专题04点圆模型-2024年中考数学答题技巧与模板构建（原卷版）

专题04点圆模型题型解读｜模型构建｜通关试练动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要和难点题型，综合考查学生解析几何知识和思维能力.该题型一般在填空题或解答题的其中一问出现，具有一定的难度，致使该考点成为学生在中考中失分的集中点.掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径.本专题就动点轨迹为圆弧型进行梳理及对应试题分析，方便掌握.模型01定义型点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆.模型02直径所对的角为直角（直角模型）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧；如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧.模型03等弦对等角模型一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧.模型01定义型考｜向｜预｜测点圆模型的定义型该题型主要以选择、填空形式出现，目前与综合性大题结合考试，作为其中一问，难度系数不大，在各类考试中都以中档题为主.解这类问题的关键是结合圆的定义判定动点变化的特点，结合圆和其它几何的相关知识点进行解题.答｜题｜技｜巧第一步：根据题意判定动点的变化特性第二步：找准定点和定长（圆心和半径）第三步：结合圆、三角形、四边形的相关知识点进行解题，一般情况下会涉及最值问题例1．（2022·广西）如图，在△ABC中，，，，点D在AC边上，且，动点P在BC边上，将△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E，则△AEB面积的最小值是（

）A． B． C．2 D．例2．（2022·北京）如图，在中，，，，点是边的中点，将绕点C逆时针方向旋转得到，点是边上的一动点，则长度的最大值与最小值的差为．模型02直角模型考｜向｜预｜测点圆问题中的直角模型该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考查对圆性质的的理解.实际题型中会结合直角三角形的相关知识点，对数形结合的讨论是解题的关键.许多实际问题的讨论中需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成求固定图形问题.答｜题｜技｜巧第一步：观察图形特点，找准直角顶点和定长（圆的直径）；第二步：利用圆与直角三角形的相关知识点进行解题；第三步：涉及最值问题的图形要考虑线段的转化，熟练掌握共线问题、将军饮马问题、垂线段问题等相关知识点；第四步：数形结合进行分析、解答例1．（2021·山东）如图，在正方形ABCD中，，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若，则BG的最小值为__________．例2．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是第一象限内的一个动点并且使，点，则的最小值为．模型03等弦对等角考｜向｜预｜测点圆问题中的等圆对等角模型主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握.该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度.该题型主要考查动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解.解题时会考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造对应图形解决问题，属于中考中的压轴题．答｜题｜技｜巧第一步：观察图形特点，确定定弦和定角；第二步：根据题意准确分析出动点的运动轨迹，并构建适当图形（三角形居多）；第三步：利用四边形、隐圆、直角三角形或相似的相关知识点解题；例1．（2022·江苏）如图，已知正方形的边长为2，若动点E满足，则线段长的最大值为．例2．（2023·重庆）如图，在边长为6的等边中，点，分别是边，上的动点，且，连接，交于点，连接，则的最小值为．1.（2023·广东）如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（

）A． B． C． D．2.（2023·湖南）如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是（

）A．2 B．+1 C．2﹣2 D．33．（2023·山西）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P从C点出发，沿CB运动到点B停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（）A． B． C． D．4．（2023·广州）如图，等边三角形ABC和等边三角形ADE，点N，点M分别为BC，DE的中点，AB＝6，AD＝4，△ADE绕点A旋转过程中，MN的最大值为．5．（2023·云南）如图，在Rt△ABC中，，，BC＝2，线段BC绕点B旋转到BD，连AD，E为AD的中点，连接CE，则CE的最大值是．6．（2023·贵州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为．7．（2022•天津）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝5，点E在BC上，且CE＝4BE，点M为矩形内一动点，使得∠CME＝45°，连接AM，则线段AM的最小值为．8．（2023·贵阳）如图，矩形中，，，点，分别是，边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接、，则的最小值为．9．（2023·安徽）等腰直角中，，，点是平面内一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，当填度数度时，可以取最大值，最大值等于．10．（2023·广西）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是AB，BC边上的点，且AC＝CD＝3，连接AE，DE，∠CAE+∠AEB＝180°．（1）当∠B＝22.5°时，求证：CD平分∠ACB；（2）当CD＝BD时，求的值；（3）如图②，若点F是线段AC上一点，且AF＝1，连接DF，EF，EF交CD于点G，求△DEF面积的最大值．1．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（）A．2 B． C．3 D．2．如图，正方形的边长是4，点是边上一动点，连接，过点作于点，点是边上另一动点，则的最小值为A．5 B． C．6 D．3．如图，在Rt和Rt中，，，AB=AE=5．连接BD，CE，将△绕点A旋转一周，在旋转的过程中当最大时，△ACE的面积为（

）．A．6 B． C．9 D．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，点D是边BC上一动点，连接AD，在AD上取一点E，使∠DAC＝∠DCE，连接BE，则BE的最小值为（）A．2﹣3 B． C．﹣2 D．5．如图，点P是正六边形ABCDEF内一点，AB＝4，当∠APB＝90°时，连接PD，则线段PD的最小值是（）A． B． C．6 D．6．如图，矩形ABCD的边AB＝8，AD＝6，M为BC的中点，P是矩形内部一动点，且满足∠ADP＝∠PAB，N为边CD上的一个动点，连接PN，MN，则PN+MN的最小值为．7．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CE，连接AD，BE交于点F，连接CF，则∠AFB＝，CF的最小值是．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点E是AC的中点，点F是斜边AB上任意一点，连接EF，将△AEF沿EF对折得到△DEF，连接DB，则△BDF周长的最小值是．9．如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边上的一点，且AM＝AD，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C．则A′C长度的最小值是．10.如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作Rt，且使，连接，则长的最大值为．11．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则点P运动的路径长为．12．如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，连接，则线段长的最小值为．13．（1）【学习心得】小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在中，，，是外一点，且，求的度数，若以点为圆心，为半径作辅助圆，则点、必在上，是的圆心角，而