2024-2025学年北师大版九年级数学上册第一次月考测试卷及答案

九年级2024-2025上学期第一次月考检测卷试卷（北师大版）（范围：特殊平行四边形一元二次方程）（满分140分，时间120分钟）考试须知：答题前，考生务必在答题纸指定位置上用钢笔或圆珠笔清楚填写相关信息．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，请勿错位．一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个选项符合题意）1.下列是一元二次方程的）1A2x+1=0B.x2+y=1C.x+2x+1=0D.x2+=12x2.在四边形ABCD中，BC,AB=CD．下列说法能使四边形ABCD为矩形的是（）A.AB∥CDB.ADBC−4x−1=0时，配方后正确的是（B.(x+2)=17C.(x−2)BC=6=C.∠=∠AB∠A=∠DD.3.用配方法解方程x2）(x+2)2=322=5D.(x−2)=172A.4.如图，在平行四边形ABCDAB4，=，将线段水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为（）A.1B.2C.3D.45.下列命题中，真命题是（）A.顺次联结平行四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形B.顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是菱形C.顺次联结对角线垂直的四边形各边的中点，所得的四边形一定是菱形D.顺次联结对角线相等的四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形x−10x+m=0的两个实数根，且其面积为6.若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程x2，则该菱形的边长为（）A.B.23C.D.2143147.小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的5．则原来的方61两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是−和程是()A.xC.x2+6x+5=0−5x+2=0B.xD.x22−7x+10=0−6x−10=028.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为0)，点C的坐标为(0,3)，以，为边作矩形OABC个单位长度的速度沿，BC．动点，分别从点，同时出发，以每秒EFOB1向终点C移动．当移动时间为4的值为（⋅）A.B.9C.15D.二、填空题（本大题有8小题，每小题3分，共24分）9.x2=4x的解．10.ABCD的对角线AC，BD交于点OP为边BCBP=的度数为__________．(−)2++=有两个实数根，则的取值范围是m2x4x20关于x的一元二次方程m________．12.一种药品原价每盒元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为_________．13.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作OEAC交AD，若⊥AB=6，BC=8，则AE___________________．=14.如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知60∠=°，则阴影部分的面积是_______．11+=3p的值为_________．x+2x+p=0两根为x、x，且215.若关于x的一元二次方程121216.如图，在Rt△ABC中，BAC90，且∠=°AB=AC=8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D⊥DN⊥AC的中点，则线段AO的最小值为分别作DMABM，于点N，连接，点O为________．三、解答题（本大题共9小题，共6417解方程：（1）x(x+2)=2+x；（2）3x2−6x−1=0．18.如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点，∠ACF=90°连接，．（1）求证：四边形ACFD是矩形；=5，求四边形ABCE（2CD13，=的面积．x2−(m+2)x+m−1=0．x19.已知关于的一元二次方程m（1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；x,x1x21+22−xx=9m，求的值．（2）如果方程的两个实数根为，且21220.如图，矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O的直线分别交AD、BC边于点、F,AF=AE．（1）求证：四边形AFCE是菱形；BC=AB=6（2，求EF的长．21.某商店销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2（1）若降价6元时，则平均每天销售数量为多少件？（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为22.如图，平行四边形ABCD中，、CF分别是、∠BCD的平分线，且、F∠分别在边、上，=．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2=60°，的面积等于43，求平行线与间的距离．23.△中，∠ACB90°AC＝BC6，动点P从点A出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动，到达点C停止运动．设运动时间为t秒7（1）如图1，过点P作PDAC于D，若△PBC与△的面积和是△的面积的，求t的9值；（2Q在射线上，且PQ2AP，以线段为边向上作正方形PQNM．在运动过程中，若设正方形PQNM与△ABC重叠部分的面积为8t的值．24.如图，是正方形ABCD的对角线，＝8E是的中点，动点PA出发，沿方向以每秒1个单位的速度向终点B运动，同时动点QB出发，以每秒2个单位的速度先沿方向运动到点C，再沿方向向终点D运动，以EP、为邻边作平行四边形PEQFP运动的时间为t秒（＜t＜8）（11时，试求的长；（2）当点F恰好落在线段上时，求的长；（3）在整个运动过程中，当▱为菱形时，求t的值．25.（1）发现：如图，在平面内，已知A的半径为r，且a，P为A上一动点，连接PB，易得PB的最大值为___________，最小值为___________（含ar的代数式表示）（2）应用：①如图2，在矩形ABCD中，64，E为AD边中点，F为边上一动点，沿=，=EF将△AEF翻折得到PEF，连接，则PB的最小值为___________；②如图3P为线段外一动点，分别以PA、PB为直角边，作等腰Rt△和等腰BPD，连接、．若AB=，AP=32，求AD的最大值；（3）拓展：如图，已知以为直径的半圆OC上一点，且=60°，P为弧BC意一点，CDCP交⊥于DAB=6，则BD的最小值为___________．九年级2024-2025上学期第一次月考检测卷试卷（北师大版）（范围：特殊平行四边形一元二次方程）（满分140分，时间120分钟）考试须知：答题前，考生务必在答题纸指定位置上用钢笔或圆珠笔清楚填写相关信息．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，请勿错位．一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个选项符合题意）1.下列是一元二次方程的是（）1A.2x+1=0B.x2y1+=C.x+2x+1=0D.x2+=12x【答案】C【解析】2逐项判断即可．【详解】解：A中方程的未知数的最高次数是1次，故不是一元二次方程，不符合题意；B中方程含有两个未知数，故不一元二次方程，不符合题意；C中方程是一元二次方程，符合题意；D中方程不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意．故选：．【点睛】本题主要考查一元二次方程的概念，熟知一元二次方程满足的条件是解答的关键．2.在四边形ABCD中，BC,AB=CD．下列说法能使四边形ABCD为矩形的是（）A.AB∥CD【答案】C【解析】B.ADBC=C.∠=∠AB∠A=∠DD.【分析】结合平行四边形的判定和性质及矩形的判定逐一分析即可．【详解】AAB∥CDADBC,ABCD，∥=∴ABCD为平行四边形而非矩形故A不符合题意BADBC，=BC,AB=CD∴ABCD为平行四边形而非矩形故B不符合题意CAD∥∴∠A+∠B=180°A=B∴∠=∠=B90°A=CD∴ꢀꢁꢂꢃ∴四边形ABCD为矩形故C符合题意DAD∥∴∠A+∠B=180°∠A=∠D∴∠D+B=180°∴ABCD不是平行四边形也不是矩形故D不符合题意故选：C．【点睛】本题主要考查平行线的性质，平行四边形的判定和性质及矩形的判定等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键．3.用配方法解方程x2−4x−1=0时，配方后正确的是（）(x+2)2=3B.(x+2)=17C.(x−2)22=5D.(x−2)=172A.【答案】C【解析】【分析】根据配方法，先将常数项移到右边，然后两边同时加上4，即可求解．【详解】解：x2−4x−1=0移项得，x两边同时加上4，即x=5，2−4x=12−4x+4=5(x−2)2∴故选：．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．4.如图，在平行四边形ABCDAB4，=BC=6，将线段水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】首先根据平行四边形的性质得到CDAB4，然后根据菱形的性质得到==EC=CD=4，然后求解即可．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴CDAB4，==∵四边形ECDF为菱形，∴EC=CD=4，∵BC=6，∴BEBC2，=−=∴a2．=故选：．【点睛】此题考查了平行四边形和菱形的性质，平移的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．5.下列命题中，真命题是（）A.顺次联结平行四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形B.顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是菱形C.顺次联结对角线垂直的四边形各边的中点，所得的四边形一定是菱形D.顺次联结对角线相等的四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形、特殊的平行四边形的判定、中位线定理、中点四边形的定义进行判定即可．【详解】解：如图：E,F,G,HAC,AB,BD,CD的中点，根据中位线定理：观察图形：分别为11EF∥BC,∥BC,EF==BCEH∥AD,GF∥AD,EH=FG=AD，，22∴四边形EFGH是平行四边形；A、顺次联结平行四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形，原命题为假命题，不符合题意；B、∵等腰梯形的对角线相等，即：当ADBC时，=∴，=∴四边形EFGH为菱形；∴顺次联结等腰梯形各边的中点，所得的四边形一定是菱形，原命题为真命题，符合题意；EF⊥FG，CADBC时，则：⊥∴=90°，∴四边形EFGH为矩形；∴顺次联结对角线垂直的四边形各边的中点，所得的四边形一定是矩形，原命题为假命题，不符合题意；DADBC时，则：==，∴四边形EFGH为菱形；∴顺次联结对角线相等的四边形各边的中点，所得的四边形一定是菱形，原命题为假命题，不符合题意．故答案选：．【点睛】本题考查中位线定理应用、平行四边形、特殊的平行四边形的判定，掌握四边形的判定是解题关键．x−10x+m=0的两个实数根，且其面积为6.若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程x2，则该菱形的边长为（）A.B.23C.D.214314【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到a+b=10，根据菱形的面积得到ab=22，利用勾股定理以及完全平方公式计算可得答案．【详解】解：设方程x∴a+b=10，2−10x+m=0的两根分别为，，ab∵ab分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为，1∴ab=11，即ab=22，2∵菱形对角线垂直且互相平分，a2b2221212+=a2+b2=(a+b)−2ab2∴该菱形的边长为12=102−2×22=14C，故正确．故选：．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及菱形的性质，完全平方公式，利用根与系数的关系得出a+b=10是解题的关键．7.小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的615．则原来的方两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是−和程是()A.x22+6x+5=0−5x+2=0B.xD.x22−7x+10=0−6x−10=0C.x【答案】B【解析】x+x=7xx=10【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中分析判断，即可求解．，121261【详解】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是和；x+x=6+1=7∴，12又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是−和5．−xx=10∴12x+x=6xx=5A.xB.xC.xD.x2222+6x+5=0中，，12，故该选项不符合题意；，故该选项符合题意；，故该选项不符合题意；12x+x=7xx=10−7x+10=0中，，1122x+x=5xx=2−5x+2=0中，，1212x+x=6xx=−10−6x−10=0中，，12，故该选项不符合题意；12故选：．8.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为0)，点的坐标为(0,3)，以，为边作矩形COABCEFOB1个单位长度的速度沿，BC向终点C移．动点，分别从点，同时出发，以每秒动．当移动时间为4的值为（⋅）A.B.9C.15D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，得出()，()，勾股定理求得F3E4,0=AC=310，，即可求解．E,F本题考查了坐标与图形，勾股定理求两点坐标距离，矩形的性质，求得的坐标是解题的关键．【详解】解：连接AC、EF，()，以3,为边作矩形OABC．∵点A的坐标为0)，点C的坐标为∴OA=BC=OC=AB=3，∴()，AC=3B9,32+92=310，依题意，OE414，414，=×==×=AE=9−4=5∴，则()，E4,0∴CFBCBF=9−4=5，=−∴()，F5,3=(−)54230=10，+(−)2∴EF∴3101030．⋅=×=故选：A．二、填空题（本大题有8小题，每小题3分，共24分）9.x=4x的解．2【答案】=0或=4【解析】【分析】先移项，使方程右边为0，再提公因式，然后根据两式相乘值为，这两式中至少有一式值为0．”进行求解．【详解】解：原方程变为x2﹣4=0x（x4=0解得x=0x=4，12故答案为：x或x=4．【点睛】本题考查用因式分解法解一元一次方程提公因式是解题的关键.10.ABCD的对角线AC，BD交于点OP为边BCBP=的度数为__________．22.5°##22.5【答案】【解析】度【分析】本题考查了正方形的性质，根据四边形ABCD是正方形，可得90，45，再∠=°∠=°根据BP，即可求出=的度数．四边形ABCD是正方形，∴∠=°=45°，，BP=，∴∠BOP=∠BPO，∴∠==°−45)÷2=67.5°，∴∠COP=90°−67.5°=22.5°．故答案为：22.5°．(−)m2x24x+2=0有两个实数根，则的取值范围是+关于x的一元二次方程m________．【答案】m4且m≠2≤【解析】2+bx+c=0（a≠0，，，为常数）的定义以及根的判别式abc【分析】本题考查了一元二次方程ax∆=b2−4ac∆>0，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实∆=0时，方程有两个相等的实数根；当∆<0数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义列出不等式，解不等式求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程(m−2x+4x+2=0有实数根)2Δ=b2−4ac=42−4×(m−2)×2≥0m−2≠0且，∴解得m4且≤m≠2，故答案为：m4且≤m≠2．12.一种药品原价每盒元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为_________．25%【答案】【解析】x【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每次降价的百分率为，根据原价每盒元，经过两次降价后每盒元，列出方程进行求解即可．x【详解】解：设每次降价的百分率为，(−)=27，2由题意，得：481x17x==25%x=解得：，124425%故答案为：．13.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作OEAC交AD，若⊥AB=6，BC=8，则AE___________________．=25【答案】【解析】4【分析】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质及勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．连接CE，由矩形的性质可得CDE90，∠=°==8，==6，=，由OE⊥AC，=，可知OE垂直平分AC，则可得=CE；设=xAE=CE=8−x△，在中，由勾股定理得关于的方程，求解即可．x，则【详解】解：连接CE，如图：在矩形ABCD中，AB6，BC8，==CDE90⊥，∴AE=CE=====，8，6，，，=xAE=CE=8−x，设在，则2+2=CE2，中，由勾股定理得：∴x2+62=8−x2，25x=解得：故答案为：．425．414.如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知60°，则阴影部分的面积是_______∠=．【答案】63【解析】【分析】首先过点B作BEADE，⊥BF⊥CD于点，由题意可得四边形FABCD是平行四边形，继而求得的长，判定四边形=ABCD是菱形，则可求得答案．【详解】过点B作BEAD，⊥BF⊥CD于点F，根据题意得：∥，AB∥CD，BE=BF=3，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABC=∠ADC=60°，∴ABE=CBF=30°，BC=CF∴AB2AE，=，∵AB=AE+BE2，3，22=∴=23，同理：BC23，=∴，=∴四边形ABCD是菱形，∴AD=23，∴S菱形ABCD63．=×=故答案为：63．【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，含30角的直角三角形的°性质等知识，解题关键在于掌握菱形判定定理和作辅助线．11+=3p的值为_________．2x+2x+p=0两根为x、x，且1215.若关于x的一元二次方程122−【答案】【解析】3ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系：若方程的两实数根为x,x1【分析】本题考查了一元二次方程，则2bacx+x=−x⋅x=12，．12ax+x=−2x⋅x=pax2+bx+c=0(a0)≠根据一元二次方程根与系数的关系得到，1，然后通分，122111+22+==，从而得到关于p的方程，解方程即可．1212p2x+x=−=x⋅x=p【详解】解：，12121111+22∴+==，12xxp1211+=3，而12−2∴=3，p23∴p=−，2−故答案为：．316.如图，在Rt△ABC中，BAC90，且∠=°AB=AC=8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D⊥DN⊥AC的中点，则线段AO的最小值为分别作DMABM，于点N，连接，点O为________．【答案】2.4【解析】【分析】由勾股定理求出BC的长，再证明四边形是矩形，可得AD，根据垂线段最短可得=当ADBC时，AD的值最小，再利用三角形面积求出AD，可得⊥AO，即可解决问题．【详解】解：如图，连接AD，=°，且AB=6，AC=8，∴=2+2=62+82=10，⊥，DN⊥AC，∴∠=DNA==90°，∴四边形是矩形，1∴MN=ADAO=AD，，2∴当AD⊥BC时，AD的值最小，121S=AB⋅AC=BC⋅AD此时，，2AB⋅AC6×8∴===4.8AD，BC10∴AO的最小值为故答案为：2.4．2.4，【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短，关键是掌握矩形的对角线相等．三、解答题（本大题共9小题，共6417.解方程：（1）x(x+2)=2+x；（2）3x2−6x−1=0．x=−2x=1【答案】（），21233233（2）1=1+x=1−，2【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用公式法解一元二次方程即可．【小问1详解】(+)=+xx22x(+)−(+)=0xx2x2(+)(−)=x2x10x+2=0或x10x=−2x=1；−=∴，12【小问2详解】3xa=3，b=6，c=−1∆=b−4×3×(−)=48>02−6x−1=0−4ac=(−6)226±486±433±23∴x===2×363233233∴1=1+，x=1−2．18.如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点，∠ACF=90°连接，．（1）求证：四边形ACFD是矩形；（2CD13，【答案】（）见解析【解析】==5，求四边形ABCE的面积．（2）45）根据平行四边形的性质，得AD∥，根据平行线的性质，得∠DAF=∠AFC，=DCF为线段CD的中点，全等三角形的判定，则△ADE≅△FCEE，根据矩形的判；再根据定，即可；（2）过点E作S+S⊥于点G，根据勾股定理，求出的长，再根据四边形ABCE的面积等于，即可．【小问1详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥，∴∠DAF=∠AFC，=DCF，∵E为线段CD的中点，∴CE，=ADE≅FCEAAS，()∴∴AEEF，=∴四边形ACFD是平行四边形，∠ACF=90°∵，∴平行四边形ACFD是矩形．【小问2详解】过点E作⊥于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，∴ADBC，=∵四边形ACFD是矩形，∴CF，=∴AD=BC=CF=5，∵CD13，=∴=132−5=12，2ABCES+S，∴四边形的面积等于111S=×AC×BC=×12×5=30S=×AC×，∵，222∵点E是对角线的中心，152∴==，2115S=××=×12×=15∴，222ABCE的面积为：30+15=45∴四边形．【点睛】本题考查矩形，平行四边形，全等三角形的知识，解题的关键是矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．x2−(m+2)x+m−1=0．x19.已知关于的一元二次方程m（1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；x,x1x21+22−xx=9m，求的值．（2）如果方程的两个实数根为【答案】（）证明见解析；，且212（2）1=1或m2=−2．【解析】的根的判别式是解题的关键．∆>0恒成立即可；（1）根据根的判别式证明x+x=m+2x⋅x=m−1（2）由题意可得，【小问1详解】，，进行变形后代入即可求解．12122m2=−(+−××(−)=41m1m2+8，证明：Δm+8>0，恒成立，∵无论取何值，m2m∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．【小问2详解】−(m+2)x+m−1=0的两个实数根，xx,x12解：∵是方程2x+x=m+2x⋅x=m−1∴∴，，1212x2+22−xx=(x+x)2−3xx=(m+2)2−3(m−)=9，1121212解得：1=1或m2=−2．20.如图，矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O的直线分别交AD、BC边于点、F,AF=AE．（1）求证：四边形AFCE是菱形；BC=AB=6（2，求EF的长．【答案】（）见解析（2）2【解析】1证明△≌△COFAECF，得到四边形是平行四=边形，再根据，即可得证；=（2ACCFAFx==BF=8−xxRt的值，再根据菱形的性质结合勾股定理进行求解即可．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥CF，∴∠=BCA，O是对角线AC的中点，∴OA=OC，=COF，()COFASA，∴=CF，CF，∴四边形AFCE是平行四边形，又=，AFCE是菱形；【小问2详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=°，在Rt△ABC中，AB=BC=8，∴AC=AB2+BC=10，21∴===5．2∵四边形AFCE是菱形∴CF=AF,EF⊥AC,EF=OF∴∠COF=90°，BF=8−x，令CFAFx，则==在Rt中，AB2+BF2=AF2，=x2，∴62+8−x)225254x=，即CF=解得，415∴=2−=2，415∴EF=．2【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。熟练掌握相关性质和判定，是解题的关键．21.某商店销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2（1）若降价6元时，则平均每天销售数量为多少件？（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为【答案】（）平均每天销售数量为件（2）当每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元【解析】）根据平均每天可售出20件，每件盈利40元，销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件”，列出平均每天销售的数量即可，x（2）设每件商品降价元，根据平均每天可售出20件，每件盈利40元，销售单价每降低1元，平均每x天可多售出2件，每件盈利不少于25”列出关于的一元二次方程，解之，根据实际情况，找出盈利不少于元的答案即可．【小问1详解】解：根据题意得：若降价6元，则多售出12件，平均每天销售数量为：122032（件)，+=答：平均每天销售数量为32【小问2详解】x解：设每件商品降价元，根据题意得：(−)(+)=，40x202x1200x=10x=20，解得：，1240−10=30>25−=<25答：当每件商品降价元时，该商店每天销售利润为1200元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．22.如图，平行四边形ABCD中，、CF分别是BAD∠、∠BCD的平分线，且、F分别在边、上，=．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2=60°，的面积等于43，求平行线与间的距离．【答案】（）证明见解析（2）43【解析】）先证∥，再证边形AECF是菱形；，从而四边形AECF是平行四边形，又=，于是四（2）连接AC，先求得∠BAE=∠DAE=∠ABC60，再证AC⊥AB，=°3ABAC3∠ACB=90°−∠ABC=30°=∠EAC====CEAC，再证，，于是有，得AB33从而根据面积公式即可求得AC43．=【小问1详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥，∠BAD=∠BCD，∴∠=∠，、CF∠、∠BCD∵分别是的平分线，11∴∠∴∠BAEDAE=∠=∠DAEBCF=∠BAD，∠BCF=∠，22=∠BEA，∴，∴四边形AECF是平行四边形，∵=，∴四边形AECF是菱形；【小问2详解】解：连接AC，∵AD∥，∠ABC=60°，∴∠∴∠BAD180°−∠=ABC120，=°BAE=∠DAE=∠ABC=60°，∵四边形AECF菱形，1∴∠∴∠EACBAC=∠DAE=30°，2=∠BAE+∠EAC=90°，AC⊥AB，∠ACB=90°−∠ABC=30°=∠EAC∴，ABAC3ABAC=tan30°=tanACB==∴AECE，即，33∴AB=AC，3∵∠BAE=∠ABC，∴CE，==∵的面积等于43，121233∴S=ACAB⋅=AC⋅AC=AC=83，236∴平行线与间的距离AC43．=【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，菱形的判定，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角函数的应用以及平行线间的距离，熟练掌握平行四边形的判定及性质，菱形的判定，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角函数的应用以及平行线间的距离等知识是解题的关键．23.△中，∠ACB90°AC＝BC6，动点P从点A出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动，到达点C停止运动．设运动时间为t秒7（1）如图1，过点P作PDAC于D，若△PBC与△的面积和是△的面积的，求t的9值；（2Q在射线上，且PQ2AP，以线段为边向上作正方形PQNM．在运动过程中，若设正方形PQNM与△ABC重叠部分的面积为8t的值．4【答案】（）t＝，t＝2t的值为7或25时，重叠面积为．127【解析】）先求出△的面积，然后根据题意可得AP＝CP＝6﹣，然后再△PBC△D的面积7和是△的面积的，列出方程、解方程即可解答；9（2）根据不同时间段分三种情况进行解答即可.）∵△中，∠ACB＝90°，ACBC＝，12∴S＝×6×618，∵AP＝CP＝﹣，11∴△PBC△的面积和＝2+×6×（﹣2279∵△PBC△的面积和是△的面积的，12179∴2+×6×（6﹣）＝，2解之，得t＝，t＝；12（2）∵AP＝PQ2，∴PQ2，17①如图10≤时，＝（2）﹣2＝2＝8，224747解得：1＝7，＝﹣t721112②如图22≤时，＝×6×6﹣2﹣（6﹣2）12﹣2＝8，22254解得：t4t＝125121×③如图33≤时，＝6×6﹣2＝8，2解得：t25，t＝﹣251247综上，t的值为7或25时，重叠面积为．【点睛】本题考查了三角形和矩形上的动点问题，根据题意列出方程和分情况讨论是解答本题的关键.24.如图，是正方形ABCD的对角线，＝8E是的中点，动点PA出发，沿方向以每秒1个单位的速度向终点B运动，同时动点QB出发，以每秒2个单位的速度先沿方向运动到点C，再沿方向向终点D运动，以EP、为邻边作平行四边形PEQFP运动的时间为t秒（＜t＜8）（11时，试求的长；（2）当点F恰好落在线段上时，求的长；（3）在整个运动过程中，当▱为菱形时，求t的值．【答案】（）PE5=（2）BF2=833（3）或【解析】EM⊥于M，由正方形的性质和已知条件得出AB====8EM∥BC，得出1EM是的中位线，由三角形中位线定理得出EM=BC=4时，=1，求出PM=AM-AP=3，△2再由勾股定理求出（2）由平行四边形的性质得出PF=，PFEQ，当点F恰好落在线段上时，得出EQBCQ为1的中点，得出是ABC的中位线，由三角形中位线定理得出=AB，求出PF=4AP=2，即△2可求出的长；（3）由菱形的性质得出PEPQ，分四种情况：①当0＜时，作EM于MEN⊥于N2＜≤4时；③当＜≤6时，作EM于EN于N；④当6＜时；分别由勾股定理得出方程，解方程即可．【小问1详解】作EMAB于交⊥M，如图1所示：∵四边形ABCD是正方形，E是对角线AC的中点，AB=BC==AD=AM=BM=AB=4∴，∴EM是ABC的中位线，1==4∴，2当t1时，1，==∴PM=AM−AP=3，∴PE=PM2+EM2=32+4=52【小问2详解】PEQF∵四边形是平行四边形，PF=EQ,PF∥EQ∴，当点F恰好落在线段上时，PFBC，⊥EQ⊥BC∴，Q为BC的中点，12EQ==4，∴∴是ABC的中位线，1==4，2∴PF4，=∵动点QB出发，以每秒2个单位的速度先沿BC方向运动到点C，∴t=4÷2=2，∴AP2=BF=AB−AP=PF=2∴【小问3详解】当PE=PQ为菱形时，，分四种情况：①当0t2时，作EMAB于，ENBC于N，如图2所示：<≤⊥⊥PE2=PM+42+EM=(4−2t)2,EQ2=QN+EN2，2∵∴(4−t)222+42，8解得：t=0t=3②当2<t≤4时，同①得：(4−t)2+42=(2t−4)+42，28解得：t=0t=38∴t=3③当4<t≤6时，作EMAB于，ENBC于N，如图3所示：⊥⊥∵∴PE2=PM2+EM=−2t)2,EQ2=QN+42，2+EN2，(t−4)2+422163解得：t=或t=816∴t=3④当6<t≤8时，同③得：(t−4)2+42=(2t−12)+42，216解得：t=（舍去）或t=83833综上所述：在整个运动过程中，当为菱形时，t或．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、勾股定理、平行四边形的性质、三角形中位线定理、菱形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（）中，需要通过作