人教版九年级数学上册专项复习：点到圆的距离最值问题（解析版）

专题20点到圆的距离最值问题

1.如图，己知空间站A与星球2距离为m信号飞船C在星球8附近沿圆形轨道行驶，B,C之间

的距离为6.数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最大值是（）

A.aB.bC.a+bD.a-b

【答案】C

【分析】根据：三角形的任意两边的长度之和大于第三边，可得：只有空间站A与星球8、飞船C

在同一直线上时，S取到最大值，据此求解即可.

【详解】解：空间站A与星球8、飞船C在同一直线上时，S取到最大值a+b.

故选：C.

【点睛】此题主要考查了两点间的距离的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的

任意两边的长度之和大于第三边.

2.如图，四边形ABCD为矩形，AB=3,3C=4.点P是线段BC上一动点，点M为线段相上一

点.ZADM=ZBAP,则的最小值为（）

C.>/13——D.—2

【答案】D

【分析】证明NAM£>=90°,得出点M在。点为圆心，以AO为半径的圆上，从而计算出答案.

【详解】设AD的中点为。，以。点为圆心，A。为半径画圆

•••四边形ABCD为矩形

/.ZBAP+ZMAD=90°

ZADM=ZBAP

：.ZMAD+ZADM=90°

：.ZAMD=9Qi

.•.点M在。点为圆心，以49为半径的圆上

连接。8交圆。与点N

•••点2为圆。外一点

当直线过圆心。时，最短

■/BO2=AB2+AO2,A0=IAD=2

2

BO2=9+4=13

/.BO=^13

'：BN=BO-AO=^fL3-2

故选：D.

【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识.

3.如图，函数y=-/+12的图象与x轴交于A,8两点，点C是以"(0,2)为圆心，2为半径的圆

上的动点，尸是AC的中点，连结。尸，则线段OP的最小值是()

y

A.1B.V3C.2D.77

【答案】A

【分析】连接BC、BM、CM,根据题意得OA=O8=26,然后由三角形的中位线定理，可得到

OP=^BC,从而当BC最小时，0P最小，又由得到当8、C、M三点共线时,

BC=BM-MC,即可求解.

【详解】解：如图，连接8C、BM、CM,

令y=0,则-由+12=0,

解得：X=±2A/3,

:函数>=-/+12的图象与X轴交于A,8两点,

A（-2V3,0）,B（2瓜0）,

/.OA=OB=2>/3,

•.•尸是AC的中点，

OP^-BC,

2

...当BC最小时，OP最小，

VBC+MC>BM,

：.BC>BM-MC,即当2、C、M三点共线时，BC=BM-MC,

*/BM=y/OB2+OM2=+2。=4,MC=2,

.•.BC的最小值为4-2=2,

；.OP的最小值为1.

故选:A

【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，圆的基本性质，线段最小值的问题，熟练掌握二次

函数的性质是解题的关键.

4.如图，"BC中，AB=AC,3c=24,AOJ_8C于点。，AD=5,P是半径为3的A上一动点，连

结PC,若E是PC的中点，连结DE,则。E长的最大值为()

BDC

A.8B.8.5C.9D.9.5

【答案】A

【分析】连接8P,根据三角形中位线定理可得=从而得到当最大时，DE最大,再

由当P8过圆心A时，尸8最大，即可求解.

【详解】解:如图，连接2尸，

BDC

'：AB=AC,BC=24,AO_LBC于点O,

：.BD=CD=12,

是PC的中点，

DE^-BP,

2

...当2尸最大时，最大，

：P是半径为3的「A上一动点，

.•.当过圆心A时，PB最大,此时P、4、8三点共线，

'：AD=5,BD=12,

：.AB=i3,

.•.尸2的最大值为13+3=16,

.•.DE的最大值为8.

故选：A

【点睛】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线定理，明确

当PB取最大值时，OE的长最大是解题的关键.

5.Q是半径为3的。0上一点，点P与圆心0的距离0P=5,则PQ长的最小值是.

【答案】2

【分析】根据点与圆的位置关系即可得到结论.

【详解】解：：Q是半径为3的。。上一点，点P与圆心0的距离0P=5,

根据三角形的三边关系，PQ>OP-OQ（注：当O、P、Q共线时，取等号）

；.PQ长的最小值=5-3=2,

故答案为：2.

【点睛】此题考查的是点与圆的位置关系，掌握三角形的三边关系求最值是解决此题的关键.

6.在平面直角坐标系xOy中，点P坐标为（2,3）,点。为图形M上一点，则我们将线段尸。长度的

最大值与最小值之间的差定义为点尸视角下图形M的“宽度”.现有二。，。为原点，半径为2,则

点尸视角下。的“宽度''为.

【答案】4

【分析】连接以，PB,连接尸。并延长，交。。于点E,F,利用图形的“宽度”的定义分别求出这

点到图形的长度的最大值与最小值即可得出结论.

【详解】解：连接B4,PB,连接尸。并延长，交。。于点E,F,如图，

则PE,PP为点P到。。的长度的最大值与最小值，

，在点P视角下，。。的“宽度'为PF-PE=EF=4.

故答案为：4.

【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，本题是新定义型题目，熟练运用新定义是解题的关键.

7.如图，在放反42。中，ZACB=90°,AC=4,BC=6,点。是AABC内部的一个动点，且满足NACD=

ZCBD,则的最小值为一.

【答案】2

【分析】首先证明点。在以BC为直径的。。上，连接。1与。。交于点。，此时D4最小，利用勾

股定理求出0A即可解决问题.

【详解】解：：/ACB=90°,

B

：.ZBCD+ZDCA=90°,

•・・ZDBC=ZDCA,

：.ZCBD+ZBCD=90°,

：.ZBDC=90°,

・,•点。在以3。为直径的。。上，连接04交。。于点。，此时。4最小,

在MAC40中，-：ZOCA=90°,AC=4,0C=-BC=3,

2

.•.0732+42=5,

：.DA=OA-OD=5-3=2.

故答案为：2.

【点睛】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点尸位置,

学会求圆外一点到圆的最小、最大距离.

8..如图，在R/AABC中，ZACB=9Q°,AC=5,8C=8,点。是边8C的中点，点E是边A8上的

任意一点（点E不与点2重合），沿。£翻折△■D2E使点B落在点尸处，连接AF则线段AP长的

最小值是.

A

【答案】V41-4##-4+V41

【分析】由翻折的性质可知。8=。区结合。是2c的中点得到。尸=8,进而得到点P在以。

为圆心，以8。为半径的圆上，连接AO交圆于9，此时AF的值最小，求出AF即可求解.

【详解】解：由翻折的性质可知。8=。尸,

。是BC的中点，

:.DB=DF=CD,

点尸在以。为圆心，以80为半径的圆上，连接AO交圆于F，此时Ak的值最小.

AC=5,BC=8,ZACB=90°,

:.CD=-BC=-x8=4,

22

AD=^AC2+CD2=A/52+42=V41,

AF'=AD-DF'=AD-CD=44l-4.

故答案为：741-4.

【点睛】本题主要考查图形的翻折变换，勾股定理等知识，构造圆找到AF最小时的位置是解题的

关键.

9.如图，矩形A8CZ）中，AB=4,AD=6,动点E在矩形的边48上运动，连接DE,作点A关于OE

的对称点尸，连接3P,则3尸的最小值为.

【答案】2A/B-6##-6+2713

【分析】根据对称的性质可得尸在以。为圆心的圆上，半径为6,连接2。，交圆。于P,然后根

据勾股定理可得问题的答案.

【详解】解：：点A关于。石的对称点尸，

：.DA=DP=6,

在以。为圆心的圆上，半径为6的一段弧上，连接8。，交圆。于产,

AD

...BP为最小值,

"：AB=4,AD=6,ZDAB=90°,

•*,BD=-y/42+62=2>/13，

;半径为6,即。P=6,

：.BP'=2y/13-6.

故答案为：2屈6

【点睛】本题考查的是圆的基本性质，矩形的性质，轴对称的性质，掌握相应性质是解决此题关键.

10.已知点。及其外一点C,OC=5,点A、8分别是平面内的动点，且OA=4,BC=3,在平面

内画出点A、8的运动轨迹如图所示，则长的最大值为,长的最小值为,AC长的

最大值为一，AC长的最小值为—，长的最大值为—，长的最小值为一.

【答案】829120

【分析】根据点与圆的位置关系进行解答即可.

【详解】解：O,C,B位于一条直线上时,

当点C在点8左侧时，0B最大,最大值为:OC+BC=8,

当点C在点5右侧时，OB最小,最小值为:OC-BC=2,

Q,C,A位于一条直线上时,

当点A在点。左侧时，AC最大，最大值为:OC+OA=9,

当点A在点。右侧时，AC最小，最小值为:OC-OA=1,

在一条直线上时，且A位于。点左侧，8点位于C点右侧,

此时，4B最大，最大值位：AO+OC+CB=12,

当点A3重合时，A3最小，最小值为：0,

故答案为：8,2,9,1,12,0.

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，根据题意得出相应的位置是解本题的关键.

11.已知，在正方形ABCD中，AB=4,点E在边AB上，且BE=1,以点B为圆心，BE长为半

径画。B,点P在。B上移动，连接AP.

(1)如图①，在点P移动过程中，AP长度的最小值是.

(2)如图②，将AP绕点A逆时针旋转90。至AP，连接BP，，在点P移动过程中，Bp长度的最

小值是.

D\--------------------|C»D，------------------,C

图①图②

【答案】3472-1

【分析】(1)当点P在线段AB上时，AP的长度有最小值，即可求解；

(2)由“SAS”可证APAB也APAD,可得PD=PB=1,点P的运动路线为以D为圆心，以1为

半径的圆上，则当P'在对角线BD上时，BP最小，再利用勾股定理求对角线BD的长，则得出

BP的长.

【详解】解：(1)••,点P在。B上移动，

当点P在线段AB上时，AP的长度有最小值，

最小值=AB-PB=4-1=3,

故答案为：3.

(2)如图，连接BP,

P'

A'、，

P

由旋转得：AP=AP，/PAP=90。,

.\ZPAB+ZBAP,=90°,

四边形ABCD为正方形，

；.AB=AD,ZBAD=90°,

/BAP'+NDAP'=90°,

ZPAB=ZDAP,,

在ZkpAD和APAB中，

AD=AB

<ZPAB=ZDAP'

AP=AP

...△P'AD^APAB(SAS),

PD=PB=1,

...点P在以点D为圆心，DP为半径的圆上，

...当P，在对角线BD上时，BP最小，

在RtAABD中，VAB=AD=4,

BD=VAS2+AD2=716+16=40，

：.BP'=BD-PD=4万-b

即BP长度的最小值为4应-1.

故答案为：4A5_1.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，圆的性质，全等三角形的判定及性质,解题的关键是找出

线段的最小值1.

12.如图，平面直角坐标系X0V中，点A的坐标是(-3,4),点8是：A上一点，A的半径为2,连

接。8,则线段OB的最小值为.

【答案】3.

［分析］由图可知，线段OA与圆的交点为B时，OB值最小，过点A作AE，y轴，过点B作3尸，〉

轴，根据勾股定理求出OA,即可得到结果；

【详解】由图可知，线段0A与圆的交点为B时，0B值最小，过点A作轴，过点B作2厂，，

轴,

•..点A的坐标是（一3,4）,

：.AE=3,OE=4,

•-0A=^AE2+OE1=J32+4"=5,

又•••半径为2,

0B=5—2=3.

故答案是3.

【点睛】本题主要考查了圆的性质和勾股定理，准确计算是解题的关键.

13.已知P为。。外的一点，尸到0。上的点的最大距离为6,最小距离为2.若为。。内一条

长为1的弦，则点尸到的距离的最大值为,最小值为.

【答案】4+巫0

2

【分析】根据圆外的点到圆上的点的距离性质，以及勾股定理公式，可得所求.

【详解】解:如图，

由题意设直线。尸交0O于C,D,则PO=6,PC=2,CD=4,

当线段A3,线段CD于X时，点尸到A2的距离最大,、

在RtzvlOH中，V（?A=2,AH=^,

，OH=

.••加4+.,

点P到AB的最大距离为4+巫,

2

当A、B、尸在同一直线上时，点尸到AB的距离最小，最小值为0,

【点睛】本题考查圆外的点到圆上的点的距离性质，以及勾股定理公式.

14.如图，正方形A8C。的边长为2,动点E,尸分别从。，C两点同时出发，以相同的速度在边

DC,上向各自终点C,2移动，连接AE和交于点P,则线段CP的最小值是.

【答案】V5-l##-l+V5

【分析】证明得到推出N£)PE=90。，贝!]NAP£)=90°,故点尸在以

A。为直径的圆上运动，取AO中点G,连接CG,交圆G(直径为A8)于点P,则此时CP最小,

据此求解即可.

【详解】解：•••动点E,尸分别从。，C两点同时出发，以相同的速度在边。C,CB上向各自终点

C,8移动，

:・DE=CF,

•・,四边形ABC。是正方形，

AZADE=ZDCF=90°fAD=DCf

.MADE学ADCF(SAS),

・・・ZDAE=ZCDFf

ZDAE+ZDEA=90°,

：.ZPED+ZPDE=90°,

：.NDPE=90°,

：.ZAPD=90°,

...点P在以AQ为直径的圆上运动，

取A。中点G,连接CG,交圆G（直径为AB）于点尸，则此时CP最小,

V四边形ABCD是边长为2的正方形，

/.DG=-AD=l,CD=2,ZADC=90°,

2

•*-CG=VCD2+DG2=A/5，

/.CP=CG-GP=^5-\,

，CP的最小值为有_1,

故答案为：75-1.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，圆外一点到圆上一

点的距离的最值问题，正确得到点P在以为直径的圆上运动是解题的关键.

15.如图，A（2,0）、3（6,0）,以A3为直径作射线。尸交M于E、下两点，C为弧A3的

中点，。为E尸的中点.当射线O尸绕。点旋转时，8的最小值为

【答案】2忘-2##-2+20

【分析】连接如图，利用垂径定理得到则/O£）M=90。，再根据勾股定理得到点。

在以A点为圆心，2为半径的圆上，利用点与圆的位置关系可判断当。点为C4与。A的交点时，

CD的值最小，此时CD=AC-2=2V2-2.

【详解】解：连接如图,

C是A8的中点，

:.CM±AM

:.AM=CM=-AB=2,AC=2>f2

2

•.•。为跖的中点，

J.MDLEF,

：.ZODM=90°,

又，A(2,0),3(6,0),即AB=4,

...点D在以A点为圆心，2为半径的圆，

当。点为CA与。A的交点时，CD的值最小，

止匕时CD=AC-2=2正-2.

即CD的最小值为2&-2.

故答案为：2&-2.

【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧

所对的圆心角的一半.推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.也

考查了垂径定理和勾股定理.

16.如图，抛物线y=与无轴交于A,B两点，点尸是以点C(0,4)为圆心，1为半径的圆

上的动点，点。是线段尸8的中点，连接O。，则线段。。的最小值是.

y

\W-

A\o~/Bx

【答案】2

【分析】连接AP，先解方程$2-3=0得A(-3,0),3(3,0),再判断。。为&RP的中位线得到

OQ=^AP,利用点与圆的位置关系，连接AC交圆于尸时，B4最小，然后计算出AP的最小值即

可得到线段。。的最小值.

【详解】解：连接AP.

当y=0时，-X2-3=0

3

解得再=3,x2=-3

则A(—3,0),3(3,0)

是线段PB的中点.

二。。为/MBP的中位线.

OQ=^AP.

当AP最小时，最小.

连接AC交圆于尸时，B4最小.

；AC=7(M2+(9C2=A/32+42=5-

的最小值：AP=AC—PC=5—1=4.

线段0。的最小值：。。=(4尸=2.

故答案为2.

【点睛】本题考查了中位线、二次函数与圆的综合题，解题的关键在于连接圆心C所得的AP最小.

17.RtAABC,AB=AC=6,点。在斜边上，尸为平面内一动点，且满足口=3,则尸。的最小值

是.

【答案】372-3.

【分析】根据等腰直角三角形的性质得到斜边BC=6应，由已知条件得到点尸在以A为圆心，PA

为半径的圆上，当点尸在斜边2c的中线上时，P。的值最小，于是得到结论.

【详解】解：：直角三角形ABC,AB=AC=6,

斜边BC=6后，

:点P为该平面内一动点，且满足以=3,

.,.点P在以A为圆心，B4为半径的圆上，

当点P在斜边BC的中线上时，尸。的值最小，

「△ABC是直角三角形，AB=AC=6,BQ=CQ,

：.AQ=^BC=3y/2,

'：PA=3,

：.PQ=AQ-AP=3y/2-3,

故答案为：3^2-3-

【点睛】本题考查了等腰直角三角形，最短路线问题，圆的基本性质，正确的作出图形是解题的关

键.

18.如图，在直角坐标系中，A点坐标为(T,-3),A的半径为1,点p坐标为(2,0),点M是:A

上一动点，则尸M+的最小值为_.

【答案】3君

【分析】由点M是CA上一动点，当A,M,P三点共线时，即+有最小值，连接AP交

于点过点A作无于点E,利用勾股定理求解外即可解答.

【详解】解：点M是A上一动点，当A,M,P三点共线时，PM+AM有最小值，

;.AE=3,EP=OE+OP=4+2=6,

AP=dAE。+EP，=732+62=3A/5-

:.PM+AM的最小值为3亚.

故答案为：3下.

【点睛】本题考查求一点与圆上点距离的最值、两点之间线段最短、坐标与图形、勾股定理，会利

用两点之间线段最短解决最值问题是解答的关键.

19.在平面直角坐标系中，点C（2,2）,圆C与x轴相切于点A,过A作一条直线与圆交于A,8两

点，AB中点为M,则的最大值为.

【答案】V5+l##l+75

【分析】连接CM、CA,取AC的中点。，以AC为直径作0D,如图，则点M在。。上，连接。。

并延长，当点M在。。的延长线与。。的交点处（图中的点M1处）时，0M的值会最大，根据圆周

角定理和切线的性质得出AC=2,0A=2,则AO=/AC=1,DM'=^AC=\,利用勾股定理求出02

由OM=OZ）+OAf即可求解.

【详解】解:连接CM、CA,

0C与x轴相切于点A,C（2,2）,

；.AC_Lx轴，AC=2,04=2,

为弦A8的中点，

：.CM±AB,

：.ZAMC=90°,

取AC的中点。，以AC为直径作。。，如图，则点〃在。。上，

连接。。并延长，当点M在的延长线与0。的交点处（图中的点M处）时，的值会最大,

在中，AD=~AC=\,OA=2,

•-0D=yj+AD2=V22+12=A/5,

V£）Af=|AC=l,

/.OM=OD+DM=75+1,即。Af的最大值为亚+1

故答案为：\/5+1

【点睛】本题主要考查了坐标与图形，一点到圆上一点的距离得到最小值，两点距离公式，三角形

中位线定理，把求出的最小值转换成求2D的最小值是解题的关键.

20.如图，菱形ABC。中，ZA=60°,AB=3,OA,