黑龙江省绥化市青冈县第一中学2025届高二数学第一学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析

黑龙江省绥化市青冈县第一中学2025届高二数学第一学期期末质量跟踪监视模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．命题“存在，”的否定是（）A.存在， B.存在，C.对任意， D.对任意，2．若，则（）A.1 B.2C.3 D.43．变量，之间有如下对应数据：3456713111087已知变量与呈线性相关关系，且回归方程为，则的值是（）A.2.3 B.2.5C.17.1 D.17.34．若函数有两个零点，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.5．已知奇函数，则的解集为（）A. B.C. D.6．若圆与圆相切，则的值为（）A. B.C.或 D.或7．已知数列满足，，则（）A. B.C.1 D.28．在等腰中，在线段斜边上任取一点，则线段的长度大于的长度的概率（）A. B.C. D.9．在某次赛车中，名参赛选手的成绩（单位：）全部介于到之间（包括和），将比赛成绩分为五组：第一组，第二组，···，第五组，其频率分布直方图如图所示.若成绩在内的选手可获奖，则这名选手中获奖的人数为A. B.C. D.10．对于公差为1的等差数列，；公比为2的等比数列，，则下列说法不正确的是（）A.B.C.数列为等差数列D.数列的前项和为11．已知直线l经过，两点，则直线l的倾斜角是（）A.30° B.60°C.120° D.150°12．如图，四棱锥的底面是矩形，设，，，是棱上一点，且，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如下图（1）所示.如图（2）所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形MNPQ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案.如图（2）阴影部分，设直角三角形AEH面积为，直角三角形EMQ面积为，后续各直角三角形面积依次为，…，，若数列的前n项和恒成立，则实数的取值范围为______.14．已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是__________15．为和的等差中项，则_____________.16．已知直线，，为抛物线上一点，则到这两条直线距离之和的最小值为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知为各项均为正数的等比数列，且，.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列前n项和.18．（12分）已知圆经过，且圆心C在直线上（1）求圆的标准方程；（2）若直线：与圆存在公共点，求实数的取值范围19．（12分）在等差数列中，记为数列的前项和，已知：.（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的的值.20．（12分）已知函数.（1）求函数的极值；（2）是否存在实数，，，对任意的正数，都有成立？若存在，求出，，的所有值；若不存在，请说明理由.21．（12分）为了解某城中村居民收入情况，小明利用周末时间对该地在岗居民月收入进行了抽样调查，并将调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据直方图估算：（1）在该地随机调查一位在岗居民，该居民收入在区间内的概率；（2）该地区在岗居民月收入的平均数和中位数；22．（10分）已知椭圆过点，且离心率.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点在椭圆上，且在第一象限内，点分别为椭圆的左、右顶点，直线分别与椭圆C交于点，过作直线的平行线与椭圆交于点，问直线是否过定点，若经过定点，求出该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】特称命题的否定：将存在改任意并否定原结论，即可知正确答案.【详解】由特称命题的否定为全称命题，知：原命题的否定为：对任意，.故选：D2、C【解析】由二项分布的方差公式即可求解.【详解】解：因为，所以.故选：C.3、D【解析】将样本中心点代入回归方程后求解【详解】，，将样本中心点代入回归方程，得故选：D4、C【解析】函数有两个零点等价于方程有两个根，等价于与图象有两个交点，通过导数分析的单调性，根据图象即可求出求出的范围.【详解】函数有两个零点，方程有两个根，，分离参数得，与图象有两个交点，令，，令，解得当时，，在单调递增，当时，，在单调递减，且在处取得极大值及最大值，可以画出函数的大致图象如下：观察图象可以得出.故选：C.【点睛】本题主要考查函数零点的应用，构造函数求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系是解决本题的关键.5、A【解析】先由求出的值，进而可得的解析式，对求导，利用基本不等式可判断恒成立，可判断的单调性，根据单调性脱掉，再解不等式即可.【详解】的定义域为，因为是奇函数，所以，可得：，所以，经检验是奇函数，符合题意，所以，因为，所以，当且仅当即时等号成立，所以在上单调递增，由可得，即，解得：或，所以的解集为，故选：A.6、C【解析】分类讨论:当两圆外切时，圆心距等于半径之和；当两圆内切时，圆心距等于半径之差，即可求解.【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为.①当两圆外切时，有，此时.②当两圆内切时，有，此时.综上，当时两圆外切；当时两圆内切.故选：C【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，解答两圆相切问题时易忽略两圆相切包括内切和外切两种情况.解答时注意分类讨论，属于基础题.7、C【解析】结合递推关系式依次求得的值.【详解】因为，，所以，得由，得.故选：C8、C【解析】利用几何概型的长度比值，即可计算.【详解】设直角边长，斜边，则线段的长度大于的长度的概率.故选：C9、A【解析】先根据频率分布直方图确定成绩在内的频率，进而可求出结果.【详解】由题意可得：成绩在内的频率为，又本次赛车中，共名参赛选手，所以，这名选手中获奖的人数为.故选A【点睛】本题主要考查频率分布直方图，会根据频率分布直方图求频率即可，属于常考题型.10、B【解析】由等差数列的通项公式判定选项A正确；利用等比数列的通项公式求出，即判定选项B错误；利用对数的运算和等差数列的定义判定选项C正确；利用错位相减法求和，即判定选项D正确.【详解】对于A:由条件可得，，即选项A正确；对于B：由条件可得，，即选项B错误；对于C：因为，所以，则，即数列是首项和公差均为的等差数列，即选项C正确；对于D：，设数列的前项和为，则，，上面两式相减可得，所以，即选项D正确.故选：B.11、C【解析】设直线l的倾斜角为，由题意可得直线l的斜率，即，∵，∴直线l的倾斜角为，故选：.12、B【解析】根据空间向量基本定理求解【详解】由已知故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、或【解析】先求正方形边长的规律，再求三角形面积的规律，从而就可以求和了，再解不等式即可求解.【详解】由题意，由外到内依次各正方形的边长分别为，则，，……，，于是数列是以4为首项，为公比的等比数列，则.由题意可得：，即……，于是.，故解得或.故答案为：或14、【解析】根据投影向量的知识求得正确答案.【详解】空间向量在坐标平面上的投影向量是.故答案为：15、【解析】利用等差中项的定义可求得结果.【详解】由等差中项的定义可得.故答案为：.16、【解析】过作，垂足分别为，由直线为抛物线的准线，转化，当三点共线时，取得最小值【详解】过作，垂足分别为抛物线的焦点为直线为抛物线的准线由抛物线的定义，故，当三点共线时，取得最小值故最小值为点到直线的距离：故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）先通过等比数列的基本量运算求出公比，进而求出通项公式；（2）结合（1）求出，然后根据错位相减法求得答案.【小问1详解】设等比数列公比为q,,,，（负值舍去），所以.【小问2详解】，，所以，解得：.18、（1）（2）【解析】（1）因为圆心在直线上，可设圆心坐标为，利用圆心到圆上两点的距离相等列出等式求解即可.（2）直线与圆存在公共点，即圆心到直线的距离小于等于半径，列出不等关系求解即可.【小问1详解】解：因为圆心在直线上，所以设圆心坐标为，因为圆经过，，所以，即：，解方程得，圆心坐标为，半径为，圆的标准方程为：【小问2详解】圆心到直线的距离且直线与圆有公共点即19、（1）；（2）或.【解析】(1)根据给定条件求出数列的公差及首项即可计算作答.(2)由(1)求出，建立方程求解作答.【小问1详解】设等差数列公差为，因，则，解得，于是得，所以数列的通项公式为：.【小问2详解】由(1)知，，由得：，即，解得或，所以使成立的的值是或.20、（1）极小值为：，无极大值（2），，【解析】（1）先求导求单调性，再判断极值点求极值即可；（2）易知，只需要为函数和的公切线即可，求出公切线，代入后分别证明和成立即可.【小问1详解】由题意知：，令，解得，令，解得，所以函数在单调递增，在单调递减，所以为函数的极小值点，即极小值为：，无极大值.【小问2详解】设，易知，所以点是和的公共点，要使成立，只需要为函数和的公切线即可，由（1）知，，所以在点处的切线为：，同理可得在点处的切线为：，由题意知为同一条直线，所以解得，即等价于；下面证明这个式子成立：首先证明等价于，设，所以，恒成立，所以单调递增，易知，所以当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增，所以，故不等式成立，即成立；再证明：等价于，设，所以，所以当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减，所以，故不等式成立，即成立；综上所述，存在，，使得成立.故：，，.【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.21、（1）（2）平均数为；中位数为.【解析】（1）直接根据概率和为1计算得到答案.（2）根据平均数和中位数的定义直接计算得到答案.【小问1详解】该居民收入在区间内的概率为：【小问2详解】居民月收入的平均数为：.第一