安徽省县中联盟2024-2025学年高三年级上册9月联考数学试题（含答案解析）

2024~2025学年安徽省县中联盟高三9月联考

数学试题

考生注意：

1.满分150分，芳试时间120分钟.

2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对

应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题

区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

3.本卷命题范围：高考范围.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合A={尤|一27<%3<8},3={刈尤一213,xcZ},则Ac5=（）

A.{-1,0}B.{0,l}C.{-1,0,1}D.{0,l,2}

z—2i

2.若——,则5=（）

z+12

A.2+3iB.2-3iC.3+2iD.3-2i

3.已知向量a=（1,、月），若—则b在a上的投影向量为（）

1—322G2

3，-T3'3

4.若cos(a+£)cos£=一,tan(o+£)

5.已知圆柱和圆锥的底面半径均为2,且它们的表面积相等，圆柱和圆锥的体积之比为3:2、/5,则圆锥的

高为（）

A.2B.2夜C.4D.4&

,、—3x—a+7,x„2

6.已知函数/（x）=（、，在R上单调递减，则。的取值范围是（）

3

—,+(»

4

7.已知函数〃x)=sin12"-巳；当XG[0,20]时，把/(x)的图象与直线y=g的所有交点的横坐标依

次记为%…，记它们的和为5"，则S"=()

1180580590

A.----B.——C.20D.——

3

12025

8.已知〃%)的定义域为RJ(x+y)+/(x—y)=3/(x)/(y),且/⑴=不则£/(左)=()

3k=\

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.为了解某品牌纯净水实际生产容量(单位：mL)情况，某中学研究小组抽取样本，得到该品牌纯净水

的实际容量的样本均值为元=600,样本方差d=2.25,假设该品牌纯净水的实际容量X服从正态分布

N伍$2),则()

(若随机变量X服从正态分布N(〃,(T2),则

P(〃—向人//+o-)«0.683,P(/z-iX〃+2cr)a0.955)

A.P(X„597)>0.02

B.P(X..603)>0.04

C.P(597iiX598.5)<0.13

D.P(598.5M603)<0.83

10.“co”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线C过坐标原点

QC上的点到两定点E(—a,o),与(a,0)(a>0)的距离之积为定值.则下列说法正确的是()(参考

数据：45»2.236)

A.若闺闾=12,则c的方程为（X2+/）2=72（/—y2）

B.若C上的点到两定点耳、月的距离之积为16,则点（-4,0）在C上

C.若。=3,点（3,%）在C上，则2</<3

D.当。=3时，C上第一象限内的点P满足耳工的面积为：，则忙耳「_忱月「=184

11.设函数/（%）=兀3-/侬'+3（mGR）,则（）

A.若/（%）有三个不同的零点看,々，%3，则为+々+忍=0

B.存在m,n,使得x=〃为曲线y=/（x）的对称轴

C.存在加，使得点（-2超（-2））为函数8（%）=3/（%）+2如:2+3771¥的对称中心

D.若曲线y=/（%）上有且仅有四点能构成一个正方形，则m=2V2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.某中学举行数学解题比赛，其中7人的比赛成绩分别为：70,97,85,90,98,73,95,则这7人成绩的上

四分位数与极差之和是.

13.若曲线/（九）=屁>2+5在点（2,7）处的切线/与曲线8（九）=3111毛+内：在（加,5）处相切，则加=

22

14.设双曲线C：=-4=1（。〉0］〉0）的左、右焦点分别是用,工.过右焦点歹2作x轴的垂线/,过双曲线

ab

左支上一点M作/的垂线，垂足为N,若存在点M使得2|叫|=3|MN|,则双曲线C的离心率e的取

值范围为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

15.（本小题满分13分）

记，ABC的内角A、&C的对边分别为d瓦c,已知2c-a=40,sinA+瓜inB=2sinC.

（1）若b=4辰osB，求。的值；

（2）在（1）的条件下，求，A3c的面积.

16.（本小题满分15分）

已知椭圆C：q+］=l（a〉5〉0）上有两点4（0,4）和3,二］

（1）求椭圆C的焦距;

(2)试探究是否存在过点(O,-5),且与椭圆C交于不同的两点并满足|A"|=|AN|的直线/?若

不存在，说明理由；若存在，求出直线/的方程.

17.(本小题满分15分)

如图，四棱锥尸-ABCD中，尸底面ABCD,底面ABCD为菱形,

NBAD=60,AB=PC^2,M,N分别为PD,的中点.

(1)证明：儿平面夫AC；

(2)求二面角C—依―。的正弦值.

18.(本小题满分17分)

已知函数/(x)=(x-l-加)e"-x+(l+m)ln(x+l),meR.

(1)讨论〃力的单调性;

(2)若机>0且/(%)有2个不同的极值点PM,求证：/(p)+/(q)+4(p+q)<21n3.

19.(本小题满分17分)

拿破仑排兵布阵是十分厉害的，有一次他让士兵站成一排，解散以后马上再重新站成一排，并要求这些士

兵不能站在自己原来的位置上.

(1)如果只有3个士兵，那么重新站成一排有多少种站法？4个呢？

(2)假设原来有几个士兵，解散以后不能站在自己原来位置上的站法为，，种，写出。用和

D“,(九.2)之间的递推关系，并证明：数列{Q—}(九.2)是等比数列；

(3)假设让站好的一排几个士兵解散后立即随机站成一排，记这些士兵都没有站到原位的概率为匕，证

1r2/r"

明：当“无穷大时，匕趋近于一.(参考公式：e-v=l+x+—+—++—+-.).

e2!3!n\

2024〜2025学年安徽省县中联盟高三9月联考•数学

参考答案、提示及评分细则

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

题号12345678

答案CDAADCAB

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

题号91011

答案ADACDACD

l.CA={x|-3<x<2},B={-l,0,l,2,3,4,5},所以={-1,0,1},故选C.

2.D设复数z=a+历(a,beR),则彳=。—历.因为二=上，所以^—整理得

z+12a-bi+12

2a—4=b

c,,,所以a=3力=2,故选D.

2b=a+l

3.A因为(a—3b)_La,所以1一34.》=0.又因为a=(1,也)，所以。.0=g,故匕在。上的投影向

日位aa

重为小一彳厂,故选A.

3,

4.A由tan(a+£)=^^^-得tan(1+尸)tan乃=3,所以sin(a+£)sinQ=?

，所以

4

coscif=cos(a+/3^~/3=cos+/3^cos/?+sin(or+/?)sin^=一,所以

匚」m

32

cos2df=2cos9a-1=―--1,故选A.

m

5.D设圆柱高为％,圆锥高为外，母线长为/，底面半径均为2,则

唳柱=4兀4，S圆柱=8兀+4兀4，%)锥,S圆锥=4兀+2兀/,1=《4+后.因为S圆柱=S圆锥，所以

2+2%=小4+后①;又因为嗡柱：唳锥=3:2血，所以4=2同②.由①②得4=2,4=4后，故选

D.

6.C当尤>2时，/(耳=2一％—log2(x—1)单调递减，因为/(“在R上单调递减，分情况讨论：当

x=x

a=0时，f()\2--\o(%—1)x>2,此时一3义2+7>2-2—R)g2(2—l),符合题意；当a>0

-±233

时，需满足《2。，解得0＜区，一.综上，—9故选C.

44

4a-6-tz+7..2"-log2(2-l)

.।71।1兀兀5]|

7.Asin2TVC---=—,则2TU——=2E+—或2E+—兀，左eZ,解得x=L+—或左+—,左eZ,所

I6；266662

,1117

-__1_3_1O1_1O1_1O1_1O1

以q=W,出=万,生=l+-=-,«4=l+-=-,...)«39=19+-=19?«40=19+-=19-,

20x|-+19-|20x|-+19-|

171316।(2

-+—+一++193+3+.•+/

6666222222

=10x(19；1+10x20=^^,故选A.

8.B令x=l,y=0,得/(l+O)+/(l—O)=3/(l)/(O),所以y(o)=§.

令x=0,得〃o+y)+/(o—y)=3〃o)/(y),所以/(—y)=/(y),所以/⑴是偶函数.

令y=l，得/(x+l)+/(x—l)=3/(x)/(l)=/(x)①，故/(x+2)+/(x)=/(x+l)②，由①②知

〃x+2)+/(x—1)=0,所以/(x+3)+/(x)=0"(x+3)=—/(x),所以

/(x+6)=-/(x+3)=/(x),所以/(x)的一个周期是6.

17

由②得“2)+”0)=41),所以"2)=—1同理/(3)+〃1)=〃2),所以"3)=—

112

又由周期性和偶函数可得：/(4)=/(-2)=/(2)=--,/(5)=/(-1)=/(!)=-,/(6)=/(0)=-,

所以/⑴+〃2)+〃3)+,+/(6)=0,

202569

所以Z以k)=3372；f(k)+/(1)+/(2)+/(3)=--.故选B.

k=lk=l3

9.AD因为于=600,$2=2.25,所以X~N(600,1.52),

因为P(600—2x1.5麴k600+2x1.5)«0.955,故P(X京697)=P(X603)-=0.0225,

故A正确，B错误；

P(597融r600)=0.4775,又因为P(600—1.5麴k600+1.5)«0.683,所以

P（598.5款k600）^^^-0.3415,所以P（597麴b598.5）«0.4775-0.3415=0.136,故C错

误；

P（600熟k603）«0.4775,所以P（598.5麴k603）«0.3415+0.4775=0.819,故D正确.故选AD.

10.ACD已知原点O在C上，则|。耳卜|0闾=/，设（x,y）为c上任意一点，则有

a2=d（x—a¥+y2.4（x+a¥+y2,整理得+9]=2/（炉—门.若闺闾二⑵则。的方程为

（X2+/）2=72（X2-/）,故A正确；若|0叫.[0闾=16,则。=4,将a=4代入方程得

（X2+/）2=32（X2-/）,显然点（T,0）不在此曲线上，故B错误；若a=3,点（3,%）在C上，有

J（3-3）2+y：♦J（3+3）2+y：=9,整理得（y：+18丫=405,所以y：=9，？—18n2.124,故C正

确；因为PEK的面积=g|PK||P国5布/串”=（归制PE|=9,则耳=90,所以点P是

曲线C:（炉+y2）2=18（炉—y2）和以E6为直径的圆必+y2=9在第一象限内的交点，联立方程组解得

x=亭,>=|,所以1s「―归闾之=184，故D正确.故选ACD.

11.ACD因为/（x）有三个不同的零点药,刀2，退，所以X3—如:+3=（x-%）（x-x2）（x—七），所以

332

X-tWC+3=X-（X,+x2+X3）X+（玉%2+%2兀3+毛为）]一瓦々%,所以石+々+退=0,所以A正确；

对于B,假设存在这样的根,7"使得X=〃为/（X）的对称轴，即存在这样的根,72使得

/（X）=/（2〃一x）,即犬—〃/+3=（2〃一x）3—帆（2〃一x）+3,根据二项式定理，等式右边（2〃—x）,展

开式含有V的项为C；（2〃）°（-X）3=-必，于是等式左右两边的系数不相等，原等式不可能成立，于是

不存在这样的机，“，使得x=〃为/（力的对称轴，B错误；

对于C,g(x)=3x3+2tnx2+9,g'(x)=9x?+4mx,gff(x)=18x+4zn,由8"(%)=。得*=一-—,即

是g（x）的对称中心，故m=9时，（-2遥（一2））是且（％）的对称中心，故C正确;

对于D,由/（x）=d7兀v+3（aeR）,得/'（x）=3*一机，

当久,0时，/'（x）..0,所以/（九）在R上单调递增，所以曲线y=/（x）上不存在4个点能构成正方

形，所以相＞0,因为"％）的图象关于点（0,3）对称，所以此正方形的中心为（0,3）,

不妨设正方形的4个顶点分别为其中一条对角线AC的方程为丁=丘+3（左＞0）,则

%3-mx+3=kx+3>解得x=+l，

2人，

所以|AC|=2J1+42A/0+左,同理可得忸回=m

由|AC|2=|5D|2,得(1+42)(〃2+左

化简得(42—1)加+A+：=0,

根据题意可知方程（左2-1）加+43+1=0只有一个正解，因为k=1时上式不

成立，所以左W1,

因为根＞0,所以左一工＜0,得Ovkvl,

k

122

设/=左——，贝卜＜0,令g«）=f+—,由题意可知，只需要直线y=一根与函数g«）=f+—的图象只

ktt

有唯一的公共点即可，结合对勾函数图象可知-m=-2&，得m=2e，所以D正确.故选ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.125将7个数据从小到大排列为70,73,85,90,95,97,98,因为7x75%=5.25,所以这7人成绩的上

四分位数是97.极差为98-70=28,故上四分位数与极差之和是97+28=125.

13.1由题得/'（%）=疣"2+广2,所以｛2）=2e2-2+e?-2=3,所以切线/：y—7=3（x—2）,即

g［m\=—+a=3

m

34

y=3x+l.因为g(x)=31nx+G；,所以g'(x)=—+o,所以<b=31nm+am=>m=e3

b=3m+1

22

14.』,+”设加（加,〃）,m，-a,则勺—勺=1,设|MV|=d,由题意得H（c,0）,

12ab

_______________________3

22

d=-m+c,\MF2\=^(m-c)+n,则JOn-cy+z?=-(-m+c),

Q5

两边平方得(加一。)2+〃2=—(m-c)2,整理得〃2=—(m-c)2,

44

22S2

又、—g=1,所以/加2—羊变形得至乂4人2_Sa?)m2+10a2cm-

5crc--4a-b2=0，

即上式在帆e(-8,-a］上有解，其中

A=100a4c2—4(4/—5")(—5a2c2一4//)=16a2b2声+4^-5a2)=144a264>0

2222222

令/(M=(4/-5a)m+10acm-5ac-4ab,贝U/(0)=—5a2c2—4/廿<0,

/(-«)=(4/-5/)4-10<73C-5«2C2-4a2b2=-5a4-10a3c-5a2c2<0,

要想使得/(m)=0在—a］上有解，只需要/(相)的图象开口向上，即4/—5/>0,即

4(c2-a2)-5«2>0,所以4c2〉9a2,£〉2,解得£>▲,故离心率e的取值范围是佶,+“

V7a24a212

四,解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

15.解：（1）由正弦定理可得Q+=，

又2c—。=4有，则b=

又因为Z>=4痴85昆3€（0,兀），所以cosB=g,

由余弦定理得，cosB=a~+C~~b'=-,

lac2

解得“=4.

(2)由a=4及2c—a=4G，得c=2+2若.

因为cosB=LBe(0,7i),所以sinB=，^

2v72

，1acsin3，1x4x(2+2@x5=6+26

所以SABC

22

16

二1

Fa~=25

16.解:（1）由题意得<256「解得

9b1=16

寸1’

所以c="牙=3,所以椭圆c的焦距为6.

（2）假设存在该直线/,分情况讨论:

当直线/的斜率不存在时，显然|A〃|=|AN|不成立;

x2,2

_______LJyL—

当直线/的斜率存在时，设直线/：丁="一5（左W0）,联立《2516=1得

y=kx-5

16+25k2)x2-250kx+225=0,

(16+25汰2)>0,得上2>1

令A=(250左)2—4X225X

所以2.二^山+“左国+*-叫二三-哈-」6%

MN16+25左2八\MN)16+254216+25左2

125480

取的中点。，则。

16+25左2'16+25左2

若|AM|=|4V|,则AOLMV,即以O/MN=—1，

--------8-0--------4)

所以16：鬻2——k=-l,解得左2=—V_,左的值不存在.

125k100

16+25?

综上，不存在满足题意的直线.

17.(1)证明：连接班),AC交于点。，

因为PC,平面ABCD,而8Du平面ABC。，所以尸C.

因为底面ABC。为菱形，所以

因为PCcAC=C,PC,ACu平面PAC,所以5。_L平面PAC.

因为M,N分别为P2PB的中点，所以也〃3£＞，所以上WJL平面PAC.

(2)解：取“1的中点E，连接OE,由题得OE〃尸C,所以OE，平面ABCD,以。为

坐标原点，OA,OB,OE所在直线分别为x,%z轴建立空间直角坐标系.

因为底面AfiCD为菱形，/BAD=60,AB=PC=2,所以08=1,。4=

=1,则5（0,1,0）,。卜6,0,0）,尸卜百,0,2）,。（0,-1,0）.

所以3P=卜4,—1,2）,8。=（0,—2,0）,PC=（0,0,—2）.

/、[m-BP=—百%—y+2Z]=0

设平面P3D的法向量加=（%，M，zJ,贝叫।」I,令

\m-BD——2yl=0

芯=2,得4=6，则加=（2,0,6）.

n-PC=-2z=0

设平面PBC的法向量〃=(x,y,2),则＜厂，令x=l,

n-BP=-y/3x-y+2z=0

得y=_g,则〃=Q,0).

\m-n\_77

设二面角的大小为，，所以cose=kos〈s〃.

|m||n|7

所以sin，=V1-COS26)=叵,即二面角C—依―。的正弦值为叵.

77

18.解:⑴/(力的定义域为(—1,+“),

由题可得/'(X)=(彳一机)6工一1+空・=(x-m)(6工-1

X+1

设g(x)=eX———,则g(x)在(-L+8)上单调递增，且且(0)=0,

若7%,—1,则l-/篦>0,%€(-1,0)时，/'(X)<0J(x)单调递减，XG(0,+8)时，/'(x)>0,/(x)单

调递增；

若一1<相<0,则］«机0)时，/'(x)<0,/(x)单调递减，为«-1,加)或xe(0,+。)时,

/'(x)>0J(x)单调递增；

若加=0,则/'.0"("在(―1,+")上单调递增；

若m>0,则xe(0,?n)时,/'(x)<0"(x)单调递减，xe(—1,0)或xe(m,+oo)时，

单调递增.

综上，当小,—1时，“X)在(—1,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增；当—1<〃7<0时，“X)在

(狐0)上单调递减，在(―1,m),(0,+8)上单调递增；当机=0时，/(“在(—1,+8)上单调递增；当

机>0时，/(x)在(0,间上单调递减，在(一1,0),(以+8)上单调递增.

(2)由(1)知相>0时，/(x)恒有2个极值点，4,令P〈q,则p=0应=加，

所以/(/?)+/(^)+4(/?+^)=/(0)+/(m)+4m=(m+l)In(m+l)-eH,+2m-l,

设人=e"+2加—1,则“(m)=ln(m+l)—em+3,

设0(m)="(m)则(p'(m)=———em,

m+1

0’(相)在(0,+oo)上单调递减，0'(帆)<0'(0)=0,

所以〃(加)在(0,+")上单调递减，

X/z，(l)=ln2-e+3>0,/z,(2)=ln3-e2+3<0.

所以存在加0«1,2),使得“(%)=lne70+l)—e'K+3=0,即e'%=ln。%+1)+3,

当“«0,%)时,〃(加)>0,/z(㈤单调递增;当“e(2,+。)时,〃(m)<0,7z(m)单调递减,

所以人(加),，丸(%)=(/%+l)ln(7/+l)-e/，b+2%—1=(%+l)ln(//+l)-ln0%+1)—3+2/%-1

="bln(%+1)+2mo—4,

易知函数y=仙1(%+1)+2]-4在(1,2)上单调递增，

所以〃4)ln(7%+1)+2/9—4<21n(2+l)+2x2—4=21n3,

所以/(p)+/(q)+4(p+q)<21n3.

19.(1)解：当有3个士