人教版九年级数学上册专项复习：二次函数的应用（解析版）

专题22.5二次函数的应用

典例精析

【典例1】某企业安排75名工人生产甲，乙两种产品，每名工人每天可生产2件甲产品或1件乙产品，且

每名工人每天只能生产一种产品，甲产品每件可获利20元.根据市场需求，乙产品每天产量不少于5件，

当乙产品每天生产5件时，每件可获利150元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元，设每天安排x

(尤为不小于5的整数)名工人生产乙产品.

(1)用含x的代数式表示：每天生产甲产品的工人有名；每件乙产品可获利润元；

(2)若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多450元，求每件乙产品可获得的利润；

(3)该企业在不增加工人数量的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲，丙两种产品的产量相等.已知每

名工人每天可生产1件丙产品，丙产品每件可获利25元，该企业每天生产三种产品，且可获得的总利润的

和最大时，请求出尤的值.

【思路点拨】

(1)根据题意列代数式即可；

(2)根据(1)中数据表示每天生产甲乙产品获得利润，根据题意构造方程即可；

(3)设生产甲产品机人，则生产丙产品人，则切=等，设生产三种产品每天可获得的总利润的和为

卬元，根据题意列出函数解析式，再根据函数的性质求最值即可.

【解题过程】

解：(1)由已知，每天安排无人生产乙产品时，生产甲产品的有(75-x)人；

在乙每件150元获利的基础上，增加(尤-5)人,利润减少2(尤-5)元每件，则乙产品的每件利润为150

-2(%-5)=(160-2x)元.

故答案为：(75-x)；(160-2x)；

(2)由题意

20x2(75-x)=x(160-2x)+450,

-100x+1275=0,

解得xi=15,%2=85(不合题意，舍去)，

••x~~15,

・•・160-2%=130,

答：每件乙产品可获得的利润是130元；

（3）设生产甲产品加人，则生产丙产品2根人，可获得的总利润的和为w元,

m+2m+x=75,

根据题意得：

w=20x2m+25x2m+x(160-2x)

=90m+160x-22

=90x+160x-2/

=-2/+130x+2250,

.,.对称轴为直线x=-J及八=32-,

•・”为正整数，-2<0,

.•.%=32或%=33时w最大，

当x=32时，机=与必不是整数，

当％=33时，m=-g-=14,

:・％=33,

答：x的值为33.

学霸必刷

1.（2022•鞍山）某超市购进一批水果，成本为8元/依，根据市场调研发现，这种水果在未来10天的售价

m（元伙g）与时间第x天之间满足函数关系式相=%+18（1金10,x为整数），又通过分析销售情况，发

现每天销售量y（饭）与时间第无天之间满足一次函数关系，下表是其中的三组对应值.

时间第X天259

销售量W依333026

（1）求y与尤的函数解析式；

（2）在这10天中，哪一天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为多少元?

【思路点拨】

（1）利用待定系数法求解即可;

(2)设销售这种水果的日利润为w元，得出w=(-x+35)($+18-8)=-1(x—苧)？+出含，再结合

1SE10,x为整数，利用二次函数的性质可得答案.

【解题过程】

解：(1)设每天销售量y与时间第x天之间满足的一次函数关系式为>=日+6,

根据题意，得:蔚仁爵

解嘱/

.\y=-x+35(l<x<10,x为整数)；

(2)设销售这种水果的日利润为w元，

,1

贝i]w=(-x+35)(-x+18-8)

2

——^.v~H--^t+SSO

Vl<x<10,x为整数，

.•.当x=7或x=8时，w取得最大值，最大值为378,

答：在这10天中，第7天和第8天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为378元.

2.(2022•沙市区模拟)荆州某旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一

天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金尤(元)是5的倍数.发现每天的营运规律如下：当无不超过100

元时，观光车能全部租出；当尤超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1

辆.已知所有观光车每天的管理费是1100元.

(1)如果要使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？(注：净收入=

租车收入-管理费)

(2)当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？

【思路点拨】

(1)观光车全部租出每天的净收入=出租自行车的总收入-管理费，根据不等关系：净收入为正，列出不

等式求解即可；

(2)由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数最大值，比较得出函数的最大值.

【解题过程】

解：(1)由题意知，若观光车能全部租出，则0〈烂100,

由50x-1100>0,

解得尤>22,

又是5的倍数，

每辆车的日租金至少应为25元；

（2）设每天的净收入为y元，

当0〈烂100时，yi=50x-1100,

随x的增大而增大，

...当x=100时，yi的最大值为50x100-1100=3900；

当x>100时，

”=（50」一；00）%-1100

1

=50x—/92+20%-1100

=-1^2+70X-1100

=-1（.x-175）2+5025,

当x=175时，”的最大值为5025,

V5025>3900,

当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元.

3.（2022•朝阳）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）

与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8M15,且x为整数）.当每件消毒用品售价为9元时,

每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件.

（1）求y与尤之间的函数关系式.

（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？

（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润

最大？最大利润是多少元？

【思路点拨】

（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；

（2）根据每件的销售利润x每天的销售量=425,解一元二次方程即可；

（3）利用销售该消毒用品每天的销售利润=每件的销售利润x每天的销售量，即可得出w关于x的函数关

系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题.

【解题过程】

解：（1）设每天的销售量〉（件）与每件售价X（元）函数关系式为：y=kx+b,

由题意可知:｛常，==喘，

解得:｛广总，

3=150

与x之间的函数关系式为：y=-5尤+150；

（2）（-5x+150）（%-8）=425,

解得：xi=13,X2=25（舍去），

.♦•若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；

（3）w=y（x-8）,

=（-5x+150）（x-8）,

w=-5f+190x-1200,

=-5（x-19）2+605,

V8<r<15,且x为整数，

当x<19时，w随x的增大而增大，

.•.当x=15时，w有最大值，最大值为525.

答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元.

4.（2022•九龙坡区自主招生）在脐橙丰收时，为了减少脐橙的库存，某脐橙销售公司决定开发市场增加销

售点进行销售，经销售发现，脐橙的每日销售量y（保）与销售单价元/依）满足关系式：y=-100X+3000,

销售单价不低于6元/像且不高于20元/依.当每日销售量低于2000依时，该脐橙的成本价格为6元饭，当

每日销售量不低于2000依时，该脐橙的成本价格5元/依，设该公司销售脐橙的日获利为w（元）.

（1）求该公司销售脐橙的日获利w与销售单价尤之间的函数关系式；

（2）当销售单价定为多少时，销售这种脐橙日获利最大？最大利润为多少元？

【思路点拨】

（1）分两种情况讨论，由日获利=（销售单价-成本）x日销售量，可求解；

（2）分两种情况讨论，由二次函数的性质，分别求出6SE10和10<后20时的最大利润，即可求解.

【解题过程】

解：（1）当心2000时，即-100尤+3000N2000,

解得：烂10,

当6<x<10时，w=(x-5)(-WOx+3000)=-100?+3500.r-15000,

当10<x<20时，w=(x-6)(-lOOx+3000)=-100/+3600x-18000,

综上所述：日获利.与销售单价x之间的函数关系式为四*35。。，-15000(6WxW10)

(-100/+3600X-18000(10<%<20)

(2)当6<x<10时，w=-100/+3500尤-15000=-100(x-17.5)2+15625,

-100<0,对称轴为x=17.5,

二当6WE10时，w随x的增大而增大，

当尤=10时，w有最大值，最大值为10000,

当10<x<20时，w=-100?+3600x-18000=-100(%-18)2+14400,

'：a=-100<0,对称轴为x=18,

...当x=18时，w有最大值为14400,

V14400>10000,

.•.当销售单价定为18元时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为14400元.

5.(2022•鞍山二模)某科技公司生产一款精密零件，每个零件的成本为80元，当每个零件售价为200元

时，每月可以售出1000个该款零件，若每个零件售价每降低5元，每月可以多售出100个零件，设每个零

件售价降低尤元，每月的销售利润为w元.

(1)求w与x之间的函数关系式；

(2)为了更好地回馈社会，公司决定每销售1个零件就捐款〃(0<«<6)元作为抗疫基金，当40M60时,

捐款后每月最大的销售利润为135000元，求n的值.

【思路点拨】

(1)根据销售利润=单件利润*销售量列出函数解析式即可；

(2)根据销售利润-捐款额列出函数解析式，再根据函数的性质结合x的取值范围求值即可.

【解题过程】

解：(1)设每个零件售价降低x元，则每个零件的实际售价为(200-x)元，

每月的实际销售量为(1000+5X100)，

贝Uw=(200-%-80)(1000+1X100)=20?十1400x+120000,

..[%>0

*1200-%-80>0'

0<x<120,

与X之间的函数关系式为w=-20J+1400X+120000(0<x<120)；

（2）设捐款后的实际利润为〃元,

贝【Jp=-20X2+1400X+120000-(1000+|x100)n,

整理得：p=-20?+(1400-20")x+120000-1000”,

1400—20n70—n

则p是x的二次函数，其对称轴为直线％=-

2x(—2。)——2

V0<n<6,

.•.32<^^<35,

・・,-20<0,

.•・函数图象开口向下，当40W烂60时，p随x的增大而减小，

当x=40时，p有最大值135000,

即-20X402+40（1400-20n）+120000-1000^=135000,

解得：n=5.

6.（2022•南京模拟）某地实施产业扶贫种植某种水果，其成本经过测算为20元/千克，投放市场后，经过

市场调研发现，这种水果在上市的一段时间内的销售单价p（元/千克）与时间t（天）之间的函数图象如图，

且其日销售量y（千克）与时间f（天）的关系是：y=-2f+160.（0<r<80,且f为整数）

（1）试求销售单价p（元/千克）与时间f（天）之间的函数表达式；

（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？

【思路点拨】

（1）当0</<40时，设销售单价p（元/千克）与时间f（天）之间的函数关系式为p=kt+b,根据待定系数

法求解即可，当40VfV80时，p=40,即可求解；

（2）设日销售利润为w元，分别求出分段函数中w的最大值，即可求解.

【解题过程】

解：（1）当g日40时,

设销售单价P（元/千克）与时间r（天）之间的函数关系式为p=n+6,

.(30=b

"Uo=40k+b'

(b=30

1

.*./?=4%+30,

当40W80时，T?=40,

综上所述:片忤+30(0—40)：

.40(40<t<80)

(2)设日销售利润为w元，

当0</<40时，

w=(p-20)*y

1

=(一什30-20)(-2Z+160)

4

=-1t2+20t+1600

=(f-20)2+1800,

1

•••-『0，

.•.当f=20时，w有最大值为1800元，

当40</<80时，

w=(p-20)・y=20(-27+160)=-40什3200,

：-40<0,-40x40+3200,即w<1600,

...综上可得，第20天的销售利润最大，最大日销售利润为1800元.

7.(2022•惠民县一模)为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓.根

据市场调查，在草莓上市销售的28天中，其销售价格m(元/公斤)与第x天之间满足巾=

1一(X为正整数)，销售量〃(公斤)与第X天之间的函数关系如图所示.

[-%+58(14<x<28)

(1)求销售量〃与第x天之间的函数关系式；

(2)求草莓上市销售第8天李大爷的销售收入；

(3)求草莓上市销售的第11天至14天这4天，每天的销售收入y与第％天之间的函数关系式；并求出这

4天当中哪一天的销售额最高？为多少元？

n.

【思路点拨】

(1)依据图象，分段求出解析式，方法采用待定系数法；

(2)令x=8代入到销售量解析式和价格解析式分别得出销售量和价格，即可得到销售收入.

(3)联立价格函数和销量函数得到到一个关于x的一元二次函数，在根据二次函数的性质即可求解.

【解题过程】

解：(1)当Z<x<10,设直线AB的解析式为n=kx+b,

将A(1,12)>B(10,30)代入可得：

(k+b—12

V10k+b=30)

解得:吊=3

lb=10

即此时解析式为：n=2x+10.

当10〈烂28时，同理可得：n=—2^+45,

则销售量"与第x天之间的函数关系式为：

2%+10(1<%<10)

n=3(x为整数).

-|x+45(10<x<28)

(2)解：令x=8分别代入价格函数和销量函数,

得：根=2x8+16=32,

几=2x8+10=26,

则第8天的销售收入为卯1=32x26=832(元)；

(3)解：在11天至14天这4天里，

3

根=2x+16,n——尹+45,

则每天的销售收入>="〃?=（2x+16）（-2^+45）,

化简，配成顶点式得y=-3（x-11）2+1083,（ll<x<14,且为整数）.

可知当x=ll时，即第11天时，销售收入最高，且最高收入为1083元.

8.（2022•南陵县自主招生）交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、

密度三个概念描述车流的基本特征，其中流量g（辆/小时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数；速

度v（千米/小时）指通过道路指定断面的车辆速度，密度k（辆/千米）指通过道路指定断面单位长度内的

车辆数.为配合大数据治堵行动，测得某路段流量g与速度v之间关系为q=-2V2+120V.

（1）当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？

（2）已知q,v,左满足q=就.

①市交通运行监控平台显示，当1狂区28该路段不会出现交通拥堵现象.试分析当车流密度上在什么范围

时，该路段不会出现交通拥堵现象；

②在理想状态下，假设前后两车车头之间的距离d（米）均相等，当d=25米时请求出此时的速度v.

【思路点拨】

（1）利用配方法，根据二次函数的性质即可解决问题；

（2）①求出v=28或18时，定义的上的值即可解决问题；

②当d=25时，左=堞5=40,此时g=40v,即q=-2~+120丫=401，，即可求解.

【解题过程】

解：（1）,函数关系式4=-2俨+120%化为项点式得4=-2（v-30）2+1800,

：-2<0,

...v=30时，q达到最大值，q的最大值为1800；

（2）,:q,v,k满足q=vk,

：.k=^.

V

①当v=18时，q=-2X82+120X18=1512,此时k==84,

当v=28时，q=-2x282+120x8=1792,此时k==64,

.•.6名公84,即当车流密度上满足64m公84时，该路段不会出现交通拥堵现象；

②在理想状态下，假设前后两车车头之间的距离d（米）均相等，且"=25,

fc=1黑。=40（辆/千米），

/.^=40v.

又•：q=-2V2+120V,

40v=-2V2+120V.

解得：vi=40,V2=O（舍去），

/.v=40,即此时的速度v=40千米/小时.

9.（2022•城厢区校级一模）为了防控新冠疫情，某市计划在体育中考时增设考生进入考点需进行体温检测

的措施.防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点

的累计人数y（人）与时间x（分钟）的变化情况，数据如下表：（表中9〜15表示9V后15）

时间X（分钟）01234567899〜15

人数y（人）0170320450560650720770800810810

（1）根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出y与x之间

的函数关系式；

（2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测

量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？

【思路点拨】

（1）分两种情况讨论，利用待定系数法可求解析式；

（2）设第x分钟时的排队人数为w人，由二次函数的性质和一次函数的性质可求当x=7时，w的最大值

=490,当9c烂15时，210<w<450,可得排队人数最多时是490人，由全部考生都完成体温检测时间义每

分钟检测的人数=总人数，可求解.

【解题过程】

解：（1）由表格中数据的变化趋势可知,

①当0WE9时，y是x的二次函数,

当x=0时，y=0,

二次函数的关系式可设为：y=a^+bx,

由题意可得：｛:a+b=170

9a+3b=450'

解得:｛、瑞

二次函数关系式为：y=-10x2+180%,

②当9〈止15时，>=810,

(—10x2+180x(0<x<9)

与x之间的函数关系式为:(810(9<x<15)

(2)设第尤分钟时的排队人数为卬人,

—10x2+140x(0<%<9)

由题意可得：w=y-40x=

810-40x(9<x<15)

①当Of烂9时，w=-10X2+140X=-10(x-7)2+490,

.,.当x=7时，w的最大值=490,

②当9〈止15时，w=810-40x,w随尤的增大而减小,

.".210<w<450,

.••排队人数最多时是490人,

要全部考生都完成体温检测，根据题意得：810-40x=0,

解得：x=20.25,

答：排队人数最多时有490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟.

10.(2022•江岸区校级模拟)中考临近，七一中学、七一华源中学食堂为提高全体初三学子伙食，精心购

买4、8两种食材共600依，A食材的价格为每千克5元，当2食材购买量不大于300版时，2食材的价格

为每千克9元，当8食材购买量大于300像时，每增加10像，B食材的价格降低0.1元.设购买B种食材

xkg(x为10的整数倍).

(1)若x<300,购买A、8两种食材共花了3800元，求A、8两种食材各多少千克？

(2)若尤>300,且购买A食材的数量不少于B食材数量的一半，求购买A种食材多少千克时，购买的总

费用最少，最少总费用是多少元？

(3)若购买A食材不超过机像(机<250),购买B食材超过300口，商家获得的最大销售额为4000元，

求相的值.

【思路点拨】

(1)设购买8种食材x千克，则购买A种食材(600-%)千克，根据题意列出方程求解即可；

(2)根据总费用=4,2两种食材费用之和列出函数解析式，再根据函数的性质求最值；

(3)令(2)中解析式w=0,则解一元二次方程即可.

【解题过程】

解：由于购买2种食材x千克，则购买A种食材(600-无)千克，

(1)当x<300时，购买8种食材的价格为每千克9元，

由题意得5(600-%)十9x=3800,

解得:x=200,

则600-x=600-200=400,

答：购买A种食材400千克，B种食材200千克；

（2）当x>300时，购买8种食材的价格为每千克（9-q泮x0.1）元，设购买的总费用为w元，

由题意得w=5（600-x）+（9—二翟X0.1）x,

整理得w=-0.01/+7尤+3000,

即w是x的二次函数，其对称轴为直线工=-不彳々万K=350,

ZX^—U.U1）

依>300

V1且x为10的整数倍，

600—x>/

300〈后400且x为10的整数倍，

：-0.0K0,

函数图象开口向下，当300<x<350时，w随x的增大而增大，当350〈烂400时，w随尤的增大而减小,

为10的整数倍，

.,.当x=400时，w有最小值，最小值为-0.01x40（）2+7x400十3000=4200,

此时600-尤=600-400=200,

二购买A种食材200千克时，购买的总费用最少，最少总费用是4200元；

（3）由题意，结合（2）可得，令-0.0l/+7x十3000=4000,

解得：xi=200,X2=5OO,

,/购买B食材超过300千克，

.,.尤=200应舍去，只取x=500,

Am=600-500=100.

11.（2022•洪山区模拟）某超市销售A、B两种玩具，每个A型玩具的进价比每个2型玩具的进价高2元,

若用600元进A型玩具的数量与用500元进B型玩具的数量相同.

（1）求A、8两种玩具每个进价是多少元？

（2）超市某天共购进A、8两种玩具共50个，当天全部销售完.销售A型玩具的价格y（单位：元/个）与

销售量无（单位：个）之间的函数关系是：y=-2x+80；销售B型玩具日获利优（单位：元）与销售量”（单

位：个）之间的关系为：机=16〃-260.

①若该超市销售这50个玩具日获利共300元，问B型玩具的销售单价是多少元？

②该超市购进的50个玩具中，B型玩具的数量不少于A型玩具数量的数量的4倍，超市想尽快售完，决定

每个A型玩具降价a(0<«<6)元销售，B型玩具的销售情况不变，若超市销售这50个玩具日获利的最大

值为820元，直接写出a的值.

【思路点拨】

(1)设B种玩具每种6元，则A种玩具每种(6+2)元，根据题意列出方程，求解即可；

(2)设该超市的日利润为w元，由题意可知x+〃=50,所以〃=50-x,①由题意可知，w—(.y-12)x+m

=(-2x+80-12)x+16(50-x)-260=-2x?+52尤+540,由该超市销售这50个玩具日获利共300元，所

以-2/+52X+540=300,解该方程即可求出x的值，进而可得出8种玩具的个数；设此时8种玩具的售价

为c元，则加=15x20-260=(c-10)x20,解之即可；

②根据题意可知，此时w=(y-12-a)x+m=(-2尤+80-12-a)x+16(50-x)-260=-2/+(52-a)

x+540,由a的取值范围，可得出该二次函数的对称轴的取值范围；由2型玩具的数量不少于A型玩具数量

的数量的4倍，可得出x的取值范围，根据二次函数的性质可列出方程，求解即可.

【解题过程】

解：(1)设2种玩具每种6元，则A种玩具每种(6+2)元，

,皿仁一八600500

由题息可知，---=—;一，

b+2b

解得6=10,

经检验，6=10是原分式方程的解且符合实际意义；

."+2=12,

：.B种玩具每种10元，则A种玩具每种12元；

(2)设该超市的日利润为w元，

由题意可知x+n—50,

-

•・77^50XJ

①由题意可知，w=(y-12)x+m

=(-2x+80-12)x+16(50-x)-260

=-2X2+52X+540,

・・,该超市销售这50个玩具日获利共300元,

・•・-2X2+52X+540=300,

解得％=30或%=-4(舍).

.*.n=50-x=20,

设此时8种玩具的售价为c元,

..m15x20-260=(c-10)x20,

解得c=13,

・・・8型玩具的销售单价是13元;

②根据题意可知，此时w=(y-12-a)x+m

=(-2x+80-12-〃)x+16(50-x)-260

=-2小+(52-〃)x+540,

0V〃<6,

46<52-a<52,

152—ci52—a

11-<x=-<13；

22x(-2)

B型玩具的数量不少于A型玩具数量的数量的4倍,

n>4x,

50-x>4x,解得立10,

当x=10时，w取得最大值,

-2x102+10(52-a)+540=820,

解得<2=4.

二。的值为4.

12.(2022春•鼓楼区校级期末)如图，学校要用一段长为36米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙

长为16米.

(1)若矩形A8C。的面积为144平方米，求矩形的边A8的长.

(2)要想使花圃的面积最大、AB边的长应为多少米？最大面积为多少平方米?

AD

花圃

B

【思路点拨】

(1)根据题意：矩形的面积=A2x2C,设未知数列方程可解答;

(2)设AB为x米，矩形的面积为y平方米，则BC=(36-2%)米，可以得到y与x的函数关系式，在x

的取值范围内求出函数的最大值即可.

【解题过程】

解:(1)设A3为x米，则BC=(36-2尤)米,

由题意得：x(36-2x)=144,

解得：xi=6,X2=12,

•.•墙长为16米，36米的篱笆，

.*.36-2x<16,2x<36,

.,.10<x<18,

.,.尤=12,

.•.AB=12,

答：矩形的边A2的长为12米；

(2)设A8为x米，矩形的面积为y平方米，则BC=(36-2x)米，

.,.y—x(36-2无)=-2X2+36X—-2(x-9)2+162,

V10<r<18,且-2<0,故抛物线开口向下，

...当尤=10时，y有最大值是160,

答：A3边的长应为10米时，有最大面积，且最大面积为160平方米.

13.(2022春•宿豫区期中)如图，正常水位时，抛物线形拱桥下的水面宽AB为20加，此时拱桥的最高点

到水面的距离为4m.

(1)把拱桥看作一个二次函数的图象，建立恰当的平面直角坐标系，求出这个二次函数的表达式；

(2)当水面宽10优时，达到警戒水位，如果水位以02M/Z的速度持续上涨，那么达到警戒水位后，再过

多长时间此桥孔将被淹没？

AB

【思路点拨】

(1)建立如图所示坐标系，根据题意设抛物线的解析式为y=a/+4,把A点坐标代入解析式求出a即可;

(2)首先求出警戒水位到桥面的距离，再求出时间f.

【解题过程】

解：(1)以水面所在直线为x轴，以过拱顶垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示:

设二次函数的解析式为y=a?+4（存0）,

把点A坐标代入解析式得：100〃+4=0,

1

解得：a=一石，

.••这个函数的表达式为：尸—奈+4；

（2）当水面宽10根时，即尤=5时，y=-与x5?+4=3,

此时水面离拱顶4-3=1（%）,

"0.2=5（/?）,

答：达到警戒水位后，再过5/7此桥孔将被淹没.

14.（2022•宁夏）2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一

条抛物线，跳台高度为4米，以起跳点正下方跳台底端。为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴,

建立如图所示平面直角坐标系.已知抛物线最高点8的坐标为（4,12）,着陆坡顶端C与落地点。的距

CE3

离为2.5米，若斜坡8的坡度=3：4（即;二=二）.

DE4

_、

ED

求：（1）点A的坐标；

（2）该抛物线的函数表达式;

（3）起跳点A与着陆坡顶端C之间的水平距离OC的长.（精确到0.1米）

（参考数据：V3-1.73）

【思路点拨】

(1)由抛物线的图象可直接得出结论；

(2)由抛物线的顶点可设出抛物线的顶点式，将点A的坐标代入即可得出结论；

(3)根据勾股定理可得出CE和DE的长，进而得出点Z)的坐标，由0C的长为点。的横坐标减去OE的

长可得出结论.

【解题过程】

解：(1)；。4=4,且点A在y轴正半轴，

AA(0,4).

(2):抛物线最高点B的坐标为(4,12),

.•.设抛物线的解析式为：y=a(x-4)2+12,

VA(0,4),

：.a(0-4)2+12=4,解得。=一去

.••抛物线的解析式为：丫=一±(尤-4)2+12.

CE3

(3)在RtACDE中，一=CD=2.5,

DE4

，CE=L5,DE=2.

二点D的纵坐标为-1.5,

令—2(x-4)~+12=-1.5,

解得，x=4+3k=9.19或x=4-3百Q-1.19(不合题意，舍去)，

：.D(9.19,-1.5).

.•.00=9.19-2=7.19=7.2(m).

：.OC的长约为7.2米.

15.(2022•钦州一模)跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为抛物线.如图

是甲，乙两人将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m,并且相距4m,

现以两人的站立点所在的直线为x轴，过甲拿绳子的手作无轴的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标

系，且绳子所对应的抛物线解析式为y=-卷/+bx+c.

(1)求绳子所对应的抛物线解析式(不要求写自变量的取值范围)；

(2)身高1.70根的小明，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？

(3)身高1.64机的小军，站在绳子的下方，设他距离甲拿绳子的手S",为确保绳子能通过他的头顶，请求

出s的取值范围.

【思路点拨】

(1)把(0,1),(4,1)代入抛物线y=-1/+日+©,得到二元一次方程组，解方程组即可;

(2)由自变量的值求出函数值，再比较便可；

(3)由y=1.64时求出其自变量的值，便可确定s的取值范围.

【解题过程】

解：(1)根据题意，抛物线丫=一司/+bx+c经过点(0,1)，(4,1).

c—1,

11

4b+c-

解得k=I'

(C=1.

绳子所对应的抛物线解析式为：尸-射2+/+1.

(2)身高1.70%的小明，不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶.

理由如下:

•.•产2

-1x+|x+1,当x=一W=2时,

yo32x(4)

177

y最大值=一小、22+@义2+1=JV1.7.

绳子能碰到小明，小明不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶.

1c2

(3)当y=1.64时，一G%2+可％+1=1.64,

即W-4x-3.84=0,

解得x=9粤4±0.8

-2-

•・xi^2.4,X2=1.6.

.,.1,6<5<2,4.

16.(2022•环江县模拟)如图1是一座抛物线型拱桥Ci侧面示意图.水面宽A8与桥面长均为24H7,

点E在CD上，DE=6m,测得桥面到桥拱的距离所为15”，以桥拱顶点。为原点，桥面为x轴建立平面

直角坐标系.

图1图2

(1)求桥拱顶部。离水面的距离；

(2)如图2,在(1)的条件下，桥面上方有3根高度均为的支柱CG,OH,DI,过相邻两根支柱顶端

的钢缆是形状相同的抛物线C2,C3,其最低点与桥面8的距离均为求拱桥抛物线C1与钢缆抛物线

C2的竖距离的最小值.

【思路点拨】

(1)利用待定系数法求函数解析式，然后结合二次函数图象上点的坐标特征计算求解；

(2)由图象分析右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为(6,1),然后利用待定系数法求函数解析式；再根据

题意，列式yi利用二次函数的性质求最值.

【解题过程】

解:(1)根据题意可知点尸的坐标为(6,-1.5),可设拱桥侧面所在二次函数表达式为：yi=ai^.

将尸(6,-1.5)代入yi=ai尤2有：-1.5=36ai,求得ai=-克，

•_12

♦•v=~24X>

当x=12时，yi—2^X12?=-6,

二桥拱顶部离水面高度为6m；

(2)由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为(6,1),可设其表达式为”=及(x-6)2+1,

将H(0,4)代入其表达式有：4=及(0-6)2+1,求得。2=白，

二右边钢缆所在抛物线表达式为：”=张(x-6)2+1,同理可得左边钢缆所在抛物线表达式为：*=条(x+6)

2+1

设拱桥抛物线Ci与钢缆抛物线C2的竖距离为Lm,

贝!JL=yi-yi=R(x-6)2+1-(一4/)=#2-x+4=g(x-4)2+2,

1

V->0,

8

当x=4时，L最小值=2,

答：拱桥抛物线Ci与钢缆抛物线C2的竖距离的最小值是2m.

17.(2022春•江夏区校级月考)某公园要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管OA长

2.25M在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1相处达到最高，

高度为3m.

(1)建立如图所示平面直角坐标系，求抛物线(第一象限部分)的解析式；

(2)不考虑其它因素，水池的直径至少要多少米才能使喷出的水流不落到池外？

(3)实际施工时，经测量，水池的最大半径只有25%，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，且喷

出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1相处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最

【思路点拨】

(1)由题意可知，抛物线的顶点坐标为(1,3),设抛物线的解析式为：y=a(x-1)2+3,将(0,2.25)

代入得，求出。的值即可；

(2)令y=0,得,0=(X-1)2+3,解得x=-l(舍)或x=3,可得直径至少为2x3=6(米)；

(3)将抛物线向下平移，使平移后的抛物线经过点(2.5,0),设平移后的抛物线的解析式为：y=(x

-1)2+h,将(2.5,0)代入得求出的值，得出平移后的抛物线的解析式，再令x=0求出y即可.

【解题过程】

解：(1)由题意可知，抛物线的顶点坐标为(1,3),

.•.设抛物线的解析式为：y=a(x-1)2+3,

将(0,2.25)代入得，a(0-1)2+3=2.25,

Q

解得4=—五，

.♦•抛物线的解析式为：y=~l(x-1)2+3.

(2)令y=0,得，0=(尤-1)2+3,

解得尤=T(舍)或x=3,

：2x3=6(米),

水池的直径至少要6米才能使喷出的水流不落到池外.

(3)将抛物线向下平移，使平移后的抛物线经过点(2.5,0),

设平移后的抛物线的解析式为：y=-l(尤-1)2+h,

将(2.5,0)代入得，一,(2.5-1)2+h=0,

解得h=条

当时,产一'-1)=磊

15

调整后水管的最大长度一米.

16

18.(2022•承德二模)如图1,在建筑工人临时宿舍外，有两根相距10米的立柱AB,。垂直于水平地面

上，在48,间拉起一根晾衣绳，由于绳子本身的重力，使绳子无法绷直，其形状可近似看成抛物线＞=

17

2Q^+bx+c,已知绳子最低点距离地面1米.以点8为坐标原点，直线8。为无轴，直线A8为y轴建立平面

直角坐标系.

(1)求立柱A8的长度；

(2)一段时间后，绳子被抻长，下垂更多，为了防止衣服碰到地面，在线段8。之间与相距4米的地

方加上一根立柱撑起绳子，这时立柱左侧的抛物线月的最低点相对点A下降了1米，距立柱MN也是

1米，如图2所示，求MN的长；

(3)若加在线段3。之间的立柱的长度是2.4米，并通过调整的位置，使抛物线印的开口大小与

抛物线y=m/+l的开口大小相同，顶点距离地面L92米.求与CD的最近距离.

图1图2

【思路点拨】

(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；

(2)利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；

(3)先利用待定系数法求出抛物线的解析式，再令y=2.4解方程求出无即可.

【解题过程】

解：⑴由题意抛物线的解析式为尸4(厂5)2+1,

即y=2Q-^—‘

令x=0,得至！Jy=3,

：.AB^3米；

(2)由题意设抛物线为的解析式为y=a(x-3)2+2,

把A(0,3)代入解析式得：3=a(0-3)2+2,

解得：a=

(x-3)2+2,

当x=4时,y=导，

/.AB=3米；

(3)抛物线四的开口大小与抛物线、=今/+1的开口大小相同，顶点距离地面1.92米,

.•.设抛物线人的解析式为y=条(x-h)2+1.92,

把A(0,3)代入解析式得：3=务(-〃)2+1.92,

解得：hi=-3.6(舍去)，"2=3.6,

・,•抛物线为的解析式为产条(x-3.6)2+1.92,

•;MN=2A,

1

.•.当y=2.4时，—（x-3.6）2+1.92=2.4,

解得：xi=1.2,X2=6,

当尤=1.2时，DM=10-1.2=8.8（米），

当x=6时，0A1=10-6=4（米），

V4<8.8,

:.MN与CD的最近距离为4米.

19.（2022•路南区二模）如图是某同学正在设计的一动画示意图，尤轴上依次有A,O,N三个点，且AO

=2,在ON上方有五个台阶乃〜75（各拐角均为90。），每个台阶的高、宽分别是1和1.5,台阶乃到尤

轴距离0K=10.从点A处向右上方沿抛物线L：y=-W+4x+12发出一个带光的点P.

（1）写出抛物线L与y轴的交点坐标为（0,⑵，点A的坐标为（-2,0）；

（2）通过计算说明点P会落在哪个台阶上；

（3）当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C,且最大高度为11,求C

的解析式，并说明其对称轴是否与台阶T5有交点.

【思路点拨】

（1）求A点坐标，令抛物线的y=0,求抛物线工与y轴的交点坐标，令抛物线的x=0即可；

（2）由题意台阶人的左边端点（4.5,7）,右边端点的坐标（6,7）,求出x=4.5,6时的y的值，即可

判断；

（3）由题意抛物线C:-jr+bx+c,经过（5,7）,最高点的纵坐标为11,构建方程组求出6,c,可得

结论；

【解题过程】

解：（1）对于抛物线y=-/+4x+12,

令x=0,解得y=12,

.••抛物线工与y轴的交点坐标为（0,12）；

令y=0,-，+4x+12=0,解得x=-2或6,

.".A（-2,0）,

故答案为：（0,12）,（-2,0）；

（2）由题意台阶看左边的端点坐标（4.5,7）,右边的端点（6,7）,

当尤=4.5时，y=9.75>7,

当x=6时，y=0<7,

当y=7时，7=-f+4x+12,

解得x=-1或5,

抛物线与台阶方有交点，交点为（5,7）,

.•.点尸会落在台阶川上；

（3）由题意抛物线C：y=-x^+bx+c,经过（5,7）,最高点的纵坐标为11,

一一庐

4c=11

A-4，

、―25+5