数学同步优化指导(人教版选修4-5)课件：第4讲1课时数学归纳法

第四讲用数学归纳法证明不等式一数学归纳法1．理解并掌握数学归纳法的概念和数学归纳法的步骤．(重点)2．能够运用数学归纳法证明等式问题、证明几何问题、证明整除性等．(难点)1．数学归纳法的概念一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当_______时命题成立．(2)假设当____________________时命题成立，证明_______时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．n＝n0n＝k＋1n＝k(k∈N*，且k≥n0)2．数学归纳法的步骤(1)(归纳奠基)验证当n＝n0(n0为命题成立的起始自然数)时命题成立；(2)(归纳递推)假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时命题成立，推导__________时命题也成立．(3)结论：由(1)(2)可知，命题对一切n≥n0的自然数都成立．n＝k＋11．在数学归纳法中的n0是什么样的数？提示：n0是适合命题的正整数中的最小值，有时是n0＝1或n0＝2，有时n0值也比较大，不一定是从1开始取值．2．在用数学归纳法证明数学命题时，只有第一步或只有第二步可以吗？为什么？提示：不可以．这两个步骤缺一不可，只完成步骤①而缺少步骤②，就作出判断可能得出不正确的结论．因为单靠步骤①，无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确，我们无法判定．同样，只有步骤②而缺少步骤①时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤①这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤②也就没有意义了．3．用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)成立时，从n＝k到n＝k＋1左边需增乘的代数式是________．答案：2(2k＋1)1．数学归纳法与归纳法的关系归纳法是由一系列特殊事例得出一个结论的推理方法，它属于归纳推理．而数学归纳法是一种演绎推理方法，是一种证明命题的方法．2．应用数学归纳法的注意事项(1)数学归纳法的两个步骤缺一不可，第一步中验证n的初始值至关重要，它是递推的基础，但n的初始值不一定是1，而是n的取值范围内的最小值．(2)第二步证明的关键是运用归纳假设．在使用归纳假设时，应分析p(k)与p(k＋1)的差异与联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发，从p(k＋1)中分离出p(k)再进行局部调整．用数学归纳法证明等式问题【授之以渔】应用数学归纳法时应注意的问题(1)第一步的验证，对于有些问题验证的并不是n＝1，有时需验证n＝2，n＝3，甚至需要验证n＝10，如证明：对足够大的正整数n，有2n>n3，就需要验证n＝10时不等式成立．(2)n＝k＋1时式子的项数，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系式之间的关系时，项数发生什么变化容易被弄错．因此对n＝k与n＝k＋1时关系式的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障．(3)“假设n＝k(k≥n0且k∈N*)时命题成立，利用这一假设证明n＝k＋1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，因此在第二步的证明过程中一定要用上归纳假设，否则这样的证明就不再是数学归纳法了．另外在推导过程中要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性．1．求证：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·5…(2n－1)(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，等式左边＝2，等式右边＝2×1＝2，∴等式成立．(2)假设n＝k(k∈N*)等式成立，即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1·3·5…(2k－1)成立．那么n＝k＋1时，(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝2(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)＝2k＋1·1·3·5…(2k－1)·[2(k＋1)－1]．即n＝k＋1时等式也成立．由(1)(2)可知对任何n∈N*等式均成立．

平面上有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成了f(n)＝n2－n＋2部分．思路点拨：用数学归纳法证明几何问题，主要是搞清楚当n＝k＋1时比n＝k时分点增加了多少，区域增加了几块，本题中第k＋1个圆被原来的k个圆分成2k条弧，而每一条弧把它所在部分分成了两部分，此时共增加了2k个部分，问题就得到了解决．用数学归纳法证明几何问题证明：(1)当n＝1时，一个圆把平面分成两部分，且f(1)＝1－1＋2＝2，因此，n＝1时命题成立．(2)假设n＝k(k≥1)时，命题成立，即k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2部分．如果增加一个满足条件的任一个圆，那么这个圆必与前k个圆交于2k个点．这2k个点把这个圆分成2k段弧，每段弧把它所在的原有平面分成为两部分．因此，这时平面被分割的总数在原来的基础上又增加了2k部分，即有f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2.即当n＝k＋1时，f(n)＝n2－n＋2也成立．根据(1)(2)，可知n个圆把平面分成了f(n)＝n2－n＋2部分．【授之以渔】数学归纳法证明几何问题的技巧(1)几何问题常常是先探索出满足条件的公式，然后加以证明，探索的方法是由特殊n＝1,2,3，…，猜出一般结论．(2)数学归纳法证明几何问题的关键在于分析清楚n＝k与n＝k＋1时二者的差异，这时常常借助图形的直观性，然后用数学式子予以描述，建立起f(k)与f(k＋1)之间的递推关系，实在分析不出的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可．(3)利用数学归纳法证明几何问题要注意利用数形结合寻找公式，还要注意结论要有必要的文字说明．

用数学归纳法证明(x＋1)n＋1＋(x＋2)2n－1(n∈N*)能被x2＋3x＋3整除．思路点拨：证明多项式的整除问题，关键是在(x＋1)n＋1＋(x＋2)2n－1中凑出x2＋3x＋3.用数学归纳法证明整除性【授之以渔】用数学归纳法证明整除问题的关键点(1)用数学归纳法证明整除问题的关键是利用增项、减项、拆项、并项、因式分解等恒等变形的方法去凑假设、凑结论，从而利用归纳假设使问题获证．(2)与n有关的整除问题一般都用数学归纳法证明，其中关键问题是从n＝k＋1时的表达式中分解出n＝k时的表达式与一个含除式的因式或几个含除式的因式．3．求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．(2)假设当n＝k(k≥1)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1，由归纳假设，以上两项均能被a2＋a＋1整除，故当n＝k＋1时，命题也成立．由(1)(2)可知，对n∈N*命题都