高考数学一轮复习：单调性问题（讲义）（原卷版+解析）

第02讲单调性问题

目录

求参数范围

可因式分解

不可因式分解型

考点要求考题统计考情分析

(1)结合实例，借助几何直高考对单调性的考查相对稳定，考查内

观了解函数的单调性与导数容、频率、题型、难度均变化不大.高

的关系.2022年甲卷第12题，5分考在本节内容上无论试题怎样变化，我

(2)能利用导数研究函数的2022年/卷第7题，5分们只要把握好导数作为研究函数的有

单调性，会求函数的单调区间2021年浙江卷第7题，5分力工具这一点，将函数的单调性本质问

(其中多项式函数一般不超题利用图像直观明了地展示出来，其余

过三次).的就是具体问题的转化了.

函数的单调性与导数的关系

单调性问题

・夯基•必备基础知识梳理

知识点一：单调性基础问题

1、函数的单调性

函数单调性的判定方法：设函数y=/(x)在某个区间内可导，如果尸(x)>0,则y=/(元)为增函数；如

果/''(x)<0,则y=/(x)为减函数.

2、己知函数的单调性问题

①若/(x)在某个区间上单调递增，则在该区间上有尸(x)20恒成立(但不恒等于0)；反之，要满足

((x)>0,才能得出了(无)在某个区间上单调递增；

②若/(x)在某个区间上单调递减，则在该区间上有尸(x)W0恒成立(但不恒等于0)；反之，要满足

(尤)<0,才能得出了(无)在某个区间上单调递减.

知识点二：讨论单调区间问题

类型一：不含参数单调性讨论

(1)求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)；

(2)变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分.定号部分：己知恒正或

恒负，无需单独讨论的部分)；

(3)求根作图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函

数正负区间段已知，可直接得出结论)；

(4)未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)；

(5)正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；

(6)一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)；

求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导.

(7)借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)；

类型二：含参数单调性讨论

(1)求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个

连续的区间)；

(2)变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分.定号部分：已知恒正或

恒负，无需单独讨论的部分)；

(3)恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根；

(4)根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)；

(5)导数图像定区间；

【解题方法总结】

1、求可导函数单调区间的一般步骤

(1)确定函数/(尤)的定义域；

(2)求/''(》)，令/''(幻=。，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；

(3)把函数/(功的间断点(即/(尤)的无定义点)的横坐标和「(元)=0的各实根按由小到大的顺序排

列起来，然后用这些点把函数/(元)的定义域分成若干个小区间；

(4)确定尸(x)在各小区间内的符号，根据尸(x)的符号判断函数/(尤)在每个相应小区间内的增减性.

注：①使((x)=0的离散点不影响函数的单调性，即当尸(x)在某个区间内离散点处为零，在其余点处

均为正(或负)时，/(X)在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的.例如，在(-8,+oo)上，/(X)=X3,

当x=0时，f'(x)=0；当xwO时，f'(x)>0,而显然/0)=%3在(_co,+co)上是单调递增函数.

②若函数y=f(x)在区间上单调递增,则f'(x)>0(f\x)不恒为0),反之不成立.因为

即/(x)>0或/(x)=0,当尸(x)>0时，函数y=f(x)在区间Q6)上单调递增.当尸(x)=0时,f(x)在这

个区间为常值函数；同理，若函数y=/(x)在区间(。力)上单调递减，则广(无)40(广(无)不恒为0),反之

不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于

是有如下结论：

((x)>0n/(%)单调递增；/(%)单调递增nf\x)>0；

f\x）<0nf（尤）单调递减；f（x）单调递减n尸（x）<0.

.提升•必考题型归纳

题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像

【例1】（2023•全国•高三专题练习）设尸（X）是函数『⑺的导函数，y=/'（x）的图象如图所示，则y=〃x）

【对点训练11（多选题）（2023•全国•高三专题练习）已知函数了⑺的定义域为R且导函数为尸（X）,如图是

函数y=4'（x）的图像，则下列说法正确的是

A.函数f（x）的增区间是（—2,0）,（2,内）

B.函数的增区间是（-%-2）,（2,+8）

C.X=-2是函数的极小值点

D.x=2是函数的极小值点

【对点训练2】（2023•黑龙江齐齐哈尔.统考二模）已知函数y=犷'（x）的图象如图所示（其中尸（x）是函数

“X）的导函数），下面四个图象中可能是y=/（x）图象的是（）

【对点训练3】(2023•陕西西安•校联考一模)已知定义在［-3,4］上的函数的大致图像如图所示，/(x)

是/(x)的导函数，则不等式矿(力>。的解集为()

C.(-1,0)向D.(3,4)

【解题方法总结】

原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数/(x)单调递增o导函数尸(无)20(导函数等

于0,只在离散点成立，其余点满足((x)>0)；原函数单调递减o导函数((x)<0(导函数等于0,只在

离散点成立，其余点满足了(无o)<O).

题型二：求单调区间

，

【例2】(2023•江西鹰潭•高三贵溪市实验中学校考阶段练习)函数>=±+上2+inx的单调递增区间为()

尤

A.(0,2)B.(0,1)C.(2,+8)D.(1,+s)

【对点训练4】(2023•全国•高三专题练习)函数y=xlnx()

A.严格增函数

B.在上是严格增函数，在上是严格减函数

C.严格减函数

D.在［0,上是严格减函数，在［：,+«>］上是严格增函数

【对点训练5】(2023•全国•高三专题练习)函数/(x)=ln(4f-l)的单调递增区间()

11

A.—,+00B.—00,-------C.D.(0,+功

22

h

【对点训练6】(2023•高三课时练习)函数/(x)="x+—(a、6为正数)的严格减区间是().

x

【解题方法总结】

求函数的单调区间的步骤如下：

⑴求/(%)的定义域

(2)求出尸(x).

(3)令((*)=0,求出其全部根，把全部的根在x轴上标出，穿针引线.

(4)在定义域内，令((x)>0,解出x的取值范围，得函数的单调递增区间；令尸(x)<0,解出x的

取值范围，得函数的单调递减区间.若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用

“」"、"或‘连接，而应用“和”、“，”隔开.

题型三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围

【例3】(2023咛夏银川・银川一中校考三模)若函数/(x)='-lnx在区间(见"7+?上不单调，则实数相

的取值范围为()

A.0<m<—B.—<m<1

33

C.—<m<1D.m>l

3

【对点训练7】（2023・陕西西安・统考三模）若函数/（x）=f-依+lnx在区间（l,e）上单调递增，贝匹的取值

范围是（）

A.[3,+co）B.（—co,3]C.[3,e?+l]D.[3,e~—1]

【对点训练8】（2023・全国•高三专题练习）若函数〃尤）=log“（依-丁）（。>。且。w1）在区间（0,1）内单调递增,

则。的取值范围是（）

A.[3,+⑹B.（1,3]CD.

【对点训练9】（2023•全国•高三专题练习）己知函数/（x）=sinx+ocosx在区间序制上是减函数，则实数。的

取值范围为()

A.a>V2—1B.a>lC.a>1-5/2D.aN—1

【对点训练10】（2023•全国•高三专题练习）三次函数/（刈=如3_工在（-00,+co）上是减函数，则加的取值范

围是（）

A.m<0B.m<1C.m<0D.m£l

【对点训练11]（2023•青海西宁•高三校考开学考试）已知函数〃尤卜号+lnx.若对任意玉，&e（0,2],

且玉片%，都有>-1,则实数a的取值范围是（）

%2—玉

A.B.(-a),2]C.D.(--8]

【对点训练12】（2023•全国•高三专题练习）若函数”x）=lnx+G；2_2在区间内存在单调递增区间,

则实数〃的取值范围是（）

1

A.[-2,+co)B.——,+ooD.(-2,+oo)

8

【对点训练13]（2023•全国•高三专题练习）若函数/（x）=V+x_lnx-2在其定义域的一个子区间

（2左-1,2左+1）内不是单调函数，则实数上的取值范围是（）

D.15

2'4；

01

【对点训练14】（2023•全国•高三专题练习）已知函数〃无）=ln尤+（尤-6）（ZJGR）在区间-,2上存在单

调递增区间，则实数6的取值范围是

A.||B.[|C.（-oo,3）D.卜8,也）

【例4】（2023•全国•高三专题练习）已知函数”尤）=93+_|尤2+尤+1在（_8刀），（3,+8）上单调递增，在（1,2）

上单调递减，则实数。的取值范围为（）

1051/-I

A.-y，--B.（-»,-2]

【对点训练15】（2023•全国•高三专题练习）已知函数/（月=侬3+3（根—1）f-加的单调递减区间

是（0,4）,则m=（）

A.3B.-C.2D.1

32

【解题方法总结】

（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析

导函数的形式及图像特点，如一次函数最值落在端点，开口向上的抛物线最大值落在端点，开口向下的抛

物线最小值落在端点等.

（2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围.

（3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解.

题型四：不含参数单调性讨论

【例5】（2023•全国•高三专题练习）已知函数〃到二匕1乎D（x>0）.试判断函数在（0,+8）上单调

性并证明你的结论；

【对点训练16](2023•广东深圳•高三深圳外国语学校校考阶段练习)已知/(x)=lnx+^^

若a=I,讨论〃%)的单调性；

【对点训练17】(2023•贵州•校联考二模)已知函数/(x)=xlnx-e'+l.

⑴求曲线y=在点。"⑴)处的切线方程；

⑵讨论〃x)在(。,+e)上的单调性.

【对点训练18](2023•湖南长沙•高三长沙一中校考阶段练习)已知函数/■(x)=e，-融(aeR),

g(x)=e"+cosgx.

⑴若〃x)Z0,求a的取值范围；

⑵求函数g(%)在(。,+")上的单调性；

【对点训练19](2023•全国•高三专题练习)已知函数/(%)=111©—1)—

判断了(盼的单调性，并说明理由；

【解题方法总结】

确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函数的定义

域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开.

题型五：含参数单调性讨论

情形一：函数为一次函数

【例6】(2023・山东聊城•统考三模)已知函数/(x)=O+l)x-mlnx-m.

讨论，(x)的单调性；

【对点训练20】(2023•湖北黄冈•黄冈中学校考二模)已知函数/(x)=lnx-2//+3依一1(。之0).

讨论函数“X)的单调性；

【对点训练2。(2023•全国•模拟预测)已知函数〃x)=lnx+(l-a)x+l(qeR).

讨论函数“元)的单调性；

【对点训练22](2023・福建泉州•泉州五中校考模拟预测)已知函数/(x)=(x-a)lnx.

讨论尸(x)的单调性；

情形二：函数为准一次函数

【对点训练23](2023•云南师大附中高三阶段练习)已知函数/(x)=xlnx-依.

讨论/'(*)的单调性；

【对点训练24](2023・北京・统考模拟预测)己知函数/。)=既工-：尤2.

(1)当k=1时，求曲线y=/(尤)在x=l处的切线方程;

⑵设g(x)=f'M，讨论函数g(无)的单调性;

【对点训练25】(2023•陕西安康・高三陕西省安康中学校考阶段练习)已知函数〃x)=e，-依-l(aeR).

讨论/'(*)的单调性；

情形三：函数为二次函数型

方向1、可因式分解

【对点训练26】(2023•山东济宁・嘉祥县第一中学统考三模)已知函数〃x)=alnx+x2-(a+2)x(a>0).

讨论函数〃x)的单调性；

其中

【对点训练27X2023・湖北咸宁•校考模拟预测)已知函数〃尤)1+6,a/eR.

讨论函数〃尤)的单调性;

【对点训练28](2023•北京海淀•高三专题练习)设函数f(x)=[or2—(4a+i)x+4a+3]e".

⑴若曲线y=/(x)在点。，/⑴)处的切线与x轴平行，求。；

(2)求的单调区间.

【对点训练29】(2023•广西玉林・统考模拟预测)已知函数/(x)=g/-36+2/1皿，a^Q,

讨论〃龙）的单调区间;

【对点训练30］（2023•河南郑州.统考模拟预测）已知〃x）=lnx+生著-±-2（。片0）.

aylxx

讨论“X）的单调性;

方向2、不可因式分解型

【对点训练3。（2023・河南驻马店.统考二模）已知函数“司=皿1+司-3办2,8（尤）=依+—|-*（”（））,

讨论“X）的单调性;

【对点训练32】（2023•重庆・统考模拟预测）已知函数/（x）=Inx+二R）.

X2x'

讨论函数/（X）的单调性；

【对点训练33】（2023•广东・统考模拟预测）已知函数〃x）=W；,«eR.

讨论〃x）的单调性;

【对点训练34］（2023・江苏•统考模拟预测）已知函数/（x）=g尤2+3G；+21nx（acR）.

讨论函数〃尤）的单调性;

【解题方法总结】

1、关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数零点个数的讨论，

从而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减.(注意定义域的间断情况).

2、需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一阶导函数端点处

的函数值或零点可判断一阶导函数正负区间段.

3、利用草稿图像辅助说明.

情形四：函数为准二次函数型

【对点训练35】(2023•全国•高三专题练习)已知函数=+lnx+@,xe(0,+oo),其中aeR.

讨论函数的单调性；

【对点训练36】(2023•河南郑州•统考模拟预测)已知=—+储x-1.(aeR)

讨论的单调性；

【对点训练37](2023•陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测)已知

/(%)=(无一1)%">0)(aeR).

讨论函数/(x)的单调性；

【对点训练38X2023•重庆沙坪坝•重庆八中校考模拟预测)已知函数〃x)=[ln2尤-g+l)lnx+l}x,aeR,

讨论函数的单调性；

题型六：分段分析法讨论

【例7】（2023•陕西・西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数2x+l+（x-l）lna

（a>0,且〃wl）

求函数“X）的单调区间；

【对点训练39］（2023•广东广州•统考模拟预测）设函数〃力=蓑+依2,其中aeR.

讨论的单调性；

【对点训练40］（2023•全国•高三专题练习）已知函数〃到=-111尸1.判断函数/（%）的单调性.

【对点训练4。（2023•全国•模拟预测）设I>1,函数

/(x)=e2TO-(2x+l)raL>-1L(x)=e2,M-(x+l)2m(x>-l).

【解题方法总结】

1、二次型结构以2+bx+c,当且仅当。=0时，变号函数为一次函数.此种情况是最特殊的，故应最先

讨论，遵循先特殊后一般的原则，避免写到最后忘记特殊情况，导致丢解漏解.

2、对于不可以因式分解的二次型结构a?+法+c,我们优先考虑参数取值能不能引起恒正恒负.

3、注意定义域以及根的大小关系.

3111

1.(2022・全国•统考jWj考真题)已知Q=—,b=cos—,c=4sin—,则()

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

2.(2022•全国•统考高考真题)设。=0.1e°」,6=，c=-ln0.9,贝ij

()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

第02讲单调性问题

目录

真题感悟

考点要求考题统计考情分析

（1）结合实例，借助几高考对单调性的考查相对稳定，

何直观了解函数的单调考查内容、频率、题型、难度均

性与导数的关系.变化不大.高考在本节内容上无

（2）能利用导数研究函2022年甲卷第12题，5分论试题怎样变化，我们只要把握

数的单调性，会求函数的2022年/卷第7题，5分好导数作为研究函数的有力工具

单调区间（其中多项式函2021年浙江卷第7题，5分这一点，将函数的单调性本质问

数一般不超过三次）.题利用图像直观明了地展示出

来，其余的就是具体问题的转化

了.

函数的单调性与导致的关系

单调性问题

知识点一：单调性基础问题

1、函数的单调性

函数单调性的判定方法：设函数y=/（x）在某个区间内可导，如果尸（x）＞0,则y=/（x）

为增函数；如果/''（MvO,则y=/（x）为减函数.

2、已知函数的单调性问题

①若〃尤）在某个区间上单调递增，则在该区间上有广（元）20恒成立（但不恒等于0）；

反之，要满足了'（x）＞0,才能得出了（尤）在某个区间上单调递增；

②若/（无）在某个区间上单调递减，则在该区间上有（（x）＜0恒成立（但不恒等于0）；

反之，要满足「（无）＜0,才能得出了（无）在某个区间上单调递减.

知识点二：讨论单调区间问题

类型一：不含参数单调性讨论

（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续

的区间）；

（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分.定号部

分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；

（3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置

关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）；

（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；

（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；

（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零

点，则求二阶导）；

求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新

函数再求导.

（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函

数正负区间段）；

类型二：含参数单调性讨论

（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要

注意是否是一个连续的区间）；

（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分.定号部

分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；

（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；

（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小

关系）；

（5）导数图像定区间；

【解题方法总结】

1、求可导函数单调区间的一般步骤

（1）确定函数/（x）的定义域；

（2）求尸（x）,令尸（x）=0,解此方程，求出它在定义域内的一切实数；

（3）把函数“X）的间断点（即/（尤）的无定义点）的横坐标和尸（x）=0的各实根按由

小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数/（元）的定义域分成若干个小区间；

（4）确定「（无）在各小区间内的符号，根据了'（X）的符号判断函数/（x）在每个相应小区

间内的增减性.

注：①使「(尤)=0的离散点不影响函数的单调性，即当了'(X)在某个区间内离散点处为

零，在其余点处均为正(或负)时，/(无)在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的.例

如，在(-co,+oo)上，/(尤)=x3,当x=o时，y'(x)=o；当xwO时，y'(x)>o,而显然了(了)=*3

在(-00,^0)上是单调递增函数.

②若函数y=/(x)在区间(。,6)上单调递增，贝|尸0)20(尸(X)不恒为0),反之不成

立.因为尸(x)NO,即尸(x)>0或尸(x)=0,当尸(x)>0时，函数y=/(x)在区间3加上

单调递增.当尸(x)=0时，/(幻在这个区间为常值函数；同理，若函数y=/(x)在区间(a,3

上单调递减，则尸(x)40(尸(无)不恒为0),反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数

大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：

((x)>0n/(x)单调递增；/(%)单调递增n((无)20；

f'(x)<0=>/(%)单调递减；/(%)单调递减nf'(x)<0.

.提升•必考题型归纳

题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像

【例1】(2023•全国高三专题练习)设广⑺是函数的导函数，y=/'(x)的图象如图

所示，则y=/(x)的图象最有可能的是()

B.

【解析】由导函数的图象可得当x<0时，f^x)>0,函数f(x)单调递增;

当0<x<2时，/(力<0,函数/(元)单调递减；

当x>2时，f^)>0,函数单调递增.

只有C选项的图象符合.

故选：C.

【对点训练1】（多选题）（2023•全国•高三专题练习）已知函数"X）的定义域为R且导函数

为r（x）,如图是函数V=4'。）的图像，则下列说法正确的是

A.函数/⑺的增区间是（-2,0）,（2,+8）

B.函数/（X）的增区间是（-8,-2）,（2,+8）

C.x=-2是函数的极小值点

D.x=2是函数的极小值点

【答案】BD

【解析】先由题中图像，确定了'（X）的正负，得到函数/（刈的单调性；从而可得出函数极大

值点与极小值点，进而可得出结果.由题意,当0<x<2时,r（x）<0；当x>2,rw>o；

当-2〈尤<0时,-（无）<0；

当x<-2时，r（尤）>。；

即函数/（X）在（3,-2）和（2,+8）上单调递增，在（-2,2）上单调递减，

因此函数/（尤）在x=2时取得极小值，在x=-2时取得极大值；

故A错，B正确；C错，D正确.

故选：BD.

【对点训练2】（2023•黑龙江齐齐哈尔・统考二模）已知函数y=^'（尤）的图象如图所示（其

中尸（x）是函数的导函数），下面四个图象中可能是丁=/（力图象的是（）

【解析】由丫=矿(冷的图象知，当xe(F,-l)时，矿(力<0,故/<或>0,“X)单调递

增；

当x«T,O)时，矿(力>0,故尸(x)<0,当xe［O』)，xf'(x)<0,故/'(x)WO,

等号仅有可能在尤=0处取得，

所以xe(-M)时,“X)单调递减；

当xe(l,w)时，矿(x)>0,故刊^)>0,“可单调递增，结合选项只有C符合.

故选：C.

【对点训练3】(2023•陕西西安•校联考一模)已知定义在［-3,4］上的函数的大致图像如

图所示，/'(X)是/(x)的导函数，则不等式4'(力>。的解集为()

B.(-3,-2)

D.(3,4)

【答案】C

【解析】若无<0,则尸(x)<0"(x)单调递减,图像可知，xe(-l,o),

5

若x>0,则〃x)>0,〃x)单调递增，由图像可知无el,

故不等式步''(x)>0的解集为(-1,0)fl,|l

故选：C

【解题方法总结】

原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数/（无）单调递增O导函数

r（x）>0（导函数等于0,只在离散点成立，其余点满足（（x）>0）；原函数单调递减o导

函数/（无）40（导函数等于0,只在离散点成立，其余点满足了（不）<0）.

题型二：求单调区间

【例2】（2023•江西鹰潭•高三贵溪市实验中学校考阶段练习）函数y=土二+lnx的单调递

x

增区间为（）

A.（0,2）B.（0,1）C.（2,+8）D.

【答案】D

【解析】函数的定义域为（0,+刃）.

x2+22ijt.i,.21x2+x—2（x+2）（x—1）

y=-----+lnx=x+—+lnx,贝IJy'=l——7+—=-----——=-----9----.

xxxxx"x

fy>0

令c，解得xe（L+s）.

［x>0

故选：D

【对点训练4】（2023•全国•高三专题练习）函数y=xlnx（）

A.严格增函数

B.在10,1上是严格增函数，在［+8）上是严格减函数

C.严格减函数

D.在（0,：］上是严格减函数，在+8）上是严格增函数

【答案】D

【解析】已知y=Xlnx,x>0,则V=lnx+%,=lnx+l,

x

令y'=0,即lnx+l=0,解得x=L

e

当o<x<：时，y<o,所以在上是严格减函数，

当时，y>o,所以在上是严格增函数，

故选：D.

【对点训练5】（2023•全国•高三专题练习）函数〃尤）=ln（4f-1）的单调递增区间（）

【答案】A

【解析】由4门＞。，可得一

所以函数〃x)=ln(4fT)的定义域为

Q1

求导可得「(》)='1r,当/2")＞。时，尤＞0,由函数定义域可知，尤＞,

所以函数〃x)=ln(4x2-l)的单调递增区间是1,+s]

故选：A.

b

【对点训练6】(2023・高三课时练习)函数/(x)=ax+—(a、b为正数)的严格减区间是().

x

【解析】由题得xwO.

由f'(x)=a-^,令r(x)=a一揖＜0解得＜x＜0或0＜x＜后.

h

所以函数〃%)="+t的严格减区间是

选项D,本题的两个单调区间之间不能用“U”连接，所以该选项错误.

故选：C

【解题方法总结】

求函数的单调区间的步骤如下:

(1)求/(尤)的定义域

(2)求出「(无).

(3)令/(x)=0,求出其全部根，把全部的根在x轴上标出，穿针引线.

(4)在定义域内，令尸(x)＞0,解出x的取值范围，得函数的单调递增区间;令f'(x)＜0,

解出x的取值范围，得函数的单调递减区间.若一个函数具有相同单调性的区间不只一个,

则这些单调区间不能用“或”连接，而应用“和”、“，”隔开.

题型三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围

【例3】(2023•宁夏银川・银川一中校考三模)若函数/(x)=5-Inx在区间(私〃7+§)上不单

调，则实数:"的取值范围为()

A.0<m<—B.—<m<l

33

【答案】B

【解析】函数/(x)=5-Inx的定义域为(0,+s),

1x2-1(x+l)(x-l)

j.ra)=x--=—

XXX

令八九)=。，得％=1,

因为/(九)在区间(见加+g)上不单调,

m>0

2

所以<11，解得：-<m<l

m<l<m+—3

I3

故选：B.

【对点训练7】(2023•陕西西安・统考三模)若函数-依+lnx在区间(l,e)上单调递

增，则〃的取值范围是()

A.[3,+oo)B.(—co,3]C.[3,e?+ljD.[，片―1]

【答案】B

【解析】因为函数/(x)=f-依+lnx在区间(l,e)上单调递增，

所以「(力=2了-々+工20在区间(10上恒成立,

即aV2x+工在区间(1,e)上恒成立，

X

令g(%)=2x+，(l<x<e),

则g，(x)=2-4="J缶+1"缶T]。，

所以g(力在(l,e)上递增,又g⑴=3,

所以〃W3.

所以。的取值范围是(f,3].

故选：B

【对点训练8】(2023•全国•高三专题练习)若函数〃尤)=log“(依-无且“Xi)在区间

(0,1)内单调递增，则a的取值范围是()

A.[3,+co)B.(1,3]

【答案】A

【解析】令〃=g（尤）=OX—贝I]g'（x）=<7-3f,

当或时，当—<祗时’g，（x）>0,

所以g（x）在和

当”>1时，y=log“〃为增函数，且函数“X）在区间（0,1）内单调递增,

a>l

一心0,解得心,

所以

'|>1

此时g（X）在（0,1）上递增，则g（x）>g（0）=0恒成立，

当0<a<l时，y=log“〃为减函数，且函数〃x）在区间（0,1）内单调递增，

Bo

所以『3一，无解,

0<a<l

综上所述，。的取值范围是[3,+8）.

故选：A.

【对点训练9】（2023•全国•高三专题练习）已知函数/（%）=sin%+acos%在区间「g）上是减

函数，则实数〃的取值范围为（）

A.a>^2—1B.6Z>1C.a>1—>/2D.a>—l

【答案】B

【解析】由题意，/'（%）=cos…sin-0在仔g）上恒成立,

COSX1兀兀1114一

即—=----在于不上怛成工，

sinxtanx

因为y=tan%在（苦）上单调递增，所以y=tan尤>1,

所以在时，0<--—<1,

<42）tanx

所以。"

故选：B

【对点训练10】(2023•全国•高三专题练习)三次函数『(%)=小/一%在(-co,+oo)上是减函数,

则加的取值范围是()

A.m<0B.m<1C.m<0D.m£1

【答案】A

【解析】对函数/(x)=如3求导，得八%)=332_1

因为函数在(-*+8)上是减函数，则/(X)«0在R上恒成立，

即3m^2-140恒成立，

当了2=。，即％=。时，3mf_iwo恒成立；

当％2。0,即xwO时，%2>0,贝！]3根44，gp3m<|j,

X\X7min

因为所以3根《0,即机40；

x

又因为当机=0时，/(%)=f不是三次函数，不满足题意，

所以相<0.

故选：A.

【对点训练111(2023•青海西宁•高三校考开学考试)已知函数/(X)=忘+lnx.若对任意4,

x2e(O,2],且占w%,都有，C>T,则实数。的取值范围是()

x2一百

(271(27、

A.I-co,—B.(-00,2]C.IID.(-<x),8]

【答案】A

【解析】根据题意，不妨取玉<马,则；(“J>一1可转化为了伍)一/a)>二一二,

,a1a

即In%H-----+石<In/------+%.

令歹(x)=lnx+《j+x,则对任意4，x2G(0,2],且国〈尤?，

都有F(^)<F(x,),

所以尸(%)在(0,2]上单调递增，即广(x)=J-意了+12°在(0,2]上恒成立，

即a4包11在(0,2]上恒成立.

X

令心)=回£,0<x<2,则〃")=①置生D0<x<2,

令得0＜尤＜：,令得g＜xV2,

所以g）在„上单调递减，在（；1，2上单调递增，所以小）皿*所以。吁，

.二h

2un

27

即实数4的取值范围是一00a，

故选:A

【对点训练12］（2023•全国•高三专题练习）若函数〃x）=lnx+加-2在区间2,2）内存在

单调递增区间，则实数〃的取值范围是（）

A.[-2,+oo)B.--,+coC.D.(-2,+oo)

8

【答案】D

【解析】V/(x)=lnx+6ix2-2,

fr(x)=—+2ax,

x

3,2]有解,

若/（%）在区间,2内存在单调递增区间，贝1］//）＞0,工€

故”一B

令g（%）=一5，贝必（%）=一5在2）单调递增,

g(%)>g-2,

故a>—2.

故选：D.

【对点训练13］（2023•全国•高三专题练习）若函数/（%）=/+工—Inx-2在其定义域的一个

子区间（2Z-1,2%+1）内不是单调函数，则实数上的取值范围是（）

33_L2

A.B.3C.3D.

214PI214

【答案】D

【解析】因为函数八%）的定义域为（。,+8）,

所以21",即"

XXX

令r（x）=0,得尤=；或产一1（舍去）,

因为人幻在定义域的一个子区间（2左-1,2左+1）内不是单调函数，

113

所以2左一1<—<2左+1,得一上〈人<二，

244

13

综上，

24

故选：D

【对点训练14］（2023•全国•高三专题练习）已知函数〃x）=lnx+（x-6）2（LeR）在区间

；,2上存在单调递增区间，则实数6的取值范围是

—00,—-C.-oo,3）

2°'4

【答案】B

【解析】.函数在区间；,2上存在单调增区间，，函数/（X）在区间1,2上存在子

区间使得不等式/（力>。成立.f\x）=-+2（x-b）=2x2~2bx+i,设/?（力=2/—2"+1,

考点：导数的应用.

【例4】（2023•全国•高三专题练习）已知函数=+■|/+彳+1在（-8,0）,（3,+w）上

单调递增，在（L2）上单调递减，则实数a的取值范围为（）

105

T2

10_5

T，-2

【答案】A

【解析】由得广（耳=/+6+1.

因为“X）在（-咫0）,（3,y）上单调递增，在（1,2）上单调递减,

所以方程f（x）=0的两个根分别位于区间［0』和［2,3］上，

/\0）＞01＞0,

r（i）＜o1+Q+1V0,

/,（2）＜o,4+2tz+l＜0,

（⑶NO9+3a+120,

解得一与《〃

故选：A.

【对点训练151（2023・全国•高三专题练习）已知函数/（%）=侬：3+3（加一1）%2一1+