2024-2025年新教材高中数学第四章指数与对数章末检测含解析苏教版必修第一册

PAGEPAGE6章末检测(四)指数与对数(时间：120分钟满分：150分）一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．化简eq\r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8a－3,27b3)))\s\up12(4))(其中a>0，b>0)的结果是()A.eq\f(2a,3b) B．－eq\f(2a,3b)C.eq\f(16,81a4b4) D．－eq\f(1,81a4b4)解析：选Ceq\r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8a－3,27b3)))\s\up12(4))＝eq\r(3,\f(212a－12,312b12))＝eq\f(24a－4,34b4)＝eq\f(16,81a4b4)，故选C.2．代数式xeq\r(－2x)恒等于()A.eq\r(2x3) B．eq\r(－2x3)C．－eq\r(－2x3) D．－eq\r(2x3)解析：选C由题意知－2x≥0，∴x≤0，∴xeq\r(－2x)＝－eq\r(－2x3)，故选C.3．若lgx＝m，lgy＝n，则lgeq\r(x)－lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,10)))eq\s\up12(2)的值等于()A.eq\f(1,2)m－2n－2 B．eq\f(1,2)m－2n－1C.eq\f(1,2)m－2n＋1 D．eq\f(1,2)m－2n＋2解析：选Dlgeq\r(x)－lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,10)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,2)lgx－2(lgy－lg10)＝eq\f(1,2)m－2n＋2.4．若alog53＝1，则3a＋9A．15 B．20C．25 D．30解析：选Dalog53＝1，∴a＝eq\f(1,log53)＝log35，∴3a＋9a＝3eq\a\vs4\al(log35)＋(3eq\a\vs4\al(log35))2＝5＋25＝30.5．计算eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,27)))\s\up12(－2)))eq\s\up6(\f(1,3))＋log25－log210的值为()A．－10 B．－8C．10 D．8解析：选Deq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,27)))\s\up12(－2)))eq\s\up6(\f(1,3))＋log25－log210＝(36)eq\s\up6(\f(1,3))＋log2eq\f(5,10)＝9－1＝8，故选D.6．若a＋b＝meq\s\up6(\f(1,3))，ab＝eq\f(1,6)meq\s\up6(\f(2,3))(m>0)，则a3＋b3＝()A．0 B．eq\f(m,2)C．－eq\f(m,2) D．eq\f(3m,2)解析：选Ba3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝(a＋b)[(a＋b)2－3ab]＝meq\s\up6(\f(1,3))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m\s\up6(\f(2,3))－\f(1,2)m\s\up6(\f(2,3))))＝eq\f(1,2)m.7．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x－eq\f(1,2)＝()A.eq\f(1,3) B．eq\f(\r(3),6)C.eq\f(\r(2),4) D．eq\f(\r(3),3)解析：选C由条件，知log3(log2x)＝1，所以log2x＝3，即x＝23＝8，所以x－eq\f(1,2)＝8－eq\f(1,2)＝eq\f(1,8\s\up6(\f(1,2)))＝eq\f(1,2\r(2))＝eq\f(\r(2),4).8．设f(n)＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，现把满意乘积f(1)·f(2)·…·f(n)为整数的n叫做“贺数”，则在区间(1，2021)内全部“贺数”的个数是()A．9 B．10C．29 D．210解析：选Af(n)＝logn＋1(n＋2)＝eq\f(lg（n＋2）,lg（n＋1）)，∴f(1)·f(2)·…·f(n)＝eq\f(lg3,lg2)·eq\f(lg4,lg3)·…·eq\f(lg（n＋2）,lg（n＋1）)＝eq\f(lg（n＋2）,lg2)＝log2(n＋2)．∵n∈(1，2021)，∴n＋2∈(3，2023)．∵210＝1024，211＝2048，∴在(3，2023)内，有22，23，…，210共9个2的幂，故选A.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．若a∈R且n∈N*，下列各式中有意义的是()A.eq\r(4,（－4）2n) B．eq\r(（－4）2n＋1)C.eq\r(5,a4) D．eq\r(4,a5)解析：选AC对于选项A，因(－4)2n>0，A有意义；对于选项B，因(－4)2n＋1<0，负数不能开偶次方，B无意义；明显选项C有意义；对于选项D，当a<0时，a5<0，D无意义，故选A、C.10．若10a＝4，10b＝25，A．a＋b＝2 B．b－a＝1C．ab>8(lg2)2 D．b－a>lg6解析：选ACD由10a＝4，10b＝25，得a＝lg4，b＝lg25，则a＋b＝lg4＋lg25＝lg100＝2，b－a＝lg25－lg4＝lgeq\f(25,4)，∵lg10＝1>lgeq\f(25,4)>lg6，∴b－a>lg6，∴ab＝4lg2lg5>4lg2lg4＝8(lg2)2，故选A、C、D.11．若a>0，且a≠1，x>y>0，n∈N＋，给出下列等式，其中恒成立的为()A．(logax)n＝logaxn B．logax＝－logaeq\f(1,x)C.eq\f(logax,n)＝logaeq\r(n,x) D．logaeq\f(x－y,x＋y)＝－logaeq\f(x＋y,x－y)解析：选BCD对于A，取x＝4，a＝2，n＝3，则(log24)3＝8≠log243＝6，∴A不恒成立；对于B，－logaeq\f(1,x)＝－logax－1＝loga(x－1)－1＝logax；对于C，logaeq\r(n,x)＝logaxeq\s\up6(\f(1,n))＝eq\f(1,n)logax；对于D，logaeq\f(x－y,x＋y)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,x－y)))eq\s\up12(－1)＝－logaeq\f(x＋y,x－y).12．设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9cA．ab＋bc＝2ac B．ab＋bc＝C.eq\f(2,c)＝eq\f(2,a)＋eq\f(1,b) D．eq\f(1,c)＝eq\f(2,b)－eq\f(1,a)解析：选AD依题意设4a＝6b＝9c＝k，则a＝log4k，b＝log6k，c＝log9对于A，ab＋bc＝2ac，即eq\f(b,c)＋eq\f(b,a)＝2.因为eq\f(b,c)＋eq\f(b,a)＝eq\f(log6k,log9k)＋eq\f(log6k,log4k)＝log69＋log64＝log636＝2，故A正确，B错误；对于C，eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(2,log4k)＋eq\f(1,log6k)＝2logk4＋logk6＝logk96≠eq\f(2,c)＝2logk9＝logk81，故C错误；对于D，eq\f(2,b)－eq\f(1,a)＝2logk6－logk4＝logkeq\f(36,4)＝logk9＝eq\f(1,c)，故D正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．使对数loga(－2a＋1)有意义的a解析：使对数loga(－2a＋1)有意义的a需满意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,a≠1，,－2a＋1>0，))解得0<a<eq\f(1,2).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))14．已知a>0，b>0，ab＝8，则当a的值为________时，log2a·log2(2b解析：因为a>0，b>0，ab＝8，所以a＝eq\f(8,b)，所以log2a·log2(2b)＝log2eq\f(8,b)·log2(2b)＝(3－log2b)(1＋log2b)＝－(log2b)2＋2log2b＋3＝－(log2b－1)2＋4，故当b＝2时，log2a·log2(2b)有最大值4，此时a＝eq\f(8,b)＝4.答案：415．里氏震级M的计算公式为：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的________倍．解析：由题意得，此次地震的震级M＝lg1000－lg0.001＝3－(－3)＝6.设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A1，A2，则9＝lgA1－lgA0＝lgeq\f(A1,A0)，则A1＝109A0，5＝lgA2－lgA0＝lgeq\f(A2,A0)，则A2＝105A0，所以eq\f(A1,A2)＝104.故9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10000倍．答案：61000016．方程log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1的解为________．解析：原方程可化为log2(x＋1)＝log4(x＋4)＋1，即log2(x＋1)＝log4[4(x＋4)]．所以log4(x＋1)2＝log4(4x＋16)，即(x＋1)2＝4x＋16，解得x＝－3或x＝5.又x＋1>0且x＋4>0，所以x>－1.所以x＝－3不满意题意，因此应舍去．故方程的解为x＝5.答案：x＝5四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(1)已知eq\f(3a,2)＋b＝1，求eq\f(9a·3b,\r(3a))的值；(2)化简eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(－\f(1,2))·eq\f(（\r(4ab－1)）3,0.1－2（a3b－4）\s\up6(\f(1,2)))(a>0，b>0)．解：(1)eq\f(9a·3b,\r(3a))＝eq\f(32a·3b,3\s\up6(\f(a,2)))＝32a＋b÷3eq\s\up6(\f(a,2))＝32a＋b－eq\s\up6(\f(a,2))＝3eq\s\up6(\f(3,2))a＋b∵eq\f(3,2)a＋b＝1，∴eq\f(9a·3b,\r(3a))＝3.(2)原式＝eq\f(4\s\up6(\f(1,2))·4\s\up6(\f(3,2)),100)·aeq\s\up6(\f(3,2))·a－eq\f(3,2)·b－eq\f(3,2)·b2＝eq\f(4,25)a0·beq\s\up6(\f(1,2))＝eq\f(4,25)beq\s\up6(\f(1,2)).18．(本小题满分12分)化简下列各式：(1)eq\r(（\r(5)－3）2)＋eq\r(（\r(5)－2）2)；(2)eq\r(（1－x）2)＋eq\r(（3－x）2)(x≥1)．解：(1)eq\r(（\r(5)－3）2)＋eq\r(（\r(5)－2）2)＝|eq\r(5)－3|＋|eq\r(5)－2|＝3－eq\r(5)＋eq\r(5)－2＝1.(2)当1≤x<3时，eq\r(（1－x）2)＋eq\r(（3－x）2)＝|1－x|＋|3－x|＝x－1＋3－x＝2；当x≥3时，eq\r(（1－x）2)＋eq\r(（3－x）2)＝|1－x|＋|3－x|＝x－1＋x－3＝2x－4.综上，eq\r(（1－x）2)＋eq\r(（3－x）2)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2，1≤x<3，,2x－4，x≥3.))19．(本小题满分12分)(1)计算：log23－logeq\s\do9(\f(1,2))eq\f(8,3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))eq\s\up12(－\f(3,4))；(2)已知lg5＝a，lg7＝b，试用a，b表示log2849.解：(1)log23－logeq\s\do9(\f(1,2))eq\f(8,3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))eq\s\up12(－\f(3,4))＝log23＋(log28－log23)－16eq\s\up6(\f(3,4))＝3－8＝－5.(2)log2849＝eq\f(lg49,lg28)＝eq\f(2lg7,2lg2＋lg7)＝eq\f(2b,2（1－lg5）＋b)＝eq\f(2b,2－2a＋b).20．(本小题满分12分)已知集合A＝{x，xy，lg(xy)}，集合B＝{0，|x|，y}，若A＝B，求log8(x2＋y2)的值．解：依据集合中元素的互异性，x≠0且y≠0，则xy≠0，又因为A＝B，所以lg(xy)＝0，即xy＝1.①所以xy＝