高考数学一轮复习：常用逻辑用语（讲义）（原卷版+解析）

第02讲常用逻辑用语

目录

考点要求考题统计考情分析

从近几年高考命题来看，常用逻辑用语

没有单独命题考查，偶尔以已知条件的

(1)必要条件、充分条件、形式出现在其他考点的题目中.重点关

充要条件；2022年天津卷第2题，5分注如下两点：

(2)全称量词与存在量词；2021年全国甲卷第7题，5分(1)集合与充分必要条件相结合问题

(3)全称量词命题与存在量的解题方法；

词命题的否定.(2)全称命题与存在命题的否定和以

全称命题与存在命题为条件，求参数的

范围问题.

一有基•必备基础知识梳理

一、充分条件、必要条件、充要条件

1、定义

如果命题“若p,则为真(记作°=4),则p是q的充分条件；同时4是p的必要条件.

2、从逻辑推理关系上看

(1)若且44p,则p是4的充分不必要条件；

(2)若0%q且4=>夕，则p是q的必要不充分条件；

(3)若0nq且q=>p,则p是q的的充要条件(也说p和q等价)；

(4)若pAq且44p,则p不是q的充分条件，也不是q的必要条件.

对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：0=则p是夕的充分条件，同时q是p

的必要条件.所谓“充分”是指只要p成立，4就成立；所谓“必要”是指要使得0成立，必须要夕成立(即如

果4不成立，则p肯定不成立).

二.全称量词与存在量词

(1)全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“V”

表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中的任意一个x,有双尤)成立"可用符

号简记为“Vxe"M(x)”,读作“对任意x属于有p(x)成立

(2)存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个“在逻辑中通常叫做存在量词，并用符

号“三”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在中的一个飞,使pOo)成立”

可用符号简记为“王。wM,尸(品)”，读作“存在M中元素尤。，使双毛)成立”(存在量词命题也叫存在性命题).

三.含有一个量词的命题的否定

(1)全称量词命题p:X/xeM,p(x)的否定为玉,-ip(x0).

(2)存在量词命题p:玉°eM,p(x0)的否定为X/xeM，r?(x).

注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一.

【解题方法总结】

1、从集合与集合之间的关系上看

设A={x|〃(x)},B={x|q(x)}.

(1)若A=3,则p是4的充分条件(0=4),q是p的必要条件；若则p是q的充分不必

要条件，4是p的必要不充分条件，即0nq且44p；

注：关于数集间的充分必要条件满足：“小一大”.

(2)若3=4,则p是q的必要条件，q是p的充分条件；

(3)若A=3,则p与q互为充要条件.

2、常见的一些词语和它的否定词如下表

原词语等于大于小于是都是任意至多至多

(=)(>)(<)(所有)有一个有一个

否定词语不等于小于等于大于等于不是不都是某个至少有一个都

(<)(>)两个没有

(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合对中的每一个元素x证明其成立，要判断全

称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个X。，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例.

（2）要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合加中能找到一个七使之成立即可，否则这

个存在量词命题就是假命题.

.提升•必考题型归纳

【典例例题】

题型一：充分条件与必要条件的判断

【解题总结】

1、要明确推出的含义，是P成立4一定成立才能叫推出而不是有可能成立.

2、充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合.

3、充分必要条件考察范围广，失分率高，一定要注意各个知识面的培养.

例1.（2023•江苏扬州・扬州中学校考模拟预测）已知向量。=（/,-9）,^=（1,-1）,则“m=-3”是“〃b”的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

例2.（2023・全国•高三专题练习）已知直线a，平面贝U“直线a〃平面夕”是“平面a，平面夕”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

例3.（2023•天津和平•高三天津一中校考阶段练习）“cos2a=-；”是“cosa=g”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

例4.（2023.天津南开•南开中学校考模拟预测）已知R,则“。>方”是“/>/”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围

【解题总结】

1、集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含关系.

2、在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点是否能取到问题，容易出错.

例5.（2023•山东潍坊・统考二模）若"x=a”是“sinx+cosx>l”的一个充分条件，则。的一个可能值是

例6.（2023・上海长宁・统考二模）若"x=l”是“x>。”的充分条件，则实数〃的取值范围为

例7.（2023・全国•高三专题练习）若“x<2”是的必要不充分条件，则。的值可以是.（写

出满足条件。的一个值即可）

题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假

【解题总结】

1、全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要通过汉字意思，又要通过数学结论.

2、全称量词命题和存在量词命题的真假性判断较为简单，注意细节即可.

例8.（2023・河北•高三学业考试）设非空集合尸，。满足尸门。=尸，则下列选项正确的是（）

A.VxeQ,有xePB.VxgQ,有彳住尸

C.3xiQ,使得xePD.*eP,使得xeQ

例9.（2023・全国•高三专题练习）已知0cb<°<1,下列四个命题：①Vx€（0,H<o）,ax>bx,（2）Vxe（0,l）,

abx

log”x>log）尤,③Hxe（0,l）,x>x,@3xe（0,b）,a>logax.

其中是真命题的有（）

A.①③B.②④C.①②D.③④

例10.（2023・贵州毕节.统考模拟预测）直线4：x+（l+a）y=l-o（aeR）,直线4：y=-gx，给出下列命题：

①九eR,使得"《；②%eR,使得4U；

③VaeR,乙与4都相交；@3«eR,使得原点到《的距离为2.

其中正确的是（）

A.①②B.②③C.②④D.①④

题型四：全称量词命题与存在量词命题的否定

【解题总结】

1、全称量词命题与存在量词命题的否定是将条件中的全称量词和存在量词互换，结论变否定.

2、全称量词命题和存在量词命题的否定要注意否定是全否，而不是半否.

例11.（2023•四川成都三模）命题"xeR,/+x_lW0”的否定是（）

A.3x0GR,Xo+A：0-1<0B.Bx0GR,+x0-1>0

2

C.VA:GR,X+X-1>0D.3X0GR,+x0-1>0

例12.（2023•贵州贵阳・统考模拟预测）已知命题p：V〃eN,才-2不是素数，则力为（）

A.三〃任N,2"-2是素数B.VneN,2"-2是素数

C.V〃eN,2"-2是素数D.3neN,2"-2是素数

例13.（2023・四川成都•成都七中统考模拟预测）命题“有一个偶数是素数”的否定是（）

A.任意一个奇数是素数B.任意一个偶数都不是素数

C.存在一个奇数不是素数D.存在一个偶数不是素数

题型五：根据命题的真假求参数的取值范围

【解题总结】

1、在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命题，去求真命题

的补级即可.

全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到

例14.（2023・全国•高三专题练习）若命题Fae[-1,3],ax一一（2。-1）了+3-4<0”为假命题，则实数x的取值

范围为（）

g,4D.[-1,0）1g,4

A.[—1,4]B.0,—C.[-1，。]

例15.（2023・全国•高三专题练习）已知命题?：HXGR,x2+2x+2-a<0,若P为假命题，则实数a的取

值范围为（）

A.（l,+oo）B.[l,+oo）C.（-oo,l）D.（-»,1]

例16.（2023•全国•高三专题练习）若命题P：“玉wR,（严一1）炉+4。一左）x+3W0”是假命题，则左的取值范

围是（）

A.（1,7）B.[1,7）

C.（-7,1）D.（-7,1]

例17.（2023•全国•高三专题练习）已知命题“Vxe[l,2],2£+x-a>0”为假命题，则实数a的取值范围是

（）

A.（-co,5]B.[6,+co）

C.（-oo,3]D.[3,+co）

真■

1.（2022•天津•统考高考真题）“尤为整数”是“2x+l为整数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2022•浙江・统考高考真题）设xeR,则“sinx=l”是“cosxHO”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2022•北京・统考高考真题）设｛%｝是公差不为0的无穷等差数列，贝『'｛%｝为递增数列”是“存在正整数N。,

当〃>N。时，。">0”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

第02讲常用逻辑用语

目录

考点要求考题统计考情分析

从近几年高考命题来看，常用逻

辑用语没有单独命题考查，偶尔

(1)必要条件、充分条

以已知条件的形式出现在其他考

件、充要条件；2022年天津卷第2题，5分

点的题目中.重点关注如下两点：

(2)全称量词与存在量2021年全国甲卷第7题，5

(1)集合与充分必要条件相结合

词；分

问题的解题方法；

(3)全称量词命题与存

(2)全称命题与存在命题的否定

在量词命题的否定.

和以全称命题与存在命题为条

件，求参数的范围问题.

―夯基•必备基础知识梳理

一、充分条件、必要条件、充要条件

1、定义

如果命题“若p,则，'为真(记作pnq),则p是4的充分条件；同时4是p的必要条

件.

2、从逻辑推理关系上看

(1)若/?=><?且q%p,则p是q的充分不必要条件；

(2)若04q且q=0,则p是4的必要不充分条件；

(3)若且则p是4的的充要条件(也说p和q等价)；

(4)若q且q4p,则p不是q的充分条件，也不是“的必要条件.

对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：onq,则p是夕的充分条

件，同时q是p的必要条件.所谓“充分”是指只要°成立，q就成立；所谓“必要”是指要使

得p成立，必须要q成立(即如果q不成立，则p肯定不成立).

二.全称量词与存在量词

(1)全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量

词，并用符号“V”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中的

任意一个了,有p(x)成立“可用符号简记为“VxeM,p(x)”,读作“对任意x属于有。(无)

成立”.

(2)存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存

在量词，并用符号表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M

中的一个/,使/J5)成立"可用符号简记为“抽€",尸(而)读作"存在M中元素%,使

p(不)成立”(存在量词命题也叫存在性命题).

三.含有一个量词的命题的否定

(1)全称量词命题p:VxeM,p(x)的否定—p为土oeAf,-^p(x0).

(2)存在量词命题p:玉：o&M,p(x0)的否定—p为.

注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一.

【解题方法总结】

1、从集合与集合之间的关系上看

设A={x|p(x)},B={x|q(x)}.

(1)若则p是q的充分条件(0=>q),q是p的必要条件；若AliSB，则p是

q的充分不必要条件，4是p的必要不充分条件，即p=q且4乙p

注：关于数集间的充分必要条件满足：“小二大”.

(2)若则p是4的必要条件，q是p的充分条件；

(3)若A=3,则p与q互为充要条件.

2、常见的一些词语和它的否定词如下表

原词语等于大于小于是都是任意至多至多

(=)(>)«)(所有)有一个有一个

否定词语不等于小于等于大于等于不是不都是某个至少有一个都

(<)(>)两个没有

(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素X证明其

成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个尤。，使得其不成立即可，

这就是通常所说的举一个反例.

(2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个毛使之成立

即可，否则这个存在量词命题就是假命题.

一提升•必考题型归纳

【典例例题】

题型一：充分条件与必要条件的判断

【解题总结】

1、要明确推出的含义，是p成立4一定成立才能叫推出而不是有可能成立.

2、充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集

合.

3、充分必要条件考察范围广，失分率高，一定要注意各个知识面的培养.

例1.(2023•江苏扬州・扬州中学校考模拟预测)已知向量。=(加,-9),6=(1,-1),则“〃?=-3"

是“W区”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若加=一3,贝必=(9,-9)=96,所以山区;

若&//b，则Mx(-1)-(-9)xl=0,解得机=±3,得不出加=-3.

所以“加=-3”是“R/b”的充分不必要条件.

故选：A.

例2.(2023・全国•高三专题练习)已知直线。，平面a,贝ij“直线a〃平面夕”是“平面C平

面夕''的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若"直线a〃平面夕”成立，设/up,且〃/匹又a,平面a，所以平面a，又0,

所以“平面a_L平面P”成立；

若“平面C平面月”成立，且直线平面。，可推出。〃平面尸或au平面夕，

所以“直线all平面。”不一定成立.

综上，“直线a〃平面夕”是“平面a，平面尸”的充分不必要条件.

故选：A.

11

例3.（2023•天津和平•高三天津一中校考阶段练习）“32夕=-二”是“3&二”的（）

22

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】cos2a=2cos2a-1=-^,costz=,

11

所以“cos2a="是"cosa=-"的必要不充分条件.

故选：B

例4.（2023・天津南开•南开中学校考模拟预测）已知。，例R,则“a>b”是“/>引"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】若。=0>6,则">62不成立，若网>6且。<0=6,此时/>b?推不出，所

以是"/>*的既不充分也不必要条件.

故选：D

题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围

【解题总结】

1、集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含关系.

2、在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点是否能取到问题，容易出错.

例5.（2023•山东潍坊・统考二模）若“％=0”是“sinx+co&x>l”的一个充分条件，则a的一个

可能值是.

【答案】:（只需满足版,2析+［代eZ）即可）

【解析】由sinx+cosx>1可得0sin"鼻>1,则sin口+：）>#,

所以，2E+：<%+：<2阮+子（％GZ）,解得2E<%<2阮+］（左£Z）,

TT

因为“x=a”是"sinx+cosx>l”的一个充分条件，故a的一个可能取值为7.

故答案为：:（只需满足ae12配,2E+]J（左eZ）即可）.

例6.（2023.上海长宁.统考二模）若"x=l”是“了>。”的充分条件，则实数。的取值范围为

【答案】（f』）

【解析】〔"x=l"是"x>a”的充分条件，.,.x=l=>x>a,.1acl,

即实数。的取值范围为（—』）.

故答案为：（一叫1）.

例7.（2023•全国•高三专题练习）若“x<2”是“无的必要不充分条件，则。的值可以是

.（写出满足条件。的一个值即可）

【答案】0（答案不唯一，满足。<2即可）

【解析】由于“x<2”是“x<a”的必要不充分条件，所以。<2,

所以。的值只需小于2即可.

故答案为：0（答案不唯一，满足a<2即可）

题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假

【解题总结】

1、全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要通过汉字意思，又要通过数学结论.

2、全称量词命题和存在量词命题的真假性判断较为简单，注意细节即可.

例8.（2023•河北•高三学业考试）设非空集合P,。满足PcQ=P,则下列选项正确的是

（）

A.VxeQ,有xePB.Vxe。，有xgP

C.3xiQ,使得xePD.HxeP,使得xe。

【答案】B

【解析】PQ=P,.-P^Q,

当尸呈。时，3x0eQ,使得毛£尸，故A错误；

P=Q,:NxwP,必有xeQ,即Vxw。，必有彳住尸，故B正确；

由B正确，得Vx隹Q,必有xeP,.e。，使得xeP错误，即C错误；

当八。时，不存在天€尸，使得故D错误，

综上只有B是正确的.

故选：B.

xx

例9.（2023・全国•高三专题练习）已知0<b<a<l,下列四个命题：①Vxe（0,+8）,a>b,

abx

②Vxe（0,l）,log”x>log%尤，③3xe（0,l）,x>x,@3xe（0,Z?）,a>logflx.

其中是真命题的有（）

A.①③B.②④C.①②D.③④

【答案】C

【解析】对于①，由得：!>1,Vxe(O,+s),/削>(£|°=1,则/>此

①正确；

对于②，Vxe(O,l),log,a-log,6=log、f<k>g」=O,即。<log〃<log*,则log.x>log%x,

b

②正确；

对于③，函数、=犷(0<%<1)在(0,1)上为减函数，而则评</,即Vxe(OJ),

Z<x\③错误；

对于④，当xe(0,b)时，优<1,logax>logflb>logfla=l,即优〈log.x,④错误，

所以所给命题中，真命题的是①②.

故选：C

例10.(2023•贵州毕节・统考模拟预测)直线4：x+(l+a)y=l-o(aeR),直线公工-京，

给出下列命题：

①〃eR,使得②%eR,使得4U；

③VaeR,4与6都相交；④丸eR,使得原点到《的距离为2.

其中正确的是()

A.①②B.②③C.②④D.①④

【答案】C

__

【解析】对于①，若"4,贝IJ一力二一5,该方程组无解，①错；

l-QW0

对于②，若则=T，解得"-|，②对；

对于③，当。=1时，直线4的方程为x+2y=0,BPy=-1x,此时，人4重合，③错；

对于④，直线4的方程为x+(a+l)y+a-1=0,

ltz-11

若maeR,使得原点到4的距离为2,则//弋=2,整理可得3/_10°+7=0,

VI+(«+1)

A=100-4x3x7>0,方程3/一10。+7=0有解，④对.

故选：C.

题型四：全称量词命题与存在量词命题的否定

【解题总结】

1、全称量词命题与存在量词命题的否定是将条件中的全称量词和存在量词互换，结论

变否定.

2、全称量词命题和存在量词命题的否定要注意否定是全否，而不是半否.

例11.（2023・四川成都•三模）命题“WxeR,/+尤-1V0”的否定是（）

A.3x0eR,XQ+x0-1<0B.3x0eR,+x0-1>0

2

C.VxeR,x+%-l>0D.3x0eR,+x0-1>0

【答案】B

【解析】由题意可得，“VxeR,/+X-1V0”的否定是土°+x0—1>0,

故选：B

例12.（2023・贵州贵阳・统考模拟预测）已知命题“V/ieN,2"-2不是素数，则刃为（）

A.3ngN,2"-2是素数B.VneN,2"-2是素数

C.VwgN,2"-2是素数D.3neN,2"-2是素数

【答案】D

【解析】命题P为全称量词命题，该命题的否定为「pHweN,2"-2是素数.

故选：D.

例13.（2023・四川成都•成都七中统考模拟预测）命题“有一个偶数是素数”的否定是（）

A.任意一个奇数是素数B.任意一个偶数都不是素数

C.存在一个奇数不是素数D.存在一个偶数不是素数

【答案】B

【解析】由于存在量词命题P*否定为.所以命题“有一个偶

数是素数”的否定是“任意一个偶数都不是素数”.

故选：B

题型五：根据命题的真假求参数的取值范围

【解题总结】

1、在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命

题，去求真命题的补级即可.

2、全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取

到.

例14.（2023•全国•高三专题练习）若命题"三口e[-1,3],依2-（2a—l）x+3—a<0”为假命题，

则实数尤的取值范围为（）

A.[-1,4]B.0,|C.[-1,0]|,4D.[-1,0）f|,4

【答案】C

【解析】命题1,3],依2_（2a—l）x+3—a<0”为假命题，其否定为真命题,

即"X/aG[―1,3],-（2〃-l）x+3-aN0"为真命题.

令g(Q)=ax2-2ax+x+3-a=(x2-2x-I)a+x+3>0,

g(-1)20-炉+3x+4Z0

则

g⑶NO3x2-5x>0

-l<x<4「]

解得>9前〈八，所以实数%的取值范围为[T，0]g，4.

I3

故选：C

例15.（2023・全国•高三专题练习）己知命题〃：HxeR,x2+2x+2—a<0>若p为假命题,

则实数。的取值范围为（）

A.（1,-H»）B.[1,+00）C.（-℃,1）D.（-oo,l]

【答案】D

【解析】因为命题。：HXGR,x1+2x+2-a<0,

所以F：VxeR,x2+2x+2-a>0,

又因为P为假命题，所以力为真命题，

BPVxeR,炉+2尤+2—。20恒成立，

所以AWO,即22-4(2-a)V0,

解得a<l,

故选：D.

例16.（2023•全国•高三专题练习）若命题尸:“玉:eR,（/-l）尤2+4（I_@X+3〈O，，是假命题,

则k的取值范围是（）

A.（1,7）B.[1,7）

C.（-7,1）D.（-7,1]

【答案】B

【解析】因为命题“去eR,卜2-1）尤2+4（1_幻*+3<0”是假命题,

所以命题“\7xeR,（左2—1）尤~+4（1—左）x+3>0”是真命题，

若严-1=0,即左=1或。=一1,

当％=1时，不等式为3>0,恒成立，满足题意；

当％=-1时，不等式为8x+3>0,不恒成立，不满足题意;

k2-l>0

当如T"时,则需要满足八

16(l-jt)2-4x(jt2-l)x3<0

(无一1)(无+1)>