沪科版八年级数学 12.2 一次函数（学习、上课课件）

12.2一次函数第12章一次函数逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2一次函数的定义正比例函数的图象正比例函数的性质一次函数的图象一次函数的性质用待定系数法确定一次函数表达式建立一次函数模型解实际应用题一次函数与一元一次方程一次函数与一元一次不等式知识点一次函数的定义知1－讲11.

一次函数一般地，形如y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数.知1－讲技巧点拨判断函数是否为一次函数的方法：先看函数表达式是否是整式的形式，再将函数表达式进行恒等变形，然后看它是否符合一次函数表达式y＝kx＋b的结构特征：(1)k≠0；(2)变量x的次数为1；(3)常数项b可以为任意实数.知1－讲2.

正比例函数形如y＝kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数.知1－讲特别提醒：(1)正比例函数y＝kx(k

≠0)是一次函数y＝kx＋b(k

≠0)中b＝0的特例，即正比例函数都是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.(2)若已知y与x成正比例，则可设函数表达式为y＝kx(k

≠0)；若已知y是x的一次函数，则可设函数表达式为y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0).知1－练例1

解题秘方：紧扣一次函数和正比例函数的结构特征进行识别.知1－练

知1－练

知1－练

C知1－练1-2.下列变量之间的关系中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是(

)A.正方形的面积S随边长x的变化而变化B.面积为20的三角形一边上的高h随着该边的边长a的变化而变化C.正方形的周长C随着边长x的变化而变化D.水箱以0.5L/min的流量往外放水，水箱中的剩水量V(单位：L)随着放水时间t(单位：min)的变化而变化C知1－练已知y＝(m＋1)x2－|m|＋n＋4.(1)当m，n为何值时，y是x的一次函数？并写出函数表达式.(2)当m，n为何值时，y是x的正比例函数？并写出函数表达式.解题秘方：紧扣一次函数和正比例函数的定义进行求解.例2知1－练解：由题意知2－|m|＝1，m＋1≠0，解得m＝1.故当m＝1，n为任意实数时，y是x的一次函数，函数表达式为y＝2x＋n＋4.(1)当m，n为何值时，y是x的一次函数？并写出函数表达式.知1－练解：由题意知2－|m|＝1，m＋1≠0，n＋4＝

0，解得m＝1，n＝－4.故当m＝1，n＝－4时，y是x的正比例函数，函数表达式为y＝2x.(2)当m，n为何值时，y是x的正比例函数？并写出函数表达式.知1－练2-1.[月考·芜湖]若函数y＝－7x＋m－2是正比例函数，则m的值为(

)A.0

B.1C.－2

D.2D知1－练2-2.已知函数y＝(m＋2)x3－|m|＋m－5是关于x的一次函数，则x为何值时，y的值为2？知2－讲知识点正比例函数的图象21.正比例函数的图象一般地，正比例函数y＝kx(k是常数，且k≠0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y＝kx.注意：有些正比例函数图象因其自变量取值范围的限制，并不一定都是一条直线，可能是一条射线或一条线段或一些点.知2－讲2.

正比例函数图象的画法因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数y＝kx(k

≠0)的图象.一般地，过原点和点(1，k)的直线，即为正比例函数y＝kx(k

≠0)的图象.知2－讲特别提醒正比例函数y＝kx(k

≠0)中，|k|越大，直线与x轴相交所成的锐角越大，直线越陡；|k|越小，直线与x轴相交所成的锐角越小，直线越缓.知2－练在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝5x与y＝x的图象.解题秘方：按“两点法：(0，0)和(1，k)”作图.例3知2－练解：列表：x01y＝5x05y＝x01描点、连线，如图12.2-1所示.知2－练

知2－练解：(1)当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝4，描点、连线，如图所示．(2)当x＝0时，y＝0；当x＝3时，y＝2，描点、连线，如图所示．(3)当x＝0时，y＝0；当x＝3时，y＝－2，描点、连线，如图所示．知3－讲知识点正比例函数的性质3正比例函数y＝kx(k

≠0)的性质如下表k>0k<0图象知3－讲续表：k>0k<0图象形状过原点，从左向右是上升的直线(↗)过原点，从左向右是下降的直线(↘)经过的象限第一、三象限第二、四象限增减性y随x的增大而增大y随x的增大而减小知3－讲特别提醒对于正比例函数y＝kx(k

≠0)，k的符号、图象所经过的象限、函数的增减性这三者，知一得二，即知3－练已知函数y＝3x的图象经过点A(－1，y1)，点B(－2，y2)，则y1______y2(填“>”“<”或“＝”).例4>知3－练解：方法一：把点A，B的坐标分别代入y＝3x，当x＝－1时，y1＝3×(－1)＝－3；当x＝－2时，y2＝3×(－2)＝－6.因为－3>－

6，所以y1>y

2.知3－练方法二：画出正比例函数y＝3x的图象，在函数图象上标出点A，点B，如图12.2-2，观察图象，因为y1在y2的上方，所以y1>y2

.知3－练方法三：根据正比例函数的增减性来比较函数值的大小.根据正比例函数的性质，当k>0时，y随x的增大而增大，因为－1>－2，所以y1>y2

.知3－练方法点拨：正比例函数中比较函数值大小的方法：①求值比较法；②数形结合思想，用“形”上的点的位置来比较“数”的大小；③利用函数的增减性来比较大小.知3－练4-1.写出一个y随x的增大而减小的正比例函数的表达式：____________________.4-2.正比例函数y＝(1－k)x的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1<x2时，y1>y2，则k的取值范围是_______.y＝－2x(答案不唯一)k＞1知4－讲知识点一次函数的图象41.

一次函数的图象一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，且k≠0)的图象是一条直线，我们称它为直线y＝kx＋b.知4－讲

知4－讲拓展在同一平面直角坐称系中，两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2(k1k2

≠0)的位置关系与k1，k2，b1，b2有关.(1)当k1≠k2，b1，b2为任意值时，两直线相交；(2)当k1＝k2，b1≠b2时，两直线平行；(3)当k1＝k2，且b1＝b2时，两直线重合.知4－讲3.截距直线y＝kx＋b与y轴相交于点(0，b)，b叫做直线y＝kx＋b在y轴上的截距，简称截距，如图12.2-3所示.特别提醒截距不是距离，不一定是非负数，也可以是负数.知4－讲4.

一次函数的图象与正比例函数的图象的关系一次函数y＝kx＋b(k

≠0)的图象可以由直线y＝kx(k

≠0)沿y轴向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位而得到.特别警示：“上加下减(只改变b)，左加右减(只改变x)”这种平移规律，是函数表达式的变化规律，不要将其与点的平移与坐标的变化规律相混淆，点的平移与坐标的变化规律是：上加下减，左减右加.知4－讲巧记一次函数的图象分布知4－练在同一平面直角坐标系中，作出下列函数的图象：(1)y1＝2x－1；(2)y2＝2x；(3)y3＝2x＋2.然后观察图象，你能得到什么结论？例5解题秘方：按“两点法”的作图步骤作图.解：列表如下：知4－练x00.5y1－10x01y202x0－1y320描点、连线，即可得到它们的图象，如图12.2-4.从图象中我们可以看出：它们是一组互相平行的直线，原因是这组函数的表达式中k的值都是2.结论：一次函数中的k值相等(b值不相等)时，其图象是一组互相平行的直线.它们可以通过互相平移得到.知4－练知4－练5-1.在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x－3的图象是(

)D知4－练在平面直角坐标系中，将直线l1：y＝－3x－2向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到直线l2，则直线l2的表达式为()A.y＝－3x－9 B.y＝－3x－2C.y＝－3x＋2 D.y＝－3x＋9解题秘方：紧扣“平移规律：上加下减、左加右减”进行求解.例6答案：B知4－练解：先将直线y＝－3x－2向左平移1个单位得到直线y＝－3(x＋1)－2，即y＝－3x－5，再将直线y＝－3x－5向上平移3个单位得到直线y=－3x－5＋3，即y＝－3x－2.注：上述两次平移可合写为y＝－3(x＋1)－2＋3，即y＝－3x－2.知4－练6-1.将一次函数y＝2x＋4的图象向右平移m个单位，所得新一次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，则m的值不可能为(

)A.1

B.3

C.5

D.7A知5－讲知识点一次函数的性质5一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，且k≠0)的性质和k，b的符号的关系一次函数y＝kx＋b(k≠0)k，b的符号k>0k<0b>0b<0b＝0b>0b<0b＝0知5－讲续表：图象的位置增减性y随x的增大而增大y随x的增大而减小与y轴交点的位置正半轴负半轴原点正半轴负半轴原点知5－讲特别提醒1.由k，b的符号可以确定直线y＝kx＋b(k，b是常数，且k≠0)所经过的象限；反之，由直线y＝kx＋b(k，b是常数，且k≠0)所经过的象限也可以确定k，b的符号.2.k决定一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，且k≠0)的增减性，b决定函数图象与y轴的交点位置.知5－练

例7解题秘方：紧扣函数的增减性求解.知5－练

答案：A知5－练7-1.[期末·安庆]已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线y＝(－m＋1)x＋2上相异的两点，若(x1－x2)(y1－y2)<0，则m的取值范围是________.m＞1知5－练一次函数y＝(k－3)x＋2的函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围是()A.k>0 B.k<0 C.k>3 D.k<3解题秘方：紧扣一次函数的性质列不等式求解.例8解：因为y＝(k－3)x＋2是一次函数且函数值y随x的增大而减小，所以k－3<0.所以k<3.D知5－练8-1.关于x的一次函数y＝(2a＋1)x＋a－2，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在原点下方，则实数a的取值范围是________.知6－讲知识点用待定系数法确定一次函数表达式61.

待定系数法先设出待求的函数表达式，再根据条件确定表达式中未知的系数，从而得出函数表达式的方法，叫做待定系数法.知6－讲2.

用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤(1)设：设出含有待定系数的函数表达式；(2)代：把已知条件中的自变量与函数的对应值代入函数表达式，列出关于待定系数的方程(组)；(3)解：解方程(组)，求出待定的系数；(4)回代：将求得的待定系数的值代回所设的表达式.知6－讲上面的步骤可表示如下：知6－讲特别提醒1.用待定系数法求函数表达式时，要先判断函数是哪一类函数，然后才能设出所求函数的表达式.2.在正比例函数y＝kx中，只有一个待定系数k，只需要一个除(0，0)外的条件即可求出k的值；在一次函数y＝kx＋b中，有两个待定系数k，b，因而需要两个条件才能求出k和b的值.知6－练在平面直角坐标系内有三点A(－1，4)，B(－3，2)，C(0，6).(1)求过其中两点的直线的表达式(选一种情形作答)；(2)判断A，B，C三点是否在同一直线上，并说明理由.例9解题秘方：紧扣用待定系数法求函数表达式的步骤求解.知6－练

(1)求过其中两点的直线的表达式(选一种情形作答)；知6－练解：当x＝0时，y＝0＋5≠6，所以点C(0，6)不在直线AB上，即A，B，C三点不在同一条直线上．(2)判断A，B，C三点是否在同一直线上，并说明理由.知6－练9-1.[期末·淮南]已知y是关于x的一次函数，且当x＝－4时，y＝3；当x＝2时，y＝0.(1)求一次函数的表达式；知6－练(2)当y＝－3时，求自变量x的值.知7－讲知识点建立一次函数模型解实际应用题71.

分段函数在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数.知7－讲2.利用一次函数解决实际问题，关键是找到题目中的两个变量之间的数量关系，把实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用一次函数的相关性质解决实际问题，常见类型如下：知7－讲(1)题目中已知一次函数的表达式，可直接运用一次函数的性质求解；(2)题目中没有给出一次函数的表达式，而是通过语言、表格或图象给出一次函数的情境，这时需要先根据题目给出的信息求出一次函数的表达式，再利用一次函数的性质解决实际问题.知7－讲注意1.分段函数是一个函数；2.分段函数的每一段表达式对应自变量不同的取值范围.知7－讲特别提醒应用一次函数解决实际问题的关键是建立一次函数模型，同时注意实际问题中自变量的取值范围要使实际问题有意义.知7－练电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法.若某户居民每月应交电费y(元)与用电量x(度)的函数图象是一条折线(如图12.2-5所示)，根据图象解下列问题：例10知7－练解题秘方：根据函数图象分段用待定系数法求出函数表达式，在利用函数表达式求函数值或自变量的值时，要正确选择函数表达式.知7－练

(1)分别求出当0≤x≤100和x>100时，y与x之间的函数关系式.知7－练解：当x＝72时，y＝0.65×72＝46.8，所以应缴费46.8元.(2)若该用户某月用了72度电，则应缴费多少元？知7－练解：因为该用户某月缴费105元，所以该用户该月用电量超过100度.将y＝105代入y＝0.8x－15，得105＝0.8x－15，解得x＝150，所以该用户该月用了150度电.(3)若该用户某月缴费105元，则该用户该月用了多少度电？知7－练10-1.教育部印发《义务教育课程方案和课程标准(2022年版)》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来，为弘扬和传承中华民族的传统文化，强化劳动教育成果，锦江区某中学在端午节前夕，面向全体学生开展了包粽子比赛活动.已知A小组同学包的粽子个数y(个)与所用时间x(分)之间的关系如图所示.知7－练(1)求y与x之间的函数关系式；解：当0≤x≤10时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx，把(10，40)的坐标代入，得40＝10k，解得k＝4，∴y＝4x；当x>10时，设y与x之间的函数关系式为y＝mx＋n，知7－练知7－练(2)若B小组同学每分钟能包6个粽子，什么时候A小组同学包的粽子个数会超过B小组？解：根据题意，B组同学包的粽子个数y(个)与所用时间x(分)的函数表达式为y＝6x，易知当0≤x≤10时，A小组同学包的粽子个数不会超过B小组．所以当A小组同学包的粽子个数超过B小组时，8x－40>6x，解得x>20.所以20分钟后A小组同学包的粽子个数会超过B小组．知7－练为了全面贯彻党的教育方针，使学生成长为德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，在课程标准中，强调要加强体育教育.某中学为了增强学生的体质，准备购买甲、乙两种体育器材共300件，已知某体育用品店中，甲种器材每件20元，乙种器材每件15元，且该店对同时购买两种器材有两种销售方案.(只能选择其中一种)例11知7－练方案一：甲种器材每件打九折，乙种器材每件打六折；方案二：甲、乙两种器材每件均打八折；设购买甲种器材x件，选择方案一所需费用为y1元，选择方案二所需费用为y2元.知7－练解题秘方：根据题意分别求出两种方案的费用，再求出两种方案费用相等的情况，然后分类讨论即可.知7－练(1)请分别写出y1，y2与x之间的函数关系式；解：由题意得y1＝20x×0.9＋15(300－x)×0.6＝9x＋2700，y2＝20x×0.8＋15(300－x)×0.8＝4x＋3600.知7－练(2)请你计算该校选择哪种方案所需费用较少.解：方法一：设选择方案一和方案二所需费用之差为y，则y＝y1－y2＝9x＋2700－(4x＋3600)＝5x－900，画出一次函数y＝5x－900的图象，如图12.2-6，它与x轴的交点为(180，0)，由图可知：知7－练当x＝180时，y＝0，即y1＝y2，两种方案所需费用一样；当180＜x≤300时，y>0，即y1>y2，方案二所需费用较少；当0≤x＜180时，y<0，即y1<y2，方案一所需费用较少.知7－练方法二：当y1＝y2时，9x＋2700＝4x＋3600，解得x＝180；当y1>y2时，9x＋2700>4x＋3600，解得x>180；当y1<y2时，9x＋2700<4x＋3600，解得x<180.因为0≤x≤300，所以当x＝180时，两种方案所需费用一样；当180<x≤300时，方案二所需费用较少；当0≤x<180时，方案一所需费用较少.知7－练11-1.[期末·合肥]学校有3名教师准备带领部分学生(不少于3人)参观野生动物园.经洽谈，门票价格为教师票每张36元，学生票每张18元，且有两种购票优惠方案.方案一：购买一张教师票赠送一张学生票；方案二：按全部师生门票总价的80%付款，只能选用其中一种方案购买.设学生人数为x(人)，师生门票总金额为y(元).知7－练(1)分别求出两种优惠方案中y与x的函数表达式；知7－练(2)请通过计算回答，选择哪种方案购票师生门票总费用较少？知7－练知7－练某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为6400元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为5600元.例12解题秘方：紧扣一次函数的性质，在自变量的取值范围内求最值.知7－练

(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润.知7－练解：根据题意得y＝160x＋240(100－x)，即y＝－80x＋24000.(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍.设购进A型电脑x

台，这100台电脑的销售总利润为y元.①求y关于x的函数关系式.知7－练②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大销售总利润是多少元？知7－练

知7－练12-1.[期末·合肥]爆竹声中一岁除，春风送暖入屠苏.随着春节即将到来，家家户户贴春联，挂灯笼，欢天喜地迎新年.某百货超市计划购进春联和灯笼这两种商品.已知第一次购进3个灯笼和4副春联花费135元，第二次购进9个灯笼和10幅春联花费375元.(1)每个灯笼和每副春联的进价各是多少元？知7－练知7－练(2)由于灯笼和春联畅销，超市决定第三次用不超过6000元的资金购进灯笼和春联这两种商品共300件，其中春联的数量不大于灯笼的数量的2倍，且灯笼和春联的进价保持不变.若每个灯笼的售价为30元，每副春联的售价为25元，在销售中灯笼有3%的损坏，春联有6%的损坏.若第三次购进的灯笼和春联全部售出(损坏的灯笼和春联不能售出)，请问当第三次购进灯笼多少个时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是多少元？知7－练知7－练因为－4.4<0，所以w随x的增大而减小．所以当x＝100时，w有最大值，最大值为－4.4×100＋2550＝2110.所以当第三次购进灯笼100个时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是2110元．知7－练在一条直线上依次有A，B，C三个海岛，某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B岛驶向C岛，执行海巡任务，最终到达C岛，设该海巡船行驶x(h)后，与B岛的距离为y(km)，y与x的函数关系如图12.2-7所示.例13知7－练解题秘方：结合图象信息用待定系数法求函数关系式.知7－练(1)A，C两岛间的距离为______km，a＝______；851.7解：由图12.2-7可知，A，B两岛间的距离为25km，B，C两岛间的距离为60km，所以A，C两岛间的距离为25＋60＝85(km)，海巡船的速度为25÷0.5＝50(km/h).所以a＝85÷50＝1.7.知7－练(2)求y与x的函数关系式，并解释图中点P的坐标所表示的实际意义.

知7－练

知7－练(3)在B岛有一不间断发射信号的信号发射台，发射的信号覆盖半径为15km，则该海巡船能接收到该信号的时间有多长？解：由－50x＋25＝15，解得x＝0.2.由50x－25＝15，解得x＝0.8.0.8－0.2＝0.6(h).所以该海巡船能接收到该信号的时间有0.6h.知7－练13-1.[中考·金华]兄妹俩放学后沿图①中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变，妹妹骑车，到书吧前的速度为200m/min，图②中的图象分别表示两人离学校的路程s(m)与哥哥离开学校的时间t(min)的函数关系.知7－练(1)求哥哥步行的速度.解：由A(8，800)可知哥哥的速度为800÷8＝100(m/min).知7－练(2)已知妹妹比哥哥迟2min到书吧.①求图中a的值.解：因为妹妹骑车到书吧前的速度为200m/min，所以妹妹到书吧所用时间为800÷200＝4(min)．因为妹妹比哥哥迟2min到书吧，所以a＝8＋2－4＝6.知7－练②妹妹在书吧待了10min后回家，速度是哥哥的1.6倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妹俩离家还有多远；若不能，请说明理由.知7－练解：由(1)可知哥哥的速度为100m/min，所以设BC所在直线的表达式为s1＝100t＋b，将点B(17，800)的坐标代入，得800＝100×17＋b，解得

b＝－900.所以BC所在直线的表达式为s1＝100t－900.当s1＝1900时，t＝28.知7－练由题意易知F(20，800)因为回家时妹妹的速度是哥哥的1.6倍，所以妹妹的速度是160m/min.所以设妹妹回家时的表达式为s2＝160t＋d，将点F(20，800)的坐标代入，得800＝160×20＋d，解得d＝－2400，所以s2＝160t－2400.令s1＝s2，则有100t－900＝160t－2400，解得t＝25＜28，知7－练所以妹妹能追上哥哥，此时哥哥离学校的路程为800＋(25－17)×100＝1600(m).兄妹俩离家还有1900－1600＝300(m)，即妹妹能在哥哥到家前追上哥哥，追上时兄妹俩离家还有300m远．知8－讲知识点一次函数与一元一次方程81.一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)与一元一次方程kx＋b＝0(k，b为常数，且k≠0)的关系数：函数y＝kx＋b中，函数值y＝0时自变量x的值是方程kx＋b＝0的解.形：函数y＝kx＋b的图象与x轴交点的横坐标是方程kx＋b＝0的解.知8－讲2.

一次函数图象法解一元一次方程的步骤(1)转化：将一元一次方程转化为一次函数；(2)画图象：画出一次函数的图象；(3)找交点：找出一次函数图象与x轴的交点，交点的横坐标即为一元一次方程的解.知8－讲特别提醒◆求一次函数图象与x轴交点的横坐标的实质就是解一元一次方程；也就是说，“数”题可用“形”解，“形”题也可用“数”解.◆对于一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)，已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值时，就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来求解.知8－练如图12.2-8，直线y＝kx＋b(k≠0)经过点(－1，3)，则方程kx＋b＝3的解为()A.x＝－1B.

x＝1C.

x＝3D.x＝－3例14知8－练解题秘方：根据直线y＝kx＋b(k

≠0)经过点(－1，3)，利用数形结合的思想解题即可.解：由题知，方程kx＋b＝3的解可看成函数y＝kx＋b中，当函数值y＝3时，自变量x的值.因为直线y＝kx＋b(k

≠0)经过点(－1，3)，所以方程kx＋b＝3的解为x＝－1.答案：A知8－练14-1.根据一次函数y＝kx＋b的图象，写出下列问题的答案：(1)关于x的方程kx＋b＝0的解是______；(2)关于x的方程kx＋b＝－3的解是______.x＝2x＝－1知8－练

例15解题秘方：紧扣“一元一次方程和一次函数间的关系”求解.知8－练

知8－练

知8－练

知9－讲知识点一次函数与一元一次不等式9