安徽省六校教育研究会2024-2025学年高一上学期新生入学素质测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省六校教育研究会2024-2025学年高一上学期新生入学素质测试数学试题一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分.）1.下列各数中，比大的数是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗对于A，因为，所以，故A不合题意；对于B，因，所以，故B不合题意；对于C，因为，所以，故C不合题意；对于D，因为，所以，故D符合题意.故选：D．2.下列运算正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确.故选：D．3.如图，在矩形中，对角线相交于点，，则的长为（）A.6 B.5 C.4 D.3〖答案〗C〖解析〗在中，，所以，所以，即.故选：C.4.目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是纸厚度的六分之一．已知1毫米百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（）A.纳米 B.纳米 C.纳米 D.纳米〖答案〗B〖解析〗由科学记数法得，0.015毫米纳米.故选：B．5.如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可得短桌的长为宽的两倍，即有，即.故选：B.6.如图，点A，B，C在上，，垂足为D，若，则的度数是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，又，所以.故选：A.7.为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（）A.200 B.300 C.400 D.500〖答案〗B〖解析〗设改造后每天生产的产品件数为，则，解得，经检验，是分式方程的根，且满足题意，故改造后每天生产的产品件数为300.故选：B.8.某校课外活动期间开展跳绳、踢键子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设跳绳、踢毽子、韵律操分别为A、B、C，画树状图如下，共有9种等可能的结果，甲、乙恰好选择同一项活动的有3种情况，故他们选择同一项活动的概率是.故选：C．9.如图，点E为的对角线上一点，，连接并延长至点F，使得，连接，则为（）A. B.3 C. D.4〖答案〗B〖解析〗过点作交于点，则，，又，则与全等，则，，由平行四边形性质可得且，故且，即四边形为平行四边形，即有.故选：B.10.如图，水平放置的矩形中，，菱形的顶点，在同一水平线上，点G与的中点重合，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点E运动到上时停止.在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗如图所示，设交于点，因为四边形为菱形，，所以，所以是等边三角形，因为，所以，所以，所以，当时，重合部分为如图所示，依题意，为等边三角形，则，所以，当时，如图所示，依题意，，则，所以；因为，所以当时，；当时，同理可得；当时，同理可得，，综上所述，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为一条线段，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线.故选：D．二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分.）11.因式分解：__________．〖答案〗〖解析〗.12.如图，是圆的直径，的顶点均在上方的圆弧上，的一边分别经过点A、B，则______．〖答案〗〖解析〗∵是圆的直径，∴所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为，∵所对的弧的和为半圆，∴.13.如图，四边形四个顶点的坐标分别是，在该平面内找一点P，使它到四个顶点的距离之和最小，则P点坐标为__________．〖答案〗〖解析〗设P为平面上一点，连接连接，相交于，则，所以，当且仅当为交点时等号成立，即最小时，为对角线的交点，易知直线的方程为，设直线方程为，代入，可得，解得，则直线方程为，联立，解得，所以点的坐标为.14.如图，将一张矩形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕，连接.再将矩形纸片折叠，使点B落在上的点H处，折痕为.若点G恰好为线段最靠近点B的一个五等分点，，则的长为______．〖答案〗〖解析〗设与交于点，∵矩形，∴，由折叠可知，，，设，则：，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，解得：，经检验是原方程的解，∴.三、解答题（共8小题，共58分.）15.先化简，再求值：，其中．解：原式，将代入，得：原式．16.如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数（m为常数，）的图象交于点．（1）求反比例函数和一次函数的〖解析〗式；（2）若点是x轴正半轴上的一点，且，求点C的坐标．解：（1）将点的坐标代入反比例函数表达式得：，所以反比例函数的表达式为：，将点的坐标代入反比例函数表达式得：，解得，所以点，将点的坐标代入一次函数表达式得：，解得，则一次函数的〖解析〗式为：．（2）设点，由点的坐标得，，∴，即，解得：或（舍去），即点．17.如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚．（1）数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本；（2）如果书架上已摆放10本语义书，那么数学书最多还可以摆多少本？解：（1）设书架上数学书x本，则语文书本，根据题意得，，解得，所以，所以书架上数学书60本，语义书30本．（2）设数学书还可以摆m本，则，解得，所以数学书最多还可以摆90本．18.2024年成都世界园艺博览会以“公园城市美好人居”为主题，秉持“绿色低碳、节约持续、共享包容”的理念，以园艺为媒介，向世界人民传递绿色发展理念和诗意栖居的美好生活场景．在主会场有多条游园线路，某单位准备组织全体员工前往参观，每位员工从其中四条线路（国风古韵观赏线、世界公园打卡线、亲子互动漫游线、园艺小清新线）中选择一条．现随机选取部分员工进行了“线路选择意愿”的摸底调查，并根据调查结果绘制成如下统计图表．游园线路人数国风古韵观赏线44世界公园打卡线x亲子互动漫游线48园艺小清新线y根据图表信息，解答下列问题：（1）本次调查的员工共有__________人，表中x的值为__________；（2）在扇形统计图中，求“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数；（3）若该单位共有2200人，请你根据调查结果，估计选择“园艺小清新线”员工人数．解：（1）本次调查的员工共有（人），表中x的值为.（2），所以在扇形统计图中，“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数为.（3）（人），所以估计选择“园艺小清新线”的员工人数为385人．19.中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺．在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为;在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为．已知，，求春分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据：，）解：在中，尺，，（尺）；在中，尺，，（尺）；（尺），观察可知，春分和秋分时日影顶端为的中点，（尺），∴春分和秋分时日影长度为9.2尺．20.如图，是的直径，，点E在的延长线上，且．（1）求证：是的切线；（2）当的半径为2，时，求的值．解：（1）连接，设与交于点F．，∴点O、B在的垂直平分线上，垂直平分，即，，，是的直径，是的切线.（2）的半径为2，是的直径，，，，，.21.在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线．（1）求m的值；（2）若点在的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；（3）设的图象与x轴交点为．若，求的取值范围．解：（1）∵点在二次函数的图象上，，解得，∴抛物线为，∴抛物线的对称轴为直线．（2）∵点在的图象上，，解得，∴抛物线为，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：，，∴当时，函数有最小值为1，当时，函数有最大值为，∴当时，新的二次函数的最大值与最小值的和为11．（3）的图象与x轴交点为，，∴，，，，，解得，所以a的取值范围为．22.如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，连接．（1）如图1，当时，与之间的位置关系是__________，数量关系是__________．（2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．（3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，如图3．已知，设，四