2024-2025学年贵州省遵义市红花岗区高二（上）开学数学试卷+答案解析

2024-2025学年贵州省遵义市红花岗区高二（上）开学数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.过点P（5,2）且斜率为一1的直线的点斜式方程为（）

A.y=-x+7B.y-2=-(x-5)

C.g+2=—[x+5)D.g-5=~[x-2)

2.直线A：2c—3沙+5=0与22：立+y—10=0的交点坐标是（）

A.(5,5)B.(2,3)C.(3,7)D.(8,5)

3.已知向量才=（©2,3）,~b=（3,-4,-3），若（方+了口力，则/=（）

A.-4B.4C.一4或1D.4或一1

4.若直线小ax—沙―2=0与22：c—3+2=0平行，则它们之间的距离为（）

A.8^2B.6^2C.4\/2D.2打

5.若｛才，了，工｝构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）

A.T-c*-万一力—工

B.记+了,下—2了+/,了+

C.正-2号,T+c*-记+2工

D.记—了+工，2了+/,出+了+2工

6.若直线/：（a—2）/+%+2a—3=0经过第四象限，则a的取值范围为（）

A.(—oc,0)U(2,+oo)B.(—oo,0)U[2,+oo)

33

C.(-oo,0)U(-,+oo)D.(-oo,0)U[-,+oo)

7.如图，将菱形纸片45CZ）沿对角线4C折成直二面角，E,尸分别为4。，

27r

5c的中点，。是/C的中点，AABC=则折后直线/C与平面。跖所

o

成角的正弦值为（）

A.a

7

B•空

3713

13

721

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8.已知(m,n)为直线c+y-1=0上的一点，则，源+足+，?+2)2+*的最小值为()

A.yioB.2\/3C.4D.3y2

二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分,

部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.如图，在四棱锥P—4BC。中，P/_L平面/BCD,底面48CD为矩形，E,

F分别为PB,尸〃的中点，贝(1()

A.亘^在瓦方方向上的投影向量为;而5

B.亘声在笈方方向上的投影向量为五方

C.瓦在幅方向上的投影向量为瓦^

D.互声在瓦甘方向上的投影向量为—瓦百

10.直线八：g=&r+b与以：沙=62+a在同一平面直角坐标系内的位置可能是()

11.若三条不同的直线A：mx+2y-6=0,Z2：x+y-l=0,l3：3/+沙—5=0不能围成一个三角

形，则加的取值可能为()

A.8B.6C.4D.2

12.在空间直角坐标系O—c”中，若A(l,2,3),5(2,-1,0),。(一1,2,0),。四点可以构成一个平行四边

形，则点。的坐标可以为()

A.(0,—1,—3)B.(-2,5,3)C.(4,-1,3)D.(3,-2,0)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在空间直角坐标系。中z中，点A⑵-1,3)关于x轴对称的点的坐标为

14.已知4私一2)，3(2,5),。(3,7)三点在同一条直线上，则m

「7T

15.如图，已知二面角4—的平面角大小为3，四边形4BFE,

O

EDCF均是边长为4的正方形，贝!I|阮|=

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16.某公园的示意图为如图所示的六边形/8CDE凡其中AF//BC,

3

AB//DE,ABCD=AAFE,<tanZ5CP=C0=EF=5O米，

BC=DE=80米.若计划在该公园内建一个有一条边在NB上的矩形娱乐健身区域,

则该娱乐健身区域面积(单位：平方米)的最大值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题10分)

已知直线。经过点4(2,3).

(1)若人与直线L：4+29+4=0垂直，求八的方程；

(2)若人在两坐标轴上的截距相等，求A的方程.

18.(本小题12分)

《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖腌.如图，在鳖膈P-48。中，平面P2C,

BClnPAB,。为尸C的中点，巨京=2位.

(1)设7X=a，或=拉前=c，用①b,c表示瓦;

⑵若|可|=|9|=|而|=1，求就•瓦.

19.(本小题12分)

如图，在直四棱柱—中，底面/BCD是菱形，且NBAO=60°，E,F,G分别为3G，

AC,Ai。的中点，AA1=AB—2.

(1)求直线DiF与EG所成角的余弦值；

(2)求点到平面EFG的距离.

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20.(本小题12分)

在平面直角坐标系xOy中，四边形O/BC为等腰梯形，OAUBC,点4(4,2),5(1,4).

(1)求点。的坐标；

(2)求等腰梯形0/3。的面积.

21.(本小题12分)

如图，在四棱锥P—4BCD中，PAL底面/BCD,底面A8CD为正方形，PA=AB,E,尸分别是尸5,

的中点，M是PD上一点.

(1)证明：EF〃平面P4O.

(2)若求平面/MR与平面的夹角的余弦值.

22.(本小题12分)

已知△ABC的三个顶点是4(1,1),5(3,3),0(2,8).

(1)过点2的直线力与边NC相交于点。，若△BOD的面积是面积的3倍，求直线八的方程;

(2)求NBA。的角平分线所在直线22的方程.

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：由直线的点斜式方程可知，所求方程为4一2=-侬―5）.

故选：B.

结合直线的点斜式方程的定义，即可求解.

本题主要考查直线的点斜式方程的求解，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：联立方程组｛言;”5二。解得｛x=5；

故人与，2的交点坐标为（5,5）.

故选：A.

联立两直线方程，求出交点坐标.

本题考查了两直线的交点坐标，考查了方程组的解法，是基础题.

3.【答案】C

【解析】解：（出+了），下，

贝IJ（才+了）-力=才2+m.了=/+13+3/—17=/+3/-4=0，解得立=-4或C=1.

故选：C.

根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解.

本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：直线A：ax—沙―2=0与L：2—3+2=0平行，

故人：2―5―2=0与，2：z—沙+2=0之间的距离d=卢7亍=2班.

故选：D.

先求出直线平行的性质，求出0,再结合平行直线间的距离公式，即可求解.

本题主要考查平行直线间的距离公式，属于基础题.

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5.【答案】B

【解析】解：对于选项/,才=（了一/）一（了—力—工），所以正,可―/，了—天-工共面，故/

错误；

对于选项B,设才+了=X（JCL—2了+工）+y（l）+工）=xHi+（—2/+y）7+（立+y）W,

X=1

所以{-2x+y=l9此方程组无解，

x+y=0

所以才+了，才—2了+工,了+苒不共面,故8正确；

对于选项C,27=—2（7+/）+（才+2工），所以记+了，/-27，7+共面，故C错误；

对于选项。，才—了+工=—（27+工）+（才+7+2工），所以正—了+工，2了+工，方+了+2工

共面，故。错误.

故选：B.

利用空间向量基本定理判断即可.

本题主要考查了空间向量的基本定理，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】解：若a=0,贝U/的方程为c=—番不经过第四象限.不合题意，

若a=2,贝I"的方程为沙=—1,经过第四象限，符合题意，

若。刈，且好2,将/的方程转化为g=—」工—人2,

aa

a-2°

------>0o

a

9„解得a<0或;<a<2或a〉2,

{—^^<02

综上可得a的取值范围是（-oo,0）U（|,+oo）.

故选：C.

直线不经过第四象限根据一次函数图象与系数的关系即可求解.

本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答.

7.【答案】A

【解析】解：以。为原点，分别以。8,OC,。。所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，

建立空间直角坐标系，如图示：

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设平面。防的法向量为才=(22),

则(不.匹=0,令y=l,则方=(_用,1"),

I7?­OF=0

易得与正共线的一个向量为记=(0,1,0),

故直线NC与平面。£9所成角的正弦值为三⑶

|同同|7

故选：A.

以。为原点，OB,OC,。。所在的直线分别为x轴、＞轴、z轴，为两个单位长度，建立坐标系，分别

求出血，区的坐标以及平面。跖的法向量，求出线面角的正弦值即可•

本题考查了空间向量在立体几何中的应用，考查线面角问题，是中档题.

8.【答案】A

【解析】解：设P(ni,n)为直线/+沙—1=0上的一点，则,祥+步+Jg+2/+*为点P(m,几)到原

点O和到点4(一2,0)的距离之和，

设0(0,0)关于直线2+沙―1=。对称的点为6(a,6),则《I2，得《£二,，即8(1,1).

0IU—X

a

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易得|PO|=|P切，当/,P,3三点共线时，|PO|+|P川取到最小值，且最小值为

\PO\+\PA\=\AB\=yio.

故选：A.

转化为两点间的距离之和，求出对称点，即可求解结论.

本题主要考查点关于直线的对称点，考查计算能力，属于基础题.

9.【答案】ACD

【解析】解：由题意，P4J_平面48cD,

则平面P4B,平面/BCD,平面PAO,平面48CD,

又底面ABCD为矩形，E,尸分别为尸2,尸。的中点,

由图及投影向量的定义可知,

前在4方方向上的投影向量为;套，故/正确;

正在瓦3方向上的投影向量为;松，故2错误；

仁君在瓦官方向上的投影向量为-］池，故C正确;

。云在血方向上的投影向量为-血，故。正确.

故选：ACD.

根据题设条件及投影向量的概念，观察可得.

本题考查投影向量的概念，属基础题.

10.【答案】ABC

【解析】解：对于/,由两条直线都可得a〉0,b>0,故可能成立.

对于3,由一条直线可得a<0,b>Q，由另一条直线可得6〉0，a<0,故可能成立.

对于C,由一条直线可得a<0,b=0，由另一条直线可得b=o，a<0,故可能成立.

对于。，由一条直线可得a〉0,6=0或6>0,a=0,而另一条直线不符合要求，故不可能成立.

故答案为：ABC.

由题意，根据确定直线位置的几何要素，逐一判定各个选项能否成立，从而得出结论.

本题主要考查确定直线位置的几何要素，属于基础题.

11.【答案】BCD

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【解析】解：若。〃，2,则｛案；温，解得加=2.

若h//h，则[6：?n，解得m=6.

1—5m+18=0

由｛3x+y-^0,解得方=2，y=T，即％2与%3的交点坐标为⑵―1)，

若A过点(2,—1),则2m—8=0,解得m—4.

故选：BCD.

若三条直线不能围成三角形，则其中两条直线平行或三条直线交于一点，即可求解.

本题主要考查了直线平行条件的应用及直线的交点坐标的求解，属于基础题.

12.【答案】ABC

【解析】【分析】

本题考查空间向量平行的坐标表示，属于基础题.

分情况讨论平行四边形顶点的位置，结合向量相等，即可求得。点坐标，即得答案.

【解答】

解：由题意得,助=(1,—3,—3)，前=(—2,0,—3)，睨=(-3,3,0)，

设点D的坐标为(x,y,z),

若四边形/瓦兀为平行四边形，贝=前，贝！1(1,—3,—3)=3+1/一2,z),

此时点。的坐标为(0,-1,-3);

若四边形为平行四边形，则血=比，

则(1,-3,-3)=｛—X—1,—y+2,-z),此时点D的坐标为(—2,5,3);

若四边形为平行四边形，则无方=加，

则(比一1,1一2,z—3)=(3,-3,0),此时点D的坐标为(4,-1,3).

故选：ABC.

13.【答案】⑵1,—3)

【解析】解:点4(2,—1,3)关于x轴对称的点的坐标为(2,1,—3).

故答案为：(2,1,-3).

根据已知条件，结合空间点对称的性质，即可求解.

本题主要考查空间中点的坐标，属于基础题.

14.【答案】—]

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【解析】解：因为—2),3(2,5),。(3,7)三点在同一条直线上,

-9-55—73

所以上河8=任工，即——^=丁不，解得小=一1

m—22—32

故答案为：—了

根据已知条件，结合直线的斜率公式，即可求解.

本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题.

15.【答案】4\/2

【解析】解：连接ND,

7T

•.•二面角4-EF-O的平面角大小为不，四边形48FE,EDCF均是边长为4的正方形,

O

s.AELEF,DELEF,AB±AD,

.•.乙4FO是二面角A-EF-。的平面角，AE=DE=AB=4,

7F

：.AAED=~,「.40=4,

O

|BZ5|=,42+42=4A/2.

故答案为：4A/2.

连接推导出4ELEF，DE1EF，AB1AD，是二面角4—EP—。的平面角,

AE=DE=AB=^,NAED=?AD=4,由此能求出|前

O

本题考查二面角的定义、勾股定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

33800

16.【答案】

3

【解析】解：如下图，以N尸所在直线为x轴，DE所在直线为y轴建立平面直角坐标系，娱乐健身区域为

矩形PQMN,

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3

因为/BCD=AAFE,且tan乙BCD=

4

所以可得直线EF的方程为y=-^+30,直线CD的方程为y-^+110,

3

设P(Q,—丁+30),其中0W0W40,

33

则Q(QqQ+110),7V(120,--a+30),

则[PQ|=]a+80,|PN|=120—Q,

四边形尸。儿W的面积S=|PQ||PN|=《a+80)(120—a)=—，(a—%2+W2£,当。=平时，取得

33800

最大值

以//所在直线为x轴，DE所在直线为y轴建立平面直角坐标系，由题可求直线昉，CD的方程，设

F(a,--a+30),其中0<a<40,可求Q(a,ji+HO),77(120,--a+30),进而可得|PQ|=/+80,

\PN\=120-a,利用矩形的面积公式以及二次函数的性质即可求解其最大值.

本题考查了直线的方程以及二次函数的性质的综合应用，考查了数形结合思想和函数思想，属于中档题.

17.【答案】解：(1)由题可知，L的斜率为一(，

设h的斜率为人因为皿2,所以—#=—1,则卜=2,

又h经过点4(2,3),所以人的方程为9—3=23—2),即2z—g—1=0；

(2)若A在两坐标轴上的截距为0,即"经过原点，设A的方程为沙=七工，

将4⑵3)代入解析式得2k=3,解得％=；，

故Zi的方程为3，—2沙=0,

xy“

若A在两坐标轴上的截距不为0,则设A的方程为％+，=1,

23

由—|—=1,得a=5,

aa

故。的方程为7+g—5=0,

综上，八的方程为工+V一5=0或3/一2沙=0.

【解析】(1)根据两直线垂直得到力的斜率，进而利用点斜式求出直线方程；

(2)考虑截距为0和不为0两种情况，设出直线方程，待定系数法求出直线方程.

本题主要考查了直线垂直条件的应用，还考查了直线的截距式方程的应用，属于中档题.

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18.【答案】解：（1）连接3D,PE,如图，

瓦=旌-标=可+源-港-版,

因为。为尸。的中点，放=2百N，

所以就==g4-,Bi）=+轲=+；就,

所以瓦=旌—口=可+方—港—亘方=

（2）因为肃=R+而+百苫=-pl+声X+锭,

所以就•瓦=（—可+港+初）・-冠

+河•了不+R-配-•衣,

因为P4L平面PBC,BC_L平面PAB,且P8,BCU平面PBC,PBU平面PAB,

所以P4LPB，PALBC>PBLBC，

又因为|P2|=|P5|=I后为I=I,

所以_|司2T42T睨2+|^港+：四友_：适

即

O

乃友=4

【解析】（1由空间向量的线性运算直接计算即可；

（2）由空间向量的线性运算和数量积运算计算即可.

本题考查空间向量的线性运算和数量积，属于中档题.

19.【答案】解：（1）连接5。，因为底面/8C。是菱形，

所以4CLLB。，

因为RG分别为/C,4。的中点，

所以FG〃441，

则FG_L平面48C®，

以尸为坐标原点，FA,FB,9G所在直线分别为x轴，y轴，z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系，

由乙B4D=60°，A4=AB=2,

得F(0,0,0),01(0.-1,2),G(0,0,l),后(—理,；,2)，

第12页，共15页

则市=（0,1,_2），虎=（—苧1,1）,

可得cos（市，G^>=土,冬=厂2=—3西,

\D^F\\GE\V5xV220

故直线DiF与EG所成角的余弦值为此皿；

20

⑵由⑴知冠=（0,0,1）,

设平面EFG的法向量为nt=（3,yo,zo）,

f731n

则）--^-力0+2^0+%=°,

（^o=O,

令须）=1,得求=（1,通,0）,

所以点到平面EFG的距离为与/=*

【解析】⑴连接BD，由题意可求FG,平面/BCD,以尸为坐标原点，FA,FB,尸G所在直线分别为x轴，

y轴，z轴，建立空间直角坐标系，可求比N=（0,1,-2）,屈=（―利用向量夹角公式能求出

直线DiF与EG所成角的余弦值；

[731

（2）由⑴知锯=（0,0,1），设平面即G的法向量为病=（磔,y0,zo）,则<—/-磔+旷。+?。=°，令2°=1,

[Zo=o,

得夜=（1,通,0）,进而可求点。1到平面EFG的距离.

本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查点、线、面间的距离计算，考查运算求解能力，考查数形

结合思想，属于中档题.

2—01

20.【答案】解：（1）因为04〃3。，所以^^二垢斗二丁二二亍

4—U2

又6（1,4）,所以直线3c的方程为y=；1/+J7

设C（a,，+g），由|46=|00|,得a2+（，+]=13,

解得a=-3或a=

当a=—3时，OCIIAB,不符合题意.

当a=；时，OC与N8不平行，符合题意，故点C的坐标为（；,£）.

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⑵[0川=,42+22=2通，阳。|=g)2+(4—,)2=竺,

V555

,|1-8|7V5

点B(l,4)到直线04：x-2y=0的距离d=/。?=可，

62+(—以

142

故等腰梯形0ABC的面积S=-(|0A|+\BC\)d=—.

/o

【解析】(1)结合直线平行的斜率关系可求直线BC的斜率，进而可求3c的方程，然后结合两点间距离公

式可求；

(2)结合两点间距离公式先求出|0川，再由点到直线的距离公式求出3到CU的距离，结合梯形面

积公式可求.

本题主要考查了直线平行的斜率关系，点到直线的距离公式及两点间距离公式的应用，属于中档题.

21.【答案】(1)证明：取尸区的中点N,连接EN,DN,如图所示：

因为E是网的中点，所以EN//AB,且=

又因为四边形/BCD为正方形，尸是C〃的中点，柝以EN“DF,且

EN=DF，

所以四边形ENDb为平行四边形，所以EF〃ON,

因为EF,平面P4D,。Nc平面P/。，所以E尸〃平面P4D.

⑵解：以N为坐标原点，AB,AD,4P所在直线分别为x、八z轴，

建立空间直角坐标系，如图所示：

设48=2,则E(l,0,l),F(l,2,0),P(0,0,2),£>(0,2,0)；

9\o

设百万=某而，则"(0，3—2)，

1~rA1A

施=(1,0,1),江=(1，高，一击)；

因为AELMF,所以血•凝=1—Jr=0,解得入=1，

所以■=(—1,1,0),=(i,i,-i),AP=(1,2,0)；

设平面/的法向量为记=(n,?/,z),则['