半角模型-2022年中考数学复习（解析版）

专题29半角模型

考向1正方形中的半角模型

福题呈现

【母题来源】2021年中考黑龙江省齐齐哈尔卷

【母题题文】综合与实践

数学实践活动，是一种非常有效的学习方式，通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手

动脑能力，拓展思维空间，丰富数学体验，让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体

会活动带给我们的乐趣.

折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF,

连接EF,如图1.

(1)ZEAF=450,写出图中两个等腰三角形：△AEF,△CEF,/XABC,ZkADC(不

需要添加字母)；

转一转：将图1中的NEAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q,连接PQ,

如图2.

(2)线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为PQ=BP+DQ；

(3)连接正方形对角线BD,若图2中的NPAQ的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N,

如图3,则三乙=V2；

BM一一

剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4.

(4)求证：BM2+DN2=MN2.

【答案】(1)解：如图1中,

・・•四边形ABCD是正方形，

・・・AB=AD=BC=CD,ZBAD=90°,

AABC,AADC都是等腰三角形，

NBAE=NCAE,NDAF=ZCAF,

・・・NEAF=W(ZBAC+ZDAC)=45°,

VZBAE=ZDAF=22.5°,ZB=ZD=90°,AB=AD,

AABAE^ADAF(ASA),

ABE=DF,AE=AF,

,.・CB=CD,

・・・CE=CF,

AAAEF,ACEF都是等腰三角形，

故答案为：45,AAEF,AEFC,AABC,AADC.

(2)解：结论：PQ=BP+DQ.

AADQ^AABT(SAS),

・・・AT=AQ,NDAQ=NBAT,

VZPAQ=45°,

NPAT=NBAP+NBAT=ZBAP+ZDAQ=45°,

・・・NPAT=NPAQ=45°,

VAP=AP,

AAPAT^APAQ(SAS),

・・・PQ=PT,

・.・PT=PB+BT=PB+DQ,

・・・PQ=BP+DQ.

故答案为：PQ=BP+DQ.

(3)解：如图3中,

Q

图3

:四边形ABCD是正方形，

.•.ZABM=ZACQ=ZBAC=45°,AC=V2AB,

•.,ZBAC=ZPAQ=45°,

AZBAM=ZCAQ,

.'.△CAQ^ABAM,

・丝-丝-正

••一—V乙，

BMAB

故答案为：V2.

图4

VZBAD=90°,NMAN=45°,

.\ZDAN+ZBAM=45O,

•・•NDAN=NBAR,

AZBAM+ZBAR=45°,

AZMAR=ZMAN=45°,

・.・AR=AN,AM=AM,

AAAMR^AAMN(SAS),

ARM=MN,

•・・ND=NABR=NABD=45°,

.'.ZRBM=90°,

ARM2=BR2+BM2,

VDN=BR,MN=RM,

.\BM2+DN2=MN2.

【试题解析】(1)利用翻折变换的性质可得NEAF=45°,证明4BAE之ADAF(ASA),推出

BE=DF,AE=AF,可得结论.

(2)结论：PQ=BP+DQ.如图2中，延长CB到T,使得BT=DQ.证明△PATgZ\PAQ(SAS),

可得结论.

COACr

(3)证明△CAQs^BAM,可得——=一=V2.

BMAB

(4)如图4中，将AADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABR,连接RM.证明△AMRg^AMN

(SAS),ZRBM=90°,可得结论.

【命题意图】几何综合题；推理能力.

【命题方向】一般设置为压轴题型，考查学生的综合探究与推理能力

【得分要点】如图1,在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，/EAF=45。，

连结EF,贝U：

(1)EF=BE+DF;

(2)如图2,过点A作AGLEF于点G,贝IAG=AD;

(3)如图3,连结BD交AE于点H,连结FH.贝I]FH_LAE.

(1)如图4,将4ABE绕点A逆时针旋转90。得到4ADI证明.

图4

则/IAF=NEAF=45°,AI=AE,

所以△AEFs^AIF(SAS),

所以EF=IF=DI+DF=BE+DF.

(2)因为△AEFs^AIF,AG±EF,AD±IF,所以AG=AD.

(3)由/HAF=/HDF=45。可得A,D,F,H四点共圆,

从而/AHF=180。一/ADF=90。，即FH_LAE.

1.(2021•湖北襄樊模拟)如图1和图2,四边形ABCD中，已知AD=DC,/ADC=90°,点

E、F分别在边AB、BC上，ZEDF=45°.

(1)观察猜想：如图1,若NA、/DCB都是直角，把4DAE绕点D逆时针旋转90°至ADCG,

使AD与DC重合，易得EF、AE、CF三条线段之间的数量关系,直接写出它们之间的关系式EF

=AE+CF；

(2)类比探究：如图2,若/A、/C都不是直角，则当NA与/C满足数量关系ZA+Z

DCF=180°时,EF、AE、CF三条线段仍有(1)中的关系，并说明理由；

(3)解决问题：如图3,在AABC中，NBAC=90°,AB=AC=2/，点D、E均在边BC上，

且/DAE=45°,若BD=1,求AE的长.

图1图2

图1

・・,把4DAE绕点D逆时针旋转90°至ADCG,使AD与DC重合，

・・・DE=DG,NDAE=NCDG,AE=CG,NA=NDCG=90°,

VZDCB=90°,

.•.ZDCB+ZDCG=180°

・・・B、C、G共线，

VZADC=90°,ZEDF=45°,

・・・NADE+NFDC=45°,

.,.ZFDC+ZCDG=45°,

即NEDF=NGDF=45°,

在AEDF和4GDF中，

DF=DF

ZEDF=/GAF,

DE=DG

.,.△EDF^AGDF(SAS),

・・・EF=GF,

VAE=CG,

・・・EF=GF=CF+CG=AE+CF,

故答案为：EF=AE+CF；

(2)当NA+NDCF=180°时，EF、AE、CF三条线段仍有(1)中的关系.

图2

贝|DE=DG,ZA=ZDCG,ZADE=ZCDG,

VZA+ZDCF=180°,

.,.ZDCF+ZDCG=180°,

・・・B、C、G在一条直线上，

与(1)同理得，NEDF=NGDF=45°,

在AEDF和4GDF中，

DF=DF

ZEDF=/GDF,

DE=DG

.,.△EDF^AGDF(SAS),

；.EF=GF,

VAE=CG,

；.EF=GF=AE+CF；

故答案为：ZA+ZDCF=180°；

(3):△ABC中，AB=AC=2VL/BAC=90°,

；./ABC=NC=45°,

由勾股定理得：BC=>JAB2+AC2=4,

如图3,把△AEC绕A点旋转到△AFB,使AB和AC重合，连接DF.

贝l|AF=AE,ZFBA=ZC=45°,ZBAF=ZCAE,

VZDAE=45°,

/.ZFAD=ZFAB+ZBAD=ZCAE+ZBAD=ZBAC-ZDAE=90°-45°=45°,

.\ZFAD=ZDAE=45°,

在AFAD和AEAD中，

AD=AD

ZFAD=ZEAD,

AF=4E

.,.△FAD^AEAD(SAS),

.*.DF=DE,

设DE=x,则DF=x,

；BC=4,

.".BF=CE=4-1-x=3-x,

VZFBA=45°,ZABC=45°,

.•.NFBD=90°,

由勾股定理得：DF^BF^+BD2,x2=(3-x)2+l2,

2.（2021•山东临沂模拟）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1,等腰直角

△ABC中，AB=AC,NBAC=90°,小敏将三角板中含45°角的顶点放在A上，斜边从AB

边开始绕点A逆时针旋转一个角a,其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D,直角边

所在的直线交直线BC于点E.

（1）小敏在线段BC上取一点M,连接AM,旋转中发现：若AD平分NBAM,则AE也平分N

MAC.请你证明小敏发现的结论；

（2）当0。<aW45°时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：

BD2+CE2=DE2.同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：

小颖的想法：将4ABD沿AD所在的直线对折得到AADF,连接EF（如图2）；

小亮的想法：将4ABD绕点A逆时针旋转90°得到AACG,连接EG（如图3）；

请你从中任选一种方法进行证明；

（3）小敏继续旋转三角板，请你继续研究：当135°<a<180°时（如图4）,等量关系

BD'CE2=DE2是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由.

解：(1)VZBAC=90°,NDAE=NDAM+NMAE=45°,

・・・NBAD+NEAC=45°.

又・.・AD平分NMAB,

NBAD=NDAM.

ZMAE=ZEAC.

・・・AE平分NMAC.

(2)证明小颖的方法：

・・•将AABD沿AD所在的直线对折得到AADF,

・・・AF=AB,BD=DF,NAFD=NB=45°,NBAD=NFAD.

又・.・AC=AB,

・・・AF=AC,

在4AEF和△AEC中，・.・AF=AC,NFAE=NCAE,AE=AE,

AAAEF^AAEC(SAS).

・・・CE=FE,NAFE=NC=45°.

・・・NDFE=NAFD+NAFE=90°.

在RtaDEF中，DF2+FE2=DE2,

ABD2+CE2=DE2.

证明小亮的方法：由旋转知，4ABD也Z^ACG,

・・・BD=CG,AD=AG,NABC=NACG,NBAD=NCAG,

VZBAC=90°,NDAE=45°,

AZBAD+ZCAE=45O,

NEAG=NCAE+NCAG=NCAE+NBAD=45°=ZDAE,

VAE=AE,

AADAE^AGAE(SAS),

・・・DE=EG,

在RtaBAC中，AB=AC,

・・・NB=NACB=45°,

・•・NECG=NACB+NACG=NACB+NB=90°,

根据勾股定理得，EG2=CE2+CG2,

.•.BD2+CE2=DE2.

(3)当135。<a<180°时，等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立.

证明如下：

如图，将4ABD沿AD所在的直线对折得到AADF.

・・・BD=DF,AF=AB,ZAFD=ZABD=180°-ZABC=135°,ZBAD=ZFAD.

又・.・AC=AB,

・・・AF=AC,

XVZCAE=90°-ZBAE

=90°-(45°-ZBAD)

=45°+ZBAD

=45°+ZFAD

=NFAE,

在4AEF和4AEC中，VAF=AC,

NFAE=NCAE,AE=AE,

.'.△AEF^AAEC(SAS).

.,.CE=FE,ZAFE=ZC=45°.

/.ZDFE=ZAFD-ZAFE=135°-45°=90°.

在RtADEF中，DF2+FE2=DE2,

.\BD2+CE2=DE2.

3.(2021•山东日照三模)(1)如图1,在正方形ABCD中，E是AB上一点，点F是AD延长

线上一点，且DF=BE,求证：CE=CF.

(2)如图2,在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果/GCE=45°,请你

利用(1)的结论证明：GE=BE+GD.

(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图3,在四边形ABCD中，AD/7BC(BOAD),ZB=90°,AB=BC=2AD,E是AB上一点，

且NDCE=45。，求sin/DEC的值.

图1图2图3

图1

:四边形ABCD是正方形，

.1.BC=CD,ZB=ZCDF=90°,

又：BE=DF,

/.△CBE^ACDF(SAS),

；.