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文档简介
九上数学I垂径定理
重难点题型:动点问题
【例1】如图,已知。。的半径为4,M是。。内一点,MOM
=2,则过点M的所有弦中,弦长是整数的共有条。
【分析】过点M作ABJ_OM交。。于点A、B,根据勾股定理
求出AM,根据垂径定理求出AB,进而得到答案.
解:____________________________________________
【例2】如图,。。的半径为13,弦AB=24.P是弦AB上的
个动点.求OP的取值范围.厂、
【分析】过0点作OH,AB于H,连接OA,如图,根据垂径
定理得到AH=BH=12,则利用勾股定理可计算出0H=5,
然后利用垂线段最短得到0P的范围,从而可对各选项进行判
断.
解:_______________________________________
【例3】如图,P为。。内的个定点.A为。。上的个动
点.射线AP、A0分别与。0交于B、C两点.若。0的半径
长为3,OP=V3,则弦BC的最大值是多少.
【分析】过点。作OE_LAB于E,由垂径定理易知E是AB
中点,得0E是aABC中位线,则BC=2OE,而OEWOP,
故BCW2OP,即可得出答案.
解:______________________________
【例4】如图,矩形ABCD中,AB=60,AD=45,P,Q分别
是AB,AD边上的动点,PQ=52,以PQ为直径的。。与BD
交于点M,N,求MN的最大值.
【分析】过A点作AH_1_BD于H,连接0M,如图,先利用勾
股定理计算出BD=75,则利用面积法可计算出AH=36,再
证明点。在AH上时,0H最短,此时HM有最大值,最大值
为24,然后根据垂径定理可判断MN的最大值.
解:_______________________________________
九上数学I垂径定理
重难点题型:动点问题
【例1】如图,已知。。的半径为4,M是。。内一点,目0M
二2.则过点M的所有弦中,弦长是整数的共有条。
【分析】过点M作AB_LOM交。。于点A、B,根据勾股定理
求出AM,根据垂径定理求出AB,进而得到答案.
解:过点M作ABJ_OM交千点A、B,连接0A,
则AM=BM=1/2AB,、
在Rt△AOM中,(\
AM=V0A2-0M?=V42-22=2才・°xJ3
・・・AB=2AM=4V3,V
则4V3W过点M的所有弦W8,
则弦长是整数的共有长度为7的两条,长度为8的一条,共
三条,
【例2】如图,。。的半径为13,弦AB=24,P是弦AB上的
个动点.求0P的取值范围.
0
AfB
【分析】过0点作OH,AB于H,连接OA,如图,根据垂径
定理得到AH=BH=12,则利用勾股定理可计算出0H=5,
然后利用垂线段最短得到0P的范围,从而可对各选项进行判
断bkr.
解:过。点作OH_LAB于H,连接0A,如图,
•・・0H_LAB,.'AH=BH=1/2AB=12,
在Rt△OAH中,Io\
0H=V0A2-AH2=V132-122=5.1,'X)
TP是弦AB上的一个动点,
・・・5WOP<13.
【例3】如图,P为。。内的个定点.A为。0上的个动
点,射线AP、A0分别与。。交于B、C两点.若。0的半径
长为3,OP=V3,则弦BC的最大值是多少.
【分析】过点。作OE_LAB于E,由垂径定理易知E是AB
中点,得0E是aABC中位线,则BC=2OE,而OEWOP,
故BCW2OP,即可得出答案.胃/\
解:过点。作OELAB于E,如图:(/
・・・0为圆心,・・・AE=BE,JOE=1/28或
YOEWOP,・・・BCW2OP,Vy
・••当E、P重合时,即OP垂直AB时,BC联最大值,
・••弦BC的最大值为:20P=2V3,
【例4】如图,矩形ABCD中,AB=60,AD=45,P,Q分别
是AB,AD边上的动点,PQ=52,以PQ为直径的。。与BD
交于点M,N,求MN的最大值.
【分析】过A点作AH_LBD于H,连接0M,如图,先利用勾
股定理计算出BD=75,则利用面积法可计算出AH=36,再
证明点。在AH上时,0H最短,此时HM有最大值,最大值
为24,然后根据垂径定理可判断MN的最大值.
解:过A点作AHLBD于H,连接0M,如图,
在Rt△ABD中,BD=VAB2+AD?=》6()2+45?=75.
・门/2xAHxBD=1/2xADxAB,
・・・AH=60X45/75=36,
・
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