2023-2024学年吉林四平九年级上学期数学期末考试卷

2023-2024学年九年级上学期数学期末考试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题（每小题2分，共16分）

1.（2021•江苏广陵•九年级期末）某班共有6名学生干部，其中4名是男生，2名是女生，任意抽一名学生干部去

参加一项活动，恰好是男生的概率是（）

A.JB.-C.-D.-

2463

2.（2021•江苏沛县•九年级期中）如图是二次函数>=以2+及+0图象的一部分，其对称轴为直线x=-l,且过点

（-3,0）,下列说法：①a6c<0；②2a-6=0；③4a+2b+c<0；④若（-5,yi）,（2.5,”）是抛物线上两点，则

yi>y2,其中说法正确的是（）

A.①②③B.②③C.①②④D.①②③④

3.（2021•江苏徐州•九年级期末）某社团成员的年龄（单位：岁）如下：

年龄1213141516

人数12231

他们年龄的众数和中位数分别是（）

A.16,15B.16,14C.15,15D.15,14

4.（2021・江苏旺胎・九年级期末）下列一元二次方程有两个不相等实数根的是（）

A.尤2+3=0B.x2+2x+3—Q

C.（x+1）2=0D.（尤+3）（尤-1）=0

5.（2021.江苏丹阳•九年级期末）如图，矩形A8CD中，AB=4,BC=2,以点A为旋转中心将矩形ABC。旋转,

旋转后的矩形记为AEFG,如图所示.所在直线与AE、GF交于点、H、I,CH=IH.则线段小的长度为

E

D

5_

A.3五B.2行C.5D.

2

6.（2021.江苏.盐城市初级中学九年级期末）如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线上.若直线

/J//2///3///4且间距相等，AB=5,BC=3,则tana的值为（）

c.如D.更

122

7.（2021•江苏赣榆•九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（-2,4）、P（-1,0）,B为y轴上的动

点，以A2为边构造AABC,使点C在x轴上，/BAC=90。，〃为2C的中点，则的最小值为（）

「4百

D.

5

8.（2021・江苏旺胎・九年级期末）A8是。。的直径，C、。是圆上两点,ZBDC=32°,则NAOC的度数为

A.32°B.64°C.116°D.128°

二、填空题（每小题2分，共16分）

9.（2021・江苏句容•九年级期末）当实数。满足条件时，关于x的方程（0+1）/+乐+0=0是一元二次方程.

10.（2021•江苏赣榆•九年级期末）将抛物线>=-2x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线的

表达式为.

11.（2021•江苏阜宁•九年级期末）锐角A满足2sin（A-15D=&,则ZA=_.

12.（2021.江苏赣榆•九年级期末）如图，抛物线>=办2+。与直线>=丘+6交于&（-1,加），B（2,n）两点，

则不等式ax2-kx-\-c<b的解集是.

13.（2021•江苏泰兴•九年级期末）小红在地上画了半径为2m和3m的同心圆，如图，然后在一定距离外向圈内掷

小石子，若每一次都掷在大圆形成的封闭区域内，则掷中阴影部分的概率是.

14.（2021•江苏海门•九年级期末）如图，在矩形ABCD中，点E在8C边上，过点。作垂足为G,DG

交BC边于点F,已知AD=26cm,DG=10cm,当..,EFG的面积为30cm?时，线段AB的长为cm.

15.（2021・江苏高邮•九年级期末）已知一组数据的方差屋=；[（6-10）2+（9-10）2+（a-10）2+（11-10）2+

（b-10）2]=6.8,则a2+b2的值为.

16.（2021.江苏阜宁•九年级期末）如图，"的半径为4,圆心M的坐标为（5,12）,点P是1V上的任意一点，

PA±PB,且上4、尸8与左轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点。对称，则的最小值为_.

三、解答题(共68分)

17.(本题6分)(2021•江苏•沐阳县修远中学九年级期末)解方程

(1)(3A-1)2=(X+1)2

1

(2)2x9+x—=0.

2

18.(本题6分)(2021•江苏•沐阳县修远中学九年级期末)在平面直角坐标系中，已知抛物线>=62+版-4经过A

(-4,0),C(2,0)两点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为兀，的面积为S.求S关于相的函数关系

式，并求出S的最大值.

19.(本题6分)(2021.江苏广陵.九年级期末)2020年12月4日是第七个国家宪法日，也是第三个“宪法宣传

周”.甲、乙两班各选派5名学生参加学校宪法知识竞赛(满分100分)，成绩如下：

甲班：96,92,94,97,96；

乙班：90,98,97,98,92.

通过数据分析，列表如下：

班级平均分中位数众数方差

甲班95a96C

乙班9597b11.2

(1)a=,b=,c=

（2）如果要从这两个班中选择一个班的学生代表学校参加市宪法知识竞赛，你认为选哪个班的学生更合适？为什

么？

20.（本题6分）（2021•江苏洪泽.九年级期末）某水果经销商批发了一批水果，进货单价为每箱50元，若按每箱

60元出售，则可销售80箱.现准备提价销售，经市场调研发现：每箱每提价1元，销量就会减少2箱，为保护消

费者利益，物价部门规定，销售利润不能超过50%,设该水果售价为每箱无（x>60）元

（1）用含x的代数式表示提价后平均每天的销售量为箱；

（2）现在预算要获得1200元利润，应按每箱多少元销售？

21.（本题8分）（2021•江苏如皋.九年级期末）如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一

边同时施工，从AC上的一点8取140。，BZ）=520m,/。=50。，那么另一边开挖点E离。多远正好使

A,C,E三点在一直线上（结果保留小数点后一位，cos5（r=0.6428）?

22.（本题8分）（2021・江苏句容.九年级期末）小明为了在ABC中作一个内接正方形。及G（点。、E、F、G

在三角形的边上），如图1,进行了如下操作，第一步：在边48上任取一点P,作PKLBC,K为垂足，以PK

为边作正方形尸ew.

如图2,第二步：作射线交AC于点G,第三步：过点G作GD//8C,交A8于点D,作

GF1BC,E,尸为垂足，如图3

（1）请证明小明所作的四边形。EFG（如图3）是正方形；

（2）如图1,边长为X的正方形DEPG内接于ABC（点。、E、F、G在三角形的边上），已知8C=a,BC边

上的高为

①求证：--y=—;

xna

②连接BG,若边上的高/z=2,△DBG的面积为S],ABC的面积为邑.设、=率，求V与尤的函数表达式，

*

并证明：邑.

图1图2图3

23.（本题10分）（2021•江苏新吴•九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线>=依2+厩-8与x轴交

于A,B两点，与y轴交于点C,直线1经过坐标原点O,与抛物线的一个交点为D,与抛物线的对称轴交于点

E,连接CE,已知点A,D的坐标分别为（-2,0）,（6,-8）.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）试探究抛物线上是否存在点F,使FOE^FCE?若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理

由；

（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0,以），直线PB与直线1交于点Q,试探究：当m为何值

时，△OP。是等腰三角形.

24.（本题8分）（2021•江苏高邮•九年级期末）如图，在电路AB中，有三个开关：5卜出、S3.

（1）当开关Si已经是闭合状态时，开关8、S3的断开与闭合是随机的，电路A8能正常工作的概率是；

（2）若三个开关Si、S2、S3的断开与闭合都是随机的，求电路A8能正常工作的概率.

25.（本题10分）（2021・江苏・如皋市实验初中九年级期末）如图，AB是。的直径，44c的平分线交于点

D,过点。作：。的切线交AC的延长线于点E.

(1)若NC4B=50。，求NADE的度数;

(2)若钻=10,AC=6,求DE的长.

2023-2024学年九年级上学期数学期末考试卷

答案解析

一、单选题（每小题2分，共16分）

1.（2021•江苏广陵•九年级期末）某班共有6名学生干部，其中4名是男生，2名是女生，任意抽一名学生干部去

参加一项活动，恰好是男生的概率是（）

A.\B.一C.—D.一

2463

【标准答案】D

【思路点拨】

根据男女生人数代入概率公式求解即可.

【精准解析】

解：•..某班共有6名学生干部，其中4名是男生，2名是女生，

任意抽一名学生干部去参加一项活动，恰好是男生的概率是：尸=：4=；2，

63

故答案选：D.

【名师指导】

此题属于简单事件的概率问题，根据人数代入公式求解即可，难度一般.

2.（2021•江苏沛县•九年级期中）如图是二次函数7=°3+陵+。图象的一部分，其对称轴为直线x=-l,且过点

（-3,0）,下列说法：①而c<0；②2a-6=0；③4a+26+c<0；④若（-5,ji）,（2.5,及）是抛物线上两点，

则山>»,其中说法正确的是（）

A.①②③B.②③C.①②④D.①②③④

【标准答案】C

【思路点拨】

根据图象分别求出“b、c的符号，即可判断①，根据对称轴求出6=2°,代入2a-b即可判断②，把x=2代入

二次函数的解析式，再根据图象即可判断③，求出点（-5,V）关于直线x=-1的对称点的坐标，根据对称轴即

可判断yi和”的大小.

【精准解析】

解：・・,二次函数的图象开口向上,

・・・4>0,

・・,二次函数的图象交y轴的负半轴于一点，

.\c<0,

，・,对称轴是中线x=-1,

—-=-1,:・b=2a>G,

2a

abc<0,・••①正确；

■:b=2a,

：.2a-Z?=0,・••②正确；

把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c,

从图象可知，当x=2时y>0,

即4tz+2Z?+c>0,・,•③错误；

V（-5,以）关于直线工=-1的对称点的坐标是（3,yi）,

又•・,当%>-1时，y随x的增大而增大，2.5<3,

；・yi>y2,・••④正确；

即正确的有3个①②④.

故选：C.

【名师指导】

本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，关键是注意：当〃>0时，二次函数的图象开口向上，当〃V0

时，二次函数的图象开口向下.

3.（2021•江苏徐州•九年级期末）某社团成员的年龄（单位：岁）如下：

年龄1213141516

人数12231

他们年龄的众数和中位数分别是（）

A.16,15B.16,14C.15,15D.15,14

【标准答案】D

【思路点拨】

根据众数和中位数的定义求解即可.

【精准解析】

解：这组数据中15出现次数最多，

所以这组数据的众数为15,

第5个数据为14,

所以中位数为14.

故选：D.

【名师指导】

本题考查了众数和中位数，解题的关键是掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到

大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组

数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.

4.(2021•江苏旺胎•九年级期末)下列一元二次方程有两个不相等实数根的是()

A./+3=0B.x2+2x+3=0

C.(x+1)2=0D.(x+3)(x-1)=0

【标准答案】D

【思路点拨】

分别计算各选项的判别式/的符号，即可判断一元二次方程根的情况.

【精准解析】

解：A.、炉+3=0,A=02-4xlx3=-12<0,

该方程没有实数根，不符合题意；

B、x2+2x+3=0,A=22—4x1x3=—8<0,

该方程没有实数根，不符合题意；

C、(x+1)2=0,即尤2+2X+1=0，A=22-4xlxl=0.

该方程有两个相等实数根，不符合题意；

D^(尤+3)(x-1)=0,即犬+2尤一3=0,A=22-4xlx(-3)=16>0,

...该方程有两个不相等实数根，符合题意；

故选：D.

【名师指导】

本题主要考查根的判别式，根据根的判别式的符号确定方程解得情况是解题的关键.

5.(2021•江苏丹阳•九年级期末)如图，矩形ABC。中，A5=4,BC=2,以点A为旋转中心将矩形旋

转，旋转后的矩形记为AEBG,如图所示.3所在直线与AE、GF交于点H、I,CH=IH.则线段用的长度为

()

E

D

//Hv

G</

r-----------------------------

A.3应B.2y[2C.5D.1

【标准答案】D

【思路点拨】

由“HL”可证Rt/iAGI丝RtaADL可得/GAI=NDAI,由余角的性质可得/IAH=NAID,可证IH=AH,通过证明

△ADI-ACDA,可得丝=〃■,可求DI=1,即可求解.

DCA.D

【精准解析】

解：如图，连接A/,AC,

・・•以点A为旋转中心将矩形ABCD旋转，旋转后的矩形记为AEFG,

：.AG=AD,ZGAE=ZDAB=90°,

在RtAAGZ和RtAA£>Z中，

jAG=AD

|AI=AI'

.,.RtAAG/^RtAADZ(HL),

：.ZGAI=NDAI,

：.90°-ZGAI=90°-NDAI,

：.ZIAH=ZAID,

：.IH=AHf

又・：IH=HC,

：・IH=HC=AH,

：.ZIAC=90°,

：.ZDAI+Z.DAC=90°,

又:ZDAC+ZDCA=90°,

：.ZDAI=ZDCAf

又「ZADI=ZA£>C=90°,

AAZ)/^ACZ)A,

・AD-DI

•・云―茄’

2DI

•・•一=_,

42

：.DI=1,

：.CI=ID+CD=5f

；/H=4C=3,

22

故选：D.

【名师指导】

本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，矩形的性质等知识，灵活运用这

些性质解决问题是本题的关键.

6.(2021•江苏•盐城市初级中学九年级期末)如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线4,乙，，4上.若直线

且间距相等，AB=5,BC=3,则tana的值为()

cYd-f

【标准答案】A

【思路点拨】

根据题意，可以得到BG的长，再根据NABG=90。，AB=5,可以得到/BAG的正切值，再根据平行线的性质，可

以得到/BAG=/a,从而可以得到tana的值.

【精准解析】

解：作于点忆交4于点应设圆交4于点G,

由已知可得，

GE//BF,CE=EF,

:•△CEGsACFB,

.CECG..CE_1

^~CF~~CB，,~CF~2

.CGI

^~CB~2

•：BC=3,

：.Za=ZGAB,

・・•四边形ABC。是矩形，AB=5,

ZABG=90°,

23

.*.tanZBAG=BG2=——.

-----=-10

AB5

3

；.tana的值为伍.

故选:A.

【名师指导】

本题考查矩形的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

7.(2021•江苏赣榆•九年级期末)如图，在平面直角坐标系中，已知A(-2,4)、P(-1,0),3为y轴上的动

点，以为边构造及43。，使点C在x轴上，ZBAC=90°,以为的中点，则PM的最小值为()

A.叵B.V17C.—D.石

25

【标准答案】C

【思路点拨】

作轴，证明SCE根据相似三角形的性质得到求出点”的坐标，根据两

△AH32\4,

点间的距离公式用x表示出PM,根据二次函数的性质解答即可.

【精准解析】

解：如图，过点A作轴于H,过点。作CEL4H于E,

则四边形CEHO是矩形，

'/ZBAC=ZAHB=ZAEC=90°,

：.ZABH+ZHAB=90°fZHAB+ZEAC=90°,

：.NABH=NEAC,

AAHB^ACEA,

.AHBHnn2BH

ECAE4AE

：.AE^2BH,

设则AE=2x,

AOC=HE=2+2x,08=4—x,

：.B(0,4-x),C(-2-2x,0),

9：BM=CM,

4—x

,\M(-1-x,------),

2

VP(-1,0),

pM=.=JHy+g

:.PM最小值为'但=£^~,

故选：C.

【名师指导】

本题考查相似三角形的判定和性质、两点间距离公式、二次函数的性质，正确添加辅助线、掌握二次函数的性

质、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

8.（2021•江苏吁胎•九年级期末）A3是。。的直径，C、。是圆上两点，ZBDC^32°,则NAOC的度数为

C

A.32°B.64°C.116°D.128°

【标准答案】C

【思路点拨】

根据圆周角定理可求NAOC,根据邻补角定义可求NAOC的度数.

【精准解析】

是的直径，C、。是圆上两点，ZBDC=32°

：.ZBOC=2ZD=2x32°=64°

ZAOC=180°-ZBOC=116°

故选：C

【名师指导】

考核知识点：圆周角定理.理解圆周角定理是关键.

二、填空题（每小题2分，共16分）

9.（2021•江苏句容•九年级期末）当实数。满足条件时，关于x的方程（。+1）/+阮+，=0是一元二次方程.

【标准答案】a^-1

【思路点拨】

利用一元二次方程的定义判断即可确定出所求.

【精准解析】

解：：关于x的方程（。+1）/+法+‘=0是一元二次方程，

a+1^0,即。工一1,

故答案为aw-1.

【名师指导】

此题考查了一元二次方程的定义(只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程)，

熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键.

10.(2021•江苏赣榆•九年级期末)将抛物线y=-2x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得抛物线的

表达式为.

【标准答案】y=-2(x+3)2-2

【思路点拨】

根据平移规律“左加右减，上加下减”直接求出函数解析式即可.

【精准解析】

解：抛物线y=-2x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为：y=-2(x+3)2-2,

故答案为：y=-2(x+3)2-2.

【名师指导】

本题主要考查了二次函数图像与几何变换，关键是掌握平移规律“左加右减，上加下减”.

11.(2021•江苏阜宁•九年级期末)锐角A满足2sin(A-15)=后，则ZA=_.

【标准答案】60°

【思路点拨】

根据特殊锐角三角函数值可得答案.

【精准解析】

解：2$皿4-15。)=0,

r.sin(A-15°)=咚，

X.-.sin45°=—，

2

...A-15°=45°,

.'.A=60°,

故答案为：60°.

【名师指导】

此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值.

12.(2021•江苏赣榆•九年级期末)如图，抛物线y=ax2+c与直线)交于A(-1,m),B(2,n)两点，

则不等式ax2-kx+c<b的解集是

【思路点拨】

根据不等式"2-Ax+c<6可变形为依2+,<依+6,进而得出谁大谁的函数图象在上面，进而求出X取值范围即

可.

【精准解析】

解：•..不等式如2-&+c<6可变形为办2+C（区+匕，

...图象上抛物线在直线下方时对应X的范围即为不等式的解集，

观察函数图象可知：当时，抛物线丁=依2+。在直线丫=履+〃的下方，

不等式ax2-kx-\-c<b的解集为-1<x<2,

故答案为：-l<x<2.

【名师指导】

本题考查的是二次函数与不等式（组）的知识点，解题关键在于对图像得理解，谁大谁的图象在上面.

13.（2021•江苏泰兴•九年级期末）小红在地上画了半径为2m和3m的同心圆，如图，然后在一定距离外向圈内掷

小石子，若每一次都掷在大圆形成的封闭区域内，则掷中阴影部分的概率是.

【标准答案】|

【思路点拨】

用阴影部分的面积除以大圆的面积即可求得概率.

【精准解析】

解：S阴影=兀（32-22）=5兀（cm2）,

所以掷中阴影部分的概率是善9=3=',

故答案为：.

【名师指导】

考查了几何概率的知识，解题的关键是求得阴影部分的面积，难度不大.

14.（2021•江苏海门•九年级期末）如图，在矩形ABCD中，点E在3C边上，过点。作OGLAE,垂足为G,DG

交BC边于点尸，已知AD=26cm,DG=10cm,当_£FG的面积为30cm?时，线段AB的长为cm.

【标准答案】言

【思路点拨】

在中，根据勾股定理可得AG的长度，再根据A£）〃BC,得到“£>Gs△斯G,从而得到对应边成比

例，设EG=12xc»b则FG=5尤cwj,由AEPG的面积为30cm2,得至!]EG=12CTM,FG=5cm,再由勾股定理可得

EF=13cm,则=Z）G-FG=5c/n,再证明ZEFG/C,从而求出DC的长度，在矩形ABCD中，根据

AB=CD,即可求出AB的长度.

【精准解析】

在放AAOG中，AD=26cmfDG=\Qcm,

根据勾股定理可得：

AG=7AD2-DG2=24cm，

'：AD//BC,

：.AADG^AEFG,

,EGAG_12

**FG-BG"二’

设EG=l2xcm,则FG=5xcmf

由△EFG的面积为30cm2,

可得：--12x?5x=3O,

2

解得：x=]（负值舍去），

:・EG=12cm,FG=5cm,

由勾股定理可得EF=13cm,

则DF=DG-FG=5cm,

・・・NEFG=NZ)bC(对顶角相等)，ZG=ZC,

・•・AEFG^ADFC,

,DCDF_5

•・茄一百一U'

：・EG=12cm,DF=5cm,EF=13cm9

...D”C=——60an,

13

在矩形ABCD中，AB=CD=—cm,

13

故答案为：.

【名师指导】

本题考查了相似三角形的性质和判定，以及勾股定理解直角三角形，以及矩形的性质等知识，熟悉并掌握以上性

质是解题的关键.

15.(2021•江苏高邮•九年级期末)已知一组数据的方差3=(6-10)2+(9-10)2+(a-10)2+(11-10)2+

(Z>-10)2]=6.8,则c^+b2的值为.

【标准答案】296

【思路点拨】

先根据方差公式得出平均数为10,进而求出a+b=24,再根据方程公式计算得到(。-10)2+(6-10)2=16,展开代入

即可求解.

【精准解析】

解：•一组数据的方差(6-10)2+(9-10)2+(a-10)2+(11-10)2+(b-10)2]=6.8,

.•.这组数据的的平均数是10,

.6+9+〃+11+61八

••~~10,

:.a+b=24,

22

1.,S2=1[(6-10)+(9-10)2+(a-10)2+(11-10)2+(b-10)]=6.8,

A16+1+(«-10)2+l+(Z?-10)2=34,

即(0-10)2+(6-10)2=16,

/.a2+b2-20"206=-184，

/.a2+b2=-184+20（a+Z?）=-184+20x24=296.

故答案为：296

【名师指导】

本题考查了一组数据的方差公式，完全平方公式，理解方差公式意义是解题关键.

16.（2021•江苏阜宁•九年级期末）如图，，〃的半径为4,圆心M的坐标为（5,12）,点尸是M上的任意一点,

PA1PB,且上4、P8与x轴分别交于A、B两点，若点A、点3关于原点。对称，则48的最小值为

【标准答案】18

【思路点拨】

由RtAAPB中4?=20P知要使A8取得最小值，则尸O需取得最小值，连接OM,交I”于点P,当点P位于P位置

时，0P取得最小值，据此求解可得.

【精准解析】

解：连接0P,

PAA.PB,

:.ZAPB=90°,

AO=BO,

:.AB=2PO,

若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，

连接O"，交C”于点P,当点尸位于P位置时，OP取得最小值，

过点M作无轴于点Q,

:.OM=13,

又：MP=4,

:.OP=9,

AB=201y=18,

故答案是：18.

【名师指导】

本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最小值

时点P的位置.

三、解答题(共68分)

17.(本题6分)(2021•江苏•沐阳县修远中学九年级期末)解方程

(1)(3%-1)2=(%+1)2

1

(2)2x9-+x——=0.

2

【标准答案】(1)X=1或尤=0;(2)户--+—ngx=-———-

4444

【思路点拨】

(1)利用因式分解的方法解一元二次方程即可得到答案；

(2)利用公式法解一元二次方程即可得到答案.

【精准解析】

解:(1)：(3x-l『=(x+l)2,

(3X-1)2-(X+1)2=0,

/.(3x-1+x+1)(3x-l-x-l)=0gp4x(2x-2)=0,

解得x=0或x=1；

,1

(2)*.*2,x"+x—=0

2

4d+2x-l=0，

a=4,b=2,c=—l,

AZ?2-4«C=22-4X4X(-1)=20>0,

—b±yjb2-Aac-2±2y/51,小

x=-------------------=----±---

2a84~4

X=--H--^或％=

444-V

【名师指导】

本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法.

18.(本题6分)(2021•江苏•沐阳县修远中学九年级期末)在平面直角坐标系中，已知抛物线云-4经过A

(-4,0),C(2,0)两点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点拉为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为机，的面积为S.求S关于机的函数关系

式，并求出S的最大值.

【标准答案】(1)y=^x2+x-4；(2)S关于m的函数关系式为5=->-4机，S的最大值为4.

【思路点拨】

(1)将将A(-4,0),C(2,0)代入>=<7%2+云-4,可求出a,b,即可确定解析式；

(2)过点M作MNLAC于点N,可得S.=S..+S梯形〃蟆-以松，从而得到S关于小的函数关系式，再利

用函数的性质得出最大值，即可求解.

【精准解析】

解(1)将A(-4,0),C(2,0)代入尸加+法-明得:

f16a-46-4=0,T,Z„a=—

，解得：2,

[4a+26-4=0"

.••抛物线解析式为：y=^x2+x-4；

(2)如图，过点M作MNLAC于点N,

:抛物线>+X-4与y轴交于点B,

当％=0时，y=-4,

J5(0,-4),即OB=4,

・・•点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为形,

M［勿,；/+/Z7-4J,

ON=—m,MN=72+4一41=一；/2_7+4,

AN=m—(-4)="+4,

2

S.ABH=S.ANM+S糕例侬-SJOB=1(4+/»)|-1ffl-+++4+4|(-ffl)-1X4

乙l乙,乙、乙J乙

=—nr—4/z?=-(r+2y+4(-4<r<0),

...当m=-2时，S有最大值，最大值为4，

；.5关于"2的函数关系式为5=-病-4根，S的最大值为4.

【名师指导】

本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，用待定系数法求出二次函数的关系式是解决问题的

关键.

19.(本题6分)(2021•江苏广陵•九年级期末)2020年12月4日是第七个国家宪法日，也是第三个“宪法宣传

周”.甲、乙两班各选派5名学生参加学校宪法知识竞赛(满分100分)，成绩如下：

甲班：96,92,94,97,96；

乙班：90,98,97,98,92.

通过数据分析，列表如下：

班级平均分中位数众数方差

甲班95a96C

乙班9597b11.2

(1)a=，b=,c=

(2)如果要从这两个班中选择一个班的学生代表学校参加市宪法知识竞赛，你认为选哪个班的学生更合适？为什

么？

【标准答案】(1)96,98,3.2；(2)选甲班的学生更合适，理由见解析(答案不唯一)

【思路点拨】

(1)根据中位数、众数、方差的定义进行求解即可得到答案；

(2)根据(1)中的数据可知，平均数两者相同，但是甲班的方差更小，即可得到答案.

【精准解析】

解：(1)甲班的成绩从小到大排列为：92、94、96、96、97

，它的中位数为96

a=96

:乙班中数据98出现的次数最多

它的众数为98

；.6=98

(2)答：我认为选甲班的学生更合适.理由：由表格中数据可知，甲、乙两班学生成绩的平均分相同，但甲班学

生成绩的方差小于乙班，甲班学生成绩更整齐.

【名师指导】

本题主要考查了中位数，众数和方差的定义，以及用方差做决策，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求

解.

20.(本题6分)(2021•江苏洪泽•九年级期末)某水果经销商批发了一批水果，进货单价为每箱50元，若按每箱

60元出售，则可销售80箱.现准备提价销售，经市场调研发现：每箱每提价1元，销量就会减少2箱，为保护

消费者利益，物价部门规定，销售利润不能超过50%,设该水果售价为每箱x(x>60)元

(1)用含x的代数式表示提价后平均每天的销售量为箱；

(2)现在预算要获得1200元利润，应按每箱多少元销售？

【标准答案】(1)200-2x；(2)70

【思路点拨】

(1)利用平均每天的销售量=80-2x提高的价格，即可用含尤的代数式表示出提价后平均每天的销售量；

(2)根据每天的销售利润=每箱的销售利润x销售数量，即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可求出工的

值，在结合销售利润不能超过50%,即可确定》的值

【精准解析】

(1)根据题意，提价后平均每天的销售量为：80-2(x-60)=200-2%

(2)根据题意得：(x—50)(200-2x)=1200

整理得：%2-150%+5600=0

解得：再=70,尤2=8。

当尤=70时，利润率=3消乂100%=40%<50%,符合题意；

当x=80时，利润率=三一义100%=60%>50%,不合题意，舍去

所以要获得1200元利润，应按70元每箱销售.

【名师指导】

本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题关键是根据各数量之间的关系，用含左的代数式表示出平均

每天的销售量，找准等量关系正确列出一元二次方程.

21.（本题8分）（2021•江苏如皋•九年级期末）如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一

边同时施工，从AC上的一点8取NA3Z>=140。，BZ>=520m,ZD=50°,那么另一边开挖点E离。多远正好使

A,C,E三点在一直线上（结果保留小数点后一位，cos50°=0.6428）?

【标准答案】334.3米

【思路点拨】

先判断出..BED的形状，再根据锐角三角函数的定义进行解答即可.

【精准解析】

解：VZABD=140°,

ZDBE=180°-140°=40°,

又；NZ>=50。，

.\ZE=180°-ZDBE-ZD

=180°-40°-50°

=90°,

-DE

Rt..BED,cosD=-----,

BD

DE

.,.cos50°=——=0.6428,

520

解得：r>E=334.3m.

答：另一边开挖点E离。334.3米正好使A,C,E三点在一直线上.

【名师指导】

本题考查的是解直角三角形在实际生活中的运用，涉及到三角形内角和定理及锐角三角函数的定义，熟知以上知

识是解答此题的关键.

22.体题8分）（2021•江苏句容•九年级期末）小明为了在ABC中作一个内接正方形。EFG（点。、E、F、G

在三角形的边上），如图1,进行了如下操作，第一步：在边上任取一点P,作PKLBC,K为垂足，以PK

为边作正方形PEW.

如图2,第二步：作射线BN交AC于点G,第三步：过点G作GQ//BC,交AB于点D,作DELBC,

GF±BC,E,尸为垂足，如图3

（1）请证明小明所作的四边形DEFG（如图3）是正方形；

（2）如图1,边长为％的正方形。EFG内接于ABC（点。、E、F、G在三角形的边上），已知3c=a,BC

边上的高为/z.

①求证：--7=—;

xna

②连接3G,若边上的高/z=2,△D3G的面积为5，A5C的面积为S?.设>求V与犬的函数表达式，

d2

【标准答案】（1）见解析；（2）①见解析；②y=.1（x-l）0-+；1,见解析

【思路点拨】

（1）根据平分线分线段成比例和正方形的判定解答即可；

⑵①过点A作AQLBC,垂足为。，A。与。G相交于点O,根据相似三角形的判定和性质解答即可;

②根据面积公式和二次函数的性质解答即可.

【精准解析】

（1）如图，

VDELBC,GF1BC

ZDEF=ZGFE=90°

:GD//BC

：./DEF+/GDE=180°

：.ZGDE=90°

ZDEF=ZGFE=ZGDE=90°

四边形OEFG为矩形

・.•PN//DG//BC,

.PNBN

**DG-BG*

同理出=网.

GFBG

.PN_MN

**5G-GF•

又•・・PN=MN,

：.DG=GF.

・・・四边形O£FG是正方形.

(2)①过点A作AQLBC,。是垂足，42与OG相交于点O.

■:DG//BC,

：.AADG^AABC,

.DGAO

^~BC~~AQ'

正方形边长为X,则2=与2.

ah,

；・hx=ah—ax.

gp(h-\-a)x=ah.

.1h+a11

>.—=----=—l—.

xahah

11_1

即Bn二厂/

②△DBG与正方形。EFG同底等高,

121

••Si—X,=x2XQ=Q.

1222

由（2）中①的结论可知，--^=~

x2a

则浮>，a=F-

2xa2—x

l2

s,x

：.y=—苛=%(27)=-；(1『+；.

邑

2-x

由0<x<2,kT>1)2+—证得HV3.

【名师指导】

此题考查四边形的综合题，关键是根据正方形的判定和相似三角形的判定和性质解答.

23.(本题10分)(2021•江苏新吴•九年级期末)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ad+bx-8与x轴交

于A,B两点，与y轴交于点C,直线1经过坐标原点O,与抛物线的一个交点为D,与抛物线的对称轴交于点

E,连接CE,已知点A,D的坐标分别为(-2,0),(6,-8).

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)试探究抛物线上是否存在点F,使FOESCE?若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理

由；

(3)若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为(0,欣)，直线PB与直线1交于点Q,试探究：当m为何值

时，△OPQ是等腰三角形.

1Q32

【标准答案】(1)y=-x^—3x—8；(2)存在，F坐标(3+JF7,-4)或(3-JF7,—4)；(3)当加=—§或—~1时，

△OP。是等腰三角形

【思路点拨】

(1)将A,D的坐标代入函数解析式，解二元一次方程组即可求出函数表达式；

(2)先通过D点坐标求出直线1的解析式，由二次函数解析式可得对称轴为直线x=3,可得到E的坐标，由O

点，E点，C点的坐标，可知OE=CE,VR9E与△FCE有公共边FE,此时点F纵坐标为T,代入抛物线表达

式，即可求出横坐标；

(3)根据点P在y轴负半轴上运动，分两种情况讨论，再结合平行线分线段成比例求解.

【精准解析】

解：⑴..•抛物线>=加+法_8经过点A(-2,0),1)(6,-8),

1

•.[4•。-"2小6—8一=0屋解得，a=一

2,

b=-3

/.抛物线解析式为y=一3尤一8,

(2)抛物线上存在点F使得QFOE'FCE,

设直线1的解析式为y=履，

•••经过点。(6,-8),

6左=—8,

3

4

・・・直线1的解析式为y=-

'•*'=]2_3工_8=*_3)2_曰，

抛物线对称轴为直线x=3,

1/点E为直线1与抛物线对称轴的交点，

一4

点E的横坐标为3,纵坐标为-§x3=-4,

・・・点£坐标(3,-4)

由O点，E点，C点的坐标，可知Q£=CE,VFOE与△尸CE有公共边FE,

此时点F