04第四章 幂函数与二次函数、指数与指数函数、对数与对数函数

第四章幂函数与二次函数、指数与指数函数、对数与对数函数1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象，如图．(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义．②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增．③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象(抛物线)定义域R值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))对称轴x＝－eq\f(b,2a)顶点坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))奇偶性当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数单调性在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是减函数；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是增函数在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是增函数；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是减函数考点一幂函数的图象和性质【例1】已知幂函数f(x)的图象过点(9,3)，则函数f(x)的图象大致是()归纳点拨(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．对点训练1．已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－2是幂函数，且为偶函数，则实数m＝()A．2或－1B．－1C．4D．22．已知a＝2eq\s\up15(eq\f(3,4))，b＝3eq\s\up15(eq\f(1,2))，c＝4eq\s\up15(eq\f(1,3))，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<cB．c<a<bC．a<c<bD．c<b<a3．若(a＋1)－2>(3－2a)－2，则a的取值范围是________．考点二二次函数的解析式【例2】(1)函数f(x)满足下列性质：①定义域为R，值域为[1，＋∞)；②图象关于x＝2对称；③对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0．请写出函数f(x)的一个解析式__________．(只要写出一个即可)(2)(2023·郑州外国语学校月考)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1,f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则该二次函数的解析式为__________．归纳点拨求二次函数解析式的三个策略(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式．(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式．(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式．对点训练1．已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标分别为(0,0)和(－2,0)，且有最小值－1，则f(x)＝__________．2．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝__________．考点三二次函数的图象与性质【例3】(多选)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1．给出下面四个结论正确的为()A．b2>4ac B．2a－b＝1C．a－b＋c＝0 D．5a<b归纳点拨(1)研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向．(2)求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件．对点训练1．设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()考点四二次函数的单调性与最大(小)值【例4】已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值．归纳点拨闭区间上二次函数最值问题的解法抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解．对点训练1．函数f(x)＝x2＋2x在区间[t，t＋1]上的最小值为8，求实数t的值，如何求解？2．已知函数y＝x2－2x＋3在[0，m]上的最大值为3，最小值为2，则m的取值范围为()A．[0,1]B．[1,2]C．(1,2]D．(1,2)考点五二次函数的恒成立问题【例5】(1)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围是__________．(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是__________．归纳点拨不等式恒成立求参数范围，一是分离参数；二是不分离参数，直接借助于函数图象求最值．这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题．1．已知a∈[－1,1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围是________．2．已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是__________．考点六指数幂的运算【例6】1．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3\f(3,8)))eq\s\up15(－eq\f(2,3))＋(0．002)eq\s\up15(－eq\f(1,2))－10×(eq\r(5)－2)－1＋(eq\r(2)－eq\r(3))0＝__________．[解析]原式＝(－1)eq\s\up15(－eq\f(2,3))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\f(3,8)))eq\s\up15(－eq\f(2,3))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,500)))eq\s\up15(－eq\f(1,2))－eq\f(10,\r(5)－2)＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,8)))eq\s\up15(－eq\f(2,3))＋50eq\s\up15(eq\f(1,2))－10×(eq\r(5)＋2)＋1＝eq\f(4,9)＋10eq\r(5)－10eq\r(5)－20＋1＝－eq\f(167,9)．[答案]－eq\f(167,9)归纳点拨(1)指数幂的运算首先将根式、分式统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．对点训练1．(a>0，b>0)＝________．2．若xeq\s\up15(eq\f(1,2))＋xeq\s\up15(－eq\f(1,2))＝3，则eq\f(xeq\s\up15(eq\f(3,2))＋xeq\s\up15(－eq\f(3,2))－3,x2＋x－2－2)的值为______．考点七指数函数的图象及应用【例7】(1)(2022·洛阳市高三统考)已知f(x)＝(x－a)(x－b)(a>b)的大致图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的大致图象是()(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．归纳点拨与指数函数有关的图象问题的求解方法(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．对点训练1．(1)若曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，求b的取值范围．(2)函数y＝|2x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围是什么？(3)直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是什么？2．函数f(x)＝2|x－1|的大致图象是()3．若存在负实数使得方程2x－a＝eq\f(1,x－1)成立，则实数a的取值范围是()A．(2，＋∞) B．(0，＋∞)C．(0,2) D．(0,1)考点八比较指数式的大小【例8】(1)已知a＝2eq\s\up15(eq\f(4,3))，b＝4eq\s\up15(eq\f(2,5))，c＝25eq\s\up15(eq\f(1,3))，则()A．b<a<cB．a<b<cC．b<c<aD．c<a<b(2)若ea＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是()A．a＋b≤0B．a－b≥0C．a－b≤0D．a＋b≥0归纳点拨比较指数式的大小的方法(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小．(2)不能化成同底数的，一般引入“0”或“1”等中间量比较大小．对点训练1．若a＝0．30．7，b＝0．70．3，c＝1．20．3，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>cB．c>b>aC．b>c>aD．a>c>b考点九解指数方程或不等式【例9】(1)已知实数a≠1，函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x，x≥0，,2a－x，x<0，))若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为__________；(2)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－7，x<0，,\r(x)，x≥0，))若f(a)<1，则实数a的取值范围是__________．归纳点拨指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化．对点训练1．函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2＋2x－1的值域是()A．(－∞，4) B．(0，＋∞)C．(0,4] D．[4，＋∞)考点十指数函数性质的综合应用【例10】已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))ax2－4x＋3．(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．归纳点拨涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．对点训练1．若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________．考点十一对数的运算【例11】已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝()A．25 B．5C．eq\f(25,9) D．eq\f(5,3)归纳点拨(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并．(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后利用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．(3)ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．对点训练1．计算：eq\f(1－log632＋log62·log618,log64)＝__________．2．计算：log5[4eq\s\up15(eq\f(1,2)log210)－(3eq\r(3))eq\s\up15(eq\f(2,3))－7log72]＝___________________________________________________．考点十二对数函数的图象及应用【例12】(1)函数y＝lneq\f(1,|2x－3|)的图象为()(2)当0<x≤eq\f(1,2)时，4x<logax，则实数a的取值范围是________．归纳点拨(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．对点训练1．函数y＝eq\f(1,log3x)的图象大致是()2．已知正实数a，b，c满足：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a＝log2a，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))b＝log2b，c＝logeq\s\do8(\f(1,2))c，则()A．a<b<c B．c<b<aC．b<c<a D．c<a<b考点十三比较对数值的大小【例13】(1)设a＝log52，b＝log83，c＝eq\f(1,2)，则()A．c<b<a B．b<c<aC．a<c<b D．a<b<c(2)若a>b>c>1且ac<b2，则()A．logab>logbc>logca B．logcb>logba>logacC．logbc>logab>logca D．logba>logcb>logac归纳点拨对数函数值大小比较的方法(1)单调性法：在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底．(2)中间量过渡法：寻找中间数联系要比较的两个数，一般用“0”或“1”或其他特殊值进行“比较传递”．(3)图象法：根据图象观察得出大小关系．对点训练1．设a＝log412，b＝log515，c＝log618，则()A．a>b>c B．b>c>aC．a>c>b D．c>b>a考点十四解对数不等式【例14】(1)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,logeq\s\do8(\f(1,2))－x，x<0.))若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)(2)已知不等式logx(2x2＋1)<logx(3x)<0成立，则实数x的取值范围是________．归纳点拨(1)在解决与对数函数相关的不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．(2)对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论．对点训练1．函数y＝log0．4(－x2＋3x＋4)的值域是()A．[－2,0) B．[－2，＋∞)C．(－∞，－2] D．[2，＋∞)2．已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围是__________．一、选择题1．若a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(2,3))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up15(eq\f(2,3))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(1,3))，则a，b，c的大小关系是()A．a<b<c B．c<a<bC．b<c<a D．b<a<c2．已知函数f(x)＝2x2－4kx－5在区间[－1,2]上不具有单调性，则k的取值范围是()A．(－1,2) B．[－1,2]C．(1,2) D．[1,2]3．(2023·南京秦淮中学开学考)已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c．若f(0)＝f(4)>f(1)，则()A．a>0,4a＋b＝0B．a<0,4a＋b＝0C．a>0,2a＋b＝0D．a<0,2a＋b＝04．对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是()A．(1,3)B．(－∞，1)∪(3，＋∞)C．(1,2)D．(－∞，1)∪(2，＋∞)5．(2022·江苏南通期中)(多选)已知点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(1,2)))在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图象上，则函数f(x)()A．是奇函数B．是偶函数C．在(0，＋∞)上单调递增D．在(0，＋∞)上单调递减6．已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点中至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是()A．[0,1] B．(0,1)C．(－∞，1) D．(－∞，1]7．(多选)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，则下列选项正确的是()A．函数f(x)的值域为[－4，＋∞)B．f(x)的零点有4个C．不等式f(x＋2)<5的解集为(－7,3)D．方程|f(x)|＝4的根有4个8．已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝eq\f(fx,x)在区间(1，＋∞)上一定()A．有最小值B．有最大值C．单调递减D．单调递增9．化简4aeq\s\up15(eq\f(2,3))·beq\s\up15(－eq\f(1,3))÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)aeq\s\up15(－eq\f(1,3))beq\s\up15(eq\f(2,3))))的结果为()A．－eq\f(2a,3b) B．－eq\f(8a,b)C．－eq\f(6a,b) D．－6ab10．已知函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是()A．(1,6) B．(1,5)C．(0,5) D．(5,0)11．函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\r(－x2＋x＋2))的单调增区间是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))) B．(－∞，－1]C．[2，＋∞) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co