九年级上册数学垂径定理重难点题型：动点问题

九上数学I垂径定理

重难点题型：动点问题

【例1】如图，已知。。的半径为4,M是。。内一点，MOM

=2,则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有条。

【分析】过点M作ABJ_OM交。。于点A、B,根据勾股定理

求出AM,根据垂径定理求出AB,进而得到答案.

解：____________________________________________

【例2】如图，。。的半径为13,弦AB=24.P是弦AB上的

个动点.求OP的取值范围.厂、

【分析】过0点作OH，AB于H,连接OA,如图，根据垂径

定理得到AH=BH=12,则利用勾股定理可计算出0H=5,

然后利用垂线段最短得到0P的范围，从而可对各选项进行判

断.

解：_______________________________________

【例3】如图，P为。。内的个定点.A为。。上的个动

点.射线AP、A0分别与。0交于B、C两点.若。0的半径

长为3,OP=V3,则弦BC的最大值是多少.

【分析】过点。作OE_LAB于E,由垂径定理易知E是AB

中点，得0E是aABC中位线，则BC=2OE,而OEWOP,

故BCW2OP,即可得出答案.

解：______________________________

【例4】如图，矩形ABCD中，AB=60,AD=45,P,Q分别

是AB,AD边上的动点，PQ=52,以PQ为直径的。。与BD

交于点M,N,求MN的最大值.

【分析】过A点作AH_1_BD于H,连接0M,如图，先利用勾

股定理计算出BD=75,则利用面积法可计算出AH=36,再

证明点。在AH上时，0H最短，此时HM有最大值，最大值

为24,然后根据垂径定理可判断MN的最大值.

解：_______________________________________

九上数学I垂径定理

重难点题型：动点问题

【例1】如图，已知。。的半径为4,M是。。内一点，目0M

二2.则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有条。

【分析】过点M作AB_LOM交。。于点A、B,根据勾股定理

求出AM,根据垂径定理求出AB,进而得到答案.

解：过点M作ABJ_OM交千点A、B,连接0A,

则AM=BM=1/2AB,、

在Rt△AOM中，(\

AM=V0A2-0M?=V42-22=2才・°xJ3

・・・AB=2AM=4V3,V

则4V3W过点M的所有弦W8,

则弦长是整数的共有长度为7的两条，长度为8的一条，共

三条,

【例2】如图，。。的半径为13,弦AB=24,P是弦AB上的

个动点.求0P的取值范围.

0

AfB

【分析】过0点作OH，AB于H,连接OA,如图，根据垂径

定理得到AH=BH=12,则利用勾股定理可计算出0H=5,

然后利用垂线段最短得到0P的范围，从而可对各选项进行判

断bkr.

解：过。点作OH_LAB于H,连接0A,如图，

•・・0H_LAB,.'AH=BH=1/2AB=12,

在Rt△OAH中，Io\

0H=V0A2-AH2=V132-122=5.1,'X)

TP是弦AB上的一个动点，

・・・5WOP<13.

【例3】如图，P为。。内的个定点.A为。0上的个动

点，射线AP、A0分别与。。交于B、C两点.若。0的半径

长为3,OP=V3,则弦BC的最大值是多少.

【分析】过点。作OE_LAB于E,由垂径定理易知E是AB

中点，得0E是aABC中位线，则BC=2OE,而OEWOP,

故BCW2OP,即可得出答案.胃/\

解:过点。作OELAB于E,如图：(/

・・・0为圆心，・・・AE=BE,JOE=1/28或

YOEWOP,・・・BCW2OP,Vy

・••当E、P重合时，即OP垂直AB时，BC联最大值，

・••弦BC的最大值为：20P=2V3,

【例4】如图，矩形ABCD中，AB=60,AD=45,P,Q分别

是AB,AD边上的动点，PQ=52,以PQ为直径的。。与BD

交于点M,N,求MN的最大值.

【分析】过A点作AH_LBD于H,连接0M,如图，先利用勾

股定理计算出BD=75,则利用面积法可计算出AH=36,再

证明点。在AH上时，0H最短，此时HM有最大值，最大值

为24,然后根据垂径定理可判断MN的最大值.

解：过A点作AHLBD于H,连接0M,如图，

在Rt△ABD中，BD=VAB2+AD?=》6()2+45?=75.

・门/2xAHxBD=1/2xADxAB,

・・・AH=60X45/75=36,

・