2023–2024学年人教版七年级数学下册专项复习：实数 压轴专练（解析版）

第六章实数（易错+压轴题专练）

目录

【考点一对无理数的概念理解不透彻或对实数的分类不清楚致错】..............................1

【考点二易混淆a与后的平方根】.........................................................4

【考点三忽略二次根式有意义的隐含条件或对叱=时理解不透彻致错】.....................7

【考点四无理数整数部分的有关计算】......................................................10

【考点五新定义下的实数运算】............................................................13

【考点六与算术平方根有关的规律探索题】..................................................15

【考点七与实数运算相关的规律题】........................................................18

【考点一对无理数的概念理解不透彻或对实数的分类不清楚致错】

22Jr

例题：在实数-0.1010010001,币,―,0中，无理数有（）

A.4个8.3个C.2个D1个

【答案】C

【解析】

【分析】

无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的

统称.即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数.由此即可求解.

【详解】

29

解：-0.1010010001是有限小数，亍是分数，/=-2、。是整数，这些都属于有理数；

无理数有S，-p共有2个.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了无理数的定义，无理数有：n,2万等；开方开不尽的数；以及像0.2020020002...（相邻两

个2中间依次多1个。），等有这样规律的数.

【变式训练】

1.下列各数是无理数的是（）

I

A.7.457B.OC.79D.

3

【答案】B

【分析】根据无理数是无限不循环小数进行判断即可.

【详解】解：7.457是有限小数，不是无理数;

打开不尽方，是无理数;

次=3是整数，不是无理数；

；是分数，不是无理数；

故选：B.

【点睛】本题考查了无理数的识别；解题关键是明确无理数的常见形式：开不尽的方根、含万的式子、无限

不循环小数等.

jr17

2.实数,0.1234,3.1415926,瓜,其中无理数有（）

A.2个B.3个C.4个D5个

【答案】A

【分析】直接根据无理数的定义判断即可.

【详解】解：酶=2,

rr

无理数有孑，布共2个，

故选：A.

【点睛】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①万类，如2兀，

（等；②开方开不尽的数，如夜，狗等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001...（两个1之间依次增

加1个0）,0.2121121112...（两个2之间依次增加1个1）.

227T

3.下列实数：―,3.14159,712.M，5,-JM,0.131131113...,正中，无理数有个.

【答案】4##四

【分析】根据无理数的三种形式求解.

【详解】解：A/12=2A/3,卜1|=1,A/64=8,

所以，无理数有旧、3、0.131131113...,券，共4个，

故答案为：4.

【点睛】本题考查了无理数，解题关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的；②无限不循环小数；

③含有万的数.

4.实数：0.3,屈，非,0,2.2020020002……，-0.203,一旧中，无理数有个.

【答案】4

【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数

与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数.由此解答即可.

【详解】解：A/64=8,

无理数有-g,52.2020020002……，-g,共有4个.

故答案为：4.

【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：%,2%等；开方开不尽的数；以

及像0.1010010001……，等有这样规律的数（注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无

理数），熟练掌握其性质是解决此题的关键..

137r

5.把下列各数写入相应的集合中：gT，~f=，底,竹，0,0.1212212221…（相邻两个1

2"V42

之间2的个数逐次加1）

⑴正数集合（｝；

（2）有理数集合｛｝；

（3）无理数集合｛｝.

37T

【答案】⑴-万，灰，0.1212212221...（相邻两个1之间2的个数逐次加1）

742

13.—,—

（2）--»石，四,拉瓦0

-TT

（3）11,3,0.1212212221…（相邻两个1之间2的个数逐次加1）

【分析】（1）根据正数的概念逐一判断即可；

（2）根据有理数的概念逐一判断即可；

（3）根据无理数的概念逐一判断即可.

34

【详解】（1）解：正数集合｛赤，A，0.1212212221...（相邻两个1之间2的个数逐次加1）｝；

33

（2）解：•.•^^=5，736=6,V-8=-2，

13

・•・有理数集合为｛-5，石，V36,4，0｝；

rr

（3）解：无理数集合{gT，万，0.1212212221…（相邻两个1之间2的个数逐次加1）}.

【点睛】本题考查了有理数和无理数的概念，理解无理数和有理数的概念是解题的关键.

【考点二易混淆。与后的平方根】

例题：下列说法正确的是（）

A.16的平方根是J话B.716=4C.V16=±4D.以上都不对

【答案】B

【解析】

【分析】

根据算术平方根与平方根的性质即可得.

【详解】

解：16的平方根是士&^=±4,

\/16=4,

故选：B.

【点睛】

本题考查了算术平方根与平方根，熟练掌握算术平方根与平方根的性质是解题关键.

【变式训练】

1.下列运算中，正确的是（）

A.^27=3B.如=3后C.^（-2）2=-2D.〃=±2

【答案】B

【分析】利用平方根和立方根的意义计算即可；注意负数没有平方根，算术平方根是非负数；

【详解】A.•/^^27=-3

此选项错误；

B.V18=3>/2,此选项正确；

C.2）~=-x/?=2

.••此选项错误；

D.^/4=2

...此选项错误

故选：B

【点睛】本题考查平方根和立方根的意义，熟练掌握运算法则是解题的关键

2.在下列各式中正确的是()

A.J(-2)2=-2B.±5/9=3C.y/l6=8D.

【答案】D

【分析】根据平方根及算术平方根的性质可求解.

【详解】解：根据平方根及算术平方根的性质可知，正可=2,±囱=±3,J正=4,

观察四个选项，只有选项。正确，

故选：D.

【点睛】本题考查了算术平方根的定义，要注意正确区分平方根与算术平方根，解题的关键是掌握算术平

方根的定义.

3.±749=；J语的算术平方根为.

【答案】±72

【分析】如果一个数的平方等于这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根.一般地，如果一个正

数x的平方等于即Y=a,那么这个正数尤叫做。的算术平根.根据平方根、算术平方根的定义进行计

算即可.

【详解】解：「(±7)2=49,

±-s/49=±7,

•.♦&?=4,4的算术平方根为2,

话的算术平方根为2,

故答案为：±7；2

【点睛】本题考查平方根、算术平方根，理解平方根、算术平方根的意义是解决问题的关键.

4.若。、Z?满足/一4a+4+赤亚=0,则族的算术平方根是.

【答案】2

【分析】根据非负数的性质列出方程求出〃、b的值，代入所求代数式计算，即可得出结论.

【详解】•.,〃_44+4+7^?=0,

(a-2)2+7^8=0,

.[a-2=0

・•.f=2,

[b=S

**--fab=J2x8=4，

**•y[ab算术平方根是2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查了求算术平方根和非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为①

5.已知实数〃，b,c满足(〃-2)2+|2。+6|+15-c=0.

(1)求实数〃，b,。的值；

(2)求—3b+c的平方根.

【答案】(1)。=2,b=-3,c=5

Q)Ja-3b+c的平方根为±2

【解析】

【分析】

(1)根据非负性可知，(。-2)2=0,|2/?+6|=0,15-c=0,求出mb,c的值；

(2)由(1)得〃=2,b=-3,c=5,将〃，b,c代入求解即可.

(1)

解：•・・(a-2)2+|2计6|+7^=0,

(a-2)2=0,|2Z?+6|=0,y/5-c=0，

•\a-2=0,25+6=0,5-c=0,

解得4=2,b=-3,c=5；

(2)

解：由(1)知〃=2,b=-3,c=5,

贝ljy/a-3b+c=^2-3x(-3)+5=4,而±/=±2，

故Ja-30+c的平方根为±2.

【点睛】

本题考查了平方的非负性，绝对值的非负性以及算术平方根的非负性，以及求一个数的平方根，熟练地运

用以上知识是解决问题的关键.

【考点三忽略二次根式有意义的隐含条件或对标=|«|理解不透彻致错】

例题：必了等于（）

A.3B.-3C.±3D.9

【答案】A

【分析】根据实数的性质即可化简.

【详解】解：必产=d=3.

故选：A.

【点睛】本题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知实数的运算法则.

【变式训练】

1.化简二次根式，［的结果是（）

A.-bHB.b4~bC.一^~D.后

【答案】C

【解析】

【分析】

根据二次根式的性质化简即可.

【详解】

角麻,*,——0,w0,

b

：.b<0,

.rr_口

故选：c.

【点睛】

此题考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式有意义的条件及化简方法是解题的关键.

2.若=2-/成立，则/的取值范围是（）

A.m>2B.m>2C.m<2D.m<2

【答案】c

【解析】

【分析】

根据二次根式的性质可进行求解.

【详解】

解：J（in-2）2=2—m>

m—2<0,

m<2；

故选C.

【点睛】

本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.

3.化简二次根式一屈的结果为（）

A.2ay/2aB.—212aC.2al-2aD.-2a^2a

【答案】D

【解析】

【分析】

先根据二次根式有意义的条件可得。20,再利用二次根式的性质化简即可得.

【详解】

解：

:.a>0,

贝I-J8a3=—y]4a2,2a=-2a>J2cl，

故选：D.

【点睛】

本题考查了二次根式有意义的条件、二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键.

4.（2022秋•湖南衡阳•九年级衡阳市华新实验中学校考期中）已知实数°,b,c在数轴上的位置如图所示,

化简：|a|+技+J(c_a)2=.

ii11A

ca0b

【答案】b-c

【分析】由数轴可得c<a<0,b>0,从而得c/<0,再结合二次根式的化简的方法进行求解即可.

【详解】解：由数轴得：C<G<0,b>0,

/.c—a<0,

阿+db2+J(c-a)2

=-Q+Z?+〃-C

=b-c.

故答案为：b-c.

【点睛】本题主要考查绝对值，算术平方根的化简，数轴，解答的关键是由数轴得出相应的数的范围.

5.(2022.湖南.长沙市南雅中学七年级期中)如图，a,b,。是数轴上三个点A、B、。所对应的实数.其中

。是4的一个平方根，6是-27的立方根，c是1-3点的相反数.

III1A

BA0C

⑴填空：a-,b=,c-；

(2)先化简，再求值：J/+|a-二

【答案】(1)-2,3372-1

(2)2c-b,672+1

【解析】

【分析】

(1)根据平方根，立方根，相反数的意义，即可解答；

(2)根据题意可得c>0,a-b>Q,a-c<0,然后先化简各式，再进行计算即可解答.

(1)

由题意得：a——2,b=-3,c=3夜-1，

故答案是：-2,-3,3应-1;

(2)

由数轴可得：c>0,a-Z?>0,a-c<0,

=c+a—b—(a—c)=c+a—b—a+c=2c—b.

当6=-3,c=3夜-1时

原式=2x（3拒-1）-（-3）=6近-2+3=60+1.

【点睛】

本题考查了整式的加减，实数的运算，平方根，立方根，实数与数轴，准确熟练地进行计算是解题的关键.

6.（1）计算行=;7（-6）2=；J*-；）=；Vo7

（2）根据（1）中的计算结果可知，77=.

（3）利用上述规律计算：实数。、6在数轴上的位置，化简『正-"4.

__________■八a■■1-b1■、

-101

【答案】（1）3,6,0；（2）同；（3）-2b

【分析】（1）根据算术平方根的定义分别计算即可；

（2）根据计算结果归纳可得；

（3）根据数轴得到m6的关系和符号，再结合（2）中结论去绝对值化简.

【详解】解：（1）疗=3,月芬=6,J（-g）2=3,767=0；

（2）由计算结果可知：病=时；

（3）由数轴可得：a<0<bf

a-b<0,

二同一问一心一身

=—a—b+a—b

=-2b

【点睛】本题考查了算术平方根，实数与数轴，化简绝对值，解题的关键是通过计算发现规律而=问.

【考点四无理数整数部分的有关计算】

例题：已知。是J记的整数部分，6是亚的小数部分，那么"的值是

【答案】3M-9##-9+3加

【分析】直接利用M的范围，得出。、6的值，进而求出答案.

【详解】解：；3<加<4,。是如的整数部分，b是J市的小数部分，

.'.a=3,b=V10—3,

.•.M=3x（而一3）=3厢-9,

故答案为：3JQ-9.

【点睛】本题考查了估算无理数的大小，正确得出。、6的值是解题的关键.

【变式训练】

1.已知，内的整数部分是。，君的小数部分是b,则a+b=.

【答案】1+石##石+1

【分析】先估算无理数至、百的大小，确定。、人的值，再代入计算即可.

【详解】解：11,3<A/T3<4,

.•.JR的整数部分。=3,

X-.-2<V5<3，

.•.斯的整数部分是2,小数部分为君-2,即》=6-2,

a+b=3+y/s-2

=i+5

故答案为：i+石.

【点睛】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确估算的前提.

2.我们知道/是无理数，而无理数是无限不循环小数，它的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于

1<73<2,所以8的整数部分为1，小数部分为6-L根据以上的内容，解答下面的问题：若近的小数

部分为。，后的整数部分为6,则a+b-近的值是.

【答案】3

【分析】先求出行的整数部分，进而得出小数部分，即a的值，再通过计算得出后的整数部分，最后代

入计算即可.

【详解】解：：2＜旨＜3,

的整数部分为2,

.,.小数部分为近-2,

即a=V7-2,

V5＜A/26＜6,

.••后的整数部分为5,

：.b=5,

:.a+b-币=币-2+5-币=3,

故答案为：3.

【点睛】本题主要考查无理数的估算问题，解题的关键在于正确求解无理数的整数与小数部分.

3.阅读下面的文字，解答问题：大家知道0是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此血的小数部分

我们不可能全部地写出来，于是小明用0-1来表示近的小数部分，你同意小明的表示方法吗？

事实上，小明的表示方法是有道理的，因为血的整数部分是1,将这个数减去其整数部分，差就是小数部

分.又例如：•••22＜(夕『＜32,即2＜小＜3,的整数部分为2,小数部分为(近-2).

请解答：

(1)、/万的整数部分是，小数部分是.

(2)如果近的小数部分为。，国的整数部分为b,求a+6-的值；

【答案】⑴3；713-3；

(2)3.

【分析】(1)先将而表示出来，再求解即可；

(2)先分别表示出旧的小数部分，a的整数部分，代入求解即可.

【详解】(1)解：曰

即3c万＜4,

.♦.加的整数部分为3,小数部分为屈-3,

故答案为：3；V13-3;

(2)由题意可知：近的小数部分为我-2,

即：a=V7-2,

，/52<(A/29)2<62,

：.5<A/29<6,

；•国的整数部分为5,

即：b=5

:.a+b-币=币-2+5-币=3.

【点睛】本题考查无理数的估算，解题的关键是熟练掌握估算无理数的方法.

【考点五新定义下的实数运算】

例题：对于任意两个不相等的实数"J〃，定义运算※如下：机※见=/三，如4X3=叵1=占.

m-n4-3

(1)12^13=.

(2)寐(6※3)=.

【答案】-5坐

8

【分析】(1)根据新运算公式直接代入即可得到答案；

(2)根据新运算公式直接代入即可得到答案.

【详解】解：(1)由题意可得，

12X13=^^=一5,

12-13

故答案为：-5,

(2)9※俗※3)=9※逆笆=殊1=/亘=巫,

6-39-18

故答案为：坐.

O

【点睛】本题考查新运算，解题的关键是读懂新运算直接代入计算.

【变式训练】

1.对于任意两个不相等的实数a、b,定义一种新运算“㊉"如下：aeb=^^,如：3®2=^^=75.那

yja-bV3-2

么12㊉4=

【答案】行

【分析】根据新定义，将4=12,6=4代入计算即可.

【详解】解：㊉或2^,

7a-b

.1-4一逛工历一4_万

.•12\174—.~一-^=~-72,,

712-4V825/2

故答案为：拒.

【点睛】本题考查实数的计算，解题的关键是将。=12,6=4正确代入再化简.

2.对于任意不相等的两个数a,b,定义一种运算※如下：a^b=叵亘,如保3=亚三=&?.那么55K6=

a-b4-3

【答案】-而

【分析】根据定义新运算公式和算术平方根的含义可得答案.

【详解】解：根据题意可得5X6=避力=-用

5-6

故答案为：-抬7.

【点睛】此题考查的是定义新运算和算术平方根的含义，掌握定义新运算公式和算术平方根的含义是解决

此题的关键.

3.现规定一种运算：a^b=ab+a-b,其中。，6为实数.例如：1※(-5)=lx(-5)+l-(-5)=1,则"※不方

的值为.

【答案】5

【分析】根据新定义运算法则，结合算术平方根和立方根的定义，求解即可.

【详解】解：V?※官方

=>/4X^/27+A/4-^/27

=2x3+2-3

=6+2-3

=5,

a※可下的值为5.

故答案为：5

【点睛】本题考查了新定义运算、算术平方根和立方根的定义，解本题的关键在理解新定义运算的运算法

则.

【考点六与算术平方根有关的规律探索题】

例题：你能找出规律吗？

⑴计算：V4x>/9=，曲？=,屈义后=，(16x25=;

(2)根据找到的规律计算：舟后;

(3)若4=0,b=V10,用含。，b的式子表示@5.

【答案】(1)6；6；20；20；规律见解析；

(2)9

(3)^/20=ab

【解析】

【分析】

(1)首先求出每个算式的值是多少，然后总结出规律：夜义扬=而(壮0,厄0),据此判断即可.

(2)根据&义扬=而进行解答即可.

(3)根据a=b=M,WV20=V2xl0=72xxVlO=ab,据此解答即可.

(1)

V74x5/9=2x3=6,74^9=736=6,后=4x5=20,J16x25=7555=20,

.•.总结出的规律是：4axy[b=4ab(a>0,b>0\

故答案为：6；6；20；20

(2)

A/3xJ27=J3x27=A/§T=9;

(3)

a=5/2,b=A/10，

*,-y/20=J2x10=y/2xxy/lO=ab，

【点睛】

此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是注意观察总结出规律，并能正

确的应用规律.

【变式训练】

1.计算：

耳=一,76^=一，病=一,

(1)根据计算结果，回答：病一定等于。吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来;

(2)利用你总结的规律，计算庖二7

a(a>0)

3

【答案】5,0.5,0,5,-；(1)不一定,=同=<。(。=0)；(2)兀一3.14

-a(a<0)

【解析】

【分析】

原式各项计算即可求得；

(1)根据计算结果观察可发现规律；

(2)原式利用得出规律计算即可得到结果.

【详解】

解：疗=5，V05?=0.5-相=0,

7(-5)2=7？=5,

3

故答案为：5,0.5,0,5,-；

(1)C不一定等于

>0)

而=问=<0(«=0)

-a(a<0)

(2)^14^77=|3.14-^|=^-3.14

【点睛】

本题考查了算数平方根，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.

2.(1)观察被开方数。的小数点与算术平方根右的小数点的移动规律:

a0.00010.01110010000

y[a0.01X1y100

填空:_r=,y=.

(2)根据你发现的规律填空：

①已知也句.414,贝!而=,7(102=；

②疝=0.274,记710000m的整数部分为无则出=.

【答案】(1)0.1；10；(2)①14.14；0.1414；②g.

【解析】

【分析】

(1)根据被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律，即可得到答案;

(2)根据(1)中发现的规律，即可得到答案；

(3)利用(1)中的规律，求出撷面面的值，然后得到整数无，即可得到答案.

【详解】

解：(1)根据表格可知，被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位；

x=Q.l,y=10；

故答案为：0.1,10；

(2)由被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位，可知，

*.*1.414,

••-7200=14.14,V(H)2=0.1414；

故答案为：14.14,0.1414；

(3)由被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位，可知，

际=0.274,

/.>/10000m=27.4,

%=27,

故答案为：—■

【点睛】

本题主要考查了算术平方根的性质，解题需注意被开方数的小数点和相应的算术平方根的小数点之间的互

换关系.

【考点七与实数运算相关的规律题】

例题：观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：

(1)Jlx5+4=y/9=3,

(2),2x6+4=y/]6=4,

(3)-3>7+4=后=5,

(4)74x8+4=736=6.

(1)观察算式规律，计算,5x9+4=；719x23+4=.

(2)用含正整数”的式子表示上述算式的规律：.

⑶计算：(1x5+4-《2x6+4+《3x7+4-《4x8+4+.•.+)2021x2025+4.

【答案】(1)7,21

(2)J〃(〃+4)+4=7(«+2)2=n+2

(3)1013

【分析】(1)从数字找规律，即可解答；

(2)从数字找规律，即可解答；

(3)从数字找规律，进行计算即可解答.

【详解】(1)解：V5x9+4=A/49=7,^19x23+4=A/441=21,

故答案为：7,21；

(2)解：用含正整数〃的式子表示上述算式的规律：M"+4)+4=J("+2)2="+2；

故答案为：J"("+4)+4=J(〃+2)2="+2；

(3)解：Jlx5+4-12x6+4+j3x7+4-,4x8+4+…+,2021x2025+4

=3—4+5—6+...+2023

=(-1)x1010+2023

=-1010+2023

=1013.

【点睛】本题考查了实数的运算，规律型：数字的变化类，从数字找规律是解题的关键.

【变式训练】

1.探究题:

(1)计算下列各式，完成填空：

V?x—6,04x9=,x,25~x25—

(2)通过上面的计算，比较左右两边的等式，你发现了什么？请用字母表示你发现的规律是；

请用这一规律计算：，启x、口.