北京市丰台区2025届高三数学下学期3月综合练习一模试题一含解析

PAGEPAGE15北京市丰台区2025届高三数学下学期3月综合练习（一模）试题（一）（含解析）本试卷满分共150分考试时间120分钟留意事项：1.答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清晰，并仔细核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。2.本次考试全部答题均在答题卡上完成。选择题必需运用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。非选择题必需运用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清晰。3.请严格根据答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。4.请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，，则（A）（B）（C）（D）（2）在复平面内，复数，则对应的点位于（A）第一象限（B）其次象限（C）第三象限（D）第四象限（3）已知双曲线的离心率是，则（A）（B）（C）（D）（4）在平面直角坐标系中，角以为始边，且.把角的终边绕端点逆时针方向旋转弧度，这时终边对应的角是，则（A）（B）（C）（D）（5）若直线是圆的一条对称轴，则的值为（A）（B）（C）（D）（6）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥中最长的棱长为（A）2（B）（C）（D）4（7）为抛物线上一点，点到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，则（A）2（B）4（C）或（D）或（8）大气压强，它的单位是“帕斯卡”（Pa，1Pa=1N/m2），大气压强（Pa）随海拔高度（m）的改变规律是（m-1），是海平面大气压强．已知在某高山两处测得的大气压强分别为，，那么两处的海拔高度的差约为（参考数据：）（A）550m（B）1818m（C）5500m（D）8732m（9）已知非零向量共面，那么“存在实数，使得成立”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（10）已知函数若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）其次部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）函数的定义域为_____．（12）在的绽开式中，常数项为_____．（用数字作答）（13）在中，，则_____．（14）设等比数列满意QUOTE，则的最大值为_____．（15）如图，从长、宽、高分别为的长方体中截去部分几何体后，所得几何体为三棱锥．下列四个结论中，全部正确结论的序号是_____．①三棱锥的体积为；②三棱锥的每个面都是锐角三角形；③三棱锥中，二面角不会是直二面角；④三棱锥中，三条侧棱与底面所成的角分别记为，则.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）已知函数.（Ⅰ）当时，求的值；（Ⅱ）当函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是时，.从①②③中任选一个，补充到上面空格处并作答.①求在区间上的最小值；②求的单调递增区间；③若，求的取值范围.注：假如选择多个问题分别解答，按第一个解答计分.（17）（本小题14分）如图，四棱锥中，底面是菱形，，是棱上的点，是中点，且底面，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．（18）（本小题14分）某电影制片厂从2011年至2024年生产的科教影片、动画影片、纪录影片的时长（单位：分钟）如下图所示.（Ⅰ）从2011年至2024年中任选一年，求此年动画影片时长大于纪录影片时长的概率；（Ⅱ）从2011年至2024年中任选两年，设为选出的两年中动画影片时长大于纪录影片时长的年数，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）将2011年至2024年生产的科教影片、动画影片、纪录影片时长的方差分别记为，试比较的大小.（只需写出结论）（19）（本小题15分）已知椭圆长轴的两个端点分别为，离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）为椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点，连接并延长交椭圆于点.（ⅰ）求证：直线的斜率之积为定值；（ⅱ）推断三点是否共线，并说明理由.（20）（本小题15分）已知函数．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数存在三个零点，分别记为.（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）证明：．（21）（本小题14分）已知数列，现将数列的项分成个数相同的两组，第一组为，满意；其次组为，满意，记．（Ⅰ）若数列，写出数列的一种分组结果，并求出此时的值；（Ⅱ）若数列，证明：；（其中表示中较大的数）（Ⅲ）证明：的值与数列的分组方式无关. 丰台区2024年高三年级其次学期综合练习（一）数学2024.03本试卷满分共150分考试时间120分钟第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，，则（A）（B）（C）（D）解析：画数轴，选D.（2）在复平面内，复数，则对应的点位于（A）第一象限（B）其次象限（C）第三象限（D）第四象限解析：，对应点，选A.（3）已知双曲线的离心率是，则（A）（B）（C）（D）解析：，，，选B.（4）在平面直角坐标系中，角以为始边，且.把角的终边绕端点逆时针方向旋转弧度，这时终边对应的角是，则（A）（B）（C）（D）解析：，选A.（5）若直线是圆的一条对称轴，则的值为（A）（B）（C）（D）解析：圆心在直线上，即，解得.选B.（6）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥中最长的棱长为（A）2（B）（C）（D）4解析：右后提点，最长的棱长为体对角线，选C.（7）为抛物线上一点，点到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，则（A）2（B）4（C）或（D）或解析：其中一个P点坐标为，即，解得或，选D.（8）大气压强，它的单位是“帕斯卡”（Pa，1Pa=1N/m2），大气压强（Pa）随海拔高度（m）的改变规律是（m-1），是海平面大气压强．已知在某高山两处测得的大气压强分别为，，那么两处的海拔高度的差约为（参考数据：）（A）550m（B）1818m（C）5500m（D）8732m解析：，故，选C.（9）已知非零向量共面，那么“存在实数，使得成立”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件解析：前后都是与共线，选C.（10）已知函数若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）解析：特值解除即可.当时，符合题意，解除C、D；当时，符合题意，解除A.选B.其次部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）函数的定义域为_____．解析：联立，解得，故函数的定义域为.（12）在的绽开式中，常数项为_____．（用数字作答）解析：.（13）在中，，则_____．解析：由正弦定理，即，解得.（14）设等比数列满意QUOTE，则的最大值为_____．解析：，解得，列出前几项32，16，8，4，2，1，，，故的最大值为.（15）如图，从长、宽、高分别为的长方体中截去部分几何体后，所得几何体为三棱锥．下列四个结论中，全部正确结论的序号是_____．①三棱锥的体积为；②三棱锥的每个面都是锐角三角形；③三棱锥中，二面角不会是直二面角；④三棱锥中，三条侧棱与底面所成的角分别记为，则.解析：对于①，，①正确；对于②，三棱锥的每个面三边长都是、、，，，，②正确；对于③，举出反例即可.以F为坐标原点建系，经计算，平面的法向量可取,平民的法向量可取,当，化简得，随意代一组符合题意的解即可，如，③错误.对于④，由③，平面的法向量可取，，，，，同理可推出，，当且仅当时取等.④正确填①②④.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）已知函数.（Ⅰ）当时，求的值；（Ⅱ）当函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是时，.从①②③中任选一个，补充到上面空格处并作答.①求在区间上的最小值；②求的单调递增区间；③若，求的取值范围.注：假如选择多个问题分别解答，按第一个解答计分.解：（Ⅰ）当时，.（Ⅱ）.因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是，所以，解得.所以.选①：因为，所以.当，即时，在区间上有最小值为.选②：令，解得，所以函数的单调递增区间为.选③：因为，所以.所以.解得.（17）（本小题14分）如图，四棱锥中，底面是菱形，，是棱上的点，是中点，且底面，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．（Ⅰ）证明：在菱形中，，为等边三角形．因为为的中点，所以．因为//，所以．因为底面，平面，所以．因为，平面，所以平面．因为是棱上的点，所以平面．所以．（Ⅱ）解：因为底面，，建立如图所示空间直角坐标系，设，则．因为，，，，，所以．由，得.设是平面的法向量，由，得令，则，则．又因为平面的法向量为，所以.由题知，二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为．（18）（本小题14分）某电影制片厂从2011年至2024年生产的科教影片、动画影片、纪录影片的时长（单位：分钟）如下图所示.（Ⅰ）从2011年至2024年中任选一年，求此年动画影片时长大于纪录影片时长的概率；（Ⅱ）从2011年至2024年中任选两年，设为选出的两年中动画影片时长大于纪录影片时长的年数，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）将2011年至2024年生产的科教影片、动画影片、纪录影片时长的方差分别记为，试比较的大小.（只需写出结论）解：（Ⅰ）从2011年至2024年中任选一年，动画影片时长大于纪录影片时长的年份分别是2011年，2015年，2024年，2024年，2024年和2024年，共6年.记从2011年至2024年中任选一年，此年动画影片时长大于纪录影片时长为事务，则.（Ⅱ）的全部可能取值为0,1,2.；；.所以的分布列为：012数学期望.（Ⅲ）.（看图，科教影片时长的波动最大，方差最大;再将动画影片、纪录影片时长从小到大排列：动画影片：150，180，200，240，260，290，320，350，380，430纪录影片：100，130，150，190，210，240，270，300，330，380纪录影片的每个数都比动画影片小50，波动一样，故方差相同）小强数学（19）（本小题15分）已知椭圆长轴的两个端点分别为，离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）为椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点，连接并延长交椭圆于点.（ⅰ）求证：直线的斜率之积为定值；（ⅱ）推断三点是否共线，并说明理由.常规类型：定值问题+三点共线问题解：（Ⅰ）由题意，所以.所以椭圆C的方程为.（Ⅱ）（ⅰ）证明：设，因为在椭圆上，所以.因为直线的斜率为，直线的斜率为，所以直线的方程为.所以点的坐标为.所以直线的斜率为.所以直线的斜率之积为.（ⅱ）三点共线.设直线斜率为，易得.由（ⅰ）可知直线斜率为，所以直线的方程为.联立可得.解得点的纵坐标为，所以点的坐标为.所以，直线的斜率为，直线的斜率为.因为直线的斜率等于直线的斜率，所以三点共线.（20）（本小题15分）已知函数．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数存在三个零点，分别记为.（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）证明：．极值点偏移，短暂北京卷考的概率很小解：（Ⅰ）当时，，得，因为，，所以曲线在点处的切线方程为，即．…4分（Ⅱ）因为，所以令，得，．，随的改变如下：+-+单调递增极大值单调递减微小值单调递增所以的极大值为，微小值为．（ⅰ）若函数存在三个零点，分别记为则，所以．当时，，，此时，，，故存在三个零点，所以若函数存在三个零点，的取值范围是．（ⅱ）证明：因为是函数的零点，所以.因为，所以.因为，所以．又因为，且在区间上单调递增，所以，即．（另：一元三次方程的韦达定理，，，得，则要证，即证，即，又在上单调递增，则，故，即得证.）小强数学（21）（本小题14分）已知数列，现将数列的项分成个数相同的两组，第一组为，满意；其次组