高考数学一轮复习：集合（讲义）（原卷版+解析）

第01讲集合

目录

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考点要求考题统计考情分析

高考对集合的考查相对稳定，考查内

容、频率、题型、难度均变化不大.重

点是集合间的基本运算，主要考查集合

2022年I卷n卷第1题，5分

的交、并、补运算，常与一元二次不等

（1）集合的概念与表示2021年I卷n卷第1题，5分

式解法、一元一次不等式解法、分式不

（2）集合的基本关系2020年I卷n卷第1题，5分

等式解法、指数、对数不等式解法结合.

（3）集合的基本运算

同时适当关注集合与充要条件相结合

的解题方法.

・夯基•必备基础知识梳理

1、元素与集合

（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.

（2）元素与集合的关系：属于或不属于，数学符号分别记为：©和任.

（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（叱〃〃图）.

（4）常见数集和数学符号

数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号NN*或MZQR

说明：

①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不

在这个集合中就确定了.给定集合A={1,23,4,5},可知leA，在该集合中，6任A,不在该集合中；

②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.

集合A={a,b,c}应满足a丰b卞c.

③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合A={1,2,3,4,5}和3={1,3,5,2,4}是同一个集合.

④列举法

把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{卜括起来表示集合的方法叫做列举法.

⑤描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.

具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖

线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

2、集合间的基本关系

（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合6中的

元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合3的子集，记作Ac3（或3卫A）,读作“A

包含于6”（或“5包含A”）.

（2）真子集（propersubset）：如果集合但存在元素尤e8,且％任A,我们称集合A是集

合6的真子集，记作（或8分A）.读作“A真包含于5”或真包含A

（3）相等：如果集合A是集合5的子集且集合5是集合A的子集A），此时，

集合A与集合6中的元素是一样的，因此，集合A与集合5相等，记作4=8.

（4）空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作0；0是任何集合的子集，是任何非

空集合的真子集.

3、集合的基本运算

（1）交集：一般地，由属于集合A且属于集合5的所有元素组成的集合，称为A与5的交集，记

作AB,即AB={X\X&A,SLX&B].

（2）并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合5的元素组成的集合，称为A与5的并集，记

作AB,即AB={x\x&A,eB].

（3）补集：对于一个集合A，由全集。中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于

全集。的补集，简称为集合A的补集，记作即。（74={%1%6{7,且％e4}.

4、集合的运算性质

（1）AA=A,A\10=0,AB=BA.

（2）AA=A,A1,0=A,AB=B1A.

（3）A（。储）=0,A—（。储）=17,CU（CUA）=A.

【解题方法总结】

（1）若有限集A中有/1个元素，则A的子集有2"个，真子集有2'-1个，非空子集有2'-1个，非空

真子集有2"-2个.

（2）空集是任何集合A的子集，是任何非空集合5的真子集.

⑶AQoA8=AoAB=BoCuB匚gA.

（4）Cu（A1B）=GA）US）O=（CuA）nS）.

一提升•必考题型归纳

题型一：集合的表示：列举法、描述法

例1.（2023•广东江门•统考一模）已知集合A={-1,。」},B={m|m2-leA,m-UA},则集合2中所有

元素之和为（）

A.0B.1C.-1D.72

例2.（2023•江苏•高三统考学业考试）对于两个非空实数集合A和B,我们把集合科x=a+b,aeA,b^B}

记作A*8.若集合4={0」},3={0,-1},则A*8中元素的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

例3.（2023唾国•高三专题练习）定义集合A+B={x+y|xeA且、€用.己知集合4={2,4,6},8={-1,1},

则A+8中元素的个数为（）

A.6B.5C.4D.7

【解题总结】

1、列举法，注意元素互异性和无序性，列举法的特点是直观、一目了然.

2、描述法，注意代表元素.

题型二：集合元素的三大特征

例4.（2023•北京海淀•校考模拟预测）设集合以={2〃—1,〃-3},若-3eM,则实数%=（）

A.0B.-1C.0或—1D.0或1

例5.（2023•江西•金溪一中校联考模拟预测）已知集合&={1,。,邛，B={a2,a,ab},若A=8,则

产3+产=（）

A.-1B.0C.1D.2

例6.（2023•北京东城•统考一模）已知集合公={小2一2<0},且"A,则a可以为（）

3L

A.12B.—1C.-D.J2

2

【解题方法总结】

1、研究集合问题，看元素是否满足集合的特征：确定性、互异性、无序性。

2、研究两个或者多个集合的关系时，最重要的技巧是将两集合的关系转化为元素间的关系。

题型三：元素与集合间的关系

2

例7.（2023•河南•开封高中校考模拟预测）已知/L={x|x-«x+l<0},若2e4,且3任A,则a的

取值范围是（）

（51（5101「51。）（10-

A.-,+«B.C.D.1公

U）（23」L23J

例8.（2023•吉林延边•统考二模）已知集合A={xar-3x+2=0}的元素只有一个，则实数a的值为（）

00

A.-B.0C.-或0D.无解

88

22、

例9.（2023•全国•高三专题练习）已知集合A=,（X,y）y+y<l,XGZ,yGZ>,则A中元素的个数

为（）

A.9B.10C.11D.12

【解题方法总结】

1、一定要牢记五个大写字母所表示的数集，尤其是N与N*的区别.

2、当集合用描述法给出时，一定要注意描述的是点还是数，是还是.

题型四：集合与集合之间的关系

例10.（多选题）（2023•山东潍坊•统考一模）若非空集合满足：MCN=N,MDP=P,则

A.PjMB.MIP=M

c.NuP=PD.McSpN=0

例11.（2023.江苏.统考一模）设拉=卜卜=如"卜%=卜卜=左+打“卜则（）

A.MVNB.NUMC.M=ND.McN=0

例12.（2023•辽宁沈阳•东北育才学校校考模拟预测）已知集合4=卜|产-X-12W0},

B=^x\x2-3mx+2nr+m-l<0},若“xeA"是“xeB”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（）

A.[-3,2]B.C.-1,—D.2,—

例13.（2023•广东茂名•统考二模）已知集合4=,卜曰},B=[x\2x-a<0],若A=3,则实数"的

取值范围是（）

A.（2,+8）B.[2,+oo）C.（-8,2）D.（-oo,2]

【解题方法总结】

1、注意子集和真子集的联系与区别.

2、判断集合之间关系的两大技巧：

（1）定义法进行判断

（2）数形结合法进行判断

题型五：集合的交、并、补运算

例14.（2023•广东广州•统考二模）已知集合A=Hx=3"2,〃eN*},Z?={6,7,10,ll},则集合AcB

的元素个数为（）

A.1B.2C.3D.4

例15.（2023•河北张家口•统考二模）已知集合&=K心一2乂4一句〉0},2=卜|£>。1,则

（飒）"㈤=（）

A.（2,3）B.[3,4]C,（-®,2]u[3,+oo）D.卜83M4,+引

例16.（2023•广东•统考一模）已知集合加={习x（x-2）＜0},N={x|x-lvO},则下列Venn图中阴

影部分可以表示集合{皿2}的是（）

例17.（2023•全国•高三专题练习）2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：

看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之

歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看

了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和

《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和

《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为.

【解题方法总结】

1、注意交集与并集之间的关系

2、全集和补集是不可分离的两个概念

题型六：集合与排列组合的密切结合

例18.（2023•全国•高三专题练习）设集合X三N*,定义：集合

Y={q+aj\ai,ajeX,i,jeN*,iw/},集合S=^x-y\x,yeY,x^,集合T=yeF,xwJ,分别用|S|,

IC表示集合S,T中元素的个数，则下列结论可能成立的是（）

A.|S|=6B.|S|=16C.|T|=9D.|T|=16

例19.（2023•全国•模拟预测）已知集合A,B满足A[8={1,2,3},若A/B，且[A&3],[5&A]表

示两个不同的“AB互衬对"，则满足题意的“AB互衬对"个数为（）

A.9B.4C.27D.8

例20.（2023•北京•中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知集合A满足:①AqN,②A,尤力y,

必有归-、住2,③集合A中所有元素之和为100,则集合A中元素个数最多为（）

A.11B.10C.9D.8

【解题方法总结】

利用排列与组合思想解决集合或者集合中元素个数的问题，需要运用分析与转化的思想方法

题型七：集合的创新定义

例21.（2023•全国•校联考模拟预测）对于集合A,8,定义A-B={x|xeA,且xeB}.若

A={x|x=24+l,ZeN},B={x|x=3%+1,左eN},将集合A—8中的元素从小到大排列得到数列{%}，则

%+为=（）

A.55B.76C.110D.113

例22.（多选题）（2023•河南安阳•安阳一中校考模拟预测）由无理数引发的数学危机一直延续到19

世纪•直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金

分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000

多年的数学史上的第一次大危机•所谓戴德金分割，是指将有理数集。划分为两个非空的子集M与N,且

满足MuN=。，McN=0,M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（A/,N）为戴德金分割•试

判断下列选项中，可能成立的是（）

A.M={x\x<Q],N={x\x>0]是一个戴德金分割

B.M没有最大元素，N有一个最小元素

C.〃有一个最大元素，N有一个最小元素

D.M没有最大元素，N也没有最小元素

例23.（2023•湖北•统考二模）己知X为包含v个元素的集合（yeN*，v>3）.设A为由X的一些

三元子集（含有三个元素的子集）组成的集合，使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一

的一个三元子集中，则称（X,A）组成一个y阶的Steiner三元系.若（X,A）为一个7阶的Steiner三元系，则

集合A中元素的个数为.

【解题方法总结】

1、集合的创新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方

法并不难，难在转化.

2、集合的创新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”,

要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解。

真

1.(2021.全国•统考高考真题)设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},3={2,3,4},则A&3)=(

A.{3}B.{1,6}C.{5,6}D.{1,3}

2.（2022•全国•统考高考真题）设全集。={-2,-1,0,1,2,3}集合A={T2},3={x|/-4了+3=0},贝U

e(AuB)=()

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

3.（2020•全国•统考高考真题）已知集合人={（羽y）|羽”N*,y"},B={（x,y）\x-iy=S]9则Ac5中元素

的个数为（）

A.2B.3C.4D.6

第01讲集合

目录

考点要求考题统计考情分析

高考对集合的考查相对稳定，考

查内容、频率、题型、难度均变

2022年I卷II卷第1题，5

化不大.重点是集合间的基本运

分

算，主要考查集合的交、并、补

(1)集合的概念与表示2021年I卷II卷第1题，5

运算，常与一元二次不等式解法、

(2)集合的基本关系分

一元一次不等式解法、分式不等

(3)集合的基本运算2020年I卷n卷第1题，5

式解法、指数、对数不等式解法

分

结合.同时适当关注集合与充要条

件相结合的解题方法.

€B©O

集合中元素的三个特性：确定性'互异性'无序性

集合

・夯基•必备基础知识梳理

1、元素与集合

（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.

（2）元素与集合的关系：属于或不属于，数学符号分别记为：e和仁

（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（vem图）.

（4）常见数集和数学符号

数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号NN*或N,ZQR

说明：

①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何

一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合A={1,2,3,4,5}，可知lwA，在该集合中，

6箔A，不在该集合中；

②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出

现的.

集合A={a,b,c］应满足°声6*°.

③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合4={1,2,3,4,5}和8={1,3,5,2,4}是同

一个集合.

④列举法

把集合的元素一一列举出来，并用花括号"{1'括起来表示集合的方法叫做列举法.

⑤描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.

具体方法是:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，

再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

2、集合间的基本关系

（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合A、B,如果集合A中任意一个元素都是

集合3中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合8的子集，记作A=8

（或，读作“A包含于8”（或“8包含A”）.

（2）真子集（propersubset）：如果集合4屋8，但存在元素xeB，且》任4，我们称

集合A是集合B的真子集，记作A。8（或8）.读作“A真包含于B”或“3真包含A”•

（3）相等：如果集合A是集合B的子集（Ag3，且集合3是集合A的子集（A），

此时，集合A与集合8中的元素是一样的，因此，集合A与集合3相等，记作A=m

（4）空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作0；0是任何集合的

子集，是任何非空集合的真子集.

3、集合的基本运算

(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合8的所有元素组成的集合，称为A与B的

交集，记作A3，即AB={x\x&A,^x&B}-

(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合5的元素组成的集合，称为A与3的

并集，记作AB，即A3=A或xw8}.

(3)补集：对于一个集合A，由全集[/中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集

合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作QA，即CuAnfvIxeU,且ceA}.

4、集合的运算性质

⑴AcA=A，Ar>0-0>Ar\B=Br\A-

⑵A<JA=A>A<J0=A<A<JB=B<JA-

(3)Ac(CuA)=0，Au(GA)=U,C(7(C[/A)=A.

【解题方法总结】

(1)若有限集A中有〃个元素，则A的子集有2"个，真子集有才.1个，非空子集有

2"一1个，非空真子集有炉.2个.

(2)空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集.

(3)A=3oAB=AoAB=B<^>CuBc1CVA■

(4)C£AB)=(C£/A)..(C(;B),CC/(AB)=(QA)(QB)•

・提升・必考题型归纳

题型一：集合的表示：列举法、描述法

例1.(2023•广东江门•统考一模)已知集合A={-1,0,1},B={m|m2-leA，n-UA)，

则集合8中所有元素之和为()

A.0B.1C.-1D.^2

【答案】C

【解析】根据条件分别令疗-1=解得m=0,±L土&，

又m―1eA,所以加=—B=^―1,A/2,—A/2j.'

所以集合B中所有元素之和是」，

故选：C.

例2.(2023-江苏•高三统考学业考试)对于两个非空实数集合A和B，我们把集合

{x[x=a+/?,aeA,6e8}记作A*a若集合A={0,l},B={0,-1},则A*中兀素的个数为

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】A={O,1},B={O,-1},则A*B={0,-1,1},则A*3中元素的个数为3

故选：C

例3.（2023•全国•高三专题练习）定义集合A+B={x+eA且ye8}.已知集合

A={2,4,6},2={-1,1},则A+3中元素的个数为（）

A.6B.5C.4D.7

【答案】C

【解析】根据题意，因为A={2,4,6},B=

所以A+8={1,3,5,7}.

故选：C.

【解题总结】

1、列举法，注意元素互异性和无序性，列举法的特点是直观、一目了然.

2、描述法，注意代表元素.

题型二：集合元素的三大特征

例4.（2023•北京海淀•校考模拟预测）设集合{2机3},若—3eM，则实

数《!=（）

A.0B.-IC.0或_1D.0或1

【答案】C

【解析】设集合M={2机一1,m-3},若—3eM，

—3eM'.'.2m—l=—3^m—3=—3

当2加一1=一3时，根=一1，此时M={-3,-4};

当m—3=—3时'根=0,此时Af={-3,—1};

所以根=_1或0.

故选：C

例5.（2023•江西•金溪一中校联考模拟预测）已知集合A={l,q,耳，B={a2,a,ab]>

若A=3，则口2^+62022=（）

A._iB.0C.1D.2

【答案】A

【解析】由题意A=5可知，两集合元素全部相等，得至或!〃="，又根据集

\ab=b\ab=l

合互异性，可知awl，解得°=1（舍），］“=一1和［"=1（舍），所以。=一1，b=o,则

b=0\b=\

612023+/?2022=（_1）2023+02022=_1,

故选：A

例6.（2023•北京东城•统考一模）已知集合A=｛小2_2<0｝，且aeA，则。可以

为（）

A.-2B.-1C.1D.夜

【答案】B

【解析】；尤?-2<0，-&<x<应,，4=卜|-应｝,

可知一2走eA,故A、C、D错误；—第A，故B正确.

2〜,

故选：B

【解题方法总结】

1、研究集合问题，看元素是否满足集合的特征：确定性、互异性、无序性。

2、研究两个或者多个集合的关系时，最重要的技巧是将两集合的关系转化为元素间的

关系。

题型三：元素与集合间的关系

例7.（2023•河南•开封高中校考模拟预测）已知A=｛x|—依+1<0卜若2©A，

且3©4，则。的取值范围是（）

<5>„65101「「510、„（101

AA.-,+ooB.C.D.-oo,—

U）（23」L23JI3」

【答案】B

【解析】由题意，22-2a+l<0且32-3a+lN0，

23

故选：B

例8.（2023•吉林延边•统考二模）已知集合A=｛%|m：2-3%+2=0｝的元素只有一个，则

实数。的值为（）

A.-B.0C.2或0D,无解

88

【答案】C

【解析】集合A有一个元素，即方程加-3x+2=0有一解，

当〃二0时，4={耳〃犬2一3x+2=o}={x卜3%+2=0}={g},符合题意，

当awO时，ox?_3x+2=0有一解，

贝必=9_8]=0，解得：〃=2，

8

综上可得：。=0或々=2，

8

故选：C.

例9.（2023•全国•高三专题练习）已知集合A="x,y）|t+qwl,xeZ,yez1,则

A中元素的个数为（）

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【解析】由椭圆的性质得-2WxV2,_应VyV也，

又xeZ,yeZ,

所以集合4={（一2,0）,（2,0）,（1,0）,（0,1）,（0,-1）,（0,0）,（-1,1）,（T-l）,（l,1）,（1,T）}

共有11个元素.

故选：C

【解题方法总结】

1、一定要牢记五个大写字母所表示的数集，尤其是N与N*的区别.

2、当集合用描述法给出时，一定要注意描述的是点还是数，是还是.

题型四：集合与集合之间的关系

例10.（多选题）（2023•山东潍坊•统考一模）若非空集合满足：

MCN=N,M5=P，贝1J（）

A.P=MB.MP=M

C.TVUP=PD.McbpN=0

【答案】BC

【解析】由McN=N可得：N=M，由MP=P，可得〃=尸，则推不出PqM，

故选项A错误；

由M=P可得MP=M，故选项B正确；

因为NgM且〃口尸，所以N^P，则NuP=尸，故选项C正确；

由N=M可得：Mc60N不一定为空集，故选项D错误；

故选：BC

例11.（2023•江苏•统考一模）设M=卜卜=ez1,N==%+g,%eZ,,

则（）

A.MUNB.NCMc.M=ND.MCN=0

【答案】B

【解析】因为x=Z+g=g（24+1），因为无eZ，

所以集合N是由所有奇数的一半组成，

而集合M是由所有整数的一半组成，故NUM.

故选：B

例12.（2023辽宁沈阳•东北育才学校校考模拟预测）已知集合A={x|f-x-1240}，

B=|x2-3nvc+2m2+m-1<0}>若“尤eA"是的必要不充分条件，则实数机的取

值范围为（）

A.[-3,2]B.[-1,3]C"I]D'[2'|

【答案】C

【解析】由题意集合A={x|x2—x-12W0}=[-3,4]，

B=[X\J3—3mx+2»z2+m—1<0}={x|（x—m—l）（x—2m+l）<0}>

右m>2，则2;w—+此时B=（/77+1,2m—1），

因为“xeA”是“xeB''的必要不充分条件，故

2m—1<4

故vm+1>-3,2<m<—;

2

m>2

右相<2，则2加一止匕时8=（2%-l,:w+1），

因为“xeA”是“xeB”的必要不充分条件，故3冬A，

m+l<4

故<2AH-1>-3,/.-1<m<2；

m<2

右加=2，则2加一1=m+1，止匕时5=0，，两足

综合以上可得小T|

故选：c

例13.(2023•广东茂名•统考二模)已知集合人=卜卜|41卜3=卜|2%-"0},若A=

则实数。的取值范围是()

A.(2,+00)B.[2,+oo)C.(-oo,2)D.(-oo,2]

【答案】A

【解析1集合A=卜卜区1}=|x|-，B=卜卜<g.

要使Au_8,只需1<@,解得：a>2-

_2

故选：A

【解题方法总结】

1、注意子集和真子集的联系与区别.

2、判断集合之间关系的两大技巧：

(1)定义法进行判断

(2)数形结合法进行判断

题型五：集合的交、并、补运算

例14.(2023•广东广州统考二模)已知集合4=3卜=3〃一2,〃€叶}，B={6,7,10,11},

则集合Ac3的元素个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】因为4=卜卜=3〃-2,〃€屋}，8={6,7,10,11},则AB={7,10},

故集合Ac5的元素个数为2・

故选：B.

例15.(2023•河北张家口•统考二模)已知集合4={尤|(九-2)(4-x)〉0},

B=>01，则(疫A)U(RB)=()

A.(2,3)B.[3,4]C.(-8,2]33,+R)D.(-R,3]U[4,+动

【答案】C

【解析】A={x|(x-2)(4-x)>0}={x[2<x<4},B=—>Oj=[x|x<3}>

即A=(2,4),B=(-oo,3),

所以，\A=(-8,2]u[4,+8),\5=[3,+e),

所以，(瘠4)u(*)=(-8,2]D[3,+”).

故选：c.

例16.（2023•广东•统考一模）已知集合/={》|M尤-2）<0},N={x|x-l<0},则下

列Venn图中阴影部分可以表示集合{疝口<2}的是（）

B.

D.

【答案】B

【解析】x（x-2）<0=>0<x<2,x-l<0=>x<l,

选项A中Venn图中阴影部分表示MN=（0,l）,不符合题意；

选项B中Venn图中阴影部分表示孰（MN）=[l,2）,符合题意；

选项C中Venn图中阴影部分表示"（MN）=（-oo,0],不符合题意；

选项D中Venn图中阴影部分表示MN=（-8,2）,不符合题意，

故选：B

例17.（2023•全国•高三专题练习）2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推

出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群

体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有

50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国

大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建

党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三

支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为.

【答案】3

【解析】把大学社团50人形成的集合记为全集U,观看了《青春之歌》《建党伟业》《开

国大典》三

支短视频的人形成的集合分别记为4B,C,依题意，作出韦恩图，如图，

观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21人，则只看了《青春之歌》的有21-4-6-3=8

（人），

因观看了《建党伟业》的有23人，则只看了《建党伟业》的有23-4-7-3=9（人），

因观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有26-6-7-3=10（人），

因止匕，至少看了一支短视频的有3+4+6+7+8+9+10=47（人），

所以没有观看任何一支短视频的人数为50-47=3-

故答案为：3

【解题方法总结】

1、注意交集与并集之间的关系

2、全集和补集是不可分离的两个概念

题型六：集合与排列组合的密切结合

例18.（2023•全国•高三专题练习）设集合*={4，/,/吗}口汗，定义：集合

F={6+%,吗eX,。/e打}，集合S=小P卜,丁ewy},集合

T=分别用|S|，|T|表示集合S,T中元素的个数，则下列结论可能成

立的是（）

A.|S|=6B.|S|=16C.\T\=9D.|T|=16

【答案】D

【解析］不妨设1V4<a,</<%,贝Ua,+%的值为

%+出，4+/,q+%,+%,々2+。4，％+。4，

显然，q+/V弓+%V%+<々2+/V43+，所以集合y中至少有以上5个元素,

不妨设西=q+a2,x2=%+%,忍=4+a4,x4=a2+a4,x5=a3+a4，

XX<XX<XX

则显然西工2（玉龙3<占彳4cxi无5<253545）则集合S中至少有7个兀素,

所以IS1=6不可能，故排除A选项；

其次，若4+%w々2+4，则集合丫中至多有6个元素，则|$二=或=15<16，故排

除B项；

对于集合T,取乂={1,3,5,7},则¥={4,6,8,10,12}，此时

J121233445555631

|T|=16,故D项正确;

[3,5,2,3,5,4,5,3,，6,4,3,2,5,2,J

对于C选项而言，Ni手j,x产则土与土一定成对出现，।土一1土一1<o,所

X，xiI勺人玉）

以|T|一定是偶数，故C项错误.

故选：D.

例19.（2023全国模拟预测）已知集合满足A3={1,2,3},若入力台，且［A&B］,

[2&A]表示两个不同的“A8互衬对”，则满足题意的“AB互衬对“个数为（）

A.9B.4C.27D.8

【答案】C

【解析】当4=0时，集合8可以为{1,2,3};

当4={1}时，集合8可以为{2,3},{1,2,3};

当&={2}时,集合2可以为{1,3},{1,2,3};

当4={3}时，集合B可以为{1,2},{1,2,3};

当A={1,2}时，集合B可以为{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}：

当A={1,3}时，集合2可以为{2},{1,2},{2,3},{1,2,3}：

当A={2,3}时，集合B可以为⑴,{1,2},{1,3},{1,2,3};

当4={1,2,3}时,集合B可以为0,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}.

故满足题意的“AB互衬对”个数为27.

故选：C

例20.（2023•北京•中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知集合A满足:①A=N，

②片y，必有③集合人中所有元素之和为100，则集合A中元素个数

最多为（）

A.11B.10C.9D.8

【答案】B

【解析】对于条件①A=N，②必有

若集合中所有的元素是由公差为2的等差数列构成，例如{0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20},

集合中有11个元素，

又

0+2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=110>100,0+2+4+6+8+10+12+14+16+18=90<100

则该集合满足条件①②，不符合条件③，故符合条件③的集合A中元素个数最多不能超过

10个，

故若要集合A满足：①A=N，②Vx,ye力y,必有22,③集合A中所有兀

素之和为100，最多有10个元素，

例如A={0,2,4,6,8,10,12,15,18,25}.

故选：B.

【解题方法总结】

利用排列与组合思想解决集合或者集合中元素个数的问题，需要运用分析与转化的思

想方法

题型七：集合的创新定义

例21.（2023全国•校联考模拟预测）对于集合4,3,定义A-8={x|xwA,且xeB}.若

A={x|x=2左+l#eN}，B={x\x=3k+l,kEN}，将集合A—3中的元素从小到大排列得

到数列{%}，则%+生。=（）

A.55B.76C.110D.113

【答案】C

【解析】因为A={1,3,5,7,9,11,},B={1,4,7,10,13,16,19,22,25,},

所以A-2={3,5,9,11,15,.},所以为=21.人一台相当于集合人中除去

尤=6〃-5（〃eN*）形式的数，其前45项包含了15个这样的数，所以为=89.

则为+=110，

故选：C.

例22.（多选题）（2023•河南安阳•安阳一中校考模拟预测）由无理数引发的数学危

机一直延续到19世纪.直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分

割”来定义