高考数学复习：平面向量及其应用 专项练习（原卷版+解析）

综合训练07平面向量及其应用（10种题型60题专练）

一.平面向量数量积的性质及其运算（共9小题）

1.（2023•大理州模拟）若平面向量二与三的夹角为60°,,|b1=1.则等于（）

A.V3B.2^3C.4D.12

2.（2023•广西模拟）如图，在△ABC中，AB=6,AC=3,ZBAC=^-,=2DC,则标•标=（）

3

A.18B.9C.12D.6

3.（2023•市中区校级模拟）在△ABC中，有瓦•（AB-BC）=2CB•（CA-AB）.贝UtanC的最大值是（）

A.亚B・亚C.叵D.叵

7372

4.（2023•阿勒泰地区一模）在△ABC中，4B=1,AC=2,ZBAC=135°,BD=XBC.若AO-LAC,则入

=（）

A啦-1BS+lcS+l口啦-1

5.（2023•河北模拟）莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图

所示，分别以正三角形A8C的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为

莱洛三角形，已知A,B两点间的距离为2,点P为右上的一点，则瓦•（丽+衣）的最小值

为______________________

6.（2023•重庆模拟）已知向量三的夹角为6。°，IaI=2IbI=2»若对任意的xi、（m,+°°）,且

x\<xi,X[lnx2则M的取值范围是()

xrx2

A.[/,+8)B.[e,+8)c.,-KO)D.[Le)

ee

7.（2023•毕节市模拟）已知点G为三角形ABC的重心，且，当NC取最大值时，cosC=（）

A.AB.旦C.2D.工

5555

8.（2023•合肥三模）哥特式建筑是1140年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它的特点是尖塔高耸、尖形拱

门、大窗户及绘有故事的花窗玻璃，如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为常

见，它是由线段AB和两个圆弧AC、围成，其中一个圆弧的圆心为A,另一个圆弧的圆心为2,圆。

与线段A8及两个圆弧均相切，若AB=2,则=（）

A.B.上C.D.

16737

9.（2023•宜章县二模）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且6=2csin（A哈）•

⑴求C；

（2）若c=l,。为△ABC的外接圆上的点，BA,=BA2＞求四边形A3。面积的最大值.

二.投影向量（共6小题）

10.（2023・湖南模拟）已知向量7元满足金+石）年=2，且1%|=1，则向量Z在向量％上的投影向量为（）

A.1B.-1C.bD.-b

11.（2023•全国二模）已知向量之，与满足，则在:方向上的投影向量为（）

A.aB.bC.2aD.2b

12.（2023•武陵区校级模拟）若向量Z，E满足Z=（-4,3）-b=（5,12））则向量E在向量二上的投影向

量为（）

A.（且，型）B.（巫，更）

k65657v25257

64_4864_48

c.f

25,方

13.（2023•静安区二模）已知向量Z=（i,近）,且Z，E的夹角为JL，，则E在7方向上的投影向量等

3

于_______________________

14.（2023•石家庄二模）已知非零向量；，三满足，则在4方向上的投影向量为（)

—♦

A.-aB.-bD.b

15.（2023•河北三模）已知平面向量，E为单位向量，且（工+2石）1（WV），则向量E在向量之上的投影

向量的坐标为_______________________

三.平面向量的基本定理（共5小题）

16.(2023•泰州模拟)在平行四边形ABC。中,，屈*标.若AB=mDF+nAE，则m+n=)

3

A.1B.35D.4

2463

17.（2023•贵阳模拟）在△ABC中，为2C边上的中线，E1为4。的中点，则EC=（

1—♦Q—•Q—♦1•Q—•1—♦

A.IAB-|ACB.-4AB+4ACc.4AB+4ACD.4AB-4AC

44444444

18.（2023•淄博模拟）已知△AB。中，04=1,OB=2,,过点。作。。垂直AB于点贝U（

1.

19.（2023•开封一模）已知AABC中，。为8C边上一点，且BD—BC，则AD=（）

3

A.yAC-tyABB--1-AC-»-1-ABc--1-AC-^ABD-^-AC-t^AB

20.（2023•海安市校级一模）己知等边△ABC的边长为2,。为BC的中点，尸为线段AD上一点，尸ELAC,

垂足为石，当时，=（）

A.B.C.D.

四.平面向量共线（平行）的坐标表示（共4小题）

21.（2023•乌鲁木齐模拟）已知向量7=（2,3）,E=（-1，2）,若相与7-24共线，则工等于（）

n

A.-AB.Ac.-2D.2

22

22.（2023•龙口市模拟）已知向量a=（加2，-9）,b=（1，-1），则“，”=-3”是“a〃b”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

23.（2023•林芝市二模）已知向量Z=（t-2,3）-羡（3,-1），且金+2%）鹿，则

24.（2023•高州市二模）己知向量W=（_i,2），b=（3,入），若彳+23与WV平行，则实数）的值为

（）

A.上B.—C.6D.-6

33

五.数量积表示两个向量的夹角（共4小题）

25.（2023,2月份模拟）平面向量Z与％相互垂直，已知?=（6,-8）,,且％与向量（1,0）的夹角是钝角，

则b=（）

A.（-3,-4）B.（4,3）C.（-4,3）D.（-4,-3）

26.（2023•沈阳三模）已知Z=（l,2），，若彳与E的夹角是锐角，则实数尤的取值范围

是.

27.（2023春•大理市校级期中）已知平面向量2=（0,1）,己=（遮，2），则向量与7的夹角

为.

28.（2023•杨浦区校级三模）对任意两个非零的平面向量五和下，定义.五.若平面向量Z，

E满足lZl>El>0,Z与4的夹角0G（0,—）,且之⑤三和石⑤之都在集合｛二■I〃ez｝中，则彳区三

42

六.数量积判断两个平面向量的垂直关系（共5小题）

29.（2023•运城三模）已知向量之，石满足Z=（l,入），b+2a=（l,-3），且:_LV则实数入=（）

A.1或工B.-1或!C.1或1D.-1或」

2222

30.（2023•安徽模拟）已知平面向量之=（1,3）,b=（-l,2），若Z+tE与彳垂直，则实数r=（）

A.-2B.-1C.1D.2

31.（2023•桃城区校级模拟）己知向量，（1,-cos26）>若2_1_1），贝Ucos26=（）

32.（2023•红河州一模）已知向量@=（2,m）,b=（4,-1）,且（a-b）~L（a+b），则实数加=（）

A.2B.AC.8D.

2

33.（2023•平定县校级模拟）己知向量；=（i,2），b=（-l,1）;c=（m,2），且金一2三）1W，则实

数m—（）

A.-1B.0C.1D.任意实数

七.正弦定理（共5小题）

34.（2023•汕头二模）在△ABC中，已知C=45°,c=2,则角2为（）

A.30°或150°B.60°C.30°D.60°或120°

35.（2023•宝鸡模拟）在△ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c,且工-咨B.

a1+cosA

（1）证明：2a=b+c；

（2）若cosA=段，求△ABC的面积.

5

36.（2023•榆林二模）在锐角△ABC中，内角A,B,。所对应的边分别是〃，b,c,且2csin（B-A）=

2«sinAcosB+Z?sin2A,则£的取值范围是.

a

37.（2023•邢台一模）已知△ABC内角A,B,。所对的边长分别为Q,b,c,2

V2a2cosB+b2=2abcosC+a2+c2,

（1）求&

（2）若△ABC为锐角三角形，且〃=4,求△A3C面积的取值范围.

38.（2023•潮阳区三模）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.C=—,AB边上的高为

3

(1)若SAABC=2«,求AABC的周长;

（2）求2二的最大值.

ab

八.余弦定理（共8小题）

39.（2023•雁塔区校级模拟）在△ABC中，若〃2+C2一房=一的,则角5=（）

A.120°B.60°C.135°D.150°

40.（2023•蒙城县校级三模）在△A3C中，ZA,/B,NC的对边分别为〃，b,c,且cos?。-COS2A=&

sinAsinB-sin2B.

（1）求NC的大小；

（2）已知〃+。=4,求△ABC的面积的最大值.

41.（2023•崇州市校级模拟）记△A3C的内角A,B,。的对边分别为mb,c,面积为8=60°,次+科

=3ac,则b—.

42.（2023•铜仁市模拟）锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若02=.（什方），则sig的取

值范围是（）

43.（2023•琼山区校级一模）已知△ABC的内角A,B,C的对应边分别为a,b,c.a=2有，b=2,且百

cosA（ccosB+bcosC）+asinA=0.

（1）求A；

（2）设。为BC边上一点，且AO_LAC,求△ABO的面积.

B

44.(2023•江西模拟)已知△A3C的内角A,B,。的对边分别为。，b,c,△ABC的面积为S,«2+Z?2-c2

=25.

(1)求cosC；

(2)若Qcos5+Z?sinA=c,a=V5»求反

45.（2023•榆林二模）在△ABC中，内角A,B,C所对应的边分别是a,b,c,若△ABC的面积是

退小2受"a2）,贝（）

4

A.—B.空C.—D.4

3366

46.（2023•大理州模拟）在①2a-b=2ccosB,②S=®（G年-③«sin（A+B）=l+2sin2c三个条

42

件中选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题.

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设△ABC的面积为S,己知.

（1）求角C的值；

（2）若6=4,点。在边AB上，CD为NACB的平分线，ZkCDB的面积为色巨，求边长a的值.

3

九.三角形中的几何计算（共4小题）

47.（2023•天门模拟）某同学在学习和探索二角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角二角形二条

边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且

此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角AABC外接圆的半径为2,且三

条圆弧沿△ABC三边翻折后交于点P.若AB=3,则sinNE4C=；若AC：AB；

BC=6：5：4,贝ij巩+P8+PC的值为.

48.（2023•江宁区校级模拟）已知△ABC的内角A,3,C所对的边分别为a,b,c,且满足二-tanA=«・

bcosA

（1）求角8的大小；

（2）若，设△ABC的面积为S,满足S=3«，求b的值.

49.（2023•江西模拟）《周髀算经》中“侧影探日行”一文有记载：“即取竹空，径一寸，长八尺，捕影而视

之，空正掩目，而日应空之孔.”意谓：“取竹空这一望筒，当望筒直径1是一寸，筒长/是八尺时（注：

一尺等于十寸），从筒中搜捕太阳的边缘观察，则筒的内孔正好覆盖太阳，而太阳的外缘恰好填满竹管的

50.（2023•浑南区校级三模）如图，函数/（无）=2sin（3x+cp）（w>0,0<（p<it）的图象与坐标轴交于点

A,B,C,直线交/（x）的图象于点。，O（坐标原点）为△A2D的重心（三条边中线的交点），其

一十.解三角形（共10小题）

51.（2023•宜春模拟）如图，一架飞机从A地飞往2地，两地相距500A%行员为了避开某一区域的雷雨

云层，从A点起飞以后，就沿与原来的飞行方向成12°角的方向飞行，飞行到中途C点，再沿与原

来的飞行方向AB成18°角的方向继续飞行到终点B点.这样飞机的飞行路程比原来的路程5Q0km大约

多飞了（）（sinl2°七0.21,sinl8°心0.31）

A.10kmB.20kmC.30kmD.40km

52.（2023•衡水模拟）已知△ABC中，a,。，c分别为内角A,B,C的对边，且2asinA=（2Z?+c）sinB+（2c+b）

sinC.

(1)求角A的大小;

(2)设点。为8C上一点，是AABC的角平分线，且AO=2,b=3,求△ABC的面积.

53.(2023•重庆模拟)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b+c=2asin

(1)求A；

(2)设的中点为。，若CD=m且6-c=L求△ABC的面积.

54.(2023•桃城区校级模拟)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a(cosB+cosC)+(b+c)

cos(B+C)=0.

(1)求A；

(2)若。为线段8c延长线上的一点，KBALAD,BD=3CD,求sin/ACD

55.(2023•晋江市校级模拟)在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，△ABC的面积

⑴若注ccosB=V2a-b>求.'［「也-的值;

sinB

(2)求旦的取值范围.

b

56.(2023•黄石模拟)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosC+csinA=6.

(1)求A；

(2)AD=2DC.BD=3,求△ABC面积的最大值.

57.（2023•宁波一模）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,—-t^=4cosC-

ba

22

（1）求一:b的值;

2

c

（2）若---=---+~--,求cosA.

tanBtanAtanC

58.(2023•宜春一模)在△ABC中，角A,B,。所对的边分别为a,b,c,且〃+0=2ccos艮

(1)求证：C=2B；

(2)求a+3b的最小值.

bcosB

59.(2023•江西二模)在①3absinC=4AB・AC；©a(3sinB+4cosB)=4c,这两个条件中任选一个，补充在

下面问题中，并加以解答.

已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,.

(1)求sinA的值；

(2)若△ABC的面积为2,a=4,求△ABC的周长.

注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

60.(2023•开福区校级二模)在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a,b,c是公差为2的

等差数列.

(1)若2sinC=3sinA,求△ABC的面积.

(2)是否存在正整数b,使得△ABC的外心在△ABC的外部？若存在，求b的取值集合；若不存在，请

说明理由.

综合训练07平面向量及其应用（10种题型60题专练）

一.平面向量数量积的性质及其运算（共9小题）

1.（2023•大理州模拟）若平面向量二与E的夹角为60。，，|三|=1，则等于（）

A.V3B.2V3C.4D.12

【分析】先求向量的数量积，然后利用向量的模的求解方法求解即可.

【解答】解：因为平面向量Z与E的夹角为60。，，|b1=11

所以lal=2,ab=|a||b|cos9=2XIXcos600=1，

所以|；+2E|=V（a+2b）2=7a2+4ab+4b2=44+4义1+4=273-

故选：B.

【点评】本题主要考查向量数量积运算，向量模的运算性质，考查运算求解能力，属于基础题.

2.（2023•广西模拟）如图，^AABC中，AB=6,AC=3,ZBAC=^~,=2左，则族•标i=（）

3

A.18B.9C.12D.6

【分析】利用平面向量的数乘与加减运算，把问题转化为的数量积求解.

【解答】解：：=2玩，；.，

.»».O»»1.O»

AD=AB+BD=AB号（AC-AB）=与福号AC，

•••AB-AD=AB'（-1-AB-^AC）=y|AB|2-^AB-AC

=y|AB|2-ty|AB||AC|cos^-=yX36+yX6X3X（^-）=6.

故选：D.

【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是基础题.

3.（2023•市中区校级模拟）在△ABC中，有菽•（AB-BC）=2CB•（CA-AB）,贝I]tanC的最大值是（）

A.晅B.叵C.叵D.运

7372

【分析】利用余弦定理和数量积定义化简得出三角形三边。，6,c的关系，利用基本不等式求出cosC的

最小值，显然C为锐角，要使tanC取最大值，则cosC取最小值，从而得出sinC的最大值，即可得出答

案.

【解答】解：•••菽.（血-前）=24•（五-正）,

又菽BC=CACB-

，,即a2+2b2=3ci,

2八21/2,22、_______

2.,22a+b丁（a+2b）,/-------历

由余弦定理得cosC=y---------=全谱》2展当当且仅当

a「2abJ。=---2ab3bbaV3bba3

招-上即b=V2a时等号成立，

3b6a

在△ABC中，C为锐角，要使tanC取最大值，则cosC取最小值浮，此时sinC=41-cos2c

33

tanC=且吗=1=号,即tanC的最大值是叵.

cosCV222

~3~

故选：D.

【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

4.(2023•阿勒泰地区一模)在△ABC中，AB=1,AC=2,ZBAC=135°,BD=XBC)ADLAC,则入

=（）

A2V2-1R2V2+1p2V2+1n2V2-1

5577

【分析】将标表示成标=（1-入）AB+XAC，再根据[（1-九）AB+XAC]AC=O＞利用平面向量数量

积的运算求出A的值.

【解答】解：AD=AB+BD=AB+^BC=AB+X(AC-AB)=(1-X)AB+XAC)

'：AD1AC,

•••AD1AC.

则［(1-入)标+入菽］•正=0，(1-X)AB-AC+X|AC|2=0-(1-入)XlX2Xcosl35°+A22=0,

(1-X)X1X2X(-^y-)+22xX=Q，即-V2(1-X)+4X=0,即，解得

、一&_a(4-V^)_啦-2即._272-1

企+4=(可+4)(43)「^'

故选：D.

BD

【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题.

5.（2023•河北模拟）莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图

所示，分别以正三角形A8C的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为

莱洛三角形，已知A,B两点间的距离为2,点P为篇上的一点，则瓦•（丽+五）的最小值为

10-4V7_.

【分析】利用平面向量的线性运算及向量数量积的运算将所求式子表示为2而24，再利用三角形的几

何意义求解即可.

【解答】解：设。为8c的中点，E为的中点，如图所示,

A

则=2(PE+EA)■(PE-EA)=2(PE2-EA2)>

在正三角形ABC中,AD=7AB2-BD2^722-12=V3，

所以，

所以,

sCE=VCD2+DE2=冬,

所以，

所以隹•(而+正)的最小值为：2PE2^1=2(2^y-)2-1-10-4V7-

故答案为：10-4V7.

【点评】本题主要考查了平面向量的数量积运算，属于中档题.

6.(2023•重庆模拟)已知向量Z,E的夹角为60°,IaI=2IbI=2，若对任意的羽、(机，+8),且

XlnXXlnx

xi<x2,l2-2l>|-_2-।；则根的取值范围是()

xrx2

3

A.[e,+8)B.[e,+°0)C.仕，Q)D.仕，e)

ee

【分析】根据向量数量积的定义求得ZE=1，于是由数量积的应用可得|a-2b1=2.对任意的尤1、尤26

(加，+8),且xi<x2,则将>----2_2----转化为，即，则构造函数f(x)得

xl-x2x

函数在(m,+8)上单调递减，求导判断了(无)单调性，即可得相的取值范围.

【解答】解：已知向量之，%的夹角为60。，|aI=2lbI=2.

贝人

所以|；-2芯|=7(a-2b)2=Va2-4ab+4b2=也-4+4=2，

所以对任意的xi、X2E.Cm,+8),且xi<x2,,]Jl!jxilnx2~%21nxi<2xi-2x2,

lnxlnx<.ooi_n

所以——9--——-<--——,即，设f(x)='riV2,即/(x)在(m,+8)上单调递减，

X2XiX2X1X

又xe(0,+8)时，(x)="1尸=0'解得尤=e3,

X4

所以xe(0,e3),f(x)>0,f(x)在xe(0,e3)上单调递增；

xE(e3,+8),f(x)<0,f(x)在(e3,+°°)上单调递减，

所以m^e3.

故选：A.

【点评】本题考查平面向量的数量积的运算，导数研究函数的单调性，属中档题.

7.(2023•毕节市模拟)已知点G为三角形ABC的重心，且，当NC取最大值时，cosC=()

A.AB.旦C.2D.工

5555

【分析】由题设可得，结合AG(AC+AB)，BG=_^_(BA+BC)及余弦定理可得©05，=看，根

据基本不等式即可求解.

【解答】解：由题意，

所以(GA+GB)2=(GA-GB)2-

DH*2•2■9•2•2»

即GA+GB+2GA-GB=GA+GB-2GAGB，

所以,

所以AG_LBG,

91—►—*1—►91—►1—*—►

又AGqX卷(AC+AB)甘(AC+AB)，BG*X卷(BA+BC)*(BA+BC)，

JNOO

则,

,....,.2

所以WCB=AC-AB+KA-BC+AB,即^bcosC=/?ccosA+«ccosB+c2,

222

「a+b-c

由cosA二cosB='COSC=2ab

2bc2ac

所以4Z2+Z?2=5C2,

当且仅当时等号成立,

又〉=35%在(0,n)上单调递减，Ce(0,IT),

所以当/C取最大值时，cosC=g.

5

故选：A.

【点评】此题考查向量的数量积运算及余弦定理的应用，解题的关键是结合三角形重心的性质和余弦定

理可得/+62=502,然后利用基本不等式求解，考查转化思想，属于较难题.

8.(2023•合肥三模)哥特式建筑是1140年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它的特点是尖塔高耸、尖形拱

门、大窗户及绘有故事的花窗玻璃，如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为常

见，它是由线段AB和两个圆弧AC、BC围成，其中一个圆弧的圆心为A,另一个圆弧的圆心为3,圆。

与线段A8及两个圆弧均相切，若AB=2,则=（）

A.-J-B.上C.工D.-A

16737

【分析】构造直角三角形，勾股定理求圆。的半径，得到。4,余弦定理求cosNAOB,利用向量数量积

公式求丞0B-

【解答】解：若AB=2,则圆弧AC、8C的半径为2,设圆。的半径为r,则。4=2-r,过。作

AB,则。D=r,AD=1,

2△0D4中，042=002+402,即（2-分2=於+1,解得萼，则有，△AOB中，由余弦定理得，

4

•e,0A-0B=10A|-|OB|cos/AOB=8）2

41b

故选：A.

【点评】本题考查新情景问题下的圆的综合应用，涉及三角函数公式，数形结合思想，属于中档题.

9.（2023•宜章县二模）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且6=2csin（A吟）.

（1）求C；

（2）若c=l,。为△ABC的外接圆上的点，BA,=BA＜求四边形A8CD面积的最大值.

【分析】（1）利用正弦定理化边为角，并结合两角和的正弦公式化简运算，即可得解;

（2）根据平面向量数量积的运算法则，推出||cosB=|以|,进而知3。为外接圆的直径，设NA4C=a,

利用正弦定理，用含a的式子表示A。，CD和8C,再由5=工4小的＞+工8。・。，并结合三角函数的知

22

识，得解.

【解答】解：（1）由正弦定理及b=2csin（知sinB=2sinCsin（人+^），

所以sin(A+C)=2sinC(返sinA+」cosA),

22

所以sinAcosC+cosAsinC=V3sinCsinA+sinCcosA,BPsinAcosC=V3sinCsinA,

因为sinAWO,所以tanC=m」nC,=乂_3_

cosC3

又Ce(0,it),所以C=—.

6

A

(2)因为福・=诬2,所以I福I・||cos8=|以|2,BP||cosB=|BA|,

所以/54。=三，即8。为外接圆的直径，

2

所以工，

2

由（1）知，ZACB=—,所以NACD=2-匹=匹,

6263

设NB4C=a,则NCAD=Z-a,

2

71

由c=l,ZACB=知，外接圆的直径R=c

TsinZACB

所以)

在△AC。中，由正弦定理知，R=ADCDAD=2sin3-='/^,C£=2sin(-^-

sinZACDsinZCAD32

-a)=2cosa,

在△ABC中，由正弦定理知，R=——二----所以BC=2sina,

sinZBAC

所以四边形ABCD面积S=^-AB-AD+^BC'CD=1X1XA/3+—X2sinaX2cosa=+sin2a,

22222

因为ae（0,—所以2ae（0,it）,

2

所以当2a=3_,即a=2L时，sin2a取得最大值1,此时S取得最大值亚+1,

242

故四边形42。面积的最大值为亚+1.

2

【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，两角和的正弦公式，平面向量数量积的运算法则是解

题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

投影向量（共6小题）

10.（2023•湖南模拟）已知向量a，b满足（a+b），b=2，且IbI=1，则向量Z在向量E上的投影向量为

A.1B.-1C.bD.-b

【分析】由已知可求得ZE=i，然后根据投影向量的公式，即可得出答案.

【解答】解:因为IbI=1，（工+E）E=ZE+『=2，

所以；E=I，

f———

所以，向量；在向量E上的投影向量为与=以

lb||b|11

故选：C.

【点评】本题主要考查投影向量的定义，属于基础题.

11.（2023•全国二模）已知向量：，E满足，则在7方向上的投影向量为（）

A.aB.bC.2aD.2b

【分析】根据向量的数量积运算，对两边同时平方得到ZE=o,再由投影向量的定义即可求解.

【解答】解：由已知条件得:Ia+b|1|a-b|2,即a，b=0.

又在a方向上的投影向量为

-♦2——

(a+b)aa|a|+a-b一

(|a+b|cos<a+b，-----F=-；-----=a-

Ia|AH

故选：A.

【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题.

12.（2023•武陵区校级模拟）若向量z，E满足7=（-4,3）-b=（5,12），则向量E在向量Z上的投影

向量为（）

A.(且，型)B.(巫，48)

'2525J

C.禺，辿)D.禺，色

'2525,%5657

【分析】由向量的数量积公式求得向量夹角的余弦值，再代入投影向量公式即可求得向量b在向量a上的

投影向量.

【解答】解：设向量a与b的夹角为①

a-b(-4,3)-(5,12)16

则cos0=1Ia|=5,|b|=13-

lai|b|5X1365

则b在a上的投影向量为.

故选：B.

【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题.

13.（2023•静安区二模）已知向量；=（1,炳）,且W，三的夹角为二，，则三在7方向上的投影向量等于

3

1-

戏一.

【分析】根据已知条件，结合平面向量的数量积公式，求出，再结合投影向量的公式，即可求解.

【解答】解：向量Z=（l,V3）,

则laI=2，

则2a'a，!）-3b2=4,即，解得lb1=1,

故E在Z方向上的投影向量等于|b|cos^r

3IaI4

故答案为：—a.

4

【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题.

14.（2023•石家庄二模）己知非零向量之，石满足，则在E方向上的投影向量为（）

A.-aB.-bC.aD.b

【分析】由己知可得之石=0,根据投影向量的定义及数量积的运算律求投影向量即可.

【解答】解：a?+2a-b+bla'za-b+b?，可得a-b=0，

所以在E方向上的投影向量为E,（：-［）_-L=2,±2b石=_1.

lb||b||b|2

故选：B.

【点评】本题考查向量数量积的运算，向量数量积的性质，投影向量的概念，属基础题.

15.（2023•河北三模）已知平面向量，E为单位向量，且金+2%）1C-E），则向量E在向量Z上的投影

向量的坐标为工）.

一、55-

【分析】由C+2E）_L得ZE，计算E在Z方向上的投影，进而得％在Z方向上的投影向量