D为优弧BC的中点,

...弧BD=<CD,

ADFXBC,

：AC为0O的直径，

；.AB_LBC,

18

；.AB〃OD；

(2)连接DO并延长交BC于F,

:点D为优弧BC的中点，

.•.弧BD=MCD,

；.DFJ_CB,

1

.*.CF=-BC=4,

2

VDEXAC,

.,.ZDEO=ZOFC=90°,

VZDOE=ZCOF,OC=OD,

/.△DOE^ACOF(AAS),

.*.OF=OE=OA-3,

VOC2=OF2+CF2,

/.OC2=(OC-3)2+42,

••.OO的半径为一.

6

【点睛】

此题考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助

线是解题的关键.

22.(1)y=-10x+600(30<x<38)；(2)36元；(3)3.6

【分析】

(1)根据原销售件数减去减少的件数即为所求；

(2)根据销售利润等于单件利润乘以销售量即可求解；

(3)根据单件利润减去捐赠数为最后单件利润，再根据销售利润等于单件利润乘以销售量

即可求解.

【详解】

解：(1)由题意得，y=250-10(x-35)=-10x+600;

即y与尤之间的函数关系式为：y—-10x+600(30W烂38)；

(2)根据题意得,(-10尤+600)(x-20)=3840,

19

解得：xi—36,X2—44,

V30<x<38,

.,.尤=36,

答：当销售单价是36元时，网店每天获利3840元；

(3)设每天扣除捐赠后可获得利润为卬，

根据题意得，W=(-Wx+600)(x-20-a)=-10N+(800+10。)x-600(20+a),

•对称轴尤=40+上(1,

2

：30m烂38,V0<a<6

1

.*.40<-O+40<43

2-

1工

.*.X=40H■一a时，

2

每天扣除捐赠后可获得最大利润为3300元，

(-10(40+-a)+600)(40+-tz-20-a)=3300

22

(200-5a)(20--a)=3300

2

整理得a2-80a+280=0

解得ai=40-2A/§§373.6,<12=40+2^/330(舍去).

答：a的值为3.6.

【点睛】

此题考查二次函数的应用，解题关键在于利用函数的增减性来解答.

5725

23.(1)y=/-2x-3；(2)①点C的坐标为(一,一—)，△ABC面积的最大值为一；②

248

直线/旋转的角度是45°

【分析】

(1)利用直线1的解析式求出B点坐标，再把B点坐标代入二次函数解析式即可求出a的

值，则抛物线的解析式的解析式可求出；

(2)①设C的坐标为(m,m2-2m-3),然后根据面积关系SAABC=S四边形OACB-SAAOB可求出

20

△ABC的面积，由二次函数的性质可求出△ABC面积的最大值及此时点C的坐标；

②如图2,过点B作BN垂直于1吁N点，过点C作CM垂直于1，于M点，则BN=di,CM=d2,

可将求di+cb最大值转化为求AD的最小值.

【详解】

(1)令x=0代入y=3x-3,

y=-3,

AB(0,-3),

把B(0,-3)KAy=ax2-2ax+a-4,

.*.-3=a-4,

a=l,

.•・二次函数解析式为：y=x2-2x-3；

(2)如图1,连结OC,

令y=0代入y=3x-3,

/.0=3x3

x=1,

AA的坐标为(1,0),

由题意知:C的坐标为(m,m2-2m-3),

SAABC二S四边形OACB-SAAOB

=SAOBC+SAOAC-SAAOB

=—x3xm+—xlx(—AH2+2zn+3)——x3xl=一■-w2+—m=(m——)2+—,

22222228

・••当m=一时，S取得最大值，

2

21

5257

当m=—时，m2-2m-3=------5-3=----，

244

<723

•••点C的坐标为(彳,-;),△ABC面积的最大值为—；

248

(3)如图2,过点B作BN垂直于1，于N点，过点C作CM垂直于V于M点，直线T交BC

于点D,则BN=di,CM=d2,

当di+ch取得最大值时，AD应该取得最小值，当ADLBC时取得最小值.

根据B(0,-3)和C可得BC=百+(3_2>=也,

24V444

1?5

,**SAABC=—xAZ)xBC=—,

28

;.AD=5

当AD_LBC时，cosZBAD=—=^=—，

ABy/102

；.NBAD=45°.

即直线1旋转的角度是45。.

【点睛】

此题考查二次函数的综合问题，待定系数求二次函数解析式，求三角形面积，二次函数的性

质，旋转的性质，锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质.

24.(1)PB=PN,PBLPN,理由见解析；(2)PB=PN,PB1PN,理由见解析；(3)&

±V2.

【分析】

22

(1)如图1中，结论：PB=PN,PBLPN.利用直角三角形斜边的中线的性质以及圆周角

定理解决问题即可.

(2)如图2中，结论：PB=PN,