苏科版2024-2025学年九年级数学上册 确定圆的条件（知识梳理与考点分类讲解）

专题2.7确定圆的条件（知识梳理与考点分类讲解）

第一部分【知识点归纳】

【知识点一】确定圆的条件

过不在同一直线上的三个点确定一个圆.

【要点提示】（1）过一点可以作无数个圆；（2）过两点可以作无数个圆；（3）过三个能作

一个圆，但前提是三点不共线.

【知识点二】三角形的外接圆与外心

1、三角形的外接圆：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆

的圆心叫三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.

【要点提示】（1）“内”“外”是相对的位置关系，是以一个图形为准，另一个图形相对在

其内还是外；（2）“接”说明三角形的顶点和圆的关系是顶点在圆上；（3）一个三角形的

外心有且只有一个，而一个圆的内接三角形有无穷多个.

2、三角形外心的性质：三角形外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的

距离相等.

3、三角形外心的位置：锐角三角形的外心在其内部；直角三角形外心是其斜边的中点；钝

角三角形外心在其外部.

第二部分【题型展示与方法点拨】

【题型1】三角形外接圆的理解与作图

【例1】（22-23九年级上•陕西西安•期末）如图，是AABC的外接圆，请利用尺规作图法，作出劣弧

BC的中点。（保留作图痕迹，不写作法）.

【变式1】下列语句中，正确的是（）

A.同一平面上的三点确定一个圆

B.三角形的外心到三角形三边的距离相等

C.三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点

D.菱形的四个顶点在同一圆上

【变式2】（2022•江苏泰州•二模）如图，点。是0ABC的外心，连接OB,若回O8A=17。，贝帼C的度数

为_______

【题型2】判断确定圆的条件

【例2】（20-21九年级下•全国•课后作业）图，在四边形4BC。中，A8=6,BC=8,CD=24,AD=26,ZB=90°,

以A。为直径作圆O,证明点C在圆。上；

【变式1】（23-24九年级上•江苏无锡•期中）下列说法中正确的命题是（）

A.一个三角形只有一个外接圆

B.平分弦的直径，平分这条弦所对的弧

C.过三点可以画一个圆

D.三角形的外心到三角形的三边距离相等

【变式2】（2023•安徽合肥•二模）如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=4,M,N分别是BC,CO上

的动点，连接40,BN交于点、E,且NBND=ZAMC.

（1）ZAEB=.

（2）连接CE,则CE的最小值为.

【题型3】求外接圆的半径或外心坐标

【例3】（23-24九年级上•江苏镇江•期中）如图，在“IBC中，BC=16,AB=AC=10.

（1）尺规作图：作AABC的外接圆（保留作图痕迹）；

（2）求（1）中所作外接圆的半径R.

【变式1】（23-24九年级上,河北邯郸,期中）如图，点A、B、C都是格点，AABC外接圆的圆心坐标

是（）

A.（2,3）B.（0,4）C.（1,4）D.（3,4）

【变式2】（2023•湖北襄阳•二模）在Rt/XABC中，48=6,BC=8,则这个三角形的外接圆的半径是

【题型4】与外心相关的综合题

【例4】（2024•江苏常州•一模）如图，在△ABD中，ZDAB=ZDBA,AC1BD交班）的延长线于点C,

交AD的延长线于点E.

（1）求证：ABDE冬AADC.

（2）运用无刻度的直尺和圆规画出“LBC的外接圆，且当AD=3,DE=2时，AABC的外接圆半径为

cE

【变式1】（21-22九年级上•湖北武汉•期末）如图是一个含有3个正方形的相框，其中团28=回。所=

90°,AB=2,CD=3,EF=5,将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使A,G,〃三点刚好在金属框上，则

该金属框的半径是（）

A.—\/10B.一\/5C.5-^2D.—A/2

222

【变式2】（2023•河北沧州,模拟预测）如图，点。为A/RC的外心，过点。分别作AB、AC的垂线4、12,

交BC于D、E两点.

（1）若ND4E=50。，则/B4c的度数为；

（2）过点。作OP,3c于点RBF=5cm,则VADE的周长为

第三部分【中考链接与拓展延伸】

1、直通中考

【例1】（2023•内蒙古•中考真题）如图，是锐角三角形A3C的外接圆，OD1AB,OE1BC,OF1AC,

垂足分别为2瓦尸，连接DE,EF,FD.若DE+O歹=6.5,Z\ABC的周长为21,则跳'的长为（）

A

A.8B.4C.3.5D.3

【例2】（2021•广西梧州•中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A（0,1）,B（0,-5）,若在x

轴正半轴上有一点C,使0ACB=3O。，则点C的横坐标是（）

A.373+472B.12C.6+36D.6旧

2、拓展延伸

【例1】（2022•云南昆明•一模）如图，在回ABCD中，点石是8的中点，点尸是BC边上的点，AF^AD+FC,

由A,E,E三点确定的圆的周长为/.

（1）求证：AE平分NZMF；

(2)若AE=BE,AB=4,AD=5,求/的值.

【例2】（2022八年级上•江苏•专题练习）在平面直角坐标系xOy中，点A、8分别在x轴负半轴、y轴正

半轴上C（a，-a）（“为常数），以C为圆心、适当的长度为半径作G）C,使点43在0c上.

（1）请用无刻度的直尺和圆规作出G）C.（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）若。4=8,03=6,直线＞=x+6与。C有且只有一个公共点，贝=

专题2.7确定圆的条件（知识梳理与考点分类讲解）

第一部分【知识点归纳】

【知识点一】确定圆的条件

过不在同一直线上的三个点确定一个圆.

【要点提示】（1）过一点可以作无数个圆；（2）过两点可以作无数个圆；（3）过三个能作

一个圆，但前提是三点不共线.

【知识点二】三角形的外接圆与外心

1、三角形的外接圆：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆

的圆心叫三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.

【要点提示】（1）“内”“外”是相对的位置关系，是以一个图形为准，另一个图形相对在

其内还是外；（2）“接”说明三角形的顶点和圆的关系是顶点在圆上；（3）一个三角形的

外心有且只有一个，而一个圆的内接三角形有无穷多个.

2、三角形外心的性质：三角形外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的

距离相等.

3、三角形外心的位置：锐角三角形的外心在其内部；直角三角形外心是其斜边的中点；钝

角三角形外心在其外部.

第二部分【题型展示与方法点拨】

【题型11三角形外接圆的理解与作图

【例1】（22-23九年级上•陕西西安•期末）如图，是AASC的外接圆，请利用尺规作图法，作出劣弧

8c的中点。（保留作图痕迹，不写作法）.

【答案】见解析.

【分析】分别以点5、点C为圆心，大于BC一半长为半径在线段BC同侧画弧，两弧交于一点；因为0。

是44BC的外接圆，圆心。到点8与点C的距离相等，即圆心。是线段BC垂直平分线上的点，过两弧的

交点与圆心。作直线，即线段8C的垂直平分线，其与劣弧BC的交点即所求.

解：如图，点。即所求.

【点拨】本题考查了三角形外接圆的性质、垂直平分线的作法及性质等知识点，正确把握垂直平分线的作

法是解这道题的关键.

【变式1】下列语句中，正确的是（）

A.同一平面上的三点确定一个圆

B.三角形的外心到三角形三边的距离相等

C.三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点

D.菱形的四个顶点在同一圆上

【答案】C

【分析】本题考查外心定义，圆的定义，垂直平分线性质，圆内接四边形性质.根据题意逐一对选项进行

分析即可得到本题答案.

解：田同一平面内，不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，故A选项不正确；

团三角形外心是三角形三边垂直平分线的交点，根据垂直平分线性质可知外心到三角形三个顶点距离

相等，故B选项不正确，C选项正确；

团圆内接四边形对角互补，菱形对角相加不一定等于180。，故D选项不正确,

故选：c.

【变式2】（2022•江苏泰州•二模）如图，点。是因1BC的外心,连接08,若团。及1=17°,则国C的度数

为_______

【分析】连接Q4,OC,根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论.

解：连接Q4,OC,

・・•点。是A4BC的外心，

:.OA=OB=OC,

/.ZOBA=ZOAB,ZOAC=ZOCA,ZOBC=ZOCB,

・・・ZOBA=17°,

.\ZGWB=17°,

・・・ZOBC+ZOCB+ZOCA+ZACO=180-ZOBA-ZOAB=180。-17。—17。=146°

即ZOBC-^-ZOCB+ZOCA+ZACO=146°,

/.2ZOCB+2ZACO=146°,

.-.ZOCB+ZACO=73°,

:.ZBCA=73°.

故答案为：73.

【点拨】本题主要考查三角形的外接圆与外心，三角形的内角和，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线

是解题的关键.

【题型2】判断确定圆的条件

【例2】(20-21九年级下•全国•课后作业)图，在四边形4BC。中，AB=6,8C=8,8=24,4)=26,ZB=90°,

以为直径作圆O,证明点C在圆。上；

【答案】证明见解析

【分析】连接CO；由勾股定理求出AC,利用勾股定理的逆定理证明AAC。是直角三角形，得出/AC£)=90。；

再根据斜边上中线的性质和圆的对称性分析，即可完成证明.

解：图，连接C。

VAB=6,BC=8,ZB=90°,

AC=7AB2+BC2=10

：CD=24,AD=26

AD2=AC2+CD2

•,.△ACD是直角三角形，

ZACD=90°

：AD为。O的直径

.•.AO=OD

AOC为RtAACD斜边上的中线

OC=-AD^AO=OD

2

...点C在圆O上.

【点拨】本题考查了圆、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、勾

股定理及其逆定理、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解.

【变式1】（23-24九年级上,江苏无锡•期中）下列说法中正确的命题是（）

A.一个三角形只有一个外接圆

B.平分弦的直径，平分这条弦所对的弧

C.过三点可以画一个圆

D.三角形的外心到三角形的三边距离相等

【答案】A

【分析】根据三角形的外接圆、垂径定理的推论、确定圆的条件、三角形的外心的概念判断即可.本题考查的是命题的真假

判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.

解：A、一个三角形只有一个外接圆，命题正确，符合题意；

B、平分弦（不是直径）的直径，平分这条弦所对的弧，故本选项命题错误，不符合题意；

C、过不在同一直线上的三点可以画一个圆，故本选项命题错误，不符合题意；

D、三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，故本选项命题错误，不符合题意；

故选：A.

【变式2】（2023•安徽合肥•二模）如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=4,M,N分别是BC,CD±.

的动点，连接40,BN交于点、E,且=

（1）ZAEB=.

（2）连接CE,则CE的最小值为.

【答案】90°/90度2

【分析】（1）由=N3N。+ZBNC=180。推出+=180。，最后利用矩形的性

质即可得解；

（2）先确定£点的运动路径是个圆，再利用圆的知识和两点这间线段最短确定CE最短长度，然后利用勾

股定理即可得解.

解：（1）®NBND=ZAMC,NBND+NBNC=180。,

0ZBNC+ZAMC=180°,

0Z.NEM+Z.NCM=180°

.回四边形ABCD是矩形，

0ZBCD=90°,NNEM=90。,

0ZAEB=9O°,

故答案为90。.

（2）回NA£B=90。，点E在以A3为直径的圆上，设A3的中点为O,则当。，E,C三点共线时，CE的

值最小，此时CE=OC—OE=OC—0B

回OB=—AB=3,

2

^OC^yJOB1+BC2=V32+42-5，

^\CE=OC-OB=2,

故答案为2.

【点拨】本题考查了矩形的性质，勾股定理，最短距离，圆等知识的应用，熟练掌握其性质是解决此题的

关键.

【题型3】求外接圆的半径或外心坐标

【例3】（23-24九年级上•江苏镇江•期中）如图，在中，BC=16,AB=AC=10.

（1）尺规作图：作AABC的外接圆（保留作图痕迹）；

（2）求（1）中所作外接圆的半径R.

A

BC

【答案】⑴作图见解析。述二可

【分析】(1)根据题意，AASC是等腰三角形，作出边AC、3c的中垂线，交点即为AABC的外接圆圆心

0,连接圆心与A/RC的一个顶点以这个线段长为半径作圆即可得到答案；

(2)如图所示，由垂径定理可知3c于。，且O3=OC,再由勾股定理求出线段长即可得到答案.

(1)解：如图所不：

.•.0。即为所求;

(2)解：如图所示:

OA_LBC于Z),且=BC=16,AB=10f

:.BD=-BC^8,

2

在Rt/VU®中，NAZ阳=90。，则ADAAB-Bif=JlO?-8?=6,

在RUB0D中，ZDOB=90°,贝U。左=。。之十台。?，

25

设O5=R,贝lJOD=H—6,即尺2=(R_6)9+64,解得R=§,

(1)中所作外接圆的半径H=?25.

【点拨】本题考查尺规作图及圆中求线段长，涉及中垂线尺规作图、圆的确定、垂径定理与勾股定理等知

识，熟练掌握圆的性质是解决问题的关键.

【变式1】（23-24九年级上•河北邯郸・期中）如图，点A、B、C都是格点，AABC外接圆的圆心坐标

A.（2,3）B.（0,4）C.（1,4）D.（3,4）

【答案】B

【分析】本题考查了三角形的外接圆的外心，作线段AC8c的垂直平分线交于点。，点。即为的

外接圆的圆心.

解：如图，作线段AC的垂直平分线交于点。，点。即为A/RC的外接圆的圆心，

由图可知，点。的坐标是：（0,4）,

故选：B.

【变式2】（2023•湖北襄阳•二模）在Rt^ABC中，AB=6,BC=8,则这个三角形的外接圆的半径是.

【答案】4或5

【分析】本题考查了直角三角形外接圆半径，掌握理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长

的一半为半径的圆是解题的关键.

根据外接圆直径是斜边长，分斜边为3c和AC两种情况进行讨论计算即可.

解：当3C为Rt^ABC斜边时，BC=8

■■■/A是直角，

二三角形外接圆直径8c=8,

••・半径是4；

当AC为RtAABC斜边时，

•.•/3为直角，

AC2=AB2+BC2,

:.AC=^62+82=10>

•••三角形外接圆直径为AC=10

二半径是5；

综上所述：半径为4或5.

【题型4】与外心相关的综合题

【例4】(2024•江苏常州•一模)如图，在△ABD中，ZDAB=NDBA,AC1交3。的延长线于点C,

3ELAD交AO的延长线于点E.

(1)求证：ABDE'ADC.

(2)运用无刻度的直尺和圆规画出AABC的外接圆，且当A£>=3,Z)E=2时，AABC的外接圆半径为

CE

AB

【答案】⑴见解析(2)作图见解析，叵

2

【分析】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键.

(1)由“AAS"可证ABDE'ADC;

(2)分别作AB,AC的垂直平分线，两条直线交于点O,以点。为圆心，Q4长为半径画圆即可画出AABC

的外接圆，由勾股定理可求BE,的长，即可求解.

解：(1))证明：-.ZDAB=ZDBA,

AD=BD,

又ACLBD.BELAD,

ZC=ZE=90°,

在△3DE和AADC,

ZE=ZC

<NBDE=/ADC,

BD=AD

.•.△BZ>E^AAZ）C（AAS）；

。一-—

⑦DE=2,BD=AD=3,

⑦BE=dBlf-DE2=5AE=AD+DE=5,

^AB=^BE2+AE2=^（V5）2+52=730,

.•△ABC的外接圆半径=148=画，

22

故答案为：叵.

2

【变式1】（21-22九年级上•湖北武汉•期末）如图是一个含有3个正方形的相框，其中aBCD=aDEF=

90。，43=2,CD=3,EF=5,将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使A,G,X三点刚好在金属框上，则

该金属框的半径是（）

A.—y/10B.—s/5C.5V2D.—A/2

222

【答案】A

【分析】如图，记过A，G,〃三点的圆为eQ,则Q是用，AG的垂直平分线的交点，QH=QG^QA,记

尸加上尸的交点为认的交点为M,延长交QM于P,P”为用的垂直平分线，结合正方形的

性质可得：人「人尸加,再设尸Q=x，利用勾股定理建立方程，再解方程即可得到答案.

解：如图，记过4G,H三点的圆为e。,则。是用，AG的垂直平分线的交点，QH=QG^QA,

记的交点为N,的交点为M,延长AB交于P,为龙的垂直平分线，结合正

方形的性质可得：AP人PM,

••・四边形"GEE为正方形，则“G〃斯,

\QM人HG,QM八EF,

设尸。=%而AB=2,CD=3,EF=5,结合正方形的性质可得:

\NQ=5-X,

ffi]HM2+MQ2=HQ2,

HM=；HG=；EF=g,MN=EF=5,MQ=5+5-x=10-尤,

\HQ2=y+（10-尤），

XAQ2=PQ2+AP2,AP=2+3+|=y,

\+鼠

\25、22225

'彳+（/i1n°叫+工，

【点拨】本题考查的是正方形的性质，三角形外接圆圆心的确定，圆的基本性质，勾股定理的应用，二次

根式的化简，确定过4G,H三点的圆的圆心是解本题的关键.

【变式2】（2023•河北沧州•模拟预测）如图，点。为“LBC的外心，过点。分别作43、AC的垂线八%,

交8C于。、E两点.

(1)若/D4E=50。，则/BAC的度数为；

(2)过点。作3c于点RBF=5cm,则VADE的周长为

A

【答案】115°10cm

【分析】(1)由线段垂直平分线的性质得NB4D=NABC,ZCAE=ZACB,从而有NADE=2ZABC,

ZAED=2ZACB,由三角形内角和定理NAOE+NAED=130。，从而由4AC=NB4D+NC4E+NZME可

求得结果；

(2)连接。4、OB、OC,由已知可得点。在线段3C的垂直平分线上，则可得8c=10cm；再利用线段

垂直平分线的性质得也=5£>,EA=EC,最后可求得周长的值.

解：(工)团点。为AABC中的外心，ZjlAB,l2LAC,

回4、4是AB、AC的垂直平分线，

0AD=BD,EA=EC,

^\ZBAD=ZABC,ZCAE=ZACB,

SZADE=ZBAD+ZABC=2ZABC,ZAED=ZCAE+ZACB=2ZACB,

0ZDAE+ZADE+ZAED=180°,

0ZADE+ZAED=180°-50°=130°,

0/BAD+ZCAE=1(ZADE+ZAED)=65°,

0ABAC=/BAD+ZCAE+ZDAE=65°+50°=115°;

故答案为：115。；

(2)连接OA、OB、OC,

别是AB边的垂直平分线，4是AC边的垂直平分线，

回OA=OB,OA=OC,

⑦OB=OC,

回点O在线段5C的垂直平分线上，

0OF1BC,

EBC=2BF=10cm,

BAD=BD,EA=EC,

S'VADE的周长=AD+AE+DE=BD+DE+EC=BC=10cm.

故答案为：10cm.

【点拨】本题考查了三角形的外心，线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，掌握线段

垂直平分线的性质与判定是关键.

第三部分【中考链接与拓展延伸】

1、直通中考

【例1】（2023•内蒙古•中考真题）如图，。。是锐角三角形ABC的外接圆，OD±AB,OE±BC,OF±AC,

垂足分别为2及尸，连接DE,EF,FD.若DE+。尸=6.5,4A8C的周长为21,则瓦'的长为（）

A.8B.4C.3.5D.3

【答案】B

【分析】根据三角形外接圆的性质得出点。、E、尸分别是AB、BC、AC的中点，再由中位线的性质及三

角形的周长求解即可.

解：回。。是锐角三角形A5c的外接圆，

回点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，

S\DF=-BC,DE=-AC,EF=-AB,

222

^DE+DF=6.5,△ABC的周长为21,

回CB+G4+AB=21即2DF+2DE+2EF=21,

0EF=4,

故选：B.

【点拨】题目主要考查三角形外接圆的性质及中位线的性质，理解题意，熟练掌握三角形外接圆的性质是

解题关键.

【例2】(2021•广西梧州•中考真题)在平面直角坐标系中，已知点A(0,1),B(0,-5),若在x

轴正半轴上有一点C,使0AC8=3O。，则点C的横坐标是()

A.3肉40B.12C.6+373D.673

【答案】A

【分析】如图，作AABC的外接圆。。，连接过。作轴于"，作。轴于G,则四

边形0GoH是矩形，再证明是等边三角形，再分别求解即可得到答案.

解：如图，作A/RC的外接圆。，连接DA,Z况£>C,过。作无轴于“，作。轴于G,则四边形

A（0,l）,B（0,-5）,ZACB=30°,

AB=6,ZADB=60°,DA=DB,

.\^ABD是等边三角形，

AG=BG=3,DG=后4=34，

OH=DG=3,DH=OG=AG-AO=2,

:.CH=^Clf-DH-=V62-22=472,

OC=OH+CH=3y/3+4^/2.

.■.C（3^/3+4A/2,0）.

故选：A

【点拨】本题考查的是坐标与图形，三角形的外接圆的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，矩

形的判定与性质，勾股定理分应用，灵活应用以上知识解题是解题的关键.

2、拓展延伸

【例1】（2022•云南昆明•一模）如图，在回ABCD中，点后是。。的中点，点尸是3C边上的点，AF^AD+FC,

由A,E,歹三点确定的圆的周长为/.

（1）求证：AE平分NZMF；

AD=5,求/的值.

【分析】（1）延长AE交3c延长线于点先证VADE回AHCE得AD=HC、AE=HE及

AD+FC=HC+FC,结合AF=AD+bC得=根据=即可得证;

(2)先证ZABF=90°得出AF2=AB2+BF2=16+(5-FC)2=(FC+CH)2=(FC+5)2,据止匕求得尸C的长,

从而得出AF的长度，再由AE="E、”=切知小_L4/,即AF是尸的外接圆直径，从而得出答

案.

.-.AD//BC,

:.ZADE=NHCE,ZDAE=ZCHE,

•.•E为。的中点，

CE=ED,

:NADEgAHCE,

：.AD=HC,AE=HE,

:.AD+FC=HC+FC,

由AF