山西省太原市2024届高三下学期模拟考试（二）数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山西省太原市2024届高三下学期模拟考试（二）数学试卷第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题自要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，则.故选：B.2.在复平面内，对应的点的坐标是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗,故对应点为，故选：D.3.已知，，，则与的夹角为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，，，所以，则，即，解得，设与的夹角为，则，又，所以，即与的夹角为.故选：C.4.某校高二年级学生中有60%的学生喜欢打篮球，40%的学生喜欢打排球，80%的学生喜欢打篮球或排球．在该校高二年级的学生中随机调查一名学生，若该学生喜欢打篮球，则他也喜欢打排球的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设在该校高二年级的学生中随机调查一名学生，若该学生喜欢打篮球为事件A,在该校高二年级的学生中随机调查一名学生，则他也喜欢打排球为事件B,,.故选：A.5.已知，分别是等差数列和等比数列，其前项和分别是和，且，，，则（）A.9 B.9或18 C.13 D.13或37〖答案〗B〖解析〗设等比数列的公比为，由且，当时，则，符合题意，则，又，所以，所以；当时，则，即，解得（舍去）或，所以，则，又，所以，所以；综上可得或.故选：B.6.已知圆锥的顶点为P，底面圆的直径，，则该圆锥内切球的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由圆锥的性质易知为以P为顶点的等腰三角形，又，所以，则为正三角形，边长为，如图所示，作出圆锥及其内切球的轴截面，设中点分别为，内切球球心为O，由正三角形内心的性质易知，即内切球球半径为1，所以体积.故选：C.7.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则（）A.5 B.4或5 C.6 D.4或6〖答案〗A〖解析〗△ABC中，，，，由正弦定理，有，为△ABC的内角，则有，所以，，，，由正弦定理，有.故选：A.8.已知函数，若方程恰有三个不同实数根，则实数k的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗如图所示，作出函数的图象，方程恰有三个不同实数根，等价于上述两个函数图象有三个交点，易知，显然与必有一个交点，所以要满足题意需与有两个交点，①先求与相切时的值，设切点为，则，令，即单调递增，又，所以，当过点时，，此时满足条件的②再求与相切时的值，联立，，易知切点横坐标为，显然时，，符合要求，当过点时，，此时满足条件的，综上：.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题自要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A. B.的周期C.图象关于点对称 D.在区间上递减〖答案〗BC〖解析〗对于A，由图象可得，，，所以，因为，所以，或，因为点附近的图象呈下降趋势，所以，故A错误；对于B，可得，又，所以，所以，得，由图知，，所以，所以，可得，所以，，故B正确；对于C，因为，故C正确；对于D，当时，，因为在上单调递增，所以在区间上单调递增，故D错误.故选：BC.10.已知数列满足，，则下列结论正确是（）A.是递增数列 B.是等比数列C.当n是偶数时， D.，，使得〖答案〗BC〖解析〗对于A：由，，，所以A错误；对于B：当时，由，，当时，，综上所述：所以是以为首项，为公比的等比数列，B正确；对于C：由B可知，是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，偶数，所以当n是偶数时，，故C正确；对于D：由C可知，，由，所以，因为，所以当时，，当时，，而，所以恒成立，故D错误；故选：BC.11.已知两定点，，动点M满足条件，其轨迹是曲线C，过B作直线l交曲线C于P，Q两点，则下列结论正确的是（）A.取值范围是B.当点A，B，P，Q不共线时，面积的最大值为6C.当直线l斜率时，AB平分D.最大值为〖答案〗ACD〖解析〗设Mx,y因为，即，整理可得，可知曲线C是以为圆心，半径的圆.对于选项A：因为，可知点B在曲线C内，且直线l与曲线C必相交，且，则PQ的最大值为，最小值为，所以PQ取值范围是，故A正确；设，联立方程，消去x可得，则.对于选项B：可得，令，则，可得，因为在内单调递增，则的最小值为，即，则，可得的面积，所以面积的最大值为，故B错误；对于选项C：因为，又因为，则，即，可知，所以AB平分，故C正确；对于选项D：因为AB平分，则，可知当与曲线C相切时，取到最大值，此时，且为锐角，则，即的最大值为，则的最大值为，所以最大值为，故D正确；故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数fx=xe〖答案〗〖解析〗因为的定义域为R，则，且ex>0，令f'x>0所以函数的单调递增区间是.13.为获得某校高一年级全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法抽取了一个样本，其中有30名男生和20名女生，计算得男生样本的均值为170，方差为15．女生样本的均值为160，方差为30，则由上述数据计算该校高一年级学生身高的均值是_____________，方差是_____________．〖答案〗16645〖解析〗设样本中男生的身高为，女生的身高为，则，该校高一年级学生身高的均值是，方差为.14.已知双曲线C：（，）的右焦点是，动点（）在C上．若过点P作C的切线与直线相交时，记其交点为Q，恒成立，则的取值范围为_____________．〖答案〗〖解析〗设切线方程为，联立，则，可得，有，则，有，令，则，有，，则，又，解得，，则C的方程为，故，，设，则，当时，，设，则，则，设，则故在上单调递减，故，因此；当时，，设，则，故在0,1上单调递增，则，因此，综上所述，.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.一款便携式行李箱的密码是由数字1，2，3组成的一个五位数，这三个数字的每个数字在密码中至少出现一次，且它们出现的概率相等．（1）求该款行李箱密码的不同种数；（2）记X表示该款行李箱密码中数字1出现的次数，求X的分布列和数学期望．解：（1）当密码中只有一个数字出现三次且其余两个数字各出现一次时，其不同种数为C3当密码中有两个数字各出现两次且另一个数字出现一次时，其不同种数为C3∴该款行李箱密码的不同种数为60+90=150．（2）由题意得X所有可能的取值为1，2，3，PX=1PX=2PX=3∴X的分布列为X123P∴X的数学期望EX16.已知抛物线C：（）的焦点为F，过点且斜率为1的直线经过点F．（1）求抛物线C的方程；（2）若A，B是抛物线C上两个动点，在x轴上是否存在定点M（异于坐标原点O），使得当直线AB经过点M时，满足？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意过点且斜率为1的直线方程为，即，令，则，∴点F的坐标为1,0，∴，∴．抛物线C的方程为．（2）由（1）得抛物线C：，假设存在定点，设直线AB的方程为（），Ax1,y1由，得，∴，，，∵，∴，∴，∴或（舍去），当时，点M的坐标为，满足，，∴存在定点．17.如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是正方形，平面平面ABCD，是边长为8的正三角形，，且，点G，H分别是BC，BF的中点．（1）设AE与平面DGH相交于点M，求的值；（2）求平面BDM与平面CDM夹角的余弦值．解：（1）延长FE交HM的延长线于点N，连接DN，取AE的中点K，连接KH，∵，H是BF的中点，∴，且，∵G，H分别是BC，BF的中点，∴，平面，平面，∴平面，平面，又平面平面，∴，∴，∵ABCD是正方形，∴，∴CDNF是平行四边形，∵，∴，∴；（2）取AD的中点O，连接OE，∵是正三角形，∴，∵平面平面ABCD，∴平面ABCD，以O为原点，OA，OG，OE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，设是平面BDM的一个法向量，则，∴，取，则，，∴，设是平面CDM的一个法向量，则，∴，取，则，，∴，∴，∴平面BDM与平面CDM夹角的余弦值为．18.已知函数．（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）若函数在上有零点，求实数a的取值范围．解：（1）当时，,，∴，，在点1,f1处的切线方程为，即；（2）在0,+∞上有零点等价于在0,+∞上有零点，则，x∈0,+∞①当时，∵，∴hx在0,+∞∴，∴hx在0,+∞上无零点，∴不合题意；②当时，（ⅰ）当时，即时，∵，∴hx在0,+∴，∴hx在0,+∞上无零点，∴不合题意；（ⅱ）当时，即时，令，则，令h'x<0，则；令h'∴hx在上递减，在上递增，∴，取时，∵，∴，∴，∴，使得，∴符合题意；综上，a的取值范围为．19.已知两个非零向量，，将向量绕着它的起点沿逆时针方向旋转（）弧度后，其方向与向量的方向相同，则叫做向量到的角．已知非零向量到的角为，数量叫做向量与的运算，记作，即．根据此定义，不难证明以下性质：①；②；③．（1）利用以上性质证明：；（2）设到的角为，定义．当时，则表示△OAB面积；当