甘肃省陇南市某中学2023-2024学年高一年级下册期末考试数学试题（含答案解析）

甘肃省陇南市第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数

学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合4={%|3%+1＜2},5={乂y=—3},则（）

A.'叫'C.1-3，；］D.（-3,+oo）

2.已知复数z=（l-i）（3+4i）（i是虚数单位）,则7=（）

A.-1+iB.7+iC.-1-iD.7-i

3.下列命题正确的是（）

A.三点确定一个平面

B.四条首尾相连的线段确定一个平面

C.两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内

D.空间两两相交的三条直线在同一平面内

4.下列函数中，在区间（0,+"）上为增函数的是（）

C.V=lgxD.=(x-l)2+l

5.若°£(0,兀)，且2sina-cosa=1,则------------z—=()

4sinacosa-cosa

,2555

A.—B.-C.—

3944

6.小胡同学用二分法求函数y=/(x)在xe(l,2)内近似解的过程中，由计算可得了。)<0,

/（2）＞0,/（1.5）＜0,则小胡同学在下次应计算的函数值为（）

A./（0.5）B./（1.125）C./（1.25）D./（1.75）

92

7.已知正实数X/满足2x+y=2,则一+一的最小值为（）

yx

试卷第1页，共4页

8.已知平面向量用冗］满足同=网=4,同=2,晨B=-8,若"加i+而，（彳eR,〃eR）,则

2%+〃的取值范围是（）

而屈D.卜2跖2网

C.F'F

二、多选题

9.若复数z=£嘉（i为虚数单位），则下列说法中正确的是（）

A.z的虚部为5iB.z的实部为1

C.Z在复平面上对应的点位于第一象限D.目=6

10.已知P（/）=0.3,P（5）=0.7,P（^）=0.1,则关于事件A与事件B,下列说法正确的有（

A.事件A与3可能相互独立B.事件A与3一定不互斥

C.尸（138）=0.9D.尸（彳）=尸（8）

11.已知圆锥SO的母线长为2店为底面圆。的一条直径，=4.用一平行于底面的平

面截圆锥so,得到截面圆的圆心为a.设圆a的半径为，,，点尸为圆a上的一个动点，贝！i（

A.圆锥S。的体积为等

B.尸。的最小值为逑

5

C.若，=1,则圆锥SO】与圆台。。的体积之比为1：8

D.若。为圆台。。的外接球球心，则圆a的面积为婴

三、填空题

12.有一个正六棱柱的机械零件，底面边长为4cm,高为1cm,则这个正六棱柱的机械零件

的表面积为cm2.

13.已知样本数据为l,a,5,"7,且。,6是方程/-7*+12=0的两根，则这组样本数据的方

差是.

1

14.若实数士,工2满足e*+西-2=0,x2lnx2+2x2-1=0,则无2（2-%）=.

试卷第2页，共4页

四、解答题

n3

15.VN2C的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,A=-,a=—b.

42

⑴求sinB的值；

(2)若a=6,求VNBC的面积.

16.已知角a的顶点与原点。重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点(-1,2).

(1)求收sin(2a-工)值；

4

(2)若cos(c-m=g,且。一夕为第一象限角，求sin6的值.

17.已知函数/'(x)=log〃x(。>0且awl).

(1)求关于x的不等式“1-x)>〃x+3)的解集；

(2)若函数g(x)=4+/(x)在区间［1,2］上的最大值和最小值之和为1+”1,求实数。的

值.

18.举办网络安全宣传周、提升全民网络安全意识和技能，是国家网络安全工作的重要内容.

为提高广大学生的网络安全意识，某校举办了网络安全知识竞赛，比赛采用积分制，规定每

队2人，每人回答一个问题，回答正确积1分，回答错误积0分.甲、乙两个班级的代表队在

决赛相遇，假设甲队每人回答问题正确的概率均为二,乙队两人回答问题正确的概率分别为

2

21

且两队每个人回答问题正确的概率相互独立.

(1)求甲队总得分为1分的概率；

(2)求两队积分相同的概率.

19.如图，在直四棱柱/BCD-中，底面/BCD是边长为2的菱形，

/4DC=120。.CC,=4,M,N分别是线段。2，3。上的动点，且DN=408(0<X<1).

试卷第3页，共4页

(I)若二面角/-BC-C1的大小为45。，求。M的长；

⑵当三棱锥.-/OC的体积为，时’求CN与平面23所成角的正弦值的取值范围.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案BDCCADCBBCBCD

题号11

答案ABD

1.B

【分析】先求得集合48,再根据交集的定义即可求解.

【详解】/={X|3X+1<2}=1-8,；18={4>=--3}=[-3,+也），

所以Nc8=

故选：B.

2.D

【分析】利用复数的四则运算法则及共轨复数的概念计算即可.

【详解】由复数的四则运算可得：z=（l-i）（3+4i）=7+i,贝第7=7-i.

故选：D.

3.C

【分析】根据确定平面的条件可对每一个选项进行判断.

【详解】对于选项A：如果三点在同一条直线上，则不能确定一个平面，故A错误；

对于选项B：例如三棱锥，可以得到四条首尾相连的线段，但不是平面图形，故B错误；

对于选项C：因为两条平行直线确定一个平面，

若一条直线与这两条平行直线都相交，则这条直线就在这两条平行直线确定的一个平面内,

所以这三条直线在同一平面内，故C正确；

对于选项D：例如三棱锥三条侧棱，可以得到两两相交的三条直线，但这三条直线不共面,

故D错误.

故选：C

4.C

【分析】根据指数函数性质可对A项判断；利用幕函数性质可对B项判断；利用对数函数

性质可对C项判断；利用二次函数性质可对D项判断.

【详解】对于选项A：根据指数函数的单调性可知该函数在R上为单调减函数，故A项错

误；

答案第1页，共10页

对于选项B：根据幕函数的性质可知该函数在（0,+e）上为单调递减函数，故B项错误;

对于选项C：根据对数函数的单调性可知该函数在（0,+e）上为单调递增函数，故C项正确;

对于选项D：根据二次函数的性质可知该函数在（0,+。）上不单调，故D项错误.

故选：C.

5.A

【分析】先根据已知结合平方关系求出sine,cose,再求出tana,最后将目标式子化为正

切形式代入即可得解.

【详解】因为2sina—cosa=1,且siYa+cos2a=1,

.4

sma=—

5sina=0

解得或

3COS6Z=-1'

COS6Z=-

5

4

sina=—

54

又。£（0,兀），所以＜，所以tana=一，

33

cosa=-

5

1sin2a+cos2。tan2<7+125

所以

4sinacosa-cos2a4sinacosa-cos2a4tan6z-13S

故选：A.

6.D

【分析】根据二分法的计算方法即可判断.

【详解】因为/（2）＞0,/（1.5）＜0,则根应该落在区间（1.5,2）内,

根据二分法的计算方法，下次应计算的函数值为区间中点函数值，即/（L75）.

故选：D.

7.C

【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.

【详解】正实数'J满足2x+y=2,

92I。、/92、1.18c2八J”2y、25

贝卜+_=K（2x+））（一+—）（13d-----＞-（13+2-------------------）

yx2yx2yx2\yx2

当且仅当豆=殳，即y=3x=：时取等号，

yx5

答案第2页，共10页

7692?S

所以当x==3时，一+一取得最小值胃.

55yx2

故选：C

8.B

【分析】将己=+两边平方，整理得（24-“）~+3〃2=1,令22-〃=cos。,/"=sin。，所

以2彳+〃=cos。sin。=~^~sin（6+。，即可求解.

【详解】因为同=忖=4,同=2石石=-8,且己=行+〃左（2eR,〃eR）,

所以于=+〃^丫=%同2+〃2+2彳〃鼠石=16万+16〃2-164〃=4,

所以（2彳一〃）2+3〃2=1,

令22-"=COS0,A/3M=sin。,

所以22+〃=cos0+^^-sin。=~^~siK@，其中cos0=2y,sin<p=

叵叵

所以2X+〃e

即22+〃的取值范围是一三,七.

故选：B.

9.BC

【分析】根据乘方的周期性以及复数除法法则化简复数，再判断选项即可.

【详解】因为复数2=$/="史=①理匕0=l+5i,

对于A,B,z的虚部为5,实部为1,故A错误，B正确；

对于C,z=l+5f,所以z在复平面上对应的点为（1,5）,位于第一象限，故C正确；

对于D,|z|=Vl+25=^6,D错误.

故选：BC.

10.BCD

【分析】根据独立事件概率乘积公式判断A选项，根据互斥事件定义判断B选项，根据和

的概率公式求解即可判断C选项，应用对立事件概率和为1判断D选项.

【详解】由P（/）•尸（8）=0.21工尸（/3）,可知事件A与3不是相互独立事件，故A不正确;

答案第3页，共10页

由尸(/B)=0.1,可知事件A与B一定不互斥，故B正确；

P(AuB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.9,故C正确；

P(A)=1-P(A)=0.7=P(B),故D正确.

故选：BCD.

11.ABD

【分析】根据圆锥的几何性质，求得其高，结合圆锥的体积公式、勾股定理、球的性质，可

得答案.

【详解】由题意可作图如下：

由圆锥SO的母线长为2石，底面圆的半径为2,贝!l/S=5S=2V?,OA=OB=2,

可得圆锥的高5。=J/SZ-Qf=4

对于A：匕。=；兀、2葭4=—,A选项正确；

对于B：已知设点P在底面的投影为4,如下图所示：

S

2222选项正确;

则月尸=4一2厂，所以P02=^P+^(?=(4-2r)+r=5^r-|^|+y>y,B

对于C：由题意可作图如下

答案第4页，共10页

s

i27r

当尸=1时，SO[=2,所以工0[=§兀xl?x2=W,

r1-7.16兀，所以兽=T/唉/=1：7,C选项错误;

又T兀*2-义4=不-

QoVSO~VSO\

对于D：由题意可作图如下:

若点O是圆台。。的外接球球心，则由PO2=(4-2r)2+r2=O/2=4,

解得厂=9,所以S=“2=婴，D选项正确.

525

故选：ABD.

12.4873+24/24+4873

【分析】正六棱柱S表=2S底+S恻，分别计算S底，S恻即可；

【详解】S底=6x芋X16=246cm2,%=4X1X6=24cm2,=2s底+S恻=(486+24)cm2

故答案为：48百+24

13.4

【分析】求出出方，再利用方差的定义计算即得.

【详解】方程/-7》+12=0的二根为3,4,不妨令。=3,6=4,

因此样本数据的平均数嚏=1+3+；+4+7=4,

所以这组数据的样本方差s1=1[(-3)2+(-1)2+12+02+32]=4.

答案第5页，共10页

故答案为：4

14.1

【分析】令〃x)=e'+x-2,易知/'(x)为单调递增函数，函数变形同构可得％=e』，进

而求解即可.

【详解】令〃x)=e，+x-2,易知/(x)为单调递增函数,〃占)=0,

即「(X)有且仅有一个零点，

又由题可知lwc2—2=0,即e""+(―lux?)—2=。,

X2

所以/(-lnx2)=0,

所以X]=-Inx2,即/=e』，

又e'1+尤]-2=0,得2-&=eA1,

所以x2(2-%)=e』•炉=1.

故答案为：1.

15.⑴克

3

⑵4+29

3

【分析】(1)根据题意，由正弦定理可得sinN=]sin8,代入计算，即可得到结果；

(2)根据题意，由条件可得sinC=sin(/+8),再由三角形的面积公式代入计算，即可求

解.

【详解】(1)因为二7=々，a=-b,所以sinN=：sin5,

sinAsmB22

因为4=所以sin5=2x^=也.

4323

(2)因为〃=6,所以6=4,

因为6＜。，所以3为锐角，

因为sin8=]旦，所以cosB=，

33

所以sinC=sin(^+5)=sincosB+cosAsinB

答案第6页，共10页

e币662+旧

=-------X----------1----------X--------=-----------------，

23236

故VABC的面积为,qbsinC=—x6x4x2+^j_4+

226

/、1/、4

16.(1)——；(2)-

55

【解析】(1)先根据三角函数的定义求出sina,cosa,再根据二倍角公式求出sin2a,

cos2a,利用两角差的余弦公式即可求出V^sin(2a-f)值；

(2)由同角三角函数之间的关系，可求出sin(a-/)，再根据sin£=sin[a—(a—尸)],即可

求出sin/的值.

【详解】解：(1)根据三角函数的定义知：r=/-l)2+22=V5.

.22751V5

sina=~产=------,coscc=—产=------

V55V55

sin2a=2sinacosa=2x^x（-4

55

3

cos2a=1-2sin2（2=1-2x（

5

公(一5鼠5

V2sin（2（z--）=1

425一

(2)由题意得:

4

sinP=sin[a一（a-卜sinacos（a一'）一cosasin（疗尸）=

5

17.(1)①当”〉1时，不等式的解集为(-3,-1),②当0<。<1时，不等式的解集为(-1,1)；

/、1

（2）a=—.

2

【解析】(1)由不等式/(1一幻>/(%+3)转化为108工1一%)>1084(%+3),分。〉1,0<。<1两

种情况求解.

(2)根据g(x)=a、+lo&x在区间[1,2]上单调，由g⑴+g(2)="+〃—1求解.

【详解】(1)不等式/(1一%)>等(％+3)可化为log。。—%)>k)gQ(X+3),

①当a〉1时，不等式可化为1>x+3>0,

解得-3<x<-1,此时不等式/(l-x)>/(x+3)的解集为(-3,-1)；

答案第7页，共10页

②当0<0<1时，不等式可化为x+3>1-x>0,

解得-1<x<1,此时不等式/(l-x)>/(x+3)的解集为(-1,1).

x

⑵g(x)=a+logax,

因为函数g(x)单调，且g⑴=。，g(2)=/+log.2,

1

所以。+a?+loga2=a+a-\,

解得“=；.

瓜⑴:

【分析】（1）根据题意可知甲队得1分，则一人回答正确，另一人回答错误，结合独立事件

概率乘法公式运算求解；

（2）根据题意可得甲、乙得分的概率，分别求两队积分同为0分，1分，2分的概率，结合

独立事件概率乘法公式运算求解.

【详解】（1）记“甲队总得分为1分”为事件/,甲队得1分，则一人回答正确，另一人回答

错误，

所以尸（0=；（1一口+11一］>4=9

（2）由题意可知：甲队积0分，1分，2分的概率分别为

424

乙队积o分，1分，2分的概率分别为■2!，■5!，§2,

记两队积分同为0分，1分，2分的分别为事件优C,。，

因为两队得分相互独立，互不影响，

则尸⑻=?|=>（C）=,

7

所以两队积分相同的概率为尸（8uCuD）=尸（0+尸（C）+尸（功=/.

19.(1)DM=6；

、

⑵［。州

7

答案第8页，共10页

【分析】（1）利用直棱柱和底面是有120。角的菱形，可作出二面角的平面角，从而解直角三

角形即可.

（2）利用等体积法来求线面角，即只需要求出点N到平面3cM的距离，再用距离与CN长

度的比值就是线面角的正弦值，从而可求解.

【详解】（1）

取8C中点尸，过尸点作尸。，8C,交耳G于点。，连接

由直四棱柱48cz可得CC1,平面NBC。,

而3Cu平面/BCD,所以CCJ2C,gpCQ//PQ,

又因为oq〃功i，所以尸。〃。口，

因为底面48。是边长为2的菱形，ZADC=120°,

所以△BCD为等边三角形，则DPLBC,

又因为DPn尸。=尸，。尸，尸。U平面PQD\D,所以8C，平面PQDfi,

又因为PMu平面尸。。。，所以

即尸。为二面角M-BC-G的平面角，所以"?。=45。.

在平面尸02。中，由可得乙D〃P=NMPQ=45°.

A

在尸中，8c=2,DP=—BC=43,

2

则tan/ZU