2025年高考数学复习之一元函数导数及其应用

2025年高考数学复习热搜题速递之一元函数导数及其应用(2024年7月)

选择题(共10小题)

1.设函数/(无)是奇函数了(无)(xeR)的导函数，/(-1)=0,当x>0时，对7(%)-/(%)<0,

则使得了(尤)>0成立的光的取值范围是()

A.(…，-1)u(0,1)B.(-1,0)U(1,+8)

C.(--1)U(-1,0)D.(0,1)U(1,+8)

2.若x=-2是函数/(x)=(/+办-1)的极值点，则/(%)的极小值为()

A.-1B.-21C.D.1

3.若函数/(x)=x-3in2x+asiiix在(-8,+oo)单调递增，则a的取值范围是()

A.[-1,1]B.[-1,-1]C.[-11,-1]D.[-1,-11]

4.设函数/(x)="(2x-l)-ax+a,其中a<l,若存在唯一的整数xo使得/(尤o)<0,则a的取值范

围是()

5.设函数/⑴=/+(a-1)W+办.若无)为奇函数，则曲线y=/(x)在点(0,0)处的切线方程

为()

A.y=-2xB.y=-xC.y~~2xD.y~~x

已知f(x)=alnx+^x2(a>0)若对任意两个不等的正实数xi,

6.fxi,都有----------->2怛成山

Xi-X2

则〃的取值范围是()

A.(0,1]B.(1,+8)C.(0,1)D.[1,4-oo)

7.已知。为函数/(%)=/-12%的极小值点，贝IJ4=()

A.-4B.-2C.4D.2

21

8.已知曲线y=r卷-3/加的一条切线的斜率为5,则切点的横坐标为

1

A.3B.2C.1D.

2

9.函数/(%)=0?+"2+5+1的图象如图所示，则下列结论成立的是()

A.a>0,6c0,c>0,d>0B.a>0,b<0,c<0,d>0

C.a<0,b<0,c<0,d>0D.a>0,b>0,c>0,d<0

10.设aWO,若x=a为函数/(x)=a(尤-a)2(x-b)的极大值点，则()

A.a<bB.a>bC.ab<a2'D.ab>a1

二.填空题(共5小题)

11.若直线是曲线y=加什2的切线，也是曲线(x+1)的切线，则b=.

12.已知函数/(x)=2sinx+sin2x,则7(x)的最小值是.

13.曲线y=3(?+x)/在点(0,0)处的切线方程为.

14.已知函数/Ct)"-2X+/->其中e是自然对数的底数.若/(a-1)夕2/)W0.则实数。的

取值范围是.

15.曲线y=W+%在点(1,2)处的切线方程为.

三.解答题(共5小题)

1

16.已知函数/(元)=--x+alnx.

(1)讨论了(工)的单调性；

(2)若/(无)存在两个极值点XI,X2,证明：""1)一""2)<a-2.

X1-X2

17.已知函数/(%)=(x+1)Inx-a(x-1).

(I)当〃=4时，求曲线y=/(x)在(L/(D)处的切线方程；

(II)若当尤(1,+8)时，f(x)>0,求〃的取值范围.

18.已知函数/(x)=aex-Inx-1.

(1)设x=2是/G)的极值点，求〃，并求/(x)的单调区间；

(2)证明：当心1时,/(%)20・

19.设函数/(x)=

(1)讨论/G)的单调性;

(2)当x20时，f(x)Wox+1,求实数a的取值范围.

20.已知函数/(x)=(%-2)e^+a(x-1)2.

(I)讨论/(x)的单调性；

(II)若/(x)有两个零点，求。的取值范围.

2025年高考数学复习热搜题速递之一元函数导数及其应用(2024年7月)

参考答案与试题解析

一.选择题(共10小题)

1.设函数/(x)是奇函数/(x)(xGR)的导函数，/(-1)=0,当x>0时，xf'(x)-f(x)<0,

则使得/(x)>0成立的x的取值范围是()

A.(-8,-1)u(0,1)B.(-1,0)U(1,+8)

C.(--1)U(-1,0)D.(0,1)U(1,+8)

【考点】利用导数研究函数的单调性.

【专题】创新题型；函数的性质及应用；导数的综合应用.

【答案】A

【分析】由已知当尤>0时总有;^(尤)-/(x)<0成立，可判断函数g(x)=壁为减函数，由已

知/(X)是定义在R上的奇函数，可证明g(x)为(-8,o)u(0,+8)上的偶函数，根据函数g

(x)在(0,+8)上的单调性和奇偶性，模拟g(x)的图象，而不等式/(x)>0等价于(x)>0,

数形结合解不等式组即可.

【解答】解：设g(x)=写，

则g(x)的导数为：g'(x)=支尸(?尸,

:当尤>0时总有对7(无)</(x)成立，

即当尤>0时，g'(x)恒小于0,

当尤>0时，函数g(无)=写为减函数，

又,：g(-无)==3=g(x),

d—X—xXd

.,•函数g(无)为定义域上的偶函数

又飞(-1)=笛2=0,

二函数g(无)的图象性质类似如图：

数形结合可得，不等式/(%)>0ox・g(x)>0

(x>0dx<0

或〈，

Lg(x)>015(%)<0

«0<x<1或xV-1.

故选：A.

【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合

题.

2.若x=-2是函数f(x)=(/+ox-1)，一1的极值点，则f(x)的极小值为()

A.-1B.-C.5e-3D.1

【考点】利用导数求解函数的极值.

【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用.

【答案】A

【分析】求出函数的导数，利用极值点，求出。，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可.

【解答】解：函数/(x)=(f+ax-l)/I

可得(x)=(2x+a)e=l+C^+ax-1)1,

天=-2是函数/(彳)=(W+or-1)/一1的极值点，

可得：f(-2)=(-4+a)e~3+(4-2a-1)e~3=0,即-4+a+(3-2a)=0.

解得a=-1.

可得，(无)=(2x-1)(/-x-1)

=(7+尤-2)/I函数的极值点为：x=-2,x=l,

当x<-2或x>l时，(无)>0函数是增函数，无6(-2,1)时，函数是减函数，

x=l时，函数取得极小值：/(1)=(I2-1-1)

故选：A.

【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查计算能力.

3.若函数无)=x-/in2x+asin_r在(-+°°)单调递增，则a的取值范围是()

1111

A.[-1,1]B.[-1,-]C.[-1,-]D.[-1,-1]

【考点】由函数的单调性求解函数或参数.

【专题】转化思想；分类法；导数的综合应用.

【答案】C

【分析】求出尤)的导数，由题意可得了'(x)20恒成立，设/=cosx(-1WfWl),即有5-4尸+3加

20,对/讨论，分f=0,0<fWl,分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可

得到所求范围.

17

【解答】解：函数/(x)=x—wsin2x+asinx的导数为/(x)=1--^cos2x+acosx,

由题意可得/(x)20恒成立，

即为1—gCOsZx+acosx》。，

54

即有———cos^x+acos%2。，

33

设t=cosx(-1WW1),即有5-4於+3成20,

当/=0时，不等式显然成立；

当0V/W1时,3g4/一|,

由4—微在(0,1]递增，可得r=l时，取得最大值-1,

可得3a2-1,即a>—:；

当-1WY0时,3aW4一,

由4/-|在[-1,0)递增，可得f=-1时，取得最小值1,

可得3〃W1,即

综上可得a的范围是1].

另解：设kcosx(-1WW1),即有5-4金+3〃三0,

由题意可得5-4+3〃，0,且5-4-3〃，0,

解得a的范围是[4,1].

J3

故选：c.

【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和换元法,

考查函数的单调性的运用，属于中档题.

4.设函数/(x)=炭(2%-1)-ax+a,其中若存在唯一的整数刈使得/(刈)<0,则〃的取值范

围是()

33

-)D.[——，1)

42e

【考点】利用导数研究函数的极值；函数的零点.

【专题】创新题型；导数的综合应用.

【答案】D

【分析】设g(x)="(2x-1),y=ox-〃，问题转化为存在唯一的整数xo使得g(xo)在直线y=ox

的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得-〃>g(0)=-1且8(-1)=-3/12-〃-〃，

解关于〃的不等式组可得.

【解答】解：设g(x)="(2%-1),y=ax-a,

由题意知存在唯一的整数xo使得g(xo)在直线-4的下方，

•「g'(x)(2x-1)+2/=厘(2x+l),

二.当％<—*时，g'(%)V0，当x>—*时，g'(X)>0,

i1

，当工=一2时，g(x)取最小值-2e2,

当x=0时，g(0)=-1,当x=l时，g(1)=e>0,

直线恒过定点(1,0)且斜率为〃，

故-a>g(0)=-1且g(-l)=-3el》-。-。，解得一<a<\

【点评】本题考查导数和极值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题.

5.设函数/（无）=/+（fl-1）/+以.若/（无）为奇函数，则曲线y=/（x）在点（0,0）处的切线方程

为（）

A.y=-2xB.y=-xC.y—•2xD.y--x

【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程.

【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用.

【答案】D

【分析】利用函数的奇偶性求出。，求出函数的导数，求出切线的斜率然后求解切线方程.

【解答】解：函数/（X）=/+（47-1）x1+ax,若/（X）为奇函数，/（-X）=_f（尤），

-x3+（67-1）x2-ax--（x3+（67-1）f+ox）=-f-（。-1）f-ax.

所以：（a-l））=-（（7-1）X2

可得0=1,所以函数=/+x,可得，（尤）=3x2+1,

曲线y=/（x）在点（0,0）处的切线的斜率为：1,

则曲线＞=/（无）在点（0,0）处的切线方程为：y=x.

故选：D.

【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法，考查计算能力.

6.已知无）=。加什%2（。＞0）,若对任意两个不等的正实数尤1,尤2,都有八支1）一”久2）＞2恒成立,

2%i-x2

则a的取值范围是（）

A.（0,1]B.（1,+8）C.（0,1）D.[1,+8）

【考点】导数及其几何意义；利用导数研究函数的单调性.

【专题】计算题；压轴题；数学建模；数学运算.

【答案】D

【分析】先将条件“对任意两个不等的正实数无1,X2,都有“久1）一”犯）＞2恒成立”转换成于（XI）-

2XI＞/（X2）-2X2,构造函数/Z（X）=/（无）-2尤，根据增减性求出导函数，即可求出。的范围.

【解答】解：对任意两个不等的正实数XI,尤2,都有1（久1）二〃一）＞2恒成立,假设尤1＞尤2,

Xi-%2

f（XI）-f（X2）＞2x1-2x2,即/（XI）-2x1＞/（X2）-2%2对于任意Xl＞X2＞0成立，

令h（x）=f（x）-2x,h（x）在（0,+8）为增函数，

：.K(x)=(+x-220在(0,+8)上恒成立,

a…0

一+%-220,则〃2(2%-A)max=1

X

故选：D.

【点评】本题主要考查了导数的几何意义，以及函数恒成立问题，同时考查了转化与化归的数学思想,

属于基础题.

7.已知°为函数尤）=/-12%的极小值点，则a=（）

A.-4B.-2C.4D.2

【考点】利用导数研究函数的极值.

【专题】计算题；函数思想；综合法；导数的综合应用.

【答案】D

【分析】可求导数得到/（无）=3/-12,可通过判断导数符号从而得出f（x）的极小值点，从而得

出a的值.

【解答】解：/（无）=3/-12；

，x<-2时，f（x）>0,-2<x<2时，/（x）<0,尤>2时，f（x）>0；

；.x=2是无）的极小值点；

又。为了（无）的极小值点；

••cr==2.

故选：D,

【点评】考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，要熟悉二次函数

的图象.

21

8.已知曲线丁r=卷-3历X的一条切线的斜率为5,则切点的横坐标为（）

1

A.3B.2C.1D.-

2

【考点】导数及其几何意义.

【答案】A

【分析】根据斜率，对已知函数求导，解出横坐标，要注意自变量的取值区间.

【解答】解：设切点的坐标为（刈，3）

r21

曲线y=五一3的一条切线的斜率为a，

・・»=学一3解得的=3或刈=一2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3

故选：A.

【点评】考查导数的几何意义，属于基础题，对于一个给定的函数来说，要考虑它的定义域.比如，该

题的定义域为{x>0}.

9.函数无)=依3+灰2+。天+］的图象如图所示，则下列结论成立的是()

A.。>0,Z?<0,c>0,d>0B.〃>0,Z?<0,c<0,d>0

C.tz<0,b<0,c<0,d>0D.a>0,/?>0,c>0,J<0

【考点】利用导数研究函数的单调性.

【专题】开放型；函数的性质及应用.

【答案】A

【分析】根据函数的图象和性质，利用排除法进行判断即可.

【解答】解：f(0)=d>Q,排除D,

当X—+8时，y—+8,二々〉。，排除C,

函数的导数/(x)=3ax1+2bx+c,

则/(x)=0有两个不同的正实根，

2hr

则且-，(。>

Xl+%2=-3a5>a0X1X2=Q>00),

.,.Z?<0,c>0,

方法2：f(x)=3OX2+2Z?X+C,

由图象知当xVxi时函数递增，当xiVxVX2时函数递减，则/G)对应的图象开口向上，

则〃>0,且％1+%2=—丁X)且X1X2=丁>0,(。>0),

：.b<0,c>0,

方法3：f(0)=d>0,排除£),

函数的导数，(x)—3a^+2bx+c,

则，(0)=c>0,排除B,C,

故选：A.

【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合函数的极值及/(0)的符号

是解决本题的关键.

10.设aWO,若为函数/(x)—a(%-〃)2(x-Z?)的极大值点，贝!J()

,9

A.a<bB.a>bC.ab<~aD.ab>a

【考点】利用导数研究函数的极值.

【专题】数形结合；数形结合法；导数的综合应用；数学运算.

【答案】D

【分析】分a>0及。<0,结合三次函数的性质及题意，通过图象发现。，6的大小关系，进而得出答

案.

【解答】解：令/(无)=0,解得尤=。或尤=b,即无=。及x=6是/(%)的两个零点，

当a>0时，由三次函数的性质可知，要使x=a是/(x)的极大值点，则函数/(X)的大致图象如下图

所示，

则O〈a〈b；

当。<。时，由三次函数的性质可知，要使x=a是/(尤)的极大值点，则函数/(x)的大致图象如下图

所示，

则b<a<0；

综上，ab>(T.

故选：D.

【点评】本题考查三次函数的图象及性质，考查导数知识的运用，考查数形结合思想，属于中档题.

二.填空题(共5小题)

11.若直线>=丘+6是曲线y=阮什2的切线，也是曲线y=/w(x+1)的切线，则b=1-历2.

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.

【专题】导数的综合应用.

【答案】1-历2.

【分析】先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可

【解答】解：设y=fcr+b与y=/nx+2和y=/w(x+1)的切点分别为(xi,kxi+b)、(X2,kx2+b)；

由导数的几何意义可得仁家壶，得处=皿+1

再由切点也在各自的曲线上，可得伊=熏W

ikx2+b=Zn(x2+1)

rk=2

联立上述式子解得3；

〔犯=-2

从而to+/?=Znxi+2得出b—\-ln2.

法二：函数尸阮什2的导函数为=p函数尸历(x+1)的导函数为y'=备，

设曲线y=/nx+2和曲线y=/〃(x+1)上的切点的横坐标分别为m，n,

则该切线方程可以写为y=五(x-m)+lnm+2,

也可以写为>=元钉(x-〃)+ln(九+1),

4=—(7nm=-

整理后对比得］而一帝n,解得］

［Jnm+1=ln(n+1)-n=--

所以b=l-/〃2.

故答案为：

【点评】本题考查了导数的几何意义，体现了方程思想，对学生综合计算能力有一定要求，中档题

12.已知函数/(x)=2sinx+sin2x,则/(x)的最小值是一^^.

【考点】利用导数研究函数的最值；三角函数的最值.

【专题】计算题；方程思想；综合法；导数的综合应用；三角函数的求值.

【答案】一孥.

【分析】由题意可得T=2TT是/(x)的一个周期，问题转化为/(x)在［0,2TT)上的最小值，求导数计

算极值和端点值，比较可得.

【解答】解：由题意可得T=2ir是/(x)=2sinx+sin2x的一个周期，

故只需考虑，(x)=2sinx+sin2x在［0,2K)上的值域，

先来求该函数在［0,2TT)上的极值点，

求导数可得/(x)=2cosx+2cos2x

=2cosx+2(2COS2X-1)=2(2cosx-1)(cosx+1),

i

令，(x)=0可解得cosx=a或cos%=-1,

可得此时％=百，互或—;

.1.y=2siiw+sin2x的最小值只能在点x=枭豆或三和边界点x=0中取到，

计算可得了(-)=孥，/(7t)=0,f(—)=—孥，f(0)=0,

••.函数的最小值为-竽，

故答案为：-竽.

【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及导数法求函数区间的最值，属中档题.

13.曲线y=3(/+x)/在点(0,0)处的切线方程为y=3x.

【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程.

【专题】计算题；导数的概念及应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】对y=3(f+x)/求导，可将x=0代入导函数，求得斜率，即可得到切线方程.

【解答】解：,.3=3(f+x)

；.y=3/(/+3x+l),

当x—0时，y'=3,

；.y=3(x2+无)产在点(0,0)处的切线斜率左=3,

切线方程为：y=3尤.

故答案为：y=3x.

【点评】本题考查了利用导数研究函数上某点的切线方程，切点处的导数值为斜率是解题关键，属基础

题.

14.已知函数/(x)=尤3-2尤+/-3，其中e是自然对数的底数.若/Q-l)+f(2a2)W0.则实数°的

1

取值范围是「1，3.

【考点】利用导数研究函数的单调性.

【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用；导数的综合应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】求出f(X)的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得/(x)在R上递增；再由奇偶性

的定义，可得了(无)为奇函数，原不等式即为2/W1-a,运用二次不等式的解法即可得到所求范围.

【解答】解：函数/(x)=2-2无的导数为：

f'(x)=3/-2+N+妥——2+2Iex•=0,

可得/(无)在R上递增；

又/'(-x)+f(x)=(-x)3+2x+ex--Ix+e^-=0,

可得了(尤)为奇函数，

则/(a-1)+f(2/)WO,

即有/(2a2)W(a-1)

由/'(-Ca-1))=-f(a-1),

f(2a2)W/(1-a),

即有2a2W1-a,

1

解得-IWaS],

1

故答案为：[-1,-].

【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用

和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题.

15.曲线在点(1,2)处的切线方程为x-v+l=O.

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.

【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，利用点斜式求解切线方程即可.

【解答】解：曲线y=/+g可得y=2x—J,

切线的斜率为：左=2-1=1.

切线方程为：y-2=x-1,即：x-y+l=O.

故答案为：x->1=0.

【点评】本题考查切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力.

三.解答题（共5小题）

16.已知函数/（x）=—x+alnx.

（1）讨论/（x）的单调性；

（2）若/（无）存在两个极值点尤1,X2,证明：<«-2.

xr-x2

【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值.

【专题】分类讨论；转化法；导数的综合应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）求出函数的定义域和导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可.

（2）将不等式进行等价转化，构造新函数，研究函数的单调性和最值即可得到结论.

【解答】解：（1）函数的定义域为（0,+8）,

函数的导数/（X）=-4-1+?=-%2-7+1>

X乙xX乙

设g（X）=/-1,

当aWO时，g（无）>0恒成立，即,（无）<0恒成立，此时函数/（%）在（0,+8）上是减函数，

当a>0时，判别式A—a2-4,

①当0<aW2时，AWO,即g（x）20,即/（无）W0恒成立，此时函数/（无）在（0,+8）上是减

函数，

②当a>2时，%,/（尤），f（x）的变化如下表：

Xa-Va2-4a-Va2-4a-Va2-4a+Va2-4a+Va2-4

(0---------)(--------,---------(，+

22222

a+Va2-4oo)

2

f'（X）-0+0-

f(x)递减递增递减

综上当时，f(x)在(0,+8)上是减函数，

当a>2时，在(0,J)和(a+Vq2-4,+8)上是减函数，

22

a—Va2—4a+Va2—4

则(--------，---------)上是增函数.

22

(2)由(1)知〃>2,不妨设X1〈X2,则0Vxi〈lVx2,XLX2=1,

则/(xi)-f(x2)=(x2-xi)(H-----)+a(bm-bm)=2(%2-xi)+〃Clnxi-lnx2),

xlx2

.1/(xi)-/(x2)c।a(Znx-Znx)

则m=—2H----------1--------2--，

x±-x2巧_%2

则问题转为证明处1二”这VI即可，

Xr-x2

即证明lnx\-lnx2>x\-X2,

1i

则Inxi-In—>x\-----,

xr

1

BPlnxi+lnxi>xi-----，

X1

i

即证2历xi>xi-----在(0,1)上恒成立，

X1

1

设/?(x)=2lnx-x+^,(0<x<l),其中力(1)=0,

求导得〃⑴=2-1—=一.它+1=—鱼篓<o.

X**X乙

则/7(X)在(0,1)上单调递减，

1

：'h⑴>h⑴，即2仆x+L

1

故21nx>x—，

x

口，(右)一/(第2)1c寸一

则-----------<a-2成乂.

Xi-%2

,11

(2)另解：注意到/(嚏)=x---alnx=-f(x),

1

即/(x)+f(-)=0,

不妨设X\<X2,

、1

由韦达定理得XLX2=1,Xl+X2=a>l,得0<%l〈lVx2,xi=—，

x2

1

可得了(%2)+/(一)=0,即/(XI)4/(X2)=0,

要证"3'2)Va-2,只要证,J、卫Vaf

Xl-%2Xr-X2

即证2alnx2-0X2+—<0,(X2>1),

x2

ax

构造函数力(x)=2alnx-ax+-,(x>l),h'(x)=^<Q>

xx乙

:・h(x)在(1,+8)上单调递减，

：・h(x)<h(1)=0,

.•・2〃/〃x-<0成立，BP2alnx2-axi+—<0,(X2>1)成立.

日"01)-/(久2),.十一

即-----------<a-2成工.

Xr-x2

【点评】本题主要考查函数的单调性的判断，以及函数与不等式的综合，求函数的导数，利用导数的应

用是解决本题的关键.综合性较强，难度较大.

17.已知函数/(x)=(尤+1)Inx-a(x-1).

(I)当。=4时，求曲线y=/(x)在(1,7(1))处的切线方程；

(II)若当xe(1,+8)时，f(x)>0,求a的取值范围.

【考点】简单复合函数的导数.

【专题】综合题；转化思想；综合法；导数的概念及应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】(/)当。=4时，求出曲线y=f(x)在(1,/(D)处的切线的斜率，即可求出切线方程；

(〃)先求出，(x)>f'(1)=2-a,再结合条件，分类讨论，即可求。的取值范围.

【解答】解：⑺当a=4时，f(x)=(x+1)Inx-4(x-1).

f(1)=0,即点为(1,0),

1

函数的导数/(x)—lnx+(%+1),--4,

则，(1)=加1+2-4=2-4=-2,

即函数的切线斜率左=f(1)=-2,

则曲线y=/(x)在(1,0)处的切线方程为y=-2(x-1)=-2x+2；

(〃)(x)=(x+1)Inx-a(x-1),

.1

.'.f(x)=H---\-lnx-a,

Jx

"(x)=9，

Vx>l,：.f"(x)>0,

：.f(x)在(1,+8)上单调递增，

：.f'(x)>f(1)=2-a.

①aW2,f'(x)>f'(1)20,

：.f(x)在(1,+8)上单调递增，

：.f(x)>/(1)=0,满足题意；

②a>2,存在xo€(1,+8),f(xo)=0,函数/'(x)在(1,xo)上单调递减，在(无o,+°°)上单

调递增，

由/(I)=0,可得存在xoE(1,+8),f(xo)<0,不合题意.

综上所述，〃W2.

【点评】本题主要考查了导数的应用，函数的导数与函数的单调性的关系的应用，导数的几何意义，考

查参数范围的求解，考查学生分析解决问题的能力，有难度.

18.已知函数/(x)=aex-lnx-1.

(1)设％=2是/(x)的极值点，求〃，并求/(%)的单调区间；

(2)证明：当aN的寸，/(无)20.

【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值.

【专题】证明题；转化思想；综合法；导数的综合应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)推导出尤〉0,(x)由x=2是/(X)的极值点，解得。=5，从而"X)=表产

-lnx-1,进而/(x)=^ex-p由此能求出了(无)的单调区间.

(2)法一：当a>工时，f(x)>--Inx-1,设g(x)=--Inx-1,x>0,则gz(x)=-——,由此

利用导数性质能证明当。2：时，f(x)》0.

法二：f(x)三0,即aN伍:qI,x>0,令g(x)=x>0,则g'(久)=彳,利用导数性

质得g(x)在(0,1)单调递增，在(1,+8)单调递减，g(x)Wg(1)=1,由此能证明当寸，

f(x)20.

法三：当〃之?时，f(x)>--Inx-1,即只需证明~一"％-1之0,再通过构造函数，利用导数

eJee

研究函数的单调性，即可求解.

【解答】解：(1);•函数/(%)=ae)c-Inx-\.

.*.x>0,f(x)=aeK——,

Jx

,・"=2是/(%)的极值点，

**•f'(2)—ci^—«1=0,解得°?，

zZe乙

i11

(x)=^^/-/依-1,:・f(x)—彳

当0VxV2时，f(x)<0,当x>2时，f(x)>0,

：.f(x)的单调递减区间是(0,2),单调递增区间是(2,+8).

(2)证法一：当a>、时，f(x)>3—Inx-1,

设g(x)=3—Inx-1,x>0,则g，(%)=:一

pX1

由g/(%)="一]=。，得了=1，

当OVxVl时，g'(x)<0,

当x>l时,gf(x)>0,

・・・%=1是g(x)的最小值点，

故当x>0时，g(x)2g(1)=0,

当a>工时，f(x)=aex-lnx-120.

证法二：)•函数/(x)—a^-Inx-1,/./(x)20,即〃之>[Lx>0,

1

令g(x)=x>0,则g/(%)=^~—,x>0,.'.gr(1)=0,

,1

当OVxVl时，一―1>0,-lnx>0,g'(x)>0,

x

1

当x>l时，―一1V0,-lnx<Og'(x)<0,

xf

：.g(x)在(0,1)单调递增，在(1,+8)单调递减，

1

g(冗)Wg⑴="，

1

a>.,・〃2g(x).

i

・•・当〃之？时，/(x)20.

1xex

证法三：当一时，f(x)>P-----Inx—1,即只需证明——Inx—1>0,

eeQ

ex

由于——Inx—1>0,

e

则"2elnexox/2exlnex^xe^2elnexlnex,

令g(x)=xe,c,

则g(%)(x+1)>0,即g(x)为增函数,

又易证x^lnex=lnx+l,

故g(x)2gQlnex),即成立，

故当QN：时，f(x)20.

【点评】本题考查函数的单调性、导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中

档题.

19.设函数/数)=(1-/)•/.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)当尤20时，f(x)Wax+1,求实数a的取值范围.

【考点】利用导数研究函数的单调性.

【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用.

【答案】(1)/(%)在(-8,-1-V2),(-1+V2,+8)上单调递减，在(-1一夜，-1+V2)上

单调递增；

(2)a的取值范围是［1,+8).

【分析】(1)求出函数的导数，求出极值点，利用导函数的符号，判断函数的单调性即可.

(2)化简/(%)=(1-x)(1+x)F.f(x)Wax+1,下面对a的范围进行讨论：

①当a'l时，②当0<a<l时，设函数g(无)=/-x-1,则g'(无)=，-1>0(尤>0),推出结论；

③当aWO时，推出结果，然后得到。的取值范围.

【解答】解：(1)因为/(x)=(1-?)",xER,

所以/(x)=(1-2x-x2)ex,

令f(无)=0可知x=-l±&,

当x<-1—/或无>-1+四时，(无)<0,当-1—-1+或时/(无)>0,

所以/(X)在(-8,-1-V2),(-1+V2,+8)上单调递减，在(-1-V2,-1+V2)上单调递增；

(2)由题可知无)=(1-x)(1+x)下面对。的范围进行讨论：

①当心1时，设函数h(x)=(1-x)-则h'(x)=-无"<0(x>0),

因此，7(X)在［0,+8)上单调递减，

又因为%(0)=1,所以(x)W1,

所以/(无)=(1+x)h(尤)Wx+lWax+l；

②当0<a<l时，设函数g(x)-x-1,则g'(无)=，-1>0(x>0),

所以g(无)在［0,+8)上单调递增，

又g(0)=1-0-1=0,

所以.

因为当0<x<l时/(x)>(1-X)(1+x)2,

所以(1-x)(1+x)2-ax-l=x(1-a-x-/),

取xo=---—e(0,1),贝！(1-xo)(1+xo)2-axo-1=0,

所以/'(xo)>axo+l,矛盾；

yrF_

③当aWO时，取xo=—2—1G(0,I),则/(xo)>(1-xo)(1+xo)2=l^axo+l,矛盾；

综上所述，a的取值范围是［1,+8).

【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能

力.

20.已知函数/(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.

(I)讨论/(x)的单调性；

(II)若/(x)有两个零点，求。的取值范围.

【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理.

【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用；导数的综合应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】(I)求出了(无)的导数，讨论当介0时，“V—1时，a-一］时，—提<a<0,由导数大于0,

可得增区间；由导数小于0,可得减区间；

(II)由(I)的单调区间，对。讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围.

【解答】解:(I)由/(无)=(x-2)e^+a(x-1)2,

可得，(x)=(x-1)(x-1)=(x-1)(/+2〃)，

①当〃20时，由/(x)>0,可得x>l；由/(x)<0,可得xVl,

即有了(X)在(-8,1)递减；在(1,4-00)递增(如右上图)；

②当。<0时，(如右下图)，

由炭+2a=0,可得了=/〃(-2〃)，

由方(-2〃)=1,解得a=—

若〃=一?则/(x)20恒成立，即有/(x)在R上递增；

若1时，由/(%)>0,可得或x>/〃(-2〃)；

由(无)<0,可得1<尤</”(-2a).

即有/(x)在(-oo,1),(/„(-2a),+oo)递增；

在(1,I