2024年高中数学新高二暑期衔接空间向量基本定理（四大题型）

复习材料

第05讲空间向量基本定理

【题型归纳目录】

题型一：基底的判断

题型二：基底的运用

题型三：正交分解

题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题

【知识点梳理】

知识点01：空间向量基本定理及样关概念的理解

空间向量基本定理：

如果空间中的三个向量石，万不共面，那么对空间中的任意一个向量力，存在唯一的有序实数组

(x,y,z),使得/=++其中，空间中不共面的三个向量讶，E，1组成的集合｛7，5，c｝>常称

为空间向量的一组基底.此时，a>B，1都称为基向量；如果/=法+防+z3，则称耘+诬+zm为力在基

底｛,，b,/｝下的分解式.

知识点2：空间向量的正交分解

单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1,那么这个基底叫做单位

正交基底，常用4表示.

正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.

知识点3：用空间向量基本定理解决相关的几何问题

用已知向量表示某一向量的三个关键点：

(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.

(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量

的始点指向末尾向量的终点的向量.

(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立

【典例例题】

题型一：基底的判断

例1.(2023•河南省直辖县级单位•高二统考期末)若£、5、1构成空间的一组基底，则下面也能构成空间的

一组基底的是()

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A.2"、b+c>a+b+cB.b-2c>b+c>3c

—*~►-►—»—»—»—»—»—►-►

C.a>b-c、b+cD.b+c>b-c、2b

【答案】C

【解析】对于A选项，因为a+B+c=(B+c)+；x2a,则2之、b+c>Z+B+)共面，A不满足条件；

对于B选项，因为31=0+@-0-2@,则各一2入b+c>3工共面，B不满足条件；

对于C选项，假设％、])二、加+2共面，则存在2、〃eR,

使得b+c=Aa+ju[b-=Aa+/jb-/de,

A=0

因为Z、b，工构成空间的一组基底，贝IJ〃=1,该方程组无解，

-〃=1

假设不成立，故£、%二、加+工不共面，

所以，%、b-c>否+工可以作为空间向量的一组基底，C满足条件；

对于D选项，因为办=0+4+04),贝立+-g二、2办共面，D不满足条件.

故选：C.

例2.(2023・高二校考课时练习)已知日区自是空间的一组基底，则可以与向量方=£+九1/构成基底

的向量是()

A.aB.bC.。+2坂D.a+2c

【答案】D

【解析】p=a+b,q=q—Bp,q与共面，故A,B错误；

*/a+2b=—^a+b^——^a—b^=—p——q,:・。+2否与p,q共面，故C错误；

V｛a,b,c｝是基底，二不存在x,y使a+2c=44+6)+>("6)=(%+>"+(%—>)6成立，

二£+2工与不共面，故£+2)可以与p,q构成空间的一组基底，故D正确.

故选：D.

例3.(2023•四川绵阳•高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习乂扇“｝为空间的一组基底，则下列各项中能

构成基底的一组向量是()

A.a,万+B,a—bB.B,a+ba—b

C.c,a+bJa—bD.a+2bfa+ba—b

【答案】C

【解析】对选项A：«=1[(a+S)+(a-ft)],向量共面，故不能构成基底，错误；

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对选项B：S=1[p+ft)-(a-S)],向量共面，故不能构成基底，错误；

对选项C：假设)=*+可+〃"坂)，即"=(2+〃)£+(彳-〃声，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成

基底，正确；

对选项D：a+2S=|p+S)-1p-S),向量共面，故不能构成基底，错误；

故选：C

例4.(2023•江苏连云港•高二江苏省新海高级中学校考阶段练习)若｛3友同是空间的一个基底，则下列各组

向量中一定能构成空间的一个基底的是()

A.a,a+b,a-bB.a+b,a-b,a+2b

C.a+b,a+c,b-cD.c,a+b,a-b

【答案】D

【解析】对A选项，=++故三向量共面，A错误；

对B选项，若Q+B,Q-B,Q+2B共面，贝(Jq+B=加(4一3)+〃(4+23)，解得机故三向量共面，B错

误，

对C选项，a+b=(a+c)+(b-c),故三向量共面，C错误，

对D选项，若向量c,a+B,〃一刃共面，贝Ijl+B=4(1-3)+〃乙无解，

故向量2+3,5-3,1不共面，故D正确，

故选：D

例5.(2023•辽宁•高二校联考期末)已知忖,瓦可是空间的一个基底，则可以与向量玩=3+2几为=”工构成

空间另一个基底的向量是()

A.2a+2b-cB.a+4b+cC.b-cD.a-2b-2c

【答案】C

【解析】^2a+2b-c=(a+2b)+(a-c),

a+4b+c=2(3+2b)-(a-c),

5-2ft-2c=2(a-c)一(4+23)，

所以向量2a+2办一1，a+4b+c，)一2[—2]均与向量玩，河共面.

故选：C

题型二：基底的运用

例6.(2023•浙江丽水•高二统考期末)在平行六面体/BCD-44G。中，AC,BD相交于。，M为。G的中

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点，设=&，而=BAA^c,则亘7=()

A.-5+-5--CB.-a--b+-c

442442

c.--a--b+-cD.--a+-b--c

442442

【答案】C

【解析】

如图所示，CA7=|CO+1CG=^（cs+c5）+1cc；=-^-a-^-S+1c,

故选：c

例7.（2023•江苏盐城•高二盐城中学校考期中）在四面体O-4BC中，PA^2OP，Q是BC的中点，且M

为PQ的中点，右QA=a,OB=b，OC-cf则OM=()

I一1r1-

A4.—a+—b+—cB.—a+—b+—c

644622

1-1-1-1-1;1-

—a+—b+—cD.—a+—b+—c

32344

【答案】A

———，i—，

【解析】因为2赤=>3，所以。尸=3。/,

因为0是3c的中点，所以而=；（赤+区）,

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——►1—►—►1—►1—►1—►1―►—►11-1

因为M为尸0的中点，所以ON=X（OP+OQ）=OP+O0=：Q4+T（O8+OC）=：3+76+：3,

2;2;;2;64644

故选：A.

例8.（2023•高二课时练习）如图，M,N分别是四面体OABC的边OA,BC的中点，E是MN的三等分点,

且簧=；，用向量风，幅，发表示无为（）

A.OE=-OA+OB+OCB.OE=-OA+-OB+-OC

6333

—►1—►1—►1—.—>1―►1—►1—►

C.OE=-OA+-OB+-OCD.OE=-OA+-OB+-OC

663633

【答案】D

【解析】因为翡[，所以版=3庵,

___________,1_____»2__►

所以两_丽=3（无_函），^OE=-OM+-ON,

y_OM=^OA,ON=^（OB+OC）,

—►1―►1―►1—►

所以OE=—O4+—OB+—OC.

633

故选：D

例9.（2023・高二单元测试）在平行六面体/BC。-44GA中，设方=*AD=b，AA1=C,则以扇B,工为

基底表示BD]=（）

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A.b+c-aB.c+a-bC.a+b-cD.a-b-c

【答案】A

VL4L4UUL4LNUIULUIMLUmjlvUuUlMLUIL*x.・VIUUI||

【解析】因为BDT=BD+DD[=BA+BC+DDT=-AB+AD+AAx^-a+b+c.

故选：A.

例10.(2023•河南商丘•高二商丘市实验中学校联考期中)如图，在三棱锥。-4BC中，CD=^CB,

。£=]。/,若O/=q，OB=b>OC=cj则。E=()

【答案】C

【解析】如图:

DE=DC+CO+OE

^-BC+CO+^OA

33

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^-OA--OB--OC

333

1-12-

=—a——b7——c

333

故选：C.

例11.（2023•全国•高二专题练习）如图所示，在平行六面体/BCD-4片G，中，"为4G与4。的交点,

右AB-a，AD-b，AAX=cf则BM=()

1-17一

C.——a——b+cD,--a+-A+c

22222222

【答案】D

【解析】由题意，因为/为4G与3&的交点，所以/也为4cl与42的中点,

因止匕萧=而_而=;（市+前）+3=_;焉+g而+2

1-17-

=——a+—b+c.

22

故选：D.

题型三：正交分解

例12.（2023•河北邯郸•高二统考期末）己知"，平面ABC,AB1AC,SA=AB=1,=，则空间的一

个单位正交基底可以为（）

A.1布,;就，乐,B.｛万，/，通｝

C.1函/k［於｝D-西函£数|

【答案】A

【解析】因为弘_L平面/8C,AB,NC都在面N2C内，

所以£4_L/8,SA±AC.

因为AB=\,BC=#,所以/C=2,又&4=1,

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所以空间的一个单位正交基底可以为1万万

故选：A

例13.(2023・高二课时练习)已知｛工粒｝是空间的一个单位正交基底，向量方="+23+3工，,+强-瓦可是

空间的另一个基底，向量方在基底M+下的坐标为()

AJ|，T，3)B,1|,g,3jC,D-

【答案】A

【解析】^.p=x［a+b\+y(a-b\+zc

=^x+y^a+(^x-y)b+zc=a+2b+3c,

3

x=—

x+y=l2

1

所以x-y=2,解得，y=—一

2

z=3

z=3

所以向量方在基底,+“-正｝下的坐标为目;,31

故选：A.

例14.(2023・高二课时练习)设｛口国是单位正交基底,已知2=7+］花=7+木)=兄+7,若向量方在基底

区瓦寺下的坐标为(8,6,4),则向量方在基底｛1］屈下的坐标是()

A.(10,12,14)B.(14,12,10)

C.(12,14,10)D.(4,3,2)

【答案】C

【解析】因为向量方在基底收石同下的坐标为(8,6,4),所以

p=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=ni+14j+10k,所以向量力在基底｛7，］叶下的坐标为

(12,14,10).

故选：C.

例15.(2023•福建三明•高二福建省宁化第一中学校考开学考试)设均是单位正交基底，已知向量力在

基底｛瓦在，司下的坐标为(8,6,4),其中)=7+亍，b=j+k,c=k+i，则向量力在基底｛f,下的坐标是

()

A.(10,12,14)B.(12,14,10)C.(14,12,10)D.(4,3,2)

【答案】B

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【解析】由题设知：p=Sa+6b+4c<M5=z+j,b=j+k,c=k+T>

p=8（z+j）+6（j+k）+4（k+z）=12z+14j+10^,

P在基底｛i,j,k｝下的坐标是（12,14,10）.

故选：B

例16.（2023•浙江宁波•高二余姚中学校考期中）已知向量b,己是空间的一个单位正交基底，向量

a+b,a-b，»+/是空间的另一个基底，若向量力在基底小b,日下的坐标为（2,3,4）,贝lj5在1+3,

a-b>N+1下的坐标为（）

【答案】C

【解析】可设向量1=(1,0,0),6=(0,1,0),50,0,1),由此把向量2+5,a-b，d+E分别用坐标表示，列

方程组解出x,y,z,即可得到万的坐标.不妨设向量3=(1,0,0),6=(0,1,0),台程,。,1)；

则向量£+3=(1,1,0),a-5=(l,-l,0),5+c=(1,0,1).

设/=x(a+司+y{a-b}+z(a+c)，

即(2,3,4)=x(l,l,O)+0)+z(l,0,1),

f1

x=—

x+y+z=22

x-y=3解得＜y=-

z=4

z=4

即/在2+B,a-b<@+C下的坐标为.

故选：C.

例17.（2023・全国•高二专题练习）设｛fJ扃为空间的一个标准正交基底，浣=87+3后，n=-i+5j-4k,则

m-n等于（）

A.7B.-20C.23D.11

【答案】B

【解析】因为｛i,j,k｝为空间的一个标准正交基底，

j=i-k=jk=O,i-i=k-k=j-j=1

所以而•拓=（8i+3可｛-i+5/-4不）=

—8z•i+40z,j—32i,左一3z■,上+15）,左一12k,k——20.

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故选：B.

题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题

例18.(2023・广东中山•高二校考阶段练习)在空间四边形ABCD中，H,G分别是AD,CD的中点，E,F

CFAF1——

分别边AB,BC上的点，C4=a，CB=b>DC=c

FBEB3f

(2)求证：点E,F,G,H四点共面.

［解析］(i)vF^=FC+C5+DH=-^-CB+C5+153=-^CB-5C+1(DC+C4)=|C3-1CB-15C

—•ii-i

：.FH=-a——b——c

242

⑵连接

..•8蓬分别是/。,。£»的中点，，〃6〃/。.

又••/-建

：.EF//AC,

'FBEB3

EF//HG,则E,RG,H四点共面.

例19.(2023・高二课时练习)已知A,B,C三点不共线，对平面ABC外的任一点O,若点M满足

OM=^(JJA+OB+OC).

(1)判断血，砺，前三个向量是否共面；

(2)判断点M是否在平面ABC内.

【解析】⑴由题知。2+历+后=3而，

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UUUUUUUUULUUUUUL1U

•'­OA-OM=OM-OB+OM-OC

即疝=丽7+西7=-砺-而，

/.祝?，而，前共面.

⑵由(1)知，症，施，比共面且基线过同一点

:.M,A,B,C四点共面，从而点M在平面/8C内.

例20.(2023•广东广州•高二广州市真光中学校考阶段练习)如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对

角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点.设方=£,AC=b,AD='c.

(1)求证EGJ_AB；

(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值.

【解析】(1)证明：连接。£,

因为空间四边形/BCD的每条边和对角线长都等于1,且E,G分别是N3,CD的中点,

所以/C=3C,8O=/。，

i^CELAB,DELAB,

又因为。£口。£=£,CE,OEu平面CDE,

所以,平面CDE,

因为EGu平面CDE,

所以48LEG.

(2)由题意得：！ABC).ACD,\42。均为等边三角形且边长为1,

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所以/G=EC=@

2-84-8-2

设异面直线AG和CE所成角为8，

2

则cos0=cosMG,EC

3

例21.（2023・高二课时练习）如图所示，在平行六面体Z3CQ-Z4G2中，E,尸分别在5A和。，上，且

12

BE=-BBX,DF=-DDX.

⑴证明：A、E、G、尸四点共面.

=x~AB+yAD+zAAl,求x+y+z.

【解析】（1）证明：在CG上取一点G,使得CG=*G，连接EG、DG,

121

在平行六面体“BCD-43clA中，BE=-BBltDF=-DD1,CG=-CC1；

:.DF”C\G豆DF=C、G,BEHCG且BE=CG,

所以四边形。尸GG为平行四边形，四边形BEGC为平行四边形,

所以DG//FQ,EGIIBC且EG=3C,

又AD//BC且AD=BC,

所以EG〃/。且EG=/。，

所以四边形/EGD为平行四边形，

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所以4E//DG,

所以/©/尸G，

;./、E、G、尸四点共面.

C1

4“B

(2)因为而=函+解=函+瓦瓦+印

=§丽+市+而西方+而

=-AB+AD+；AAX=xAB+yAD+zAA1,

即%=-1,>=1,z=1,

1

x+jv+z=-.

/'B

例22.(2023•北京顺义•高二牛栏山一中校考阶段练习)如图,在底面/BCD为菱形的平行六面体

ABCD-AiBGR中,M,N分别在棱/&，CQ上,S.AlM=-AAl,CN=-Cq,且

N&AD=NA[AB=NDAB=601

A、/B/

&

AB

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⑴用向量44|，40,28表示向量而？；

(2)求证：D,M,4，N共面；

AA

⑶当釜为何值时，AQ1A.B.

AB

［解析］(I)A/^=AS+2B+5C+C7V=-|Z^+28+5C+114=^+^5-1^4.

⑵证明「•加加五i”，幽一n这一诟’

.-.DM^NB^：.D,M,B{,N共面.

(3)当务=1,AQIA^,

AB

证明：设刀)■=高筋=B,方=1,

・•・底面/BCD为菱形，则当*=1时，同=向=同，

■.■ACl=AB+BC+CCl=a+b+c,A^B^AB-AAx=a-c,

ZAXAD=NA［AB=ZDAB=60°,

22

:.ACl-A^B^(<a+b+cXa-c)=a+a-b-b-c-c=0,

AC,1AtB.

例23.(2023•河南洛阳•高二校考阶段练习)如图，在平行六面体ABCD-AiBiCiDi中，AB=AD=AAi=l,

ZBAD=ZBAAi=60°,/DAAi=120°.求:

^AB-AD的值.

(2)线段AC1的长

【解析】⑴标.15=1西•西COS<Z§,而〉

=lxlcos60°

=亍.

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♦ULUULILIUUU■

⑵选取｛/AN。，/，｝作为一组基底,

UUUULUUUUIUUUU

贝I|/C]=A8+BB]+B£,

-------ttM---------Uttffl-----------LtK-tUfl--------tfcE-tttlB-------tttt—tttlfl-

r+(BBT+(耳GA+2xABxBB[+2\48%Q+2网喝£

nxBj5-~|Uuun,2ULUuuurULUuuuuuumuuun

=JL45+/叫+|耳G|+2X4BXBB(+2x/8叫G+2xBB、碑G

=712+12+12+2'rlcos600+2'rlcos600+2'Tlcosl20°

="

例24.（2023・山东济宁•高二统考期中）已知平行六面体4片Cj中，底面42。D是边长为1的正方

(2)求西

【解析】⑴设方=1,AD=b,AA1=c,

由题意得：|a|=l,\b\=\,|c|=2,ab=0,a-c=l,b-e=\<

西.就=(B+3).(B+7)=庐+B1+B.3+G工=l+l+0+l=3；

(2)|^Ci|=|a+^+c|=yla2+b2+c2+2a-c+2b-c+2a-b=71+1+4+2+2+0=V10

【过关测试】

一、单选题

1.(2023•江苏镇江•高二江苏省镇江中学校考阶段练习)在下列条件中，使点M与点A,B,C一定共面的是

()

A.OM=OA-2OB+OCB.OM=^OA+^OB+^OC

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UL1UUUUIUUUI_____.____»____、__._

c.MA+MB+MC=OD.OM+OA+OB+OC=0

【答案】C

【解析】空间向量共面定理，OM=xOA+yOB+zOC,若A,B,C不共线，且A,B,C,M共面，则

其充要条件是x+y+z=l；

对于A,因为1+（-2）+（-1）=-2,所以不能得到A,B,C,M四点不共面；

对于B,因为+所以不能得出A,B,C,M四点共面；

对于C,由条件可得祝3=-施-就，则疝，MB＞流为共面向量，所以"与A,3,C一定共面；

对于D,因为南+厉+而+反=6，所以而=-力-砺-诙，因为-1-1-1=-3W1,所以不能得出

A,B,C,〃四点共面.

故选：C.

2.（2023•广东阳江•高二阳江市阳东区第一中学校考期中）在平行六面体48CD-431GA中，M为4G与42

的交点，若羽=3,AD=b，AA^c,则下列向量中与两相等的向量是（）

1_1--1_1--i_i-_1_1_-

A.-aH—b+cB.—ciH—b+cC.—a—b+cD.—a—b+c

22222222

【答案】B

（解析】在平行六面体ABCD-4片CQ]中，M为4cl与片口的交点，

BAd=BA++4A/"——4B+H—（+A,D,）——a+cH—a—b=—ciH—6+c.

11122222

故选：B

3.（2023・高二校考课时练习）已知直线AB,BC,8月不共面，若四边形8月。1的对角线互相平分，且

AC[=xAB+2yBC+3zCC[,则x+y+z的值为（）

5211

A.1B.—C.-D.—

636

【答案】D

【解析】由题意，知次，BC,丽不共面，四边形网GC为平行四边形，西=瓯，

二.｛丽晅西｝为空间的一组基底.

■.■AC[=AB+BC+CQ,又布=+元+3z不，

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:.x=2y=3z=\,:.x=l,y=—,z=~,

11

x+y+z=.

故选：D.

4.（2023•江苏常州•高二常州市北郊高级中学校考期中）已知矩形/BCD,P为平面48CD外一点，尸/,平

面45CD,点M,N满足丽=力卮，PN=-PD.^MN=xAB+yAD+zAP,贝|x+y+z=（）

,1i5।

A.—B.-C.—D.一1

226

【答案】A

【解析】矩形250）中，/=方+石，所以正=方+就=方+方+通=一9+方+诟.

P

因为两=；定，所以加=；卜万+赤+15）.

因为丽=益-万，的［而，所以两=g（石-9）.

所以痂=两_而:=g（而一万）+方+西=_；刀石.

所以，尸一',11£

x=_?z=所以x+〉+z=+-=

26662

故选：A

5.（2023•天津•高二校联考期末）在四面体0-45。中，OP=2PA,Q是BC的中点，且M为PQ的中点,

若次=小砺=3，oc=c,则两=（）.

A.-a+-b+-cB.-a+-b+-c

466643

1f1r1一

C.—aH—bH—cD.-a+-b+-c

264344

【答案】D

―►2—►

【解析】因为。尸=2尸力,所以。?=§。4,

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因为。是3c的中点，所以而=；（砺+区）,

——►1—►—►1—»1—►1—►1—,—►11-1

因为“为P。的中点，所以。河=5（8+。。）=5。尸+不。0=鼻。9+］（。3+。＜^）=鼻3+16+^^,

乙乙乙JIJII

故选：D

6.（2023•江苏常州•高二华罗庚中学校考阶段练习）在正方体N3CQ-&BG2中，下列各式中运算的结果为

向量西的是（）.

①（2_基）-方；②回+沟-丽；③（翔-珂-2西；④（皿+刎+函.

A.①②B.②③C.③④D.①④

【答案】A

/uumuuuui、uiuuuuuniuuu

【解析】对①：=，①正确；

UUUUUUI\UUUUIUUUUUUIUUUU

对②：（Z8。+5月）一〃6=80+。1。=2。，②正确；

对③：以｛丽而，石｝为基底向量,

zUL1UULU\UUUUIUULIUUUUuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuum

则（4D-45）-+2说，

BD{=BC+CD+DD}=-AB+AD+AAx,

/ULIUULWUUUUUU

根据空间向量基本定理可知：（/D-列X-2DD产"D,③错误;

,UUUUuumxUUU/UUUUUUUxUUUUUUU/UULIuuuxuuuu

对④：（42++DD}=但〃+Z>Q）+DD\=BR+（DXD+叫=BQ、,④错误.

故选：A.

7.（2023•江苏南京•高二南京师大附中校考期中）如图，在三棱柱/8C-/SG中，8cl与8c相交于点。,

ZAXAB=ZA1AC=60°,ZBAC=90°,//=3,AB=2,AC=4,则线段ZO的长度为（）

复习材料

B.V47

D.V38

【答案】A

【解析】由图形易得加

所以+2AB-AC+2AB-AAi+2AC-AAl

=；x(4+16+9+2x2x4cos900+2x2x3cos600+2x4x3cos60。)=?

即/。=叵

2

故选：A

8.（2023・四川绵阳•高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知四面体O—ABC,G1是AABC的重心，G

是OGi上一点，且OG=3GGi，^OG=xOA+yOB+zOC,贝（]0//）为（）

（111、/333、

A.匕q,ajB.〔了了小

（111、/222、

C0汽D.[mJ

【答案】A

【解析】如图所示，连接4G/并延长，交8c于点E,则点E为BC的中点，

____„1__________1______________„______O_____1______________

AE=-(AB+AC)=-(OB-204+OC),贝1」语=§荏=§(赤-2OA+OC),

复习材料

由题设，标=3两=3(西-南)，

==2(04+^)=|(a4+|ag-|a4+|oc)=1(04+05+oc)

所以x=y=z=[.

4

故选：A

二、多选题

9.(2023•山东荷泽•高二统考期末)如图，在平行六面体28。。-48GA中，ZC与3。交于。点，且

ABAD=ABAA{=ZDAA}=60°,AB=AD=4,/4=5.则下列结论正确的有()

A.ACX1BDB.BC1-A1C=9

C.BD、—J85D.OBX=—AB——AD—AAl

【答案】AB

【解析】如图，

由题意得，AB=AD=\6^五甲=25

否通=画.画cosZBAD=4x4cos60°=8,

不怒=网.阳cos/2/4=4x5cos6（T=10,

ZD-=|ZD|•|3441cosADAA,=4x5cos60°=10,

对于选项A,莺・丽=（君+反4西）•（石-刀）

=AB-Al5-AB-AB+JC-Ai5-BC-AB+CCl-Ai5-CCl-AB

复习材料

二方益-下+病-而方+麴赤-麴方

------►2»2►►»»

=-AB+AD+/4-/。-/4，/8=-16+16+10-10=0

所以更，丽，即

故选项A正确.

对于选项B,南飞=回+时・（就_沟

=（赤+河•（存+而-河=（而+怒）.而+国+河•（赤-河

，》“,,.».，》2、、,.2

=AD-AB+AA1-AB+AD"-AAi=8+10+16-25=9

故选项B正确.

对于选项C,西2二（函—方/=（赤+怒_君『

------►2►22►►*►»

=AD+AA,+AB+2AD-AAX-2ADAB-2AACAB

=16+25+16+20—16—20=41

所以|西卜西即即="1

故选项C错误.

对于选项D,。瓦=OB+BBX=-DB+AAx=-^AB-ADj+AA}=-AB--AD+AAl

故选项D错误.

故选：AB

10.（2023・高二课时练习）下列条件中，使M与A,B,C一定共面的是（）

A.OM=3OA-OB-OC

B.OM=-OA+-OB+-OC

532

UUIUUUUIUUUI

c.MA+MB+MC=0

D.OM+OA+OB+OC=Q

【答案】AC

【解析】空间向量共面定理，OM=xOA+yOB+zOC,若A,B,C不共线，且A,B,C,M共面，则

其充要条件是x+V+z=l；

对于A,因为3-1-1=1,所以可以得出A,B,C,A/■四点共面；

对于B,因为；+；=所以不能得出A,B,C,M四点共面；

对于C,MA=-MB-MC.则抽，MB＞就为共面向量，所以M与A,8,（7一定共面；

对于D,因为血+a+砺+反=0，所以西=-刃-砺-无\因为-1-1-1=-341,所以不能得出

A,B,C,M四点共面.

复习材料

故选：AC.

11.（2023•福建莆田•高二莆田第二十五中学校考期中）设X=Q+=B+c,2=c+a,且｛。，及。｝是空间的一个

基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有（）

A.B.lx,y,z\

C.D.k/,。+雨

【答案】BCD

【解析】如图所示，令G=AB,B=AA、,e=AD,则1=48”歹=场5=就，Xa+b+c=ACl,

DjCi

Bl

AaB

由/、Bi、C、，四点不共面知：向量五为三不共面，

同理3,乙彳和只歹,@+石+己也不共面.

故选：BCD

12.（2023•江苏南京•高二校考期末）如图，在四面体048c中，点M在棱。4上，且满足（W=2M4,点N,

]G分别是线段8C,的中点，则用向量方，。月，od表示向量中正确的为（）

O

B

A.GN=~-OA+-OB+-OCB.OG=-OA--OB+-OC

344344

C.GM=-OA+-OB+-OCD.GM=-OA--OB--OC

232344

【答案】AD

【解析】连接ON,

复习材料

因为点N,G分别是线段5C,的中点，

—►1-----»1—►1?-►11—►—►

所以0G=—（W+—ON=—x—CM+—x—（O5+OC）,

222322

化简可得诟:砺+9就，故B错误；

344

所以函=而一诟=：（历+药_（；次+：无+；两=_!次+；无+；而，故A正确

__,..1—.1―.1.2—►1—.1—.1―>

GM=GO+OM=——OA——OB——OC+-OA=-OA——OB——OC,故C错误，D正确；

3443344

故选：AD.

三、填空题

13.（2023・高二单元测试）以下四个命题中，说法正确的有.（填入所有正确序号）

①若任意向量洒3共线，则必存在唯一实数/M吏得2=4成立；

②若向量组｛a,b,c）是空间的一个基底，贝IJ｛万+%+乙万+缗也是空间的一个基底；

③所有的平行向量都相等；

④V48c是直角三角形的充要条件是通.就=0.

【答案】②

【解析】对于①，根据共线的充要条件知，应该强调723,故①错误;、

对于②，因为向量组｛落3就是空间的一个基底，所以3石兄三个向量不共面，假设存在实数4〃，使

2=1

a^cnA（a+b）+ju（b+c）=Aa+（A+^b+juc,则有<彳+〃=0,此方程组无解，所以N+瓦3+,方+己不共面，

〃=1

故历+33+3,）+2｝也是空间的一个基底；故②正确；

对于③，6与任意向量平行，故③错误；

对于④，当益•k=（）时，//=90°，故V4BC是直角三角形，反之V48c是直角三角形，则NN/B/C中

有一个角为直角，即方•就=0,前•法=0,^3•而=0,所以“万•就=0"是'V/5C是直角三角形”的充分

不必要条件，故④错误.

故答案为：②.

复习材料

14.（2023•福建漳州•高二漳州三中校考阶段练习）已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1,

点E,F分别是BC,AD的中点，则冠.丽的值为.

【答案】-1/-0.5

【解析】

根据题意48co为正四面体，

BC,BD，豆两两成60°角，BABC=BABD=BCBD=^,

由方=屉-诙」就一礼

2

CF=BF-BC=-BA+-BD-BC,

22

所以万・