人教A版高中数学(必修第一册)培优讲义+题型检测专题4.2 指数函数-重难点题型精讲及检测（原卷版）

第第页专题4.2指数函数-重难点题型精讲1．指数函数的定义(1)一般地，函数y=SKIPIF1<0(a>0,且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.

(2)指数函数y=SKIPIF1<0(a>0,且a≠1)解析式的结构特征：

①SKIPIF1<0的系数为1;

②底数a是大于0且不等于1的常数.2．指数函数的图象与性质3．底数对指数函数图象的影响指数函数y=SKIPIF1<0(a>0,且a≠1)的底数对图象的影响可以从不同角度来记忆理解.

(1)无论是a>1还是0<a<1，在第一象限内，自下而上，图象越高的指数函数的底数越大，即“底大图高”.(2)左右比较：在直线y=1的上面，a>1时，a越大，图象越靠近y轴；0<a<1时，a越小，图象越靠近y轴.

(3)上下比较：比较图象与直线x=1的交点，交点的纵坐标越大，对应的指数函数的底数越大.4．比较幂值大小的方法比较幂值大小的方法：【题型1指数函数的解析式、定义域与值域】【方法点拨】根据指数函数的定义，结合具体条件，进行求解即可.【例1】函数f（x）＝2x的定义域为（）A．[1，+∞） B．（0，+∞） C．[0，+∞） D．R【变式1-1】函数y＝2x（x≤0）的值域是（）A．（0，1） B．（﹣∞，1） C．（0，1] D．[0，1）【变式1-2】指数函数y＝f（x）的图象过点（2，4），则f（3）的值为（）A．4 B．8 C．16 D．1【变式1-3】若函数f（x）＝（a2﹣2a﹣2）ax是指数函数，则a的值是（）A．﹣1 B．3 C．3或﹣1 D．2【题型2比较幂值的大小】【方法点拨】利用指数函数的单调性，来比较幂值的大小.【例2】已知a＝0.32，b＝0.31.5，c＝20.3，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞b＞c【变式2-1】下列选项正确的是（）A．0.62.5＞0.63B．1.7−13＜1.7−12C．1.11.5＜0.72.1D【变式2-2】设a＝0.60.6，b＝0.60.7，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b【变式2-3】已知a＝0.3﹣0.2，b=(13)0.3，c＝A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a【题型3解指数不等式】【方法点拨】指数不等式的三种求解方法：(1)性质法：解形如SKIPIF1<0>SKIPIF1<0的不等式，可借助函数y=SKIPIF1<0的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论.(2)隐含性质法：解形如SKIPIF1<0>b的不等式，可先将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助函数y=的单调性求解.(3)图象法：解形如SKIPIF1<0>SKIPIF1<0的不等式.可利用对应的函数图象求解.【例3】不等式ax﹣3＞a1﹣x（0＜a＜1）中x的取值范围是（）A．（﹣∞，2）∪（2，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣2，2）【变式3-1】不等式(1A．（﹣2，4） B．（﹣∞，﹣2） C．（4，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）【变式3-2】已知a＞0，且a≠1，若函数y＝xa﹣1在（0，+∞）内单调递减，则不等式a3x+1＞a﹣2x中x的取值范围是（）A．（﹣∞，−15） B．（−15，+∞C．（﹣∞，−15）∪（−15，+∞） D【变式3-3】已知指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象过点（1，12（I）求函数y＝f（x）的解析式；（II）若不等式满足f（2x+1）＞1，求x的取值范围．【题型4指数函数的图象及应用】【方法点拨】①指数函数图象的识别：对于所给函数解析式，研究函数的单调性、特殊值等，利用排除法，得出正确的函数图象.②指数函数图象的应用：对于与指数函数有关的函数的作图问题，一般宜用变换作图法作图，这样有利于从整体上把握函数的性质，从而指数函数的图象来比较大小、解不等式、求最值等.【例4】函数y＝x+a与y＝a﹣x（a＞0且a≠1）在同一坐标系中的图像可能是（）A． B． C．D．【变式4-1】若指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx（其中a、b、c均为不等于1的正实数）的图象如图所示，则a、b、c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c【变式4-2】如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小是（）A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．a＜b＜1＜d＜c D．1＜a＜b＜c＜d【变式4-3】如图，①②③④中不属于函数y＝2x，y＝3x，y=(1A．① B．② C．③ D．④【题型5指数型复合函数性质的应用】【方法点拨】借助指数函数的图象和性质来研究指数型复合函数的性质，再结合具体问题，进行求解即可.【例5】已知函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的图象经过点（3，19（1）求a的值；（2）求函数f（x）＝a2x﹣ax﹣2+8，当x∈[﹣2，1]时的值域．【变式5-1】设函数f（x）＝（12）10﹣ax，其中a为常数，且f（3）=（1）求a的值；（2）若f（x）≥4，求x的取值范围．【变式5-2】已知函数f（x）＝2x﹣1+a（a为常数，且a∈R）恒过点（1，2）．（1）求a的值；（2）若f（x）≥2x，求x的取值范围．【变式5-3】已知函数f（x）＝ax+b的图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若不等式c⋅10x+6xf(x)+3＞0对任意x∈【题型6指数函数的实际应用】【方法点拨】从实际问题出发，建立指数函数模型，借助指数函数的图象和性质进行解题，注意要满足实际条件.【例6】某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液中的含药量y（μg）与服药后的时间t（h）之间近似满足如图所示的曲线．其中OA是线段，曲线段AB是函数y＝k•at（t≥1，a＞0，k，a是常数）的图象．（1）写出服药后每毫升血液中含药量y关于时间t的函数关系式；（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于2（μg）时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上6：00，为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？（3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后再过3h，该病人每毫升血液中含药量为多少μg？（精确到0.1μg）【变式6-1】牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数型函数，若牛奶放在0℃的冰箱中，保鲜时间约是192h，而在22℃的厨房中则约是42h（1）写出保鲜时间y（单位：h）关于储藏温度x（单位：℃）的函数解析式；（2）利用（1）中结论，指出温度在30℃和16℃的保鲜时间（精确到1h）.【变式6-2】已知某地区现有人口50万．（I）若人口的年自然增长率为1.2%，试写出人口数y（万人）与年份x（年）的函数关系；（Ⅱ）若20年后该地区人口总数控制在60万人，则人口的年自然增长率应为多少？（201.2=【变式6-3】某医药研究所开发一种抗甲流新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线．（1）结合图，求k与a的值；（2）写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f（t）；（3）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，求服药一次治疗有效的时间范围？专题4.2指数函数-重难点题型检测一．选择题1．下列各函数中，是指数函数的是（）A．y＝（﹣3）x B．y＝﹣3x C．y＝3x﹣1 D．y＝（13）2．某地国民生产总值每年平均比上一年增长7%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．3．若函数f（x）＝（12a﹣1）•ax是指数函数，则f（1A．﹣2 B．2 C．﹣22 D．224．函数y＝ax﹣2（a＞0且a≠1，﹣1≤x≤1）的值域是[−53，A．3 B．13 C．3或13 D．25．已知a=(32)−0.3，b=1.10.7，A．c，b，a B．b，a，c C．c，a，b D．b，c，a6．如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图像，则下列结论正确的是（）A．0＜a＜b＜1＜c＜d B．0＜b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．0＜a＜b＜1＜d＜c7．若函数f(x)=a2x2−3x+1在（1，3）上是增函数，则关于x的不等式axA．{x|x＞1} B．{x|x＜1} C．{x|x＞0} D．{x|x＜0}8．函数f(x)=(13)x+1对于定义域内任意x1，x2（x①f（0）＝2；②f（x1）f（x2）＝f（x1+x2）；③f(x④f(x1其中正确的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1二．多选题9．下列不等式中正确的有（）A．30.7＞30.8 B．（25）0.2＞（25）C．20.2＜30.2 D．0.243＜10．函数f（x）＝ax﹣b（a＞0且a≠1），图像经过二，三，四象限，则下列结论正确的是（）A．0＜ab＜1 B．0＜ba＜1 C．ab＞1 D．ba＞111．对于函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1），g（x）＝ax2﹣x，在同一直角坐标系下的图象可能为（）A．B． C．D．12．下列结论中，正确的是（）A．函数y＝2x﹣1是指数函数 B．函数y＝ax2+1（a＞1）的值域是[1，+∞） C．若am＞an（a＞0，a≠1），则m＞n D．函数f（x）＝ax﹣2﹣3（a＞0，a≠1）的图象必过定点（2，﹣2）三．填空题13．函数y=(12)x，(−3≤x≤1)14．实数a＝0.50.6，b＝0.60.5，c＝20.5的大小关系为．15．若指数函数f（x）的图象过点（﹣2，4），则不等式f(x)+f(−x)＜52的解集是16．已知a＞0且a≠1，函数f（x）＝ax﹣2﹣2的图像恒经过定点（m，n），正数b、c满足b+c＝m+n，则1b+4c的最小值为四．解答题17．已知函数f（x）＝ax﹣1（x≥0）的图象经过点(4，18)，其中a＞0，且（1）求a的值；（2）求函数y＝f（x）（x≥3）的值域．18．已知函数f（x）＝ax+b（a＞0，a≠1）．（1）若f（x）图象过点（0，2），求b的值；（2）若函数f（x）在区间[2，3]上的最大值比最小值大a22，求19．已知函数y＝（a﹣1）x是指数函数．（1）该指数函数的图象经过点（2，4），求函数的表达式；（2）解关于x的不等式：(120．已知指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1），过点（2，4）．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（2m﹣1）﹣f（m+3）＜0，求实数m的取值范围．21．已知函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，19（1）求a的值；（2）比较f（2）与f（b2+2）的大小；（3）求函数f（x）=ax2−2