2024年中考数学试题分类汇编：方程及函数的实际问题（17题）解析版

专题27方程及函数的实际问题（17题）

一、题型一：实际问题与一次方程（组）

1.（2024•江苏无锡•中考真题）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海

飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天.如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多

少天相遇？设经过x天相遇，则下列方程正确的是（）

A.1x+^x=lB.yx-ix=lC.9x+7x=lD.9x-7x=l

【答案】A

【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意可得野鸭的速度为:，大雁的速度为设经过

x天相遇，则相遇时野鸭的路程+大雁的路程=总路程，据此即可列出方程.

【详解】解：设经过x天相遇，

可列方程为：1x+1x=l,

故选：A.

2.（2024.辽宁•中考真题）我国古代数学著作《孙子算经》中有“雉兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三

十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”其大意是：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡兔各多少只？

设鸡有x只，兔有丁只，根据题意可列方程组为（）

jx+y=94Jx+y=94卜+y=35jx+y=35

A，[4x+2y=35[2x+4y=35。[4x+2y=94[2x+4y=94

【答案】D

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系是解题关键.设鸡有x只，兔有y只，根据“鸡

兔同笼，共有35个头，94条腿”列二元一次方程组即可.

【详解】解：设鸡有x只，兔有y只，

x+y=35

由题意得:

2x+4y=94

故选：D.

3.（2024•甘肃兰州•中考真题）数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中

记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了周果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7

个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（）

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x+y=1000x-y=1000x-y=1000

A.<114B.,114C.411

—x+-y=999—x+-y=999-x+—y=999

97，97，79,

元+y=999

D.<411

-x+—y=1000

179,

【答案】A

【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据999文钱买了周果和苦果共1000个，H文钱可

买9个甜果，4文钱可买7个苦果，列出方程组即可.

【详解】解：设买了甜果无个，苦果y个，由题意，得：

x+y=1000

<ii4.

—x+-y=999'

〔97’

故选A.

4.(2024・辽宁•中考真题)甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为36m3、工作期间需同时排水，乙池的排水

速度是8m3/h.若排水3h,则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍.

⑴求甲池的排水速度.

(2)工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于24m3,那么最多可以排水几小时？

【答案】⑴4m3/h

(2)4小时

【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，一元一次不等式的应用，熟练掌握知识点，正确理解题意

是解题的关键.

(1)设甲池的排水速度为xm3/h,由题意得，36-3x=2(36-8x3),解方程即可；

(2)设排水。小时，则36x2-(4+8)a224,再解不等式即可.

【详解】(1)解：设甲池的排水速度为MI?/鼠

由题意得，36-3x=2(36-8x3),

解得：x=4,

答：甲池的排水速度为4m3/h;

(2)解：设排水。小时，

贝I]36x2-(4+8)a>24,

解得：a<4,

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答：最多可以排4小时.

5.(2024•浙江•中考真题)小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼.小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑

步时中间休息了两次.跑步机上C档比8档快40米/分、8档比A档快40米/分.小明与小丽的跑步相关

信息如表所示，跑步累计里程s(米)与小明跑步时间f(分)的函数关系如图所示.

时间里程分段速度档跑步里程

小明16:00〜16:50不分段A档4000米

第一段2档1800米

第一次休息

小丽16:10-16:50第二段2档1200米

第二次休息

第三段C档1600米

(2)求小丽两次休息时间的总和(单位：分)；

(3)小丽第二次休息后，在。分钟时两人跑步累计里程相等，求。的值.

【答案】⑴80米/分，120米/分，160米/分

⑵5分

(3)42.5

【分析】此题考查函数图象获取信息，一元一次方程的应用，读懂图象中的数据是解本题的关键.

(1)由小明的跑步里程及时间可得A档速度，再根据C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分可得

B,C档速度；

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(2)结合图象求出小丽每段跑步所用时间，再根据总时间即可求解；

(3)由题意可得，此时小丽在跑第三段，所跑时间为。-10-15-1。-5=。-40(分)，可得方程

80o=3000+160(0-40),求解即可.

【详解】(1)解：由题意可知，A档速度为4000+50=80米/分，

贝B档速度为80+40=120米/分,C档速度为120+40=160米/分；

(2)小丽第一段跑步时间为1800+120=15分，

小丽第二段跑步时间为(3000—1800)+120=10分，

小丽第三段跑步时间为(4600-3000)+160=10分，

则小丽两次休息时间的总和=50-10-15-10-10=5分；

(3)由题意可得：小丽第二次休息后，在。分钟时两人跑步累计里程相等，

此时小丽在跑第三段，所跑时间为：a-10-15-10-5=a-40(分)

可得：80o=3000+160(a-40),

解得：a=42.5.

6.(2024•江西・中考真题)如图，书架宽84cm,在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数

学书厚0.8cm,每本语文书厚1.2cm.

(1)数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本；

(2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？

【答案】(1)书架上有数学书60本，语文书30本.

(2)数学书最多还可以摆90本

【分析】本题主要考查了一元一次方程及不等式的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量

关系，设出未知数，列出方程.

(1)首先设这层书架上数学书有x本，则语文书有(90-元)本，根据题意可得等量关系：尤本数学书的厚

度+(90-x)本语文书的厚度=84,根据等量关系列出方程求解即可；

(2)设数学书还可以摆根本，根据题意列出不等式求解即可.

【详解】(1)解：设书架上数学书有x本，由题意得：

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0.8x+1.2(90-x)=84,

解得：x—60,

90-x=30.

书架上有数学书60本，语文书30本.

(2)设数学书还可以摆山本，

根据题意得：1.2xl0+0.8/7i<84,

解得:〃zW90,

；•数学书最多还可以摆90本.

7.(2024•黑龙江牡丹江•中考真题)牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的

50%以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位.某商店准备在该地购进特级鲜品、特级

干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5

箱需910元.请解答下列问题：

(1)特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？

(2)某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元,

特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，

该商店有哪几种进货方案？

(3)在(2)的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a(a为正整数)折售出，最

终获利1577元，请直接写出商店的进货方案.

【答案】(1)特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元

(2)有3种方案，详见解析

(3)特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次方程的应用，解题的

关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次

不等式组；(3)正确计算求解.

(1)设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元，根据“购进鲜品猴头菇3箱、干

品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元”，列出方程组求解即可；

(2)设商店计划购进特级鲜品猴头菇加箱，则购进特级干品猴头菇(80-加)箱，根据“获利不少于1560

元，其中干品猴头菇不多于40箱，”列出不等式组求解即可；

(3)根据(2)中三种方案分别求解即可；

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【详解】（1）解：设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是X元和y元,

3x+2y=420

4x+5y=910

元=40

解得:

7=150

故特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元;

（2）解：设商店计划购进特级鲜品猴头菇机箱，则购进特级干品猴头菇（80-〃。箱,

J（50-40）7w+（80-m）（180-150）>1560

A[80-m<40

解得：40<m<42,

,/m为正整数，

m=40,41,42,

故该商店有三种进货方案，

分别为：①购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱；

②购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱；

③购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱；

（3）解：当购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱时：

全艮据题意得（40—1）义（50—40）+（40—l）x（180-150）+（50-*-40）+1180-*—150）=1577,

角牟得：。=9；

当购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱时：

根据题意得（41-l）x（50—40）+（39—1）><（180—150）+（50-*-40）+180-2—150）=1577,

解得:。。9.9（是小数，不符合要求）；

当购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱时：

根据题意得（42—1卜（5。-40）+（38—1"（180—15。）+15。・木一40）+118。-卷-150）=1577,

解得：a«10.7（不符合要求）；

故商店的进货方案是特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱.

8.（2024.山东威海.中考真题）定义

我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数。的绝对值.数轴上表示数a,b的点A,2之间的距离

AB=a-b（a>b）.特别的，当。之0时，表示数a的点与原点的距离等于。-0.当a<0时，表示数。的点

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与原点的距离等于0-a.

应用

如图，在数轴上，动点A从表示-3的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动.同时，动点

B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动.

AB

—।--------------1------------------------------------------------------1——>

-3O12

⑴经过多长时间，点A,8之间的距离等于3个单位长度？

⑵求点A,B到原点距离之和的最小值.

【答案】⑴过4秒或6秒

(2)3

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的性质，绝对值的意义等知识，解题的关键是：

(1)设经过x秒，则A表示的数为-3+x,2表示的数为12-2x,根据“点A,2之间的距离等于3个单位

长度”列方程求解即可；

(2)先求出点A,B到原点距离之和为卜3+X|+|12-2.,然后分X<3,3<X<6,x>6三种情况讨论，利

用绝对值的意义，不等式的性质求解即可.

【详解】(1)解：设经过尤秒，则A表示的数为-3+x,8表示的数为12-2x,

根据题意，得/2_2x-(_3+x)|=3,

解得x=4或6,

答，经过4秒或6秒，点A,B之间的距离等于3个单位长度；

(2)解：由(1)知：点A,B到原点距离之和为|-3+x|+|12-2x|,

当X<3时，卜3+x|+|12_2x|=3_;r+12_2x=：15_3x,

Vx<3,

15—3JC>6,BP|-3+x|+112-2x|>6,

当3VxW6时，|—3++口2-2x|=%—3+12—2x=9—x,

V3<x<6,

3<9—x<6,即3W|-3+x|+|12—2,v|<6,

当x>6时，|-3+x|+112-2x|=x-3+2x-12=3x-15,

'：x>6,

3x—15>3,即卜3+1+112—2x|>3,

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综上，|-3+x|+|12-2x|>3,

...点A,B到原点距离之和的最小值为3.

9.(2024•贵州・中考真题)为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践.经

学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物.如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27

名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生.

根据以上信息，解答下列问题：

(1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？

(2)种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？

【答案】⑴种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、6名学生

(2)至少种植甲作物5亩

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，

(1)设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生，根据“种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27

名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名”列方程组求解即可；

(2)设种植甲作物。亩，则种植乙作物亩，根据“所需学生人数不超过55人”列不等式求解即可.

【详解】(1)解：设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生，

f3x+2y=27

根据题意，得,"，

答：种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、6名学生；

(2)解：设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩，

根据题意，得：5fl+6(10-a)<55,

解得a>5,

答：至少种植甲作物5亩.

10.(2024・四川资阳•中考真题)2024年巴黎奥运会将于7月26日至8月11日举行，某经销店调查发现:

与吉祥物相关的42两款纪念品深受青少年喜爱.已知购进3个A款比购进2个2款多用120元；购进

1个A款和2个B款共用200元.

(1)分别求出4B两款纪念品的进货单价；

(2)该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5000元，则至少应购买3款纪念品多少个?

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【答案】（1）A款纪念品的进货单价为80元，则B款纪念品的进货单价为60元

⑵至少应购买B款纪念品30个

【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，（1）设A款纪念品的进货单价为x元，

则B款纪念品的进货单价为y元，根据题意列二元一次方程组求解即可；

（2）设购买8款纪念品。个，则购买4款纪念品（70-司个，根据题意列一元一次不等式求得a的取值范

围，即可求解.

【详解】（1）解：设A款纪念品的进货单价为x元，则8款纪念品的进货单价为y元,

3.r-2y=120

由题意得,

x+2y=200

答：A款纪念品的进货单价为80元，则B款纪念品的进货单价为60元.

（2）解：设购买8款纪念品。个，则购买A款纪念品（70-a）个，

由题意得，80（70-a）+60a<5000,

解得，a>30,

答：至少应购买3款纪念品30个.

二、题型二：实际问题与函数

11.（2024•山东潍坊・中考真题）2024年6月，某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商

场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本P（万元）与隔热层厚度Mem）满足函数表达式：尸=10x.预计

该商场每年的能源消耗费用T（万元）与隔热层厚度x（cm）满足函数表达式：7=21-（x+2）（x+4）,其中

8

0WxW9.设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为y（万元）.

（1）若y=148万元，求该商场建造的隔热层厚度；

（2）已知该商场未来8年的相关规划费用为f（万元），且f=y+f,当172Vdi92时，求隔热层厚度x（cm）

的取值范围.

【答案】（1）该商场建造的隔热层厚度为6cm

（2）3<x<8

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【分析】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数的性质以及解一元二次方程，掌握一次函数的性质，

二次函数的性质以及解一元二次方程，弄清楚题意是解题的关键.

(1)根据题意可以得出y=-/+4x+160,再令y=148,解一元二次方程求解即可；

(2)将(1)中y=-/+4x+160代入t=y+尤,，可得出f与x的关系式/=4x+160,然后利用一次函数的

性质，即可求出x的取值范围.

(x+2)(x+4)

【详解】(1)由题意得：>=尸+87=10元+8x21-^_?_2

O

整理得y=-Y+4x+i60,

当y=148时，则一/+4a+160=148,

解得：尤］=6,毛=一2.

Q0<x<9,

.•.%=-2不符合题意，舍去，

该商场建造的隔热层厚度为6cm.

(2)由(1)得y=-尤?+4x+160,

t=y+x2,

t=—x2+4A：+160+x2=4x+160(172</<192).

4>0,

随x的增大而增大，

当7=172时，4x+160=172,解得x=3；

当上192时，4x+160=192,解得x=8；

•X的取值范围为34xW8.

12.(2024.江苏无锡・中考真题)某校积极开展劳动教育，两次购买AB两种型号的劳动用品，购买记录如

下表：

A型劳动用品(件)B型劳动用品(件)合计金额(元)

第一次20251150

第二次1020800

⑴求A3两种型号劳动用品的单价;

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（2）若该校计划再次购买48两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不

多于25件.该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A,B两种型号劳动用品的单价保持不

变）

【答案】（1）4种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元

（2）该校购买这40件劳动用品至少需要1100元

【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，不等式的实际应用，一次函数的实际应用.

（1）设A种型号劳动用品单价为x元，2种型号劳动用品单价为y元，根据表格中的数据，列出方程组求

解即可；

（2）设够买A种型号劳动用品。件，则够买8种型号劳动用品（4。-。）件，根据题意得出104a425,设

购买这40件劳动用品需要W元，列出W关于。的表达式，根据一次函数的性质，即可解答.

【详解】（1）解：设A种型号劳动用品单价为x元，8种型号劳动用品单价为y元，

j20x+25y=1150

110.r+20y=800'

答：A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元.

（2）解：设够买A种型号劳动用品。件，则够买2种型号劳动用品（40-a）件，

根据题意可得：10<a<25,

设购买这40件劳动用品需要W元，

W=20a+30（40-a）=-10a+1200,

-10<0,

随。的增大而减小，

.•.当a=10时，W取最大值，W=-10xl0+1200=1100,

该校购买这40件劳动用品至少需要1100元.

13.（2024•黑龙江大庆•中考真题）“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国.某

村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的30天中，第x天（1VXV30且x为整数）的售价为y（元/千

克）.当l<x420时，y=kx+b.当20<龙（30时，y=15.销量火千克）与左的函数关系式为z=x+10,

已知该产品第10天的售价为20元/千克，第15天的售价为15元/千克，设第x天的销售额为M（元）.

⑴%=_,b=；

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⑵写出第无天的销售额M与龙之间的函数关系式；

⑶求在试销售的30天中，共有多少天销售额超过500元?

【答案】⑴-1,30

-r+20A:+300(1<X<20)

⑵M=I'7

'，[15^+150(20<^<30)

(3)在试销售的30天中，共有7天销售额超过500元

【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用；

(1)待定系数法求解析式，即可求解；

(2)根据销售额等于销量乘以售价，分段列出函数关系式，即可求解;

(3)根据题意，根据加>500,列出方程，解方程，即可求解.

【详解】(1)解：依题意，将20),(15,15)代入、=履+》，

.[10k+b=20

•115左+6=15

k=-l

解得:

b=30

y=-x+30(l<x<20)

故答案为：-1,30.

⑵解：依题意，尸]15(2。<二3。)

当1WXW20时，M=yz=(x+10)(-"尤+30)=—无？+20x+30。

当20<xW30时，M=yz=15(jc+10)=15x+150

._f-x2+20x+300(1<x<20)

""[15x+150(20<x<30)

(3)解：依题意，当1WXW20时，M=yz=(x+10)(-x+30)=-x2+20x+300=-(x-10)2+400V400

当20VxW30时，15x+150>500

解得：x>—

x为正整数，

第24天至第30天，销售额超过500元

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30-24+1=7（天）

答：在试销售的30天中，共有7天销售额超过500元

14.（2024•内蒙古赤峰•中考真题）如图，是某公园的一种水上娱乐项目.数学兴趣小组对该项目中的数学

问题进行了深入研究.下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1,人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾

空飞出后落入水池.以地面所在的水平线为x轴，过腾空点8与无轴垂直的直线为y轴，。为坐标原点，

建立平面直角坐标系.他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分.根据测量

和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决.

7

（1）如图1,点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为了米，点C到点8的水平距离为3

O

米，则水滑道ACB所在抛物线的解析式为；

（2）如图1,腾空点3与对面水池边缘的水平距离OE=12米，人腾空后的落点。与水池边缘的安全距离DE

不少于3米.若某人腾空后的路径形成的抛物线5D恰好与抛物线ACB关于点8成中心对称.

①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线30的解析式；

②此人腾空飞出后的落点。是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；

（3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固.如图2,水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距

地面4米的点M处竖直支撑的钢架另一条是点M与点8之间连接支撑的钢架2M.现在需要在水滑

道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与及W平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在

钢架上，另一端固定在地面上.请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）.

17

【答案】⑴>=6（》+3）9-+6

OO

（2）①此人腾空后的最大高度是李米，解析式为了=-：（尤②此人腾空飞出后的落点。在安全范

OOO

围内，理由见解析

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(3)这条钢架的长度为2旧米

【分析】(1)根据题意得到水滑道ACS所在抛物线的顶点坐标为且过点3(0,2),设水滑道ACB

所在抛物线的解析式为y=a(x+3y+；将3(0,2)代入，计算求出a的值即可；

O

1

(2)①根据题意可设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为y=-((x+6)~9+c,由抛物线的顶点为

O

175

,即可得出结果；②由①知人腾空后的路径形成的抛物线3。的解析式为：j=-i(x-3)92+^,令

OO

y=o,求出了的值，即点。的坐标，即可得出结论；

17

(3)根据题意可得M点的纵坐标为4,令y=((x+3)9-+(中y=4,求出符合实际的x值，得到点M的

OO

坐标，求出所在直线的解析式为>=-：尤+2,设这条钢架为G",与MN交于点G,与地面交于X,

根据这条钢架与8M平行，设该钢架所在直线的解析式为y=-；x+〃，由该钢架与水滑道有唯一公共点，

4

1

y=——x+n

41

联立/「，根据方程组有唯一解，求出〃=0,即该钢架所在直线的解析式为y=-二%，点H

「小1/+23)+可74

与点。重合，根据GN=-%(-8)=2,NO=8,/GNO=90。,利用勾股定理即可求解.

【详解】(1)解：根据题意得到水滑道ACB所在抛物线的顶点坐标为C13彳)，且过点3(0,2),

设水滑道ACB所在抛物线的解析式为y=a(x+3)2+：

O

7Q

将3(0,2)代入，得：2=a(0+3)9'+，，gp9a=J,

88

1

:.a=一,

8

17

••・水滑道ACB所在抛物线的解析式为y=7(%+3『9+(；

OO

(2)解：①，人腾空后的路径形成的抛物线血)恰好与抛物线ACB关于点2成中心对称，

1

则设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为y=-：(x+6)9+c,

O

人腾空后的路径形成的抛物线8。的顶点坐标与抛物线ACB的顶点坐标关于点8(0,2)成中心

对称,

，人腾空后的路径形成的抛物线8。的顶点坐标为［3,即6=3,c=1,

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2

.••此人腾空后的最大高度是*米，人腾空后的路径形成的抛物线8。的解析式为：y=-1(x-3)+^;

OOO

175

由①知人腾空后的路径形成的抛物线8。的解析式为：y=-1(x-3)~9+今，

OO

令y=0,贝|一，(尤一3『+"=0,即(尤_3/=25

88

，%=8或1=-2(舍去，不符合题意),

「•点。(8,0),

，OD=8,

OE=12,

:.DE=OE-OD=4>3,

此人腾空飞出后的落点D在安全范围内；

(3)解：根据题意可得M点的纵坐标为4,

令y=g(x+3)2+(=4,即(x+3『=25,

:.x=2(舍去，不符合题意)或了=-8,

M(-8,4),

设BM所在直线的解析式为y=kx+bf,

将M(—8,4)*(0,2)代入得：1/8%+加

bf=2

解得：,1,

I4

所在直线的解析式为y=-1x+2,

4

如图，设这条钢架为G”，与MN交于点、G,与地面交于

这条钢架与平行,

'设该钢架G"所在直线的解析式为y=x+"'

1

y=——x+n

4

联立,BPx+n=—(x+3)2+—,

12748V78

>=晶(尤+3)I+-

O8

整理得：+8x+16—8〃=0,

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该钢架GH与水滑道有唯一公共点，

.-.A=82-4xlx(16-8n)=0,

〃=0即该钢架所在直线的解析式为y=

.,.点”与点O重合，

GN=-：x(-8)=2,NO=8,ZGNO=90。,

:.GH=~JGN2+NO2=2^7，

•••这条钢架的长度为2旧米.

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，其中涉及点的坐标的求法，二次函数的实际应用，一次函

数与二次函数交点问题，勾股定理，借助二次函数解决实际问题，体现了数学建模思想.

(2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？

(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为加元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日

销售获得的最大利润为392元，求机的值.

【答案】(l)y=-2x+80

(2)糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元

(3)2

【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：

(1)利用待定系数法求解即可；

(2)设日销售利润为w元，根据利润=单件利润x销售量求出卬关于x的函数表达式，然后利用二次函数

的性质求解即可；

(3)设日销售利润为w元，根据利润=单件利润x销售量-%x销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用

二次函数的性质求解即可.

【详解】(1)解：设y与x的函数表达式为、=履+》，

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12%+6=56

把x=12,y=56；x=20,y=40代入，得

20%+6=40’

k=-2

解得

6=80

与x的函数表达式为y=-2x+80；

（2）解：设日销售利润为卬元,

根据题意，得w=（x—10）-y

=(x-10)(-2x+80)

=—2x?+1OOx—800

--2(X-25)2+450,

...当x=25时，卬有最大值为450,

糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元;

（3）解：设日销售利润为w元,

根据题意，得w=（x-10-机）

=(%-10-m)(-2x+80)

=-2x2+(100+2〃?)x-800-80m,

100+2m带”时，W有最大值为一21和2）+（100+2机）1秒2）-800-80根,

••・当"一万而

：糖果日销售获得的最大利润为392元,

-2日产)+(100+2加)^^］一800—80m=392

化简得加2-60m+116=0

解得叫=2,m2=58

b

当机=58时，兀=——=54,

2a

则每盒的利润为：54—10—58<0,舍去，

，力的值为2.

16.（2024.湖北武汉.中考真题）16世纪中叶,我国发明了一种新式火箭“火龙出水”,它是二级火箭的始祖.火

箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运

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行.某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程.如图，以发射点为原点，地平线为X轴，垂直于地面的

直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线丁=依2+》和直线y=+其中，当火箭运行的

水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级.

图1

(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6km.

①直接写出a,b的值;

②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低L35km,求这两个位置之间的距离.

(2)直接写出。满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km.

【答案】⑴①。=-&,6=8.1；②8.4km