新高考数学一轮复习讲义：等式与不等式的性质（原卷版+解析）

专题03等式与不等式的性质

【命题方向目录】

命题方向一：不等式性质的应用

命题方向二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式

命题方向三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围

命题方向四：不等式的综合问题

命题方向五：糖水不等式

【2024年高考预测】

2024年仍将与集合运算结合重点考查一元二次不等式解法与分段函数不等式的解法，基本不等式多在

解析几何、函数最值中考查，难度为基础题或中档题.

【知识点总结】

1、两个实数比较大小的方法

a-b>0<i^a>b,

作差法<a—6=0=a三瓦（a,beR））

a-b<0a<b.

2、等式的性质

性质1对称性：如果a=b,那么b=a；

性质2传递性：如果a=A,b=c,那a=c；

性质3可加（咸）性：如果那么a±c=Z?±c；

性质4可乘性：如果。=人，那么ac=Z>c；

✓7h

性质5可除性：如果〃="cw0,那一=—.

CC

3、不等式的性质

性质1对称性：a>b^^b<a；

性质2传递性：a>b,b>cna>c；

性质3可加性：a>b<^>a+c>b+c；

性质4可乘性：a>b,c>Q^>ac>bc；a>b,cac<bc

性质5同向可加性：a>b,c>d^a+c>b+d；

性质6同向同正可乘性：a>b>Q,c>d>Q^>ac>bd；

性质7同正可乘方性：«>Z?>O=>a">/?"（neN,H..2）.

【方法技巧与总结】

1、若ab>0,且a>bo—<—

ab

若>>a>0,根>0=>—>--------

aa+m

【典例例题】

命题方向一：不等式性质的应用

【通性通解总结】

1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明.

2、充分利用基本初等函数性质进行判断.

3、小题可以用特殊值法做快速判断.

例1.（2023・北京•人大附中校考模拟预测）若实数。、b满足标>廿>0,则下列不等式中成立的是（）

A.a>bB.2a>2b

22

C.a>\b\D.log2a>log2b

例2.（2023・山东枣庄•统考模拟预测）若“，b,ceR,且则下列不等式一定成立的是（）

2

A.a+c>b—cB.（tz—Z7）c2>0C.ac>bcD.------>0

a-b

例3.（2023•江西・统考模拟预测）已知Iog5〃>log5入则下列不等式一定成立的是（）

A.4a<4bB.log5（tz-/?）>0

C.5a~b>1D.ac>bc

变式1.（2023・全国•高三专题练习）两两不同的不，%2,%，%，％，为满足：石+弘=%+%=%3+%且满足

再<X，尤2<>2，“3<%，+*3%=2%2%>。.则下列一'定成的是（）

+%3>23>

A.玉々B.+x3<2X2C.占%考D.x1x3<xf

变式2.（2023•湖北武汉・统考模拟预测）下列不等式正确的是（）

A.若欧2Nbc?,则-N）

B.若£>£,则〃<6

C.若1+人>0,c-b>0,贝!

—什八，cla+ma

D.右a>0,Z?>0,m>0,且7则---->—

b+mb

变式3.（2023•北京朝阳•统考一模）若a>0>b,贝！！（）

A.a3>b3B.\a\>\b\C.3GD.ln（a-&）>0

命题方向二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式

【通性通解总结】

比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调

性.

比较法又分为作差比较法和作商比较法.

作差法比较大小的步骤是：

U）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.

作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：

（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.

其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于。或1比较大

小.

作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是暴或者因式

乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是：

bbb

若a>0/>0,贝U—=—<lob<a；—=l=b=a；

aaa

bbb

右a<0,Z?<0,贝！J——<1<^>b>a；—=lob=a.

aaa

例4.（2023•全国•高三专题练习）若0<a<6,。+人=1,则将a,b,^,2ab,cr+b2从小到大排列为.

例5.（2023•全国•高三专题练习）设f=a+2b,s=a+b2+\,则s与t的大小关系是.

例6.（2023・全国•高三专题练习）已知〃=/一3尤,N=-3/+x-3,则的大小关系是.

变式4.（2023•全国•高三专题练习）若。=殍，匕=与，贝16（填“>”或

ha

变式5.（2023•高三课时练习）（1）已知cVdVO,求证：——<——；

a-cb-d

（2）设x,yeR,比较（--丁丫与孙（无一的大小.

变式6.（2023•全国•高三专题练习）（1）试比较（x+l）（x+5）与@+3）2的大小;

（2）已知求证:ab>0.

命题方向三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围

【通性通解总结】

在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围,

否则会导致范围扩大，而只能建立己知与未知的直接关系.

例7.（2023・全国•高三专题练习）已知YVa-cV-l,-l<4a-c<5,9a-c的取值范围是

例8.（2023・四川成都・高三成都七中校考阶段练习）若实数x、y满足-14x+y41,l<x+2y<3,贝|

x+3y的取值范围是.

例9.（2023・上海•高三专题练习）x-y<0,x+y-l>0,贝z=x+2y的最小值是.

变式7.（2023•全国•高三专题练习）已知实数x、y满足-2V元+2y<3,-2<2x-y<0,贝i]3元-4y的取

值范围为.

变式8.（2023•全国•高三专题练习）已知有理数a,b,c,满足a>b>c,且a+b+c=0,那么二的取值范

a

围是.

变式9.（2023•全国•高三专题练习）已知，〈月〈兀，贝!J2a-与的取值范围是.

变式10.（2023•全国•高三专题练习）已知-2vav3,2<b<3,则/的取值范围为__________.

b

变式11.（2023・全国•高三专题练习）已知函数/（%）=加一力满足L—14/⑵45,则式3）的取

值范围是.

丫2X

变式12.（2023・全国•高三专题练习）设羽y为实数，满足3（孙2«8,4<—<9,则不的最小值是

yy

n—2c

变式13.（2023・全国•高三专题练习）已知三个实数a、b、c,当c>0时，b<2a+3c且6c=片，则一一

b

的取值范围是.

命题方向四：不等式的综合问题

例10.（2023•全国•高三专题练习）若实数。也c满足3。+3〃=3"+J3a+3b+3C=3a+b+c,则c的最大值为

例11.（多选题）（2023•山东•校联考二模）已知实数a,6,c满足“>〃>c,且a+b+c=0,则下列说法正确

的是（）

A.--->―-—B.a—c>2bC.a2>b1D.ab+bc>0

a-cb-c

例12.（多选题）（2023•广东惠州•统考一模）若6a=26=3,则（）

”1

A.B.ab<—

a4

11

C.a9+b9v—D.h—a>一

25

变式14.（多选题）（2023•山东潍坊•统考二模）已知实数3>5>0,则（）

、bb+2171—八一Ia+bIg«+lgZ?

A.一<----B.QH->b-\—C.cib>baD.1g------->-------------

aa+2ba22

变式15.（多选题）（2023•广东深圳•深圳中学统考模拟预测）已知〃，b都是正实数，则下列不等式中恒成

立的是（）

A.（。+甸B.（。+由+）6

a1

C.Q2T—>3aD.----------<-

2ci—a+12

变式16.（多选题）（2023•福建•统考模拟预测）已知则下列结论正确的是（）

b

A.b>2B.a>2C.ab>2D.Q2+〃的最小值为6

变式17.（2023・全国•高三专题练习）已知实数a,b,。满足〃+/?+c=0,〃2+》2+/=],则〃的最大值是

变式18.（2023•全国•高三专题练习）若％,yeR,设2孙+3/—工+》,则M的最小值为

变式19.（多选题）（2023•辽宁•校联考二模）已知正数％,y满足V=y3<i,则下列结论正确的是（）

A.0<x<y<lB.0<y<x<l

C.H一尤|4D.|/-x2|<^-

命题方向五：糖水不等式

【通性通解总结】

糖水不等式：若a>6>0,m>0,则一定有"二>?,或者9上

a+mab+mb

例13.（2023•全国•高三专题练习）已知如糖水中含有ag糖若再添加糖完全溶解在其中，

则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）.根据这个事实，下列不等式中一定成立的是（）

人aa+ma+ma+2m

A.->-------B.-------<---------

bb+mb+mb+2m

2]

C.（67+2m）（&+m）<（tz+m）（&+2m）D.不-->^q-

b

例14.（2023・四川凉山・统考一模），克糖水中含有b克糖，糖的质量与糖水的质量比为一，这个质量比决

a

定了糖水的甜度，如果再添加加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为/7把+二w>上h

a+ma

（a>A>0,机>0）.若再=1（^2,x2=log1510,x3=log4520,则

A.xx<x2<x3B.\<x3<x2

C.玉<再<%2D.X3<X2<Xj

例15.（2023・山西・统考一模）我们都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水会更甜.这句话用数学符号可表

示为：2h〈竺h+竺m，其中且〃，b,meR+.据此可以判断两个分数的大小关系，比如85黑436罢623胃9

aa+m998763421

854366236（填,y）.

998763418

b

变式20.（2023・福建•高三校联考阶段练习）若。克不饱和糖水中含有b克糖，则糖的质量分数为一，这个

a

质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出

不等式/7竺+丝w7>h2（a>6>0,〃?>0）数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出log?2

a+ma

log/。（用“〈”或""填空）；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式.

【过关测试】

一、单选题

1.（2023•天津•统考一模）设。>0,b>0,贝广是/<[”的（）

ab

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2023•江苏南通・模拟预测）已知a-6e[0,l],a+6e[2,4],则4a-26的取值范围是（）

A.[1,5]B.[2,7]C.[1,6]D.[0,9]

3.（2023•湖南•模拟预测）已知正实数x,y满足x<>,设。=打工+丁，b=yey+x,c=yex+x（其中e为

自然对数：e®2.71828）,则a,b,c的大小关系是（）

A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.b<c<a

4.（2023•全国•高三专题练习）“x>y”的一个充分条件可以是（）

A.2x~y>-B.x2>345/

2

V

C.->1D.xt2>yt2

y

5.（2023・全国•高三专题练习）若实数a,b,。满足a>h>c,则下列结论一定成立的是（）

A.aob2B.ab2>cb*1

-217111

C.QHz->b-\—D.------>-------

abb—ca—c

6.（2023•贵州铜仁•高三统考期末）已知实数无，y分别是方程1〃+上-1|=1的解，则2x+y的取值范围是

)

A.[0,2]B.[-2,2]C.[0,3]D.[-3,3]

7.（2023・全国•高三专题练习）某城市有一个面积为Ikmz的矩形广场，该广场为黄金矩形（它的宽与长的

比为铝），现在在中央设计一个矩形草坪，四周是等宽的步行道，能否设计恰当的步行道的宽度使矩形

草坪为黄金矩形？则下列选项正确的是（）

A.步行道的宽度10mB.步行道的宽度20m

C.步行道的宽度30mD.草坪不可能为黄金矩形

x+y>1

8.（2023・全国•高三专题练习）若实数羽y满足5x+2”2'则的取值范围（)

A.口+8）B.[3,+QO)C.[4,+oo)D.[9,+oo)

二、多选题

9.（2023•黑龙江齐齐哈尔・统考一模）已知a,b,ce（O,y）,则下列说法正确的是（)

A.若b<c,则B.若a>b,贝！J"〉。，

C.a+b+J—>2A/2D.

yJabab

10.（2023•全国•模拟预测）已知。/为实数，且痣，则下列不等式正确的是（)

A.a2>b2B-

b+1bD.b+-^—>\

C.------>—

a+1ab+1

11.（2023・全国•高三专题练习）已知实数x,y满足-3<%+2y<2,-1<2%-丁<4,则()

A.X的取值范围为（-1,2）B.y的取值范围为（-2,1）

C.x+y的取值范围为（-3,3）D.X—V的取值范围为（-1,3）

12.（2023・湖南永州・统考三模）已知a,〃,cwR,下列命题为真命题的是（）

A.若b<a<0,^]b-c2<ac2B.若b>a>。>c,贝!]—<—

ab

b--H-,八rmaa+c

C.若c>Z?>a>0,贝Ua>D.右a>b>c>0,贝----

c-ac-bbb+c

三、填空题

13.（2023•全国•高三专题练习）若整数尤满足5+&?<x（回+2,则无的值是.

已知（X-1）2>4,则在:的取值范围是

14.（2023•全国•高三专题练习）

15.（2023•北京房山・统考一模）能够说明“设。也。是任意实数，若a<b<c,则ac<be”是假命题的一组整

数°,反c的值依次为

16.（2。23.全国•高三专题练习）已知实数，，九满足"2则z=2xf的取值范围是

.（用区间表示）

四、解答题

17.（2023・河北•高三统考学业考试）已知l<a<4,2Vb<8,分别求

a

⑴工

b

（2）2。+38

（3）a-b的取值范围.

ab

18.（2023•全国•高三专题练习）比较丁+乙=与6+JF（a>0,力>0）的大小.

7b7a

22

〃2AA〃2

19.（2023・全国•高三专题练习）已知&>1,M=—+—,N=—+—.

a-1b-1a-1b-\

（1）试比较M与N的大小，并证明；

（2）分别求M,N的最小值.

20.（2023•全国•高三专题练习）已知2<b<S,试求。一6与£的取值范围.

21.（2023•全国•高三专题练习）求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一提出与原来问题有关

的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.例如，原来问题是“若直角三角形的两条直角边长分

别为3和4,求该直角三角形的面积”，求出面积6后，它的一个“逆向”问题可以是“若直角三角形的面积

为6,一条直角边长为3,求另一条直角边的长”.试给出问题“已知c=a+b,若”aW2,-l4芯3,求c的

取值范围”的一个‘逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题.

22.（2023・全国•高三专题练习）已知下列三个不等式：①ab>0；②£>?；③bead,以其中两个作为

ab

条件，余下一个作为结论，则可组成几个正确命题？并选取一个结论证明.

专题03等式与不等式的性质

【命题方向目录】

命题方向一：不等式性质的应用

命题方向二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式

命题方向三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围

命题方向四：不等式的综合问题

命题方向五：糖水不等式

[2024年高考预测】

2024年仍将与集合运算结合重点考查一元二次不等式解法与分段函数不等式的解法,

基本不等式多在解析几何、函数最值中考查，难度为基础题或中档题.

【知识点总结】

1、两个实数比较大小的方法

a-b>0a>b,

作差法<a-b=0=a三b,（a,beR））

a-b<0<i^a<b.

2、等式的性质

性质1对称性：如果。=〃，那么匕=。；

性质2传递性：如果a=/?,b=c,那4=。；

性质3可加（咸）性：如果。=匕，那么a土c=b土c；

性质4可乘性：如果。=人，那么ac=Z>c；

性质5可除性：如果a=A,c/0,那^=上.

cc

3、不等式的性质

性质1对称性：a>bob<a；

性质2传递性：a>b,b>cna>c；

性质3可加性：a>b<^a+c>b+c；

性质4可乘性：a>b,c>0^ac>bc；a>b,c<0=ac<bc

性质5同向可加性：a>b,c>d=>a+c>b+d；

性质6同向同正可乘性：a>b>0,c>d>0^ac>bd；

性质7同正可乘方性：a〉b〉O=>a">夕（〃eN,4.2）.

【方法技巧与总结】

1、若ab>0,且a>bo—<—

ab

b—b+mb+m

2、若a>>>0,根>0=>

aa

若方>a>0,根>0=>—>--------

aa+m

【典例例题】

命题方向一：不等式性质的应用

【通性通解总结】

1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明.

2、充分利用基本初等函数性质进行判断.

3、小题可以用特殊值法做快速判断.

例L（2023・北京・人大附中校考模拟预测）若实数。、。满足标,则下列不等式中

成立的是（）

A.a>bB.2">2"

22

C.a>\b\D.log2a>log2Z?

【答案】D

【解析】由题意，a2>b2>0,所以logz">k>g"2,故D正确;

当。=一2,6=-1时，a2>&2>0,但a<6,2"<2"，同，故A,B,C错误.

故选：D.

例2.（2023•山东枣庄•统考模拟预测）若“，b,ceR,且a>6,则下列不等式一定成立

的是（）

2

A.a+c>b—cB.（tz-&）c2>0C.ac>bcD.------>0

a-b

【答案】B

【解析】若。=2,b=l,c=-2,满足但a+c=0,b-c=3,a+c>b—c不成

立，A选项错误；

a>b,c2>0,则有〃/之儿2,gp^-^c^O,B选项正确；

a>b,当c<0时，反不成立，C选项错误;

2

当°2=0时，」c—=0,则D选项错误.

a-b

故选：B

例3.(2023•江西・统考模拟预测)已知观5。>1唱6,则下列不等式一定成立的是()

A.4a<y/bB.Iog5(a-Z?)>0

C.5a~b>1D.ac>be

【答案】C

【解析】由logs。>logs"可知a>b>0,所以而>扬，所以A错误；

因为"6>0,但无法判定与1的大小，所以B错误；

当cWO时，ac<bc,故D错误；

因为。-6>0,所以5~>5°=1,故C正确.

故选：C.

变式1.(2023•全国•高三专题练习)两两不同的尤-尤2,毛，%，%，为满足：

%%=9+%=退+%且满足为<%<%，工<%，为%+W为=2%%>°.则下列一定

成立的是()

A.\+x3>2X2B.占+无3<2X2C.xtx3>D.x1x3<xf

【答案】A

【解析】方法1：设条件①:%+%=无2+%=无3+%，

②：xl<yl,x2<y2,x3<y3,

③XM+W%=2x2y2>0,

由题设x1+y1=x2+y2=x3+y3=k,

并令f(^x)=x[k-x)=-x1-\-kx,

则占%=%((一期)=/(%),

同理,工3%=『(W)，

条件③转化为'叫“』)=/(%),

考虑到函数/'(x)为开口向下的二次函数，如图所示：

它在定义域内整体为上凸函数,

因此）（占）；/口3）=/（/）.

由条件①可得，x,.<^1>=|（z=l,2,3）,

且函数/a）在'”，■!）上单调递增，

因此/（%2）<兀2<"1,

即2X2<玉+工3恒成立,

故选：A.

方法2：由题设石+X=%2+%=*3+%=9,并令X]=1,%2=2,%3=4,

则X=8,%=7,必=5,满足条件，

则选项A,B,玉+F>2%=1+4>2X2,故A正确，B不正确；

此时用W>考=1x4=22,故C,D均不正确，

故选：A.

变式2.（2023•湖北武汉・统考模拟预测）下列不等式正确的是（）

A.若ac?N雨,则a

B.若£〉，，则〃</?

ab

C.若a+b>0,c-b>0,则Q>C

,a+ma

D.右〃>0,b>0,m>0,且〃</?,则---->—

b+mb

【答案】D

【解析】对于A,当c=0,a=-l,0=2时满足aH之人/,但〃〈匕，所以A错误;

对于B,当。=一1,〃=一2,人=一3时，满足£〉，，但所以B错误;

ab

3

对于C,由不等式的基本性质易知a+c>0,当1=-1b=一,c=2时满足a+b>0,

2

c—Z?>0,但a<c,所以C错误;

a+maa+m)b-a(b+m)(b-a)m0LLAI〃+机a,,__

对于D,所以^——>：,故D正确.

b+mb[b+m)b[b+m)bb+mb

故选：D.

变式3.（2023•北京朝阳•统考一模）若a〉0>b,贝U（）

33问〉网1<1

A.a>bB.C.a<bD.ln(tz-Z?)>0

【答案】A

33

【解析】a>O>bf:.a>0,b<0,即/>/,故A正确；

取〃=11=-2,则同>同不成立，故B错误；

取。=1/=-2,则上<4不成立，故C错误；

ab

^.a=—,b=――,则ln（a-〃）=Ini=0,故D错误.

故选：A

命题方向二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式

【通性通解总结】

比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利

用函数的单调性.

比较法又分为作差比较法和作商比较法.

作差法比较大小的步骤是：

（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论.

作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：

（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论.

其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利

于。或1比较大小.

作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，

且是事或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是：

bbb

若a>0,b>0,则一>10>Q;—<1b<a；—=1<^>b=a

aaa

bbb

若a<0,b<0,则一>l=b<a；一=；—=\<=>b=a

aaa

例4.（2023・全国•高三专题练习）若0<〃<反。+6=1,则将〃也，2HM2十〃从小到大排列

为.

【答案】ci<lab<—<a2+b2<b

2

19

【解析】0<a<b,a+b=lf不妨令〃=

则有2M=§4,片+。2=§5,

.,.有b>+/>j_>2ab>a,

即a<lab<—<a2+b2<b.

2

故答案为：a<2ab<—<a~+b~<b.

2

例5.(2023・全国二专题练习)设/_=a+2Z?,s=a+b2+1>则s与/'的大小关系是

【答案】s>t

【解析】s-t=a+b2+l-(a+2b)=b2-2b+l=(b-iy>0,

:.s>t.

故答案为：s>t.

例6.(2023•全国•高三专题练习)已知M=炉-3x,N=-3x?+x-3,则M,N的大小关系

是.

【答案】M>N

【解析】因为加=尤2-3尤，'=-3/+彳-3

所以加_"二#_3尤卜(_3彳2+犬—3)=4工2_4*+3=41_£|+2>0

所以M>N.

故答案为：M>N.

变式4.(2023•全国•高三专题练习)若。=野，6=?，贝I。/填或

【答案】V

【解析】易知。，b都是正数，-=—=^4=—=log89>l,所以

a3In2ln23In8

故答案为：v

hn

变式5.(2023•高三课时练习)(1)已知〃>b>0,cVdVO,求证：——<--；

a-cb-d

(2)设X,yeR,比较一/丫与xy(x-y)2的大小.

【解析】(1)由〃>。>0,cVdVO,得一c>—d>0,a—c>b—d>0,从而得

0<^—.

a—cb-d

又a>b>0,所以上〈二.

a-cb-d

(2)因为(犬2一>2『一孙(x-y)2=犬+；/一工3>-盯3=x3(x-y)+y3(〉-x)

=(x-y)(x3-/)=(x-y)2(x2+x^+y2)=(x-y)2(X+会］+|/20,当且仅当x=y时等

号成立，

所以当x=y时，(x2-y2)2=xy(x-y)2；

当时，(f_y2)2>盯(1_,)2.

变式6.(2023•全国•高三专题练习)(1)试比较(x+l)(x+5)与(％+3『的大小;

(2)已知求证：ab>0.

ab

【解析】(1)由题意，(%+1)(%+5)—(X+3)2

—X2+6x+5—x2—6%—9——4<0,

所以(％+1)(X+5)<(X+3)2.

(2)证明：因为上<1，所以,一;<0,即”<。，

ababab

而a>〃，所以b—4<0,贝!得证.

命题方向三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围

【通性通解总结】

在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每

个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系.

例7.(2023•全国•高三专题练习)已知TVo-cW-l,-l<4a-c<5,9a-c的取值范围

是_______________

【答案】[一1,20]

【解析】设9a-c=m(a-c)+〃(4o-c),即9a-c=(〃7+4〃)a-(〃z+〃)c,

5

m=-

m+477=93

解得。

m+n=l

58

9Q—c———^u-c)+1(4q—c),

55/、20…

VM<^-c<-l,——(a—c)W—①，

33V73

QQA(\

V-l<4a-c<5,A-|<|(4<7-C)<—(2),

①+②，得—149a—cW20,即9〃一。的取值范围[—1,20].

故答案为：[-1,20].

例8.(2023・四川成都・高三成都七中校考阶段练习)若实数x、y满足-iWx+yWl,

l<x+2y<3,则尤+3y的取值范围是.

【答案】[1,7]

\m+n=l\m=—V.

【解析】设％+3y=Mx+y)+〃(x+2y),则1々解得1。所以

m+2n=3\n=2

x+3y=—(x+y)+2(x+2加由情+2,3得｛2融(x+2y)6所以2(…+2(x+2y)7,

即1瓢+3y7.

故x+3y的取值范围是[1,7].

故答案为：[L7].

例9.(2023•上海•高三专题练习)X—y<0,x+y—l>0,贝ljz=%+2y的最小值是

3

【答案】1/1.5

I+〃=]

【解析】设x+2y=〃z(x+y)+”(x—y)=(m+“)x+(m—")y,贝时,解得

[m—n=2

[3

m=—

,2

1，

n=----

[2

313

所以，z=x+2y=-(x+y)--(x-y)>-)

3

因此，z=x+2y的最小值是].

3

故答案为：

变式7.(2023・全国•高三专题练习)已知实数x、y满足-2<x+2y<3,-2<2x-y<0,

则3x-4y的取值范围为.

【答案】[-7,2]

fm+2n=3(m=-l

【解析】设力—4、=皿尤+2丁)+〃(2元一〉)，贝叶,，解得c，

\2m—n=-^[〃=2

所以3x-4y=-(x+2y)+2(2x-y),

因为—2Vx+2yV3,-2<2.x-y<0,

所以一34一(尤+2y)V2,-4<2(2x-y)<0,

所以-7W3x-4y<2,

故答案为：[-7,2].

变式8.(2023・全国•高三专题练习)已知有理数a,b,c,满足a>b>c,且a+6+c=0,

那么反的取值范围是

a

【答案】-2<-<4

a2

【解析】由于a>Z?>c,且a+Z?+c=0,

以a>0,cvO,b——Q—c,—a—c<a,2Q>—c,—>—2,

a

—a—c>c,—a>2c,一<—,

a2

c1

所以—2<上<一上.

a2

c1

故答案为：-2<-<-4

a2

变式9.（2023•全国•高三专题练习）已知0<a<Q,]<兀，贝!J2a-g的取值范围是

715兀

【答案】

jr

【解析】因为。<二<大，所以0<2。<兀,

2

因为（兀，所以一/<一，<一?

2336

所以4<2"§<去

715兀

故答案为:

3,~6

变式10.（2023・全国•高三专题练习）已知-2vav3,2<&<3,则/的取值范围为

b

3

【答案】（—1,：）

【解析】因为2<〃<3,所以:<?<!，因为—2<a<3,

3b2

当一2vav0时，Ov—a<2,所以0<----<1,所以—1<—<0；