人教A版高中数学(必修第一册)培优讲义+题型检测专题2.1 等式性质与不等式性质-重难点题型精讲及检测（原卷版）

第第页专题2.1等式性质与不等式性质-重难点题型精讲1．两个实数大小的比较如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a－b>0，a＝b⇔a－b＝0，a<b⇔a－b<0.从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小．2．等式的基本性质性质1如果a＝b，那么b＝a；性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4如果a＝b，那么ac＝bc；性质5如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).3．不等式的性质(1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a.(2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c.(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．【题型1不等关系的建立】【方法点拨】在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组．【例1】铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Mcm．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a、b、c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（）A．a+b+c≤M B．a+b+c＞M C．a+b+c≥M D．a+b+c＜M【变式1-1】为安全燃放某种烟花，现收集到以下信息：①此烟花导火索燃烧的速度是每秒0.6厘米；②人跑开的速度为每秒4米；③距离此烟花燃放点50米以外（含50米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（厘米）应满足的不等式为（）A．4×x0.6＜50 B．4×x0.6【变式1-2】在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5cm，人跑开的速度为每秒4m，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100m以外的安全区，导火索的长度x（cm）应满足的不等式为（）A．4×x0.5≥100 B．4×x0.5≤100 C．4×x【变式1-3】下列结论不正确的是（）①用不等式表示某厂最低月生活费a元不低于300元为a≥300；②完成﹣项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工资预算20000元，设木工x人，瓦工y人，则满足的关系式是5x+4y＜200；③设M＝x2+3，N＝3x，则M与N的大小关系为M＞N；④若x≠﹣2且y≠1，则M＝x2+y2+4x﹣2y的值与一5的大小关系是M＞﹣5．A．① B．② C．③ D．④【题型2利用不等式的性质判断正误】【方法点拨】(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．【例2】如果a，b，c，d∈R，则正确的是（）A．若a＞b，则1a＜1b B．若a＞b，则ac2C．若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd【变式2-1】已知1aA．a＜b B．a+b＜ab C．|a|＞|b| D．ab＞b2【变式2-2】a，b∈R，下列命题正确的是（）A．若a＞b，则a2＞b2 B．c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2 C．若﹣3a＞﹣3b，则a＜b D．a≠0，b≠0，若a＞b，则1【变式2-3】如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．1a＜1b B．ab＜b2 C．ab＞a2【题型3利用作差法比较大小】【方法点拨】(1)作差法比较的步骤：作差―→变形―→定号―→结论．(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论．【例3】已知a=2，b=7−3，c=6−2A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【变式3-1】已知a＜b，x＝a3﹣b，y＝a2b﹣a，则x，y的大小关系为（）A．x＞y B．x＜y C．x＝y D．无法确定【变式3-2】已知P＝x2+xy+y2，Q＝3xy﹣1，则（）A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．P，Q的大小关系不确定【变式3-3】）设m＞1，P＝m+4m−1，Q＝5，则P，A．P＜Q B．P＝Q C．P≥Q D．P≤Q【题型4利用作差法比较大小的应用】【例4】甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则（）A．甲先到教室 B．乙先到教室 C．两人同时到教室 D．谁先到教室不确定【变式4-1】某次全程马拉松比赛中，选手甲前半程以速度a匀速跑，后半程以速度b速跑；选手乙前一半时间以速度a匀速跑，后半时间以速度b匀速跑（注：速度单位m/s），若a≠b，则（）A．甲先到达终点 B．乙先到达终点 C．甲乙同时到达终点 D．无法确定谁先到达终点【变式4-2】现有A，B，C，D四个长方体容器，A，B的底面积均为x2，高分别为x，y；C，D的底面积均为y2，高分别为x，y（其中x≠y）．现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜．问先取者在未能确定x与y大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？【变式4-3】某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．【题型5利用不等式的性质证明不等式】【方法点拨】(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．【例5】证明：ab【变式5-1】已知a＞1，求证：a+1+a−【变式5-2】求证：（1）a2+b2+c2≥ab+bc+ac（2）（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）【变式5-3】用比较法证明以下各题：（1）已知a＞0，b＞0．求证：1a（2）已知a＞0，b＞0．求证：ba【题型6利用不等式的性质求取值范围】【方法点拨】同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．【例6】已知1≤a+b≤4，﹣1≤a﹣b≤2，求4a﹣2b的取值范围．【变式6-1】已知−π2＜α＜β＜π2，求【变式6-2】已知12＜a＜60，15＜b＜36，求a﹣b及ab【变式6-3】已知﹣2＜a≤3，1≤b＜2，试求下列各式的取值范围．（1）|a|；（2）a+b；（3）a﹣b；（4）2a﹣3b．专题2.1等式性质与不等式性质-重难点题型检测一．选择题1．下列说法正确的是（）A．某人月收入x元不高于2000元可表示为“x＜2000” B．小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“x＞y” C．变量x不小于a可表示为“x≥a” D．变量y不超过a可表示为“y＞a”2．已知实数a，b，a＞0，b＞0，则“a+b＜2”是“a＜2−bA．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．若ab＞0，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a2＞b2 B．1a＞1b C．ba4．若a＝（x+1）（x+3），b＝2（x+2）2，则下列结论正确的是（）A．a＞b B．a＜b C．a≥b D．a，b大小不确定5．如图两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，图（2）是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a，b（a≠b）的不等式表示出来（）A．12(a2+C．12(a26．设a，b，c是实数，x＝a2﹣2b+π3，y＝b2﹣2c+π6，z＝c2﹣2a+π2，则A．大于0 B．等于0 C．不大于0 D．小于07．已知2＜x＜4，﹣3＜y＜﹣1，则xx−2yA．（110，14） B．（14，23） C．（15，1） D8．若a、b为实数，则下列命题正确（）A．若a＞b且ab≠0则1a＜1b B．若a＞b且ab≠C．若a＞b＞0，则a+1a＞b+1b D．若a＞b，则a（a2+b2）＞b二．多选题9．已知P＝a2+b2，Q＝2ab，R=(a+b)A．P≥R B．Q≥R C．P≤R D．P≥Q10．下列四个选项中，p是q的充分不必要条件的是（）A．p：x＞y，q：x3＞y3 B．p：x＞3，q：x＞2 C．p：2＜a＜3，﹣2＜b＜﹣1，q：2＜2a+b＜5 D．p：a＞b＞0，m＞0，q：b11．已知实数x，y满足﹣3＜x+2y＜2，﹣1＜2x﹣y＜4，则（）A．x的取值范围为（﹣1，2） B．y的取值范围为（﹣2，1） C．x+y的取值范围为（﹣3，3） D．x﹣y的取值范围为（﹣1，3）12．下列说法正确的是（）A．若a＞b＞0，则1aB．若a＞b＞0，m＞0，则b+ma+mC．a＞b＞0，则a3﹣b3＞a2b﹣ab2 D．若a＞b＞0，则ac2＞bc2三．填空题13．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于216m2，靠墙的一边长为xm，其中的不等关系可用不等式（组）表示为．14．已知M＝a2+4a+1，N=2a−12，则MN．（填“＞”或“15．已知0＜α＜π2，π2＜β＜π，则2α−β316．若a、b、c为实数，则下列命题正确的是②．（填序号）①若a＞b，c＞d，则ac＞bd②若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2③若a＜b＜0，则1a＜1b④若a＜b四．解答题17．用不等式表示下列不等关系：（1）某段高速公路规定机动车限速80km/h至120km/h；（2）x的5倍与7的差大于3；（3）bg糖水中有ag糖，若再添上mg糖，则糖水变甜了．18．下面是甲、乙、丙三位同学做的三个题目，请你看看他们做得对吗？如果不对，请指出错误的原因．甲：因为﹣6＜a＜8，﹣4＜b＜2，所以﹣2＜a﹣b＜6．乙：因为2＜b＜3，所以13＜1b＜12，又因为﹣6＜a＜丙：因为2＜a﹣b＜4，所以﹣4＜b﹣a＜﹣2．又因为﹣2＜a+b＜2，所以0＜a＜3，﹣3＜b＜0，所以﹣3＜a+b＜3．19．（1）试比较（x+1）（x+5）与（x+3）2的大小；（2）已知﹣1＜2a+b＜2，3＜a﹣b