2025年高考数学复习之函数应用

2025年高考数学复习热搜题速递之函数应用(2024年7月)

选择题(共10小题)

1.已知函数/(x)=J?-2x+a(产枭Ki)有唯一零点，贝IJ〃=()

11

A.B.-C.一D.1

32

2.函数/(%)=仇-2卜/加在定义域内零点的个数为(

A.0B.1C.2D.3

(px.%v0

3.已知函数/(x)=|一，g(%)=/(%)+%+〃.若g(%)存在2个零点，则a的取值范围是()

vlnx,x>0

A.[-1,0)B.[0,+8)C.[-1,+8)D.[1,+8)

若函数y=亨1与(x)图象的交点为(xi,yi),

4.已知函数f(x)(xER)满足了(-%)=2-/(%),y=/

(X2,y2),…，Cxmf»z),则£曙1(8+y)=()

A.0B.mC.2mD.4m

2-\x\,x<2

5.已知函数/(%)函数g=b-f(2-x\其中Z?ER,若函数y=/(x)-g(x)

(%—2)2,x>2

恰有4个零点,则b的取值范围是()

7777

A.(-,+8)B.(-°°,-)C.(0,-)D.(-,2)

4444

6.设函数/(x)的定义域为R,满足/(x+1)=2f(x),且当xG(0,1]时，f(x)=x(x-1).若对任

意xe(-8,河，都有了(%)>-1,则根的取值范围是(

9758

A.(-°0,-]B.(-°°,-]C.(-8,-]D.(-8,-]

4323

酎+1'"<0使/a)

7.已知/(x)=2-1成立的x的取值范围是()

—(%—I)2/x>0

A.[-4,2)B.[-4,2]C.(0,2]D.(-4,2]

2~xY<A

'~,则满足/(x+1)<f(2x)的1的取值范围是()

{1/x>0

A.(-8,-i]B.(0,+8)C.(-1,0)D.(-8,o)

9.已知函数/(x)(xGR)满足/(%)=f(2-x),若函数y=|/-2x-3|与y=/(x)图象的交点为(xi,

yi),(%2,y2),…，(xm,ym)9则£整1Xi=()

A.0B.mC.2mD.4m

10.已知函数/(x)=『1用;”<2,函数g(尤)=3(2-X),则函数y=/(x)-g(x)的零点个

1(%—2)，x-^*2

数为(

填空题(共5小题)

11.己知函数了(无)=，其中机＞0,若存在实数6,使得关于x的方程/(x)=b

X2—2mx+4m,x>m

有三个不同的根，则加的取值范围是.

12.已知函数/(x)=|2工-2|-6有两个零点，则实数6的取值范围是

13.函数/(X)=cos(3x+1)在[0,n]的零点个数为.

14.设函数f(x)=].

.4(%—a)(x—2a),x>1

①若4=1,则/(X)的最小值为；

②若/(%)恰有2个零点，则实数〃的取值范围是.

15.已知函数/(x)=log2(/+〃)，若/(3)=1,则4=.

三.解答题(共5小题)

16.某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以

额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现

需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换

的易损零件数，得如图柱状图：

频数八

24--------------------------I—|-—[―।

20-------------------------------------------yq

16-----------------I

10----------------------------------------------------T—I

6---------yq

o1Azs-----1—1—1—1――~~~~~~~1—1---------------►

161718192021更换的易损零件刿

记X表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用

(单位：元)，"表示购机的同时购买的易损零件数.

(I)若几=19,求y与x的函数解析式；

(II)若要求“需更换的易损零件数不大于W”的频率不小于0.5,求W的最小值；

(III)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别

计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购

买19个还是20个易损零件？

17.已知函数无)—In(1+x)+axex.

(1)当。=1时，求曲线>=/(无)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)若/(无)在区间(-1,0),(0,+8)各恰有一个零点，求。的取值范围.

18.己知函数F(无)=min［2\x-1|,/-2ar+4ci-2),其中min(p,q)=yV—

(q,p>q

(I)求使得等式F(x)=/-2办+4a-2成立的龙的取值范围；

(II)(z)求尸(%)的最小值根(a)；

(zz)求尸(%)在［0,6］上的最大值M(a).

19.已知。是实数，函数/(x)=2a?+2x-3-a,如果函数y=/(x)在区间［-1,1］上有零点，求。的取

值范围.

20.设函数/(x)=|2x+l|+|x-1|.

(1)画出y=f(x)的图象；

(2)当xe［0,+8)时，f(x)Wax+b,求a+b的最小值.

2025年高考数学复习热搜题速递之函数应用（2024年7月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.已知函数/（X）=/-2%+〃有唯一零点，贝!J〃=（）

111

A.一方B.-C.-D.1

232

【考点】函数零点的判定定理.

【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用.

【答案】c

【分析】方法一：通过转化可知问题等价于函数y=l-（X-1）2的图象与y=a（"-1+白）的图象

只有一个交点求。的值.分。=0、。＜0、。＞0三种情况，结合函数的单调性分析可得结论.

方法二：由已知令f=x-l,则=P+q（£+/'）-1为偶函数，图象关于f=0对称，结合已知函

数有唯一零点及偶函数图象关于y轴对称可求.

【解答】解：因为/（x）=/-2x+a（，〔+/廿1）--1+（尤-1）2+a（＜r¥=0，

所以函数/（X）有唯一零点等价于方程1-（尤-1）2=。（，-1+为）有唯一解，

等价于函数y=l-（X-1）2的图象与（/7+击）的图象只有一个交点.

①当4=0时，f（x）=/-2x2-1,此时有两个零点，矛盾；

②当QVO时，由于y=l-（%-1）2在（-8,1）上递增、在（1,+8）上递减，

且（/-1+Wr）在（-8,1）上递增、在（1,+8）上递减，

ex—1

所以函数y=l-（x-1）2的图象的最高点为A（1,1）,y=a（/〔+g±的图象的最高点为B（T,

2a）,

由于2〃VOV1,此时函数y=l-（X-1）2的图象与＞=〃（/-1+告）的图象有0个，2个或4个交

点，矛盾；

③当a＞Q时，由于y=l-（%-1）2在（-8,1）上递增、在（1,+8）上递减，

且（/i+-^4r）在（-8,1）上递减、在（1,+8）上递增，

ex~l

所以函数y=l-（x-1）2的图象的最高点为A（1,1）,y=a（炭i+一7）的图象的最低点为B（1,

ex~l

2a),

由题可知点A与点8重合时满足条件，即2a=1,即。=受符合条件;

综上所述，a=

方法二：f(x)—x1-2x+a(^'_1+e-x+1)=(x-1)2+a(e^*+e-¥+1)-1,

令贝!]y=e+a(e'+e")-1为偶函数，图象关于t=0对称，

若y=0有唯一零点，则根据偶函数的性质可知当/=0时，j=-l+2a=0,

所以。=£.

故选：C.

【点评】本题考查函数零点的判定定理，考查函数的单调性，考查运算求解能力，考查数形结合能力，

考查转化与化归思想，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题.

2.函数/(x)=|x-2|-/nx在定义域内零点的个数为()

A.0B.1C.2D.3

【考点】函数的零点与方程根的关系.

【专题】函数的性质及应用.

【答案】C

【分析】先求出函数的定义域，再把函数转化为对应的方程，在坐标系中画出两个函数yi=|x-2|,”

=lnx(x>0)的图象求出方程的根的个数，即为函数零点的个数.

【解答】解：由题意，函数/(x)的定义域为(0,+8);

由函数零点的定义，f(x)在(0,+8)内的零点即是方程仅-21-加x=0的根.

令yi=|x-2|,yi=lnx(x>0),在一个坐标系中画出两个函数的图象：

由图得，两个函数图象有两个交点，

故方程有两个根，即对应函数有两个零点.

故选：c.

【点评】本题考查了函数零点、对应方程的根和函数图象之间的关系，通过转化和作图求出函数零点的

个数.

e%xV0

'一,g(x)=/(x)+x+a.若g(x)存在2个零点，则。的取值范围是()

{Inx,x＞G

A.[-1,0)B.[0,+8)C.[-1,+8)D.[1,+8)

【考点】函数的零点与方程根的关系.

【专题】数形结合；转化法；函数的性质及应用.

【答案】C

【分析】由g(尤)=0得/(x)^-x-a,分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之

间的关系进行转化求解即可.

【解答】解：由g(x)=0得/(无)=-x-a,

作出函数/(x)和＞=-X-a的图象如图：

当直线y=-x-a的截距-aWl,即a2-1时，两个函数的图象都有2个交点，

即函数g(x)存在2个零点，

故实数。的取值范围是[-1,+8),

故选：C.

【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用函数与零点之间的关系转化为两个函数的图象的交点问题

是解决本题的关键.

4.已知函数/(无)(xGR)满足/(-尤)-1-f(x),若函数y=与^与＞=/(无)图象的交点为(xi,yi),

（X2,y2）,…，（xm,ym）,则£鲁1（尤+i»）=

A.0B.mC.2mD.4m

【考点】函数与方程的综合运用.

【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用.

【答案】B

【分析】由条件可得/(X)4/(-X)=2,即有户无)关于点(0,1)对称，又函数y=室，即y=l+"的图

象关于点(0,1)对称，即有(xi,yi)为交点，即有(-xi,2-yi)也为交点，计算即可得到所求和.

【解答】解：函数f(x)(xeR)满足/(-x)=2(x),

即为了(X)4/(-%)=2,

可得了(X)关于点(0,1)对称，

函数y=中，即y=i+g的图象关于点(0，1)对称，

即有(xi,yi)为交点，即有(-xi,2-yi)也为交点，

(X2,*)为交点，即有(-%2,2-*)也为交点，

则有E曙1(.Xi+yi)=(xi+yi)+(尤2+、2)+…+(.Xm+ym)

(xi+yi)+(-Xl+2-yi)+(x2+y2)+(-无2+2->2)+…+(X)7!+Jm)+(-Xm+2-ym)]

故选：B.

【点评】本题考查抽象函数的运用：求和，考查函数的对称性的运用，以及化简整理的运算能力，属于

中档题.

(2_IYIxv2

5.已知函数/(x)=]'一，函数g(x)=b-f(2-x),其中Z?eR,若函数y=/(%)-g(x)

(%—2)2,x>2

恰有4个零点，则b的取值范围是(

777

A.(-,+8)B.(-8,-)D.(-,2)

4

【考点】函数的零点与方程根的关系.

【专题】创新题型；函数的性质及应用.

【答案】D

【分析】求出函数y=f(x)-g(x)的表达式，构造函数h(%)=f(x)(2-%),作出函数h(x)

的图象，利用数形结合进行求解即可.

【解答】解：・・・g(X)=b-f(2-x),

••y=f(x)-g(x)=f(x)-b+f(2-x),

由，(x)-ZH/(2-x)=0,得/(x)4/(2-％)=b,

设/z(x)=f(x)4/(2-%)，

若xWO,贝!J-xNO,2-122,

则h(x)=f(x)+/(2-x)=2+%+/,

若0W%W2,则-2W-xW0,0W2-xW2,

则h(x)=f(x)+f(2-x)=2-x+2-|2-x|=2-x+2-2+x=2,

若x>2,-x<-2,2-x<0,

则h(x)=/(x)4/(2-x)=(x-2)2+2-|2-x|=?-5x+8.

x2+x+2/%<0

2,0<x<2,

{/—5%+8,x>2

作出函数人G)的图象如图：

当xWO时，h(x)=2+X+X2=(X+1)2+^>p

当x>2时，h(x)—-5x+8—(x-&)?+彳之7，

7

故当时，h(x)=b,有两个交点，

当人=2时，h(x)=b,有无数个交点，

由图象知要使函数y=/(%)-g(x)恰有4个零点,

即h(%)=b恰有4个根,

7

则满足一<b<2,

4

故选：D.

v

111_____________11111»

-3-2-1O12345r

-1-

【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式,利用数形结合是解决本题的

关键.

6.设函数/(x)的定义域为R,满足/(x+1)=2/(%),且当xe(0,1]时\f(x)=x(X-1).若对任

意成(-8,都有了(X)>-1,则机的取值范围是()

9758

A.(-8,-]B.(-°0,-]C.(-°0,-]D.(-8,一]

4323

【考点】函数与方程的综合运用.

【专题】计算题；函数的性质及应用.

【答案】B

【分析】因为/(x+1)=2/(x),(x)=2f(x-1),分段求解析式，结合图象可得.

【解答】解：因为/(尤+1)=^(无)，f(x)=2f(x-1),

斗

7S

-1I

..................’

•/xe(0,1]时，f(x)=x(x-1)e[-l0],

.•.xe(1,2]时，X-1£(0,1],f(x)=2f(X-1)=2(X-1)(x-2)日一余0]；

.•.xe(2,3]时，X-le(1,2],f(x)=2f(X-1)=4(x-2)(x-3)e[-1,0],

当(2,3]时，由4(x-2)(x-3)=—£解得x=〈或x=等

87

--

右对任思xe(-8,列i，都有了(%)>93

故选：B.

【点评】本题考查了函数与方程的综合运用，属中档题.

工Y-1-1v<0

7.已知/(无)=2+'~使/(x)成立的x的取值范围是()

—(x—I)2,x>Q

A.[-4,2)B.[-4,2]C.(0,2]D.(-4,2]

【考点】分段函数的应用.

【专题】计算题.

【答案】B

【分析】此是一分段函数型不等式，解此类不等式应在不同的区间上分类求解，最后再求它们的并集.

【解答】解：：/(尤)>7,

J尸dx>0

•[尹+12-1取1_(久722一1

-4W尤W0或0VxW2,

即-4WxW2.

应选B.

【点评】本题考点是分段函数，是考查解分段函数型的不等式，此类题的求解应根据函数的特点分段求

解，最后再求各段上符合条件的集合的并集.

2%xVQ

'一，则满足/(尤+1)<f(2x)的尤的取值范围是()

{1,x>0

A.(-8,-i]B.(0,+8)C.(-1,0)D.(-8,o)

【考点】分段函数的应用.

【专题】计算题；数形结合；综合法；函数的性质及应用.

【答案】D

【分析】画出函数的图象，利用函数的单调性列出不等式转化求解即可.

2—%丫VQ

{’的图象如图:

满足了(尤+1)</(2x),

可得：2x<0<x+l或2x<x+lW0,

解得xe(-8,o).

【点评】本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及不等式的解法，考查计算能力.

9.己知函数/(%)(无6R)满足/(%)—f(2-x),若函数y=|7-2x-3|与y=/(%)图象的交点为(xi,

yi),(X2,*),"•,ym)>则xi=()

A.0B.mC.2mD.4m

【考点】函数的零点与方程根的关系.

【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用.

【答案】B

【分析】根据已知中函数/(%)(xeR)满足/(%)=/(2-/，分析函数的对称性，可得函数>=*-

2x-3|与y=f(%)图象的交点关于直线1=1对称，进而得到答案.

【解答】解：・・•函数/(%)(xER)满足/(x)=/(2-x),

故函数/(%)的图象关于直线I=1对称，

函数y=|/-2x-3|的图象也关于直线x=l对称，

故函数y=|/-2x-3|与y=f(x)图象的交点也关于直线x=l对称，

不妨设〈X2<…则点(XI,>1)与点(xm,沏)，点(X2,>2)与点必-1),…都关于直

线x=l对称，

所以Xl+Xm=X2^~Xm-1=…=Xm^~Xl—2，

1

由倒序相加法可得£上1xi=1X2m=m,

故选：B.

【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的对称性质，难度中档.

f2—IYI,%v2

10.已知函数/(x)={^一,函数g(尤)=3-f(2-X),则函数y=/(x)-g(x)的零点个

1(久—2产，%>2

数为()

A.2B.3C.4D.5

【考点】函数的零点与方程根的关系.

【专题】函数的性质及应用.

【答案】A

【分析】求出函数g(x)的表达式，利用y=/(x)-g(x)=0得到/(x)=g(尤)，作出两个函数了

(%)和g(无)的图象，利用数形结合进行求解即可.

【解答】解：(x)=3-/(27),

.,.若2-尤W2,则x'O时，g(x)=3-f(2-x)=3-(2-|2-x|)=1+|尤-2|,

若2-尤>2,则x<0时，g(x)=3(2-x)=3-(2-%-2)°=-7+3,

由y=/(x)-g(x)=0得到无)—g(x),

作出两个函数/(x)和g(x)的图象如图：

由图象知两个函数有两个不同的交点，

故函数y=f(x)-g(无)的零点个数为2个,

【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的

关键.

填空题(共5小题)

11.已知函数/(x)=［可'X-m,其中能>0,若存在实数6,使得关于x的方程/(无)=b

1%2—2mx+4m/x>m

有三个不同的根，则加的取值范围是(3,+8).

【考点】函数的零点与方程根的关系.

【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】法1：作出函数/(x)=1团'X~m的图象，依题意，可得4机-：/<机(机>0),

I%2—2mx+4m/x>m

解之即可.

法2：函数y=%2-2mx+4帆(x>m)是在(m,+°°)上的单调递增函数，依题意，可得(|x|)\x=m>(x2

-2必+4帆)\x=nu解得小>3,可得答案.

【解答】解法1：当机>0时，函数/(X)=•［四''与爪的图象如下：

lx2—2mx+4m/x>m

Vx>m时，f(x)=J?-2mx+^m=(x-nr)2+4m-m2>4m-m2,

・・・y要使得关于x的方程/G)=b有三个不同的根，

必须4机-徵2VM(m>0),

即m2>3m(m>0),

解得m>3,

・・・根的取值范围是(3,+8),

法2：注意到函数-2mx+4m(x>m)是在(机，+-)上的单调递增函数，如上图，因此，若存

在实数。，使得关于x的方程/(x)=匕有三个不同的根，那么必然有(园)|%=m>(f-2/7XV+4/72)\x=rrtf

解得m>3,

因此机的取值范围是(3,+8)；

实际上，相>0是多余的条件，因为当加W0时，组成/(x)的两段函数均为单调函数，因此关于关于x

的方程/G)=6最多只有2个解，不符合题意.

故答案为：(3,+°°).

【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到4根-,后〈加是

难点，属于中档题.

12.己知函数/(x)=，-2|-b有两个零点，则实数b的取值范围是0<b<2.

【考点】函数的零点.

【专题】计算题；函数的性质及应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】由函数f(x)=|2*-2|-6有两个零点，可得|2*-2|=》有两个零点，从而可得函数>=|2*-2|

函数y=6的图象有两个交点，结合函数的图象可求b的范围

【解答】解：由函数/(x)=|2*-2|-6有两个零点，可得|2八2|=6有两个零点，

从而可得函数>=|2工-2|函数y=6的图象有两个交点，

结合函数的图象可得，0<b<2时符合条件，

【点评】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变

抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质.

13.函数/(x)=cos(3x+1)在[0,nl的零点个数为3.

【考点】函数的零点.

【专题】计算题；对应思想；定义法；三角函数的图象与性质.

【答案】见试题解答内容

【分析】由题意可得了(无)=cos(3x+1)=0,可得3犬+看=今+加:，AeZ,即x=.+苏t,即可求出.

【解答】解：,.•/(%)=cos(3尤+《)=0,

JO

「・3x+z=号+Znr,ZEZ,

6Z

.7T1

•»x=q+4左71,左cz,

当k=0时，x=g

4

当k=1时，X=gll,

7

当k=2时，X=gll,

当k=3时，x=岑IT,

VxG[0,n],

47

-7_r或X---

.X9

9J9

故零点的个数为3,

故答案为：3

【点评】本题考查了余弦函数的图象和性质以及函数零点的问题，属于基础题.

14.设函数/(x)={.

(4(x—a)(x—2a),x>1

①若〃=1,则/(x)的最小值为-1；

②若/(尤)恰有2个零点，则实数a的取值范围是,，1)52,+8)

【考点】函数的零点；分段函数的应用.

【专题】创新题型；函数的性质及应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】①分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；

②分别设力(%)=2%-〃，g(x)=4(x-a)(犬-2〃)，分两种情况讨论，即可求出4的范围.

2%—1yV1

(4(%—1)(%—2)，x>1

当xVl时，f(x)=2X-1为增函数，f(x)>-1,

当x>\时，f(%)=4(x-1)(x-2)=4(x2-3x+2)=4(x—|)2-1,

当时，函数单调递减，当x>|时，函数单调递增，

Q3

故当％=2时，f(x)min=f(-)=-1,

综上所述函数/(%)的最小值为-1.

②设/z(x)=2X-a,g(x)=4(x-a)(x-2a)

若在％VI时，h(%)与1轴有一个交点，

所以。>0,并且当x=l时，h(1)=2-〃>0,所以0V〃V2,

而函数g(x)=4(x-a)(x-2a)有一个交点，所以2〃21,且“VI,

1

所以一<a<l,

2

若函数/z(x)=2%在％VI时，与x轴没有交点，

则函数g(x)=4(x-a)(x-2a)有两个交点，

当时，h(x)与x轴无交点，g(x)无交点，所以不满足题意(舍去)，

当〃(1)=2-aW0时，即时，g(%)的两个交点满足％1=〃，X2=2a,都是满足题意的，

综上所述。的取值范围是g,1)U[2,+8).

【点评】本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分

类能力，属于中档题.

15.已知函数/(x)=log2(/+〃)，若/(3)=1,则a=-7.

【考点】函数的零点与方程根的关系；函数的值.

【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】直接利用函数的解析式，求解函数值即可.

【解答】解：函数/(x)=log2(/+〃)，若/(3)=1,

可得：log2(9+〃)=1,可得〃=-7.

故答案为：-7.

【点评】本题考查函数的解析式的应用，函数的零点与方程根的关系，是基本知识的考查.

三.解答题(共5小题)

16.某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以

额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现

需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换

记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用

(单位：元)，”表示购机的同时购买的易损零件数.

(I)若"=19,求y与x的函数解析式；

(II)若要求“需更换的易损零件数不大于的频率不小于0.5,求w的最小值；

(III)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别

计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购

买19个还是20个易损零件？

【考点】分段函数的应用；频率分布直方图.

【专题】计算题；函数的性质及应用；概率与统计.

【答案】见试题解答内容

【分析】(I)若”=19,结合题意，可得y与x的分段函数解析式；

(II)由柱状图分别求出各组的频率，结合“需更换的易损零件数不大于的频率不小于0.5,可得〃

的最小值；

(III)分别求出每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件时的平均费用，比较后，可得

答案.

【解答】解：(I)当〃=19时，

_09x200,%<19_(3800,%<19

,119x200+(x-19)x500,x>19(500%-5700,x>19

(II)由柱状图知，更换的易损零件数为16个频率为0.06,

更换的易损零件数为17个频率为0.16,

更换的易损零件数为18个频率为0.24,

更换的易损零件数为19个频率为0.24

又•••更换易损零件不大于n的频率为不小于05

则心19

：.n的最小值为19件;

(III)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，

1

所须费用平均数为：一(70X19X200+4300X20+4800X10)=4000(元)

100

假设这100台机器在购机的同时每台都购买20个易损零件，

1

所须费用平均数为一(90X4000+10X4500)=4050(元)

100

V4000<4050

购买1台机器的同时应购买19台易损零件.

【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，频率分布条形图，方案选择，难度中档.

17.已知函数/(x)=ln(1+x)+axe~x.

(1)当。=1时，求曲线>=/(无)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)若/(无)在区间(-1,0),(0,+8)各恰有一个零点，求。的取值范围.

【考点】函数的零点与方程根的关系；利用导数研究曲线上某点切线方程.

【专题】分类讨论；综合法；导数的综合应用；数学运算.

【答案】(1)y=2x；(2)(-8,-1).

【分析】(1)将。=1代入，对函数/(x)求导，求出/(0)及/(0),由点斜式得答案；

(2)对函数/(x)求导，分a20及a<0讨论，当时容易判断不合题意，当a<0时，设g(x)

="+a(1-x2),利用导数判断g(x)的性质，进而判断得到函数/(x)的单调性并结合零点存在性定

理即可得解.

1

【解答】解：(1)当。=1时，f(x)=ln(1+x)+xex,则/''Q)=+e-x—比-*,

：.f'(0)=1+1=2,

又/(0)=0,

所求切线方程为y=2x；

⑺f/一J_+_e'+a(lf2)

W-1+x+ex-ex(i+x)'

若〃20,当-l<x<0时，f(x)>0,f(x)单调递增，则/(%)<f(0)=0,不合题意；

设g(x)=e!Q+a(1-x2),g'(x)="-2〃x,

当-IWQVO时，在(0,+8)上，g(x)>e°+〃20,f'(%)>0,f(x)单调递增，无零点，不合题

忌；

当a<-1时，当x>0时，g'(x)>0,则g(x)在(0,+8)上单调递增，g(0)=1+〃VO,g(1)

=e>0,

所以存在唯一的xo€(0,1),使得g(xo)=0,且/(x)在(0,xo)上单调递减，在(xo,+°°)上单

调递增，f(xo)<f(0)=0,

x

先证当x>0时，一>lnx,

2

设力(%)=占一仇］,贝/(%)=~x=~2x~f

易知当0<%<2时，h'(x)<0,h(%)单减，当x>2时，h'(x)>0,h(x)单增，

所以力(%)N力(2)=a—仇2=1—仇2>0,则当x>0时，—>lnx,

所以%>2打久,ex>x2,*V',

再证"％>1-p

111Y—1

设m(%)=Inx—1+-,贝！/(%)=----=—三,

XX%乙X”

易知当OVxVl时，m'(x)<0,m(x)单减，当x>l时，m'(x)>0,m(x)单增，

一一1

所以m(x)2m(1)=0,即)%>1—

则由a<-1,可得

x

则当冗>1+。2时,/(x)=Zn(l+%)+axe~x>Zn(l+久)+三〉0,

此时了(%)在(0,+8)上恰有一个零点，

当-1<XV0时，g'(%)在(-1,0)上单调递增，g/(-1)=9+2aV0,“(0)=1>0,

故存在唯一的xiG(-1,0),使得g'(xi)=0,且g(x)在(-1,xi)上单调递减，在(xi,0)

上单调递增，

1

g(%i)Vg(0)=l+aV0,5(-1)=->0,

故存在唯一的尤26(-1,XI),使得g(X2)=0,

所以/(X)在(-1,尤2)上单调递增，在(X2,0)上单调递减，

X--1时，/(无)--8,/(0)=0,此时/(X)在(-1,0)上恰有一个零点，

综上，实数。的取值范围为(-8,-1).

【点评】本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，零点问题，考查分类讨论思想及

运算求解能力，属于难题.

18.己知函数F(尤)—min［2\x-1|,x2-2ax+4。-2},其中min(p,q)=yP—4.

(q,p>q

(I)求使得等式F(x)—x1-2ax+4a-2成立的x的取值范围；

(II)(z)求F(x)的最小值(a)；

(zz)求歹(x)在［0,6］上的最大值M(a).

【考点】函数最值的应用；函数的最值.

【专题】新定义；函数思想；分析法；函数的性质及应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】(I)由a23,讨论尤W1时，x>l,去掉绝对值，化简X?-2ax+4a-2-2仇-1］,判断符号，

即可得到F(x)=/-2ax+4a-2成立的x的取值范围；

(II)(z)设/'(x)=2\x-1|,g(x)=/-2ax+4a-2,求得/(x)和g(x)的最小值，再由新定义,

可得F(x)的最小值；

(n)分别对当0WxW2时，当2<xW6时，讨论尸(无)的最大值，即可得到尸(x)在［0,6］上的最大

值M(a).

【解答】解：(I)由/(x)=/-2仪+4。-2可知，/-2ax+4a-2《2|尤-1|,

由“23,故无W1时，?-2ax+^a-2-2k-］\=^+2(a-1)(2-x)>0；

当x>l时，x2-2ax+4a-2-2|x-11-(2+2a)x+4a=Cx-2)(x-2a),

则等式尸(x)=7-2ar+4a-2成立的尤的取值范围是［2,2a］；

(II)(z)设/(x)=2\x-1|,g(x)-2ax+4a-2,

则/(X)min—f(1)=0,g(尤)min—g(tz)=-CT+^a-2.

由-整+4a-2=0,解得ai=2+夜，“2=2—鱼(小于1舍去)，

由尸(x)的定义可得力(a)=min{f(1),g(a)},

,、伐，3<a<2+V2

即Hnm(a)={；

t—a?+4a—2,a>2+v2

(n)当0WxW2时，F(x)勺(x)^max[f(0),f(2)}=2=F(2)；

当2<xW6时，F(x)Wg(x)^max[g(2),g(6)}

=MQX{2,34-8«}=m^x{F(2),F(6)}.

e/、(34-8a,3<a<4

则M(〃)=^

(2,a>4

【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论的思想方法，以及二次函数的最值的求法，不等

式的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题.

19.已知a是实数，函数/(x)=2ad+2x-3-a,如果函数y=f(x)在区间［-1,1］上有零点，求。的取

值范围.

【考点】函数零点的判定定理.

【专题】计算题；压轴题；分类讨论；转化思想.

【答案】见试题解答内容

【分析】>=/(尤)在区间［-1,1］上有零点转化为(2/-1)a=3-2x在［-1,1］上有解，把a用尤表

示出来，转化为求函数丫=差会在L1,1］上的值域，再用分离常数法求函数丫=委会在L1,1］的

值域即可.

【解答】解：。=0时，不符合题意，所以

1o21

又."(无)=2办3-a=0在［-1,1］上有解，。(2/-1)a=3-2x在［-1,1］上有解Q:=

CL笑5了

在［-1,1］上有解，问题转化为求函数丫=笠?［-1,1］上的值域；

2

设t=3-2无，A-e［-1,1］,则2x=3-f,tE［l,5］,y另.(T