湖南省长沙市六校2025届高三九月大联考数学试卷（含答案与解析）

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湖南省长沙市2025届高三六校九月大联考

数学

本试卷满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的)

B=-3x+m=0若

1.设集合LACB={I},则集合8=()

A.{1,-2}B.{1,2}c.{150}D.{L5}

z

2.若复数z满足————1—if则2=()

1+i

A.2+2iB.-2-2iC.-2iD.2i

3.等差数列｛々/(neN*)中，4=10,由一生1—2q,则。7=()

A.40B.30C.20D.10

--+，=2,

4.已知sin(tz+£)=则sindfsin/?=()

5tanatan/?

3113

A.——B.-c.——D.

105510

5.如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将

其六个顶点看作正方体各个面的中心点.若正八面体的表面积为12班，则正八面体外接球的体积为

A4在兀B.46兀C.12兀D.36兀

6.已知函数/(x)=cosx+e、，且〃=/⑵、b=c=f(ln2),则〃、b、c的大小关系()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

7.当工£［0,2兀］时，曲线y=cosx与y=2cos13x—胃交点的个数为()

A.3B.4C.5D.6

12025

8.已知"％)的定义域为R"(x+y)+/(x—y)=3/(x)/(y),且〃l)=w，则£/(左)=()

3k=\

1212

A.一一B.一一C.-D.-

3333

二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项

是符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分)

9.某校高三年级选考地理科的学生有100名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分X

的分数转换区间为［30,100］,若等级分X〜N(80,25),则()

参考数据：P(jU-o-<X</z+o-)=0.6827；P(4—2b<X<〃+2b)=0.9545；

P(〃-3b<XW〃+3<r)=0.9973

A.这次考试等级分的标准差为5

B.这次考试等级分超过80分的约有45人

C.这次考试等级分在［70,80］内的人数约为48人

D.尸(65<X<75)=0.1573

10.中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的

习俗和审美观念，故命名为中国结.中国结的意义在于它所显示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一个

侧面，也是数学奥秘的游戏呈现.它有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条.其中的八字结

对应着数学曲线中的双纽线.曲线C：（尤2+丁）2=9（尤2-了2）是双纽线，则下列结论正确的是（）

A.曲线c的图象关于丁=%对称

B.曲线。上任意一点到坐标原点。的距离都不超过3

C.曲线。经过7个整点（横、纵坐标均为整数的点）

D.若直线丁="与曲线C只有一个交点，则实数左的取值范围为（一。,—

11.已知函数/（x）=X2—21nx,则下列选项中正确的是（）

A.函数/（X）的极小值点为x=l

B-/（"日（d、

C.若函数g（x）=/（|x|）T有4个零点，贝Ve（l,4<o）

D.若/（」）=/（%）（须7%），则无1+々<2

三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）

12.已知向量海满足同=23=（3,0）,则向量£在向量五方向上的投影向量的坐标为，则卜—5|=

22

13.已知双曲线—4=1（。〉0］〉0）左、右焦点分别为耳,心，离心率为2,过点用的直线/交

ab

E的左支于两点（。为坐标原点），记点。到直线/的距离为d,则/=.

14.十四届全国人大一次会议于2023年3月5日在北京召开.会议期间，会议筹备组将包含甲、乙在内的

5名工作人员分配到3个会议厅负责进场引导工作，每个会议厅至少1人.每人只负责一个会议厅，则

甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有种.（用数字作答）

四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.记VABC内角A5c的对边分别为瓦。，已知（疯?—abinA=（Z?+c）（sinB—sin。）.

（1）求角C；

(2)若VA3C外接圆的半径为2,求VA3C面积的最大值.

16.如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BC//AD,EF//AD,AD=4,

AB=&.，BC=EF=2,AF=亚，EB,平面ABCD,M为AD上一点，且府，4£),连接

BD、BE、BM.

(1)证明：平面5E0；

(2)求平面AB厂与平面£出石的夹角的余弦值.

17.如图在平面直角坐标系x0y中，已知椭圆和：；+9=1,椭圆。2：^+]=1,直线/与椭圆G

只有一个公共点，且与椭圆C?交于A,3两点.

(1)当直线/倾斜角为135。时，求直线/的方程；

(2)求证：7A0B面积为定值.

18.已知函数/(x)=(x-l)e”

(1)求函数单调区间；

(2)求〃尤)的零点个数.

(3)g(x)=/(x)—加在区间-1,|上有两个零点，求机的范围？

19.对于V/eN*，若数列｛4｝满足加一%>1，则称这个数列为“K数列”.

(1)已知数列1,2m,苏+1是“K数列”,求实数机的取值范围.

(2)是否存在首项为-2的等差数列｛%｝为“K数列”，且其前w项和S“使得S〃"恒成立?若存

在，求出数列{4}的通项公式；若不存在，请说明理由.

(3)已知各项均为正整数的等比数列{4}是“K数列”，数列不是“K数列"，若看，试判断

数列{%}是否为“K数列”，并说明理由.

参考答案

一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的)

1.设集合A”*,5=即2-3%+*。},若AC5={1},则集合人()

A.{1,-2}B.{1,2}C.{1,0}D.{1,5}

【答案】B

【解析】

【分析】将尤=1代入方程求出加，再求集合3即可.

【详解】由AcB={l}可知F—3+m=0=>切=2，

当加=2时，x2-3x+2=0>解得：x=l或尤=2,即3={1,2}.

故选：B

z

2.若复数z满足——=-l-i,贝ijz=()

1+1

A.2+2iB.-2-2iC.-2iD.2i

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数乘除法运算直接计算即可.

z

【详解】因为——二—1—i,所以z=—(l+i)2=—2i.

l+i

故选：C.

3.等差数列{a“}(neN*)中，％=10,%-%=2%，则%=()

A.40B.30C.20D.10

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解.

详解】设等差数列{"}("€N*)的公差为d,

%—%=2q,贝°3d=2q,

2

生=10,贝!]q+d=q=10,解得％=6,d=4,

%=4+6d=6+24=30.

故选：B.

311

4.已知sin(a+/?)=——,----+-------=2,则sincusin/?=()

5tanatan/?

3113

A.-----B.-C.——D.—

105510

【答案】A

【解析】

【分析】切化弦，通分即可求解.

【详解】因为sin(a+夕)=—w，因为

11cosacos。cosasin/?+cos£sinasin(/7+a).八3

------+-------=--------+——=--------------------------=--------------=2,所以smosin/=——.

tanatan/sinasinj3sinasin,sinasin/3---------------------------------10

故选：A.

5.如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将

其六个顶点看作正方体各个面的中心点.若正八面体的表面积为12班，则正八面体外接球的体积为

()

A.4行兀B.4百兀C.12兀D.3671

【答案】B

【解析】

【分析】根据正八面体的结构特征结合条件可得外接球的半径，进而由球的体积公式即得体积.

【详解】如图正八面体，连接AC和班>交于点。，

因为胡=EC,ED=EB，

所以EOLAC,EOYBD,又AC和3D为平面ABCD内相交直线，

所以£0,平面ABCD,所以。为正八面体的中心，

设正八面体的外接球的半径为A,因为正八面体的表面积为8x在AB?=12V3,所以正八面体的棱长为逐，

4

所以EB=EC=BC=®0B=0C=V3,EO=<EB2-OB2=遮，

则R=V3,V==%x3G=4GT

故选：B.

6.已知函数/（x）=cos%+e*,且a=〃2）、/?=/［：］、c=/（ln2）,则°、b、c的大小关系（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

【答案】D

【解析】

【分析】首先判断函数在（0,+。）上的单调性，再比较大小.

【详解】/"(%)=-sin%+e¥,当无>0时，/,(x)>0,

所以了（%）在（0,+。）单调递增,

因为2>ln2>lnC=g,所以<〃ln2)<“2),即6<c<a.

故选：D

7.当％e［0,2兀|时，曲线y=cosx与y=2cos13x—交点的个数为()

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【解析】

【分析】分别画出丁=85%与y=2cos［3x-在［°，2兀］上的函数图象，根据图象判断即可•

【详解】y=cosx与y=2cos，x-在［0,2句上的函数图象如图所示，

由图象可知，两个函数图象交点的个数为6个.

故选：D.

12025

8.已知〃%)的定义域为R,/(x+y)+/(x-y)=3/(x)/(y),且/⑴=彳,则£/(左)=()

3k=\

1212

A.一一B.——C.—D.—

3333

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，利用赋值法，求得了(x+6)=/(x),得到“力的一个周期是6,再根据函数的周期

性和奇偶性，求得“1),/(2),“3),/(4),/(5),〃6)的值，进而得到答案.

【详解】由题意知，函数八％)的定义域为RJ(x+y)+/(x—y)=3/(x)/(y),且〃1)=；,

令x=l,y=0,得/(1+0)+/(1_0)=3/(1)/(0),所以/(0)=§；

令％=0,得/(0+y)+/(0—y)=3/(0)/(y),所以/(—y)=/(y),所以/(九)是偶函数，

令y=l,得/(x+l)+/(x—l)=3/(x)〃l)=〃x)①，所以“兀+可+”力=/^+9②，

由①②知〃x+2)+/(x—1)=0,所以/(x+3)+/(x)=0J(x+3)=—/(x),

所以/(x+6)=-/(x+3)=/(x),所以/(力的一个周期是6,

1o

由②得/(2)+/(0)=/(1),所以/(2)=—同理/(3)+/。)=/(2),所以/(3)=_§,

112

又由周期性和偶函数可得：44)=〃—2)=〃2)=-1〃5)=〃-1)=41)=§"(6)=/(0)=§,

所以〃1)+/(2)+〃3)+…+”6)=0,

202562

所以£/(%)=337£f(k)+/(1)+/(2)+/(3)=--.

k=lk=l3

故选：B.

二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项

是符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分)

9.某校高三年级选考地理科的学生有100名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分X

的分数转换区间为［30,100］,若等级分X〜N(80,25),则()

参考数据：P［jU—cr<X<//+cr)=0.6827；P(〃—2b<X<〃+2cr)=0.9545；

P(〃-3b<XW〃+3b)=0.9973

A.这次考试等级分的标准差为5

B.这次考试等级分超过80分的约有45人

C.这次考试等级分在［70,80］内的人数约为48人

D,尸(65<X<75)=0.1573

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据X〜N(80,25)含义易判断A,B两项，对于C,D,先把范围转换成用4。表示，利用3b概

率值求出相应范围的概率值，再进行估算即可.

【详解】对于A,因X~N(80,25),则b=/=5,故A正确；

对于B,因〃=80,即这次考试等级分超过80分的学生约占一半，故B错误；

对于C,因P(70<X<80)=—2。<XK〃)=gP(〃—2。KXK〃+2。)=%x0,9545«0.48,

故这次考试等级分在［70,80］内的人数约为0.48x100=48人，故C正确；

对于D,因P（65<X<75）=P（〃-3crWXW〃一cr）

=1—3b<X<〃+3b）—P—。<X<〃+。）］=g（0.9973-0.6827）=0.1573,

故D正确.

故选：ACD.

10.中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的

习俗和审美观念，故命名为中国结.中国结的意义在于它所显示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一个

侧面，也是数学奥秘的游戏呈现.它有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条.其中的八字结

对应着数学曲线中的双纽线.曲线。：（尤?+>2）2=9（尤2一J）是双纽线，则下列结论正确的是（）

A.曲线。的图象关于丁=兀对称

B.曲线C上任意一点到坐标原点。的距离都不超过3

C.曲线C经过7个整点（横、纵坐标均为整数的点）

D.若直线丁=6与曲线。只有一个交点，则实数左的取值范围为1］。口,+S）

【答案】BD

【解析】

【分析】对于A项，运用若点（》,y）关于丁=》对称的点（y,x）满足方程，则曲线的图象关于y=x对称，

检验即可；对于B项，根据已知条件可得好+丁<9即可；对于c项，计算边界点来界定整数点个数；对

于D项，联立直线方程与双纽线方程，将问题转化为方程只有一解即可.

【详解】对于A项，把（y,X）代入，+y2）2=9（%2一丁2）得（/+/？=9（,2-/），

显然点（y,x）不满足双纽线方程，

所以曲线c的图象不关于y=x对称，故A项错误；

对于B项，由（x2+y2）2=9（"产）可得/+）；2=9（：_：）=9--^^<9,

所以曲线C上任意一点到坐标原点。的距离d=万<3，即都不超过3,故B项正确：

对于C项，令y=0解得x=0或x=±3,即曲线经过（0,0）,（3,0）,（-3,0）,

由题意可知，—3VxM3,

令％=±1,得y2=Tl[&%<l,

令％=±2,得1</=T7+廊<2,

-2

因此曲线C只能经过3个整点(0,0),(3,0),(-3,0),故C项错误；

对于D项，直线y="与曲线(必+y2)2=9(x2-一定有公共点(0,0),

若直线y=近与曲线C只有一个交点，

所以<(X+J)=NX—，),整理得/(1+/)2=9尤2(1_左2),只有一个解了=0,

y=kx

即1一左2三0，解得左€(—8,—1]。口,+°0),故D项正确.

故选：BD.

11.已知函数/(X)=f—21nx,则下列选项中正确的是()

A.函数/(%)的极小值点为x=l

C.若函数g(x)=/(W)T有4个零点，贝Ve(l,4<o)

D.若/(玉)=/(*2)(七h大2)，则西+工2<2

【答案】AC

【解析】

【分析】求导，利用导数判断了(龙)的单调性和最值，可得〃龙)的图象，进而可以判断A；对于B：根据

了(%)的单调性分析判断；对于C：根据偶函数性质分析可知：原题意等价于当x>0时，丁=/(%)与

y=f有2个交点，结合“村的图象分析求解；对于D：构建g(x)=〃2—x)—/(x),xw(O,l),结合

导数可得/(2-x)</(x),xe(O,l),结合极值点偏移分析证明.

【详解】由题意可知：/(%)的定义域为(o,+“)，且ra)=2x—2=乂士

XX

令解得X>1；令/'(%)<0,解得O<X<1；

可知/(%)在(0,1)内单调递减，在(1,+")内单调递增,

则且当了趋近于0或+8时，”力趋近于+8,

可得函数7(%)的图象，如图所示:

对于选项A：可知函数/(%)的极小值点为x=l,故A正确;

对于选项B：因为1＜血＜7=,且/(%)在(1,+。)内单调递增,

所以/•(&)</3

,故B错误;

对于选项C：令g(x)=/QM)T=0,可得国)=f,

可知函数g(x)=/(W)T有4个零点，即y=/(附与y=，有4个交点,

且y=/(M)的定义域为(―8,O)U(O,+8)，且/(n)=/(W)，

可知y=/(|x|)为偶函数，且当x＞0时，j=/(|x|)=/(x)

原题意等价于当X>o时，丁=/(力与y=f有2个交点，

由题意可知：t>2,故C正确；

对于选项D：设g(x)=/(2-x)-/(x)=21nx-21n(2-x)+4-4x,xe(0,l),

“、224(x-l)2

则g'x)=*+---4=4_4〉0,

V'x2-xx(2-x)

可知y=g(x)在(0,1)内单调递增，则g(x)<g⑴=0,

即/(2-x)</(x),xe(O,l),

若/（玉）=/（%2）（%片为2）,不妨设。（玉<1<%,

则“2-%）</（%）=〃莅）,

且2—3>1,无2>1，且“X）在（1,+。）内单调递增,

则2-西<工2，所以入+々〉2,故D错误;

故选：AC.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤

（1）作差或变形；

（2）构造新函数人（X）；

（3）利用导数研究可X）的单调性或最值；

（4）根据单调性及最值，得到所证不等式.

特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问

题.

三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）

12.已知向量满足口=2,1=（3,0）,则向量£在向量B方向上的投影向量的坐标为,则卜一可=

【答案】回

【解析】

【分析】由已知分别求出cos<Z,B>和同，再根据平面向量数量积的运算律求解即可.

【详解】由B=（3,o）得，W=3,

因为向量£在向量5方向上的投影向量的坐标为，

所以==即cos<£,1>=（,

所以"一可=|a|+|&|一2同B].cos<a,石>=4+9—2x2x3x；=10,

所以卜—闸=

故答案为：yflQ.

13.已知双曲线石:三-谷=1（〃>0/>0）的左、右焦点分别为耳,B，离心率为2,过点片的直线/交

ab

E的左支于两点（。为坐标原点），记点。到直线/的距离为d,贝!］&=.

a

［答案］匕立

2

【解析】

【分析】根据给定条件，作出图形，结合三角形中位线性质可得3耳，再利用双曲线定义及勾股定理

求解即得.

【详解】令双曲线E的半焦距为c,由离心率为2,得c=2a,

取平?的中点£>,连接8,由|05|=|。周，得。。，耳8,贝HOD|=d,

连接F/,由。为耳耳的中点，得8居鸟|=2d,BF2LBF{,\FlB\^2d-2a,

因此|3招『+|34『=|耳居|2,即（2d）2+（21—24=（44,整理得（412一4-3=0,

aa2

Ed、Cr-r-Kld1+y/^7

而一〉0,所以一=———.

aa2

14.十四届全国人大一次会议于2023年3月5日在北京召开.会议期间，会议筹备组将包含甲、乙在内的

5名工作人员分配到3个会议厅负责进场引导工作，每个会议厅至少1人.每人只负责一个会议厅，则

甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有种.（用数字作答）

【答案】114

【解析】

【分析】将5名工作人员分配到3个会议厅，人数组合可以是1,1,3和1,2,2,先求出5名工作人员分配到

3个会议厅的情况数，甲乙两人分配到同一个会议厅的情况数，相减得到答案.

【详解】将5名工作人员分配到3个会议厅，人数组合可以是LL3和1,2,2,

03

人数组合是LL3时，共有xA：=60种情况,

其中甲、乙两人分配到同一个会议厅的情况为啖=18种,

从而甲、乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法有60-18=42种;

「2r2rl

yJJ

人数组合是1,2,2时,共有xA；=90种情况,

A；

其中甲、乙两人分配到同一个会议厅的情况为C；C；xA；=18种,

从而甲、乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法有90-18=72种，

所以甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有42+72=114种.

故答案为：H4.

四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.记VABC的内角A,5c的对边分别为反c,已知（亚》-4卜］!14=。+C）卜1118-5111。）.

（1）求角C；

（2）若VA3C外接圆的半径为2,求VA3C面积的最大值.

7T

【答案】（1）c=-

6

（2）2+6

【解析】

【分析】（1）运用正弦定理实现边角转化，结合余弦定理进行求解即可；

（2）根据正弦定理，结合外接圆的半径可以求出c=2,根据三角形面积公式、利用重要不等式进行求解即

可.

【小问1详解】

由已知及正弦定理可得（，0-a）a=0+c）0-c）,

整理得6+匕2一°2=后方，

.•.cosC一—=无，

1'l"ab2

JT

*/C£（0,兀）,.二c二%.

【小问2详解】

•.•△ABC外接圆的半径为2,

.•~———4,得c=2,/./+/=4+y/3cib，

sinC

又。>2ab.<4（2+6）,

当且仅当。=。=痛+后时，等号成立,

（，

•q=-aZ?sinC<-x42+@xg=2+G

22

即NABC面积的最大值为2+石.

16.如图，四边形ABCD与四边形AD石方均为等腰梯形，BCHAD,EF//AD,AD=4,

AB=6.，BC=EF=2,AF=A，EB,平面ABC。，M为AD上一点，且府_LA£）,连接

BD、BE、BM.

（1）证明：平面

（2）求平面AB厂与平面£出石的夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见详解

3A/47

47

【解析】

【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合线面垂直的判定定理、平行线的性质进行证明即可；

（2）作石N_LAD,垂足为N,根据平行四边形和矩形的判定定理，结合（1）的结论，利用勾股定理，因

此可以以BAf,BC,所所在的直线分别为x轴、V轴、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公

式进行求解即可.

【小问1详解】

因为FBI,平面ABCD,又ADu平面ABCD,

所以用，4。.又府，40,且方8。9=/，

所以ADL平面3RW.因为BC7/AD,所以BC，平面8RW.

【小问2详解】

作石NJ_AZ),垂足为N.则FM//EN.又EF//AD,

所以四边形引MNE是平行四边形，又ENLAD,

所以四边形引⑷VE是矩形，又四边形ADEF为等腰梯形，且AD=4,EF=2,

所以A"=l.

由(1)知AD,平面5引欣，所以又AB=J5，

所以BM=1.在RtAAFW中，FM=^AF2-AM2=V10-

中，FB=^FM--BM2=3-

由上可知，能以BC,加'所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系.

则A(—l,—1,0),5(0,0,0),F(0,0,3),£>(—1,3,0),E(0,2,3),所以，AB=(1,1,0),丽=(0,0,3),

丽=(—1,3,0),丽=(0,2,3),设平面AB厂的法向量为沅=(%,％,zj,

m-AB=0x+y=0,

由＜,得।二可取沅=(l,—L0).

m-BF=0匕=0,

设平面BDE的法向量为n=(^,y2,z2),

n-BD=0~xi+3y2=0,

由＜，得可取为=(9,3,—2).

n-BE=02y2+3Z2=0,

m-n9-3_3屈

因此，cos<in,n>=

\m\-\n\71+1-781+9+4-47

依题意可知，平面AB厂与平面。BE的夹角的余弦值为白国.

47

17.如图在平面直角坐标系中，已知椭圆椭圆。2：千+(=1,直线/与椭圆。

只有一个公共点，且与椭圆G交于两点.

(1)当直线/倾斜角为135。时，求直线/的方程;

(2)求证：VAOB的面积为定值.

【答案】(1)x+y+百=0或x+y—6=0

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据直线倾斜角得到直线的斜率，进而设直线方程，根据直线与曲线有一个交点联立方程组解

得答案;

(2)设直线/为丁=丘+匕，直线/与椭圆。只有一个公共点联立方程组消元得2公一尸+1=0,直线与椭

一4kb

圆C?交于两点,连立方程组结合韦达定理得《,结合三角形面积公式得答案;

2"4

【小问1详解】

因为直线/倾斜角为135。，直线/为y=-x+6,因为椭圆弓：事+/=1,

y=-x+b

直线/与椭圆G只有一个公共点，联立方程《X221得3y2-2勿+/—2=0,

—+V=1

I2-

；.△=482—12仅?―2)=0,，〃=土G,所以直线/为x+y+y/3=OsS,x+y-y/3=O

【小问2详解】

y=kx+b

因为直线I与椭圆G只有一个公共点，设直线/为y=依+人由＜X221，得

—+y=1

I2,

（21C+l）x2+4kbx+2b--2=Q,:.A=16Z:V-4（2^+1）（2&2-2）=0,:.2k2-b2+l=0,

y=kx+b

X2丁得Q42+1）22

又因为直线与椭圆c2交于A,B两点《x+^kbx+2b-4=0

--1---I

142

—4kb

石+九2=%2[1

所以《:,因为直线/与y轴交于点(08)，所以1bM玉―引

2Z?—42

—4kb22b--4-

所以S|-4-

2k2+12k2+1

Sb-（2k--b2）+16b2

2^—4—=V2■

~b^

18.已知函数=一x2.

(1)求函数的单调区间；

⑵求〃龙)的零点个数.

(3)g(x)=/(x)—加在区间-1,|上有两个零点，求用的范围?

【答案】(1)/(%)的单调减区间为：(01n2)；单调增区间为：(—8,0),(ln2,+w)

人「捉1八

(2)1个(3)-------,-1

L24J

【解析】

【分析】(1)对函数求导，利用导数正负与原函数的关系求解即可；

(2)结合(1)问的单调性，求出函数/(幻的值域，结合零点存在定理即可求解.

(3)将零点问题转化为函数交点问题，求出/(%)在区间-L；上的值域即可求解.

【小问1详解】

由题可得：f(^)=xex-2x-x(cx-2),

令/'(x)=0,角军得：x=。或x=ln2,

令广(%)<0,解得：0<x<ln2；

令—(%)>0,解得：％<0或x>ln2；

所以了(%)的单调减区间为：(0,ln2)；单调增区间为：(-oo,0),(ln2,+8)

【小问2详解】

因为/(%)的单调减区间为：(。/口2)；单调增区间为：(-oo,0),(In2,+oo),

由于7(。)=—Iv。，则/。)在(—8,0)上无零点；

由于/(In2)=2(ln2-l)-(ln2)2<0,则/(%)在(0,ln2)上无零点；

由于f(2)=e2-4>0,则f(x)在(In2,2)上存在唯一零点；

综上，函数/(%)在R上存在唯一零点.

【小问3详解】

若g(x)=/("—现在区间上有两个零点，则函数y=/(x)与丁=加在区间-1[上有两个交

点；

由(1)知，/(X)在(—1,0)上单调递增，(0,；)上单调递减；

=/(0)=-1<0,错)=_手_；〉/(_1),

所以函数y=/(x)与y=”在区间—1,1上有两个交点，则—立—1三机<—1,

L2J24

即g(x)=/(x)—加在区间—L；上有两个零点，则机的范围为一4一：，T

L」/

19.对于V/eN*，若数列｛七｝满足九一%>1，则称这个数列为“K数列”.

(1)已知数列1,2m,苏+1是“K数列”,求实数m的取值范围.

(2)是否存在首项为-2的等差数列｛q｝为“K数列”，且其前〃项和r使得S〃