2024年上海市中考数学一轮复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系综合过关检测（解析版）

专题15圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系综合过关检测

（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）

一、单选题（本题共10小题，每题3分，共30分）

1.如图，扇形AOB的圆心角为142。，点C是弧AB上一点，则/ACB的度数是（）

B.120°C.109°D.119°

【答案】C

【详解】如图所示，在。。上取点。，连接A。，BD,VZA（9B=142O,AZADB=|x]42°=71°.

ZACB=180°-71°=109°.故选C.

【点睛】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键.

2.如图点I是AABC的内心，ZBIC=130°,则/BAC=()

B.50°

D.100°

【答案】C

【分析】根据三角形的外接圆得到/ABC=2/IBC,ZACB=2ZICB,根据三角形的内角和定理求出NIBC+

ZICB,求出NACB+/ABC的度数即可.

【详解】解：：点I是AABC的内心,

ZABC=2ZIBC,ZACB=2ZICB,

ZBIC=130°,

ZIBC+ZICB=180°-ZCIB=50°,

ZABC+ZACB=2X50°=100°,

.\ZBAC=180°-(ZACB+ZABC)=80°.

故选C.

【点睛】本题主要考查对三角形的内切圆与内心，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能求出/

ACB+ZABC的度数数解此题的关键.

3.如图，已知在。。中，AB=46，AF=6,AC是直径，ACLBD于F,图中阴影部分的面积是()

A.§%一26B.-7T-2V3C.-^-473D.-^-4^3

3333

【答案】D

【分析】利用勾股定理求得BD=2BF=4百，连接OB、OD、BC,先求得NABC=90。，进而根据射影定理求

得FC=2,从而求得直径的长，根据余弦函数求得NBAF=30。，进而得出/BOD=120。，最后根据S阴影=5扇形

-SABOD即可求得阴影的面积.

【详解】解：•・•AC是直径，ACLBD于F,

ABF=DF,BC=DC，

.*.ZBAC=ZDAC,

在RTAABF中，BF=《AB?-AF=2A/3

；.BD=2BF=45

连接OB、OD、BC,

A

VAC是直径，

・・・ZABC=90°,

ABF2=AF*FC,即(273)2=6FC,

・・・FC=2,

J直径AC=AF+FC=6+2=8,

・・.。。的半径为4,

VAB=473,AF=6,

AF6

/.cosZBAF

AB^3~~2

：.ZBAF=30°,

NBAD=60。，

.,.ZBOD=120°,

VOC=4,FC=2,

AOF=2,

=­x4&x2』_4百

36023

故选择：D.

【点睛】本题考查了垂径定理，扇形的面积、及直角三角函数和勾股定理等知识，难度适中.

4.如图，AABC内接于。O,D为线段AB的中点，延长0D交。。于点E,连接AE,BE,则下列五个结

论①ABLDE,②AE=BE,③OD=DE,@ZAEO=ZC,⑤弧AE=；弧AEB,正确结论的个数是（）

/7Vx

//Q\\

1/\

D)5

E

A.2B.3

C.4D.5

【答案】B

【分析】已知OE是。O的半径，D是弦AB的中点，可根据垂径定理的推论来判断所给出的结论是否正确.

【详解】解：：0E是。。的半径，且D是AB的中点，

.,.0E1AB,弧AE=MBE=；MAEB；（故①⑤正确）

.".AE=BE；（故②正确）

由于没有足够条件能够证明③④一定成立，所以一定正确的结论是①②⑤；

故选B.

【点睛】此题主要考查了圆心角、弧、弦的关系及垂径定理的推论；垂径定理的推论：平分弦（不是直径）

的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧.

5.如图，在RtABC中，BC=3cm,AC=4cm,动点P从点C出发，沿CfB-»AfC运动，点尸在运

动过程中速度始终为1cm/s,以点C为圆心，线段CP长为半径作圆，设点P的运动时间为t（s）,当（C与

ABC有3个交点时，此时t的值不可能是（

C.6.6D.9.6

【答案】B

【分析】根据。C与△ABC有3个交点，可知。C与RSA2C只有三个交点的半径r只有2个，一个是片3,

另一个是『2.4（此时圆与斜边A8相切），依此作答即可.

【详解】以C为圆心，作半径为r的圆，则与RtAABC只有三个交点的半径r只有2个，一个是k3,另一

个是片2.4（此时圆与斜边A8相切），其余情况都不能满足与RtAABC只有三个交点，所以以2.4和3为半

径做圆,与RtAABC相交的点有6个，/分别为2.4,3,4.8,6.6,9,9.6.

故选B.

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是由。C与AABC有3个交点得出可能的情况数，有

一定的难度.

6.如果等边三角形的边长为6,那么它的外接圆的半径为（）

A.2A/3B.4C.5D.6

【答案】A

【分析】三角形的外接圆的圆心是三条角平分线的交点，根据等边三角形三线合一的性质，外接圆的半径

为高的：，等边三角形的边长为6,则高为36，所以它的外接圆的半径为2K.

【详解】•••等边三角形的边长为6,.•.高为3君.

:外接圆的半径为高的；，...它的外接圆的半径为2班.

故选A.

【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆的性质.掌握等边三角形三线合一的性质是解题的关键.

7.如图，PA.PB、是。的切线，A、B、E是切点，CD分别交R4、尸3于C、。两点，若NAPB=40,

P4=5,则下列结论：①PA=PB=5；②APCD的周长为5；③NCOD=70.正确的个数为（）

A.3个B.2个C.1个D.0个

【答案】B

【分析】根据切线长定理，可判断①正确；将PCD的周长转化为B4+PB,可判断②错误；连接。4、0B、

OE,求出ZA03,再由/<?0。=/<%^+/£0£>=；（/40后+/80后）=：403,可判断③正确.

【详解】PA.PB是。的切线，

PA=PB=5,故①正确；

PA.PB、CD是。的切线，

CA^CE,DE=DB,

PCD的周长=PC+CE+r>E+PD=PC+C4+PD+r>3=PA+P3=2B4=10,

故②错误.

连接。4、OB、OE,

ZAOB=180°-ZAPB=140°,

NCO。=NCOE+ZEO。=；(NAOE+4OE)=；NAO8=70。，故③正确.

综上可得①③正确，共2个.

故选：B.

【点睛】本题考查了切线的性质以及切线长定理，解答本题的关键是熟练掌握：从圆外一点引圆的两条切

线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角.

8.如图,AB是。O的直径,弦DC交AB于E,过C作。O的切线交DB的延长线于M,若AB=4,ZADC=45°,

A.73B.2C.3A/3D.2拒

【答案】D

【分析】连接OC,过。作OFLC。，构造垂径定理，利用己知的45。角，可以得到NOCF度数，再利用垂

径定理所构造的直角三角形，可得到C。长.

【详解】解：连接OC,过。作。尸，CD,利用垂径定理得到尸为CD的中点，

：CM为圆。的切线，

ZOCM=90°,

,/ZADC与ZAOC都对弧AC,

ZAOC=2ZADC=90°,

・•・ZCDM=-N8OC=45。,

2

ZM=75°,

...ZDCM=60°,

・・・NOC尸=30。，

在Rt/kOC尸中，OC=2,

CF-OC,cosZOCF=yfi,

贝l|CD=2CF=26.

故选D.

【点睛】垂径定理:垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧.

推论一:平分弦（不是直径）的直径垂直与这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧.

推论二:弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧.

推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧.

推论四:在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等.

构造垂径定理后，往往有直角三角形，再利用直角三角形的相关知识解决问题.

9.如图，在AABC中，ZACB=90°,过B,C两点的。。交AC于点D,交AB于点E,连接EO并延长交

。。于点F.连接BF,CF.若NEDC=135o,CF=20,则AE2+BE2的值为（）

A

C.16D.20

【答案】C

【分析】根据圆内接四边形的性质及邻补角的定义可得NADE=NABC=45。，再证得NADE=NA=45。即可

得AE=AD；根据直径所对的圆周角是直角可得NFCE=90。，在Rt^EFC中求得EF=4；连接BD,可证得BD

为为。O的直径，在RtZkBDE中根据勾股定理可得5炉+。石2=602=42=16,由此即可得结论.

【详解】VZEDC=135°,

・•・ZADE=45°,ZABC=180°-ZEDC=180o-135°=45°；

•・•ZACB=90°,

・・.NA=45。，

ZADE=ZA=45°,

AAE=AD,ZAED=90°；

VEF为。O的直径，

ZFCE=90°,

VZABC=ZEFC=45°,CF=2A/2，

・・・EF=4；

连接BD,

ZAED=90°,

・•・ZBED=90°,

ABD为。O的直径,

，BD=4；

在RtABDE中，BE2+DE2=BD2=42=16,

,,.AE2+BE2=16.

故选C.

【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论、圆内接四边形的性质及勾股定理等知识点，会综合运用所学的

知识点解决问题是解题的关键.

10.如图所示，MN是。。的直径，作ABLMN,垂足为点D,连接AM,AN,点C为弧AN上一点，且弧

AC=<AM,连接CM,交AB于点E,交AN于点F,现给出以下结论：

①AD=BD；②/MAN=90。；③弧AM=MBM；@ZACM+ZANM=ZMOB；⑤AE=：MF,

其中正确结论的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】根据ABLMN,垂径定理得出①③正确，利用MN是直径得出②正确，注c==，得出④正确,

结合②④得出⑤正确即可.

【详解】rMN是OO的直径,ABLMN,

AD=BD,AB=BM,ZMAN=90。.（①②③正确）

AC=AM,

:注C=痴=脑，

.•.NACM+NANM=NMOB（④正确）

•••ZMAE=ZAME,

.-.AE=ME,/EAF=NAFM,

.-.AE=EF,

;.AE=；MF.（⑤正确）.

正确的结论共5个.

所以D选项是正确的.

故选D

【点睛】此题考查圆周角定理，垂径定理,以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识.

A.2B.3C.4D.5

二、填空题（本题共10小题，每题3分，共30分）

11.已知AB是。O的直径，弦CDLAB于点E,如果AB=8,CD=6,那么OE=

【答案】用

【分析】连接OC,根据垂径定理求出CE,在AOEC中，根据勾股定理求出OE即可.

【详解】解：连接OC.如图所示：

：AB是圆O的直径，ABXCD,

.*.CE=DE=-CD=3,OC=OB=-AB=4,

22

在AOCE中，由勾股定理得：

OE=yl0C2-CE2=V42-32=4

故答案为五.

【点睛】本题考查了勾股定理、垂径定理；关键是构造直角三角形，求出CE的长，用的数学思想是方程思

想，把OE当作一个未知数，题目较好.

12.如图,AB切OO于点B,BC〃OA,交。O于点C,若/OAB=30。,BC=6,则劣弧BC的长为.

【答案】2兀

【分析】连接OB,OC,由AB为圆的切线，利用切线的性质得到三角形AOB为直角三角形，再由BC与

OA平行，利用两直线平行内错角相等得到NOBC为60度，又OB=OC,得到三角形BOC为等边三角形,

确定出/BOC为60度，利用弧长公式即可求出劣弧BC的长.

【详解】解：连接OB,OC,

VAB为圆O的切线，

.\ZABO=90°,

在RtAABO中，ZOAB=30°,

.\ZAOB=60°,

VBC/7OA,

.\ZOBC=ZAOB=60°,

又：OB=OC,

.,.△BOC为等边三角形，

.\ZBOC=60°,BO=CO=BC=6,

故答案为2兀

【点睛】此题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，以及弧长公式，熟练掌握切线的性质是解本

题的关键.

13.如图，已知OC是：。的半径，过OC的中点。作。C的垂线交C。于点A,B,以下结论：

@AD=BD；®AC=BC-,③AC=BC；®ZAOC=ZBOC；®ZOAB=30,

正确的是____________.（填序号）.

【答案】①②③④⑤

【分析】由OC是。O的半径，过OC的中点D作DC的垂线交。O于点A,B,根据垂径定理可得AD=BD,

AC=BC；又由圆心角与弧的关系，可得/AOC=NBOC,由垂直平分线的性质，可得AC=BC,然后由含

30。角的直角三角形的性质，求得NOAB=30。.

【详解】VOC±AB,

/.AD=BD,AC=BC，

故①③正确；

.\ZAOC=ZBOC,故④正确；

:过OC的中点D作DC的垂线交。。于点A,B,

即OC是AB的垂直平平分线，

；.AC=BC,故②正确；

,•,OD=1OC=1OA,

.\ZOAB=30°,故⑤正确.

故答案是：①②③④⑤.

【点睛】考查了圆心角与弧的关系、垂径定理、线段垂直平分线的性质以及含30。直角三角形的性质.注意

理解题意是关键.

14.在中，ZC=90°,AC=5,BC=8,如果以点C为圆心作圆，使点A在圆C内，点8在圆C

外，那么圆C半径厂的取值范围为

【答案】5<r<8

【分析】根据点A在圆C内，则》4。，点2在圆C外，则即可得出答案.

【详解】•••以点C为圆心作圆，使点A在圆C内，

r>AC,

即r>5,

:以点C为圆心作圆，使点8在圆C外，

r<BC,

即r<8,

5<r<8.

故答案为5<r<8.

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系.熟记“设点到圆心的距离为私则当衣7■时，点在圆内；当上厂时，

点在圆上；当上r时，点在圆外”是解题的关键.

15.如图，。。是AABC的内切圆，切点为E,E,若A。、BE的长为方程一一17尤+60=0的两个根，贝必ABC

的周长为____________

【详解】分析：求AABC的周长，关键是求出两条直角边的长；由已知的方程可求出AF、BE的长，结合

切线长定理和勾股定理，可求得CE、CF的长，进而可求出AC、BC的长；再由勾股定理求得AB,即可求

AABC的周长.

详解：如图；

x=12,x=5,

；.AD=AF=5,BF=BE=12；AB=17,

设CE=CD=x,则AC=5+x,BC=12+x；

由勾股定理，得：

AB2=AC2+BC2,IP172=(5+x)2+(12+x)2,

解得：x=3(负值舍去)，

；.AC=8,BC=15；

因止匕AABC的周长=AC+BC+AB=8+15+17=40,.

故答案为40.

点睛：此题考查了三角形的内切圆与内心，解一元二次方程-因式分解法等知识点，掌握三角形的内切圆的

性质是解决问题的关键.注意勾股定理的应用.

16.如图，0c过原点，与x轴、y轴分别交于A、D两点.已知NOBA=30。，点D的坐标为(0,473),

则0c半径是____________

【答案】4

【详解】分析：连接AD,根据圆周角定理得出AD为直径，根据圆周角定理得出/ADO=30。，然后根据直

角三角形的性质求出AD的长度，从而得出半径.

详解：连接AD,ZAOD=90°,AD为直径，VZOBA=30°,.\ZADO=30°,

：0D=4—,；.AD=8,...0C半径是4.

点睛：本题主要考查的是圆周角定理，属于基础题型.根据直角所对的弦为直径得出AD为直径是解决这

个问题的关键.

17.如图，正方形ABCD的边长为4cm,以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半

圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则AADE的面积为.

【答案】6cm2

【详解】【分析】由于AE与圆O切于点F,根据切线长定理有AF=AB=4cm,EF=EC；设EF=EC=xcm.则

DE=(4-x)cm,AE=(4+x)cm,然后在三角形BCE中由勾股定理可以列出关于x的方程，解方程即可

求出，然后就可以求出AADE的面积.

【详解】：AE与圆O切于点F,

显然根据切线长定理有AF=AB=4cm,EF=EC,

设EF=EC=xcm,

则DE=(4-x)cm,AE=(4+x)cm,

在三角形ADE中由勾股定理得：

(4-x)2+42=(4+x)2,

x=lcm,

CE=lcm,

DE=4-l=3cm,

SAADE=AD*DE-^-2=3x4^-2=6(cm2).

故答案为6cm2

【点睛】本题考核知识点:切线长定理，正方形，勾股定理.解题关键点：运用切线长定理求出AF=AB,EF=EC.

18.如图，在平面直角坐标系中，OM经过点A(0,4),点B(3,0),点P为。M上一点，且在第一象

限，贝UsinNP的值为.

【答案】|4

【详解】【分析】连接AB,利用同弧所对圆周角相等，可得NP=NABO,利用勾股定理可得AB,

.........4

利用三角函数定义，可得sinZP=sinZABO=y.

【详解】连接AB,

因为NP和NABO是弧AO所对的圆周角，

所以，ZP=ZABO,

因为点A(0,4),点B(3,0),

所以，OA=4,OB=3,

所以，AB=5,

一,4

所以，sinZP=sinZABO=y.

【点睛】本题考核知识点：圆周角，解直角三角形.解题关键：作辅助线，利用同弧所对圆周角相等，得/

P=/ABO.再解直角三角形.

19.如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=4,以C。为直径作「。.将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩

形A'B'CD的边AE与：O相切，切点为E,边CD与。相交于点尸，则C尸的长为

【答案】4

【详解】分析：连结E0并延长交CF于点H,由旋转和相切知四边形EBCH是矩形，再根据勾股定理即可

求出CH的长，从而求出CF的值.

详解：连结E0并延长交CF于点H.

矩形A5co绕点C旋转得到矩形A'B'CD',

...NB'=/B'CD'=90°,A'B'〃CD',BC=B'C=4,

：AB切0O与点E,

OEIA'B',

四边形EB-CH是矩形，

.\EH=B,C=4,0H±CF,

VAB=5,

;.OE=OC=3AB=3,

22

在RtAOCH中,根据勾股定理得CH=^/OC2-OH2=J(|)2-(|)2=2,

；.CF=2CH=4.

故答案为4.

点睛：此题主要考查切线的性质，垂径定理及矩形的性质等知识点的综合运用.

20.把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，ZCAB=60,若量出AO=8C〃2,则圆形螺母的

【答案】\6\[3cm

【详解】解：设圆形螺母的圆心为。，与切于£,连接OE,OA,如图所示：

VAD,A8分别为圆。的切线，为ND4B的平分线，ODLAC,OD1AC.又•.•/CAB=60。，

ZOAD=-ZDAB=6Q°.在R3A。。中，ZOAD=60°,AD=Scm,：.tanZOAD=tan60°=—,即变=指，

2AD8

：.OD=86cm,则圆形螺母的直径为166cm.故答案为16后cwi.

点睛：本题考查了切线的性质，切线长定理，锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握性

质及定理是解答本题的关键.

三、解答题（共3题，共40分）

21（12分）.如图，已知AABC内接于0O,AB为。O的直径，AC的延长线上有点D,AC=3CD,连接

BD,E为BD的中点，CE是。。的切线.

（1）求证：BD与。O相切；

（2）求NACE的度数.

【答案】（1）详见解析；（2）120。

【分析】（1）连接OC,如图，利用圆周角定理得NACB=90。，再根据斜边上的中线性质得CE=BE=DE,

所以/1=/2,接着根据切线的性质得/1+/3=90。，于是N2+N4=90。，然后根据切线的判定定理得到

结论；

（2）设CD=x,则AC=3x,先证明AABCs^ADB,利用相似比得到AB=2gx,然后在RsACB中利

用余弦定义求出NA=30。，则/OCA=/A=30。，从而得到/ACE的度数.

【详解】（1）连接OC,如图，

VAB为。O的直径,

ZACB=90°,

为BD的中点，

；.CE=BE=DE,

.\Z1=Z2,

VOB=OC,

?.Z3=Z4,

：CE是。O的切线.

AOCXCE,

.,.Zl+Z3=90°,

Z2+Z4=90°,BPZOBE=90°,

・・・BD_LAB,

・・・BD与。O相切；

（2）解：设CD=x,则AC=3x,

VZCAB=ZBAD,ZACB=ZABD=90°,

AAABC^AADB,

.ACABnn3xAB

ABADAB4X

AB=2Qx,

在R3ACB中，3：=^~,

AB2氐2

.\ZA=30o,

VOA=OC,

.\ZOCA=ZA=30°,

ZACE=30°+90°=120°.

【点睛】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线

垂直于经过切点的半径.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”;有切线时,

常常“遇到切点连圆心得半径也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质.

22（14分）.如图1,BC是。的直径，点A在。上，点。在C4的延长线上，DE1BC,垂足为点

。后与［0相交于点“，与A5相交于点/.过点A作/=与。片相交于点H

⑴求证：AF为。的切线；

1

⑵当=且tan乙DAT、彳时，求：丁的值；

2IE

（3）如图2,在⑵的条件下，延长曲，BC相交于点G,若CG=10,求线段EH的长.

【答案】（1）见解析；（2）g；（3）6\[6.

【分析】（1）欲证明Ab是切线，只要证明Q4LAF即可；

⑵首先证明〃推出tan/Butan/Du；,推出AO=24,由=推出3/=7A,

BE=2ZE,设IE=a,贝i]BE=2a,BI=AI=y[5a,推出AC=gAB=V^z,在RtABC中，

BC=yjAC2+AB2=5a，可得EC=BC-BE=5a-2a=3a，由止匕即可角毕决问题；

⑶只要证明GAC^^GBA,PT^#—=-=—=由CG=10,推出G4=20,BG=40,3c=30,

GAGBAB2

由BC=5a=30,推出a=6,可得BE=12,EC=18,再证明CEHs_HEB,可得HE?=BEEC,即可

解决问题；

【详解】（1）证明：如图1中，连接。4

D

图1

是直径，

ABAC=ABAD=90,

ZDAF+ZFAI=90,

OA=OB,

ZOBA=ZOABf

ZDAF=ZABO,

・•.ZOAB=ZDAFf

/.ZOAB+ZFA1=90，

/.ZFAO=90,即Q4_LAF,

.•.AF是。的切线.

（2）解:如图2中，

图2

ZIEB=ZIAD=90，ZBIE=ZAID,

:"D=ZB,

ZDAF=ZB,

:.ZD=ZB=ZDAFf

tanZB=tanZZ）=—,

2

:.AD=2AI,AD=AB,

:.BI=IA,

:.BE=2IE,设7E=a,贝!J郎=2。，BIAI=y[5a

AC——AB—y[5a,