高考总复习理数（北师大版）课件选修4-5第2节不等式证明

不等式选讲选修4－5第二节不等式证明考点高考试题考查内容核心素养不等式证明2017·全国卷Ⅱ·T23·10分利用均值不等式证明不等式逻辑推理2017·浙江卷·T22·15分证明以数列为载体的不等式问题逻辑推理2016·全国卷Ⅱ·T24·10分绝对值不等式的解法与绝对值不等式的证明数学运算逻辑推理2015·全国卷Ⅱ·T24·10分不等式证明和充要条件的判断逻辑推理命题分析从近几年高考命题来看，作为新课程选考的重要内容，不等式证明严格按考试说明要求命题，试题难度不超过中等，以解答题形式出现，着重考查比较法、综合法，证明不等式，以及放缩法的应用.02课堂·考点突破03课后·高效演练栏目导航01课前·回顾教材01课前·回顾教材实数a，b≥a＝b正数≥a＝b不小于正数a＝b＝c正数≥a＝b＝c不小于≥a1＝a2＝…＝an

不小于a＞b变形判断差的符号A≥B推理、论证成立要证的结论充分条件提醒：比较法证明不等式最常用的是差值比较法，其基本步骤是：作差—变形—判断差的符号—下结论．其中“变形”是证明的关键，一般通过因式分解或配方将差式变形为几个因式的积或配成几个代数式平方和的形式，当差式是二次三项式时，有时也可用判别式来判断差值的符号．个别题目也可用柯西不等式来证明．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)用反证法证明命题“a，b，c全为0”时假设为“a，b，c全不为0”．(

)(2)若实数x、y适合不等式xy>1，x＋y>－2，则x>0，y>0.(

)答案：(1)×

(2)√2．设不等式|2x－1|＜1的解集为M.(1)求集合M.(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．解：(1)由|2x－1|＜1得－1＜2x－1＜1，解得0＜x＜1.所以M＝{x|0＜x＜1}．(2)由(1)和a，b∈M可知0＜a＜1,0＜b＜1，所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0.故ab＋1＞a＋b.[明技法]作商比较法证明不等式的一般步骤①作商：将不等式左右两边的式子进行作商；②变形：将商式的分子放(缩)，分母不变，或分子不变，分母放(缩)，或分子放(缩)，分母缩(放)，从而化简商式为容易和1比较大小的形式；③判断：判断商与1的大小关系，就是判断商大于1或小于1或等于1；④结论．02课堂·考点突破比较法证明不等式[明技法]分析法与综合法常常结合起来使用，称为分析综合法，其实质是既充分利用已知条件，又时刻瞄准解题目标，即不仅要搞清已知什么，还要明确干什么，通常用分析法找到解题思路，用综合法书写证题过程．用综合法、分析法证明不等式反证法证明不等式[明技法]利用反证法证明问题的一般步骤(1)否定原结论；(2)从假设出发，导出矛盾；(3)证明原命题正确．(2)已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ca＞0，abc＞0，求证：a，b，c＞0.证明：①设a＜0，因为abc＞0，所以bc＜0.又由a＋b＋c＞0，则b＋c＞－a＞0，所以ab＋bc＋ca＝a(b＋c)＋bc＜0，与题设矛盾．②若a＝0，则与abc＞0矛盾，所以必有a＞0.同理可证：b＞0，c＞0.综上可证a，b，c＞0.2．已知函数y＝f(x)在R上是增函数，且f(a)＋f(－b)＜f(b)＋f(－a)，求证：a＜b.证明：假设a＜b不成立，则a＝b或a＞b.当a＝b时，－a＝－b，则有f(a)＝f(b)，f(－a)＝f(－b)，于是f(a)＋f(－b)＝f(b)＋f(－a)，与已知矛盾．当a＞b时，－a＜－b，由函数y＝f(x)的单调性可得f(a)＞f(b)，f(－b)＞f(－a)，于是有f(a