2025届人教版数学九年级上册专项训练 第三期（含答案）

2025届人教版数学九年级上册专项训练

第三期

考点1旋转的相关概念

1.旋转：把一个平面图形绕着平面内某一点。转动一个角度，叫做图形的旋转，点。叫做旋转

中心，转动的角叫做旋转角.如果图形上的点尸经过旋转变为点尸’，那么这两个点叫做这个旋

转的对应点.

2.旋转的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角.

在旋转过程中，始终保持不动的点是旋转中心，旋转中心可以在图形的内部，也可以在图形的

外部，还可以是图形上的某点.旋转方向有顺时针和逆时针两种.

【注意】初中阶段研究的平移、轴对称和旋转都是针对平面内的图形变换，它们是平面图形的

全等变换.描述旋转时不能忽略“平面内”.旋转的角度一般小于360。.

3.对应元素：一个图形绕旋转中心旋转一定角度后得到旋转后的图4，

形.首

如图，△4BC绕点。逆时针旋转90。得到△Z'B'C',在这一旋转中，；

B'、'：B

点。是旋转中心，4都是旋转角，点分

别与点是对应点，乙4BC,乙4CB,NB4c分别与。…一一

ZA'B'C,NA'C'B；ZB'A'C是对应角，线段AB,BC,CA分别与线段C'A'是对应边.

考点2旋转的性质

1.旋转的性质

性质不意图

对应点与旋转中心所

对应点到旋转中旋转前、后的图形B'

连线段的夹角等于旋

心的距离相等全等

转角

OA=OA'

OB=OB'AAOA'=ZBOB'=

AABC^AA'B'C'

OC=OCZCOC=ZPOP'''铲.

0

OP=OP'

【注意】（1）旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置;

（2）旋转时，图形上的每一点都绕旋转中心旋转相同的角度；

（3）旋转的性质中所说的“对应点”是指“任意一对对应点”，并且对应点到旋转中心的距离相

等.

2.旋转中心的确定

根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心位于对应点连线的垂直平

分线上，即旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点.

3.【辨析】旋转、平移和轴对称的对比

变换

异京旋转平移轴对称

旋转前、后两个图形成轴对称的两个图形的对应点

平移前、后两个图形的对

的任意一对对应点的连线被对称轴垂直平分；如

应线段平行（或共线），

与旋转中心所连线果成轴对称的两个图形的对应

对应角的两边分别平行

不同点段的夹角都等于旋线段或其延长线相交，那么交

（或共线）且方向一致.

转角点在对称轴上

旋转、平移不改变图形中（顶）点的顺（逆）时轴对称改变图形中（顶）点的

针排列顺序顺（逆）时针排列顺序

（1）都是在平面内进行的图形变换；

（2）都只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，即变换前、后的两个图形

相同点

全等；

（3）都是一个已知图形变换后得到另一个图形

考点3旋转作图

利用旋转的性质，可以画出一个图形绕某一点旋转一定角度之后的图形.旋转作图的基本步骤

如下：

（1）确定旋转中心、旋转方向和旋转角

（2）找出图形的关键点，一般是图形中的转折点.例如，多边形的关键点是它的顶点

（3）作旋转后的对应点，方法如下：

①连：连接图形的每个关键点与旋转中心；

②转：把连线绕旋转中心按旋转方向旋转相同的角度（作旋转角）；

③截在作得的角的另一边截取与关键点到旋转中心的距离相等的线段，得到各个关键点的对

应点

（4）按原图形的顺序连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形

（5）写出结论，说明作出的图形即为所求作的图形

【注意】为了避免作图混乱，应先对一个关键点连、转、截，找到其对应点后在进行下一个关

键点的旋转.

考点4中心对称及其相关概念

1.中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180%如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两

个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心（简称中心）.这两个图形在旋转后

能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点.

【注意】（1）中心对称是指两个图形间的位置关系，必须涉及两个图形.

（2）中心对称是特殊的旋转，旋转角为180°.

（3）成中心对称的两个图形，只有一个对称中心，这个对称中心可能在两个图形的外部，也

可能在图形的内部或图形上，但对称点一定在对称中心的两侧或与对称中心重合.

2.【辨析】中心对称和轴对称的对比

中心对称轴对称

图形绕对称中心旋转180°图形沿对称轴折叠

不同点图形旋转后与另一图形重合图形折叠后与另一个图形重合

对称中心只有一个至少有一条对称轴

相同点都是两个图形之间的关系，并且变换前、后的两个图形全等

考点5中心对称的性质

1.中心对称的性质

（1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分.

（2）中心对称的两个图形是全等图形.

【注意】（1）因为中心对称是一种特殊的旋转变换，所以具备旋转的一切性质.

（2）成中心对称的两个图形，其对应线段互相平行（或在同一条直线上）且相等.

2.确定对称中心的方法

方法一：连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点就是对称中心.

方法二：连接任意两对对称点，这两条线段的交点就是对称中心.

【重点】

（1）中心对称的两个图形一定全等，但全等的两个图形不一定成中心对称.

（2）用中心对称的性质可以推得线段相等、角相等和图形全等，给几何证明提供了依据.

（3）如果两个图形的对应点的连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于

这一点中心对称，利用这一性质可以识别中心对称.

考点6作已知图形关于某一点对称的图形

作图步骤

（1）找出原图形的关键点（如多边形的顶点），连接关键点和对称中心.

（2）延长所连线段，在延长线上找出各关键点的对称点，使对称点到对称中心的距离和关键

点到对称中心的距离相等.

（3）将所得的对称点按照原图形的形状顺次连接，即可得到关于对称中心对称的图形.

考点7中心对称图形

1.中心对称图形把一个图形绕着某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,

那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.例如，线段、平行四边形、矩形、

圆都是中心对称图形.

2.中心对称图形的性质

（1）中心对称图形上对称点的连线必经过对称中心，且被对称中心平分.即过对称中心的直线

与中心对称图形所交的两个对应交点是对称点.

（2）过对称中心的直线把中心对称图形分成全等的两部分（即周长和面积分别相等）

3.【辨析】中心对称与中心对称图形的区别和联系

中心对称中心对称图形

（1）是针对两个图形而言的

（1）是针对一个图形而言的

（2）是指两个图形的（位置）关系

（2）是指具有某种性质的一个图形

区别（3）对称点在两个图形上

（3）对称点在一个图形上

（4）对称中心可能在两个图形的外

（4）对称中心在图形内部

部，也可能在图形的内部或图形上

(1)都是根据把图形旋转180。后能重合定义的.(2)两者可以互相转化，若把

联系成中心对称的两个图形视为一个整体，则整个图形是中心对称图形；若把一个中

心对称图形相互对称的两部分看作两个图形，则这两个图形成中心对称

4.中心对称图形与轴对称图形的对比

中心对称图形轴对称图形

区别关于某一点对称关于某一条直线对称

绕某一点旋转180。后与原来的图形重合沿一条直线折叠后，直线两旁的部分互

相重合

举例线段、平行四边形、矩形、菱形、边数是线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、

偶数的正多边形、圆等都是中心对称图形正多边形等都是轴对称图形

考点8关于原点对称的点的坐标

两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(xj)关于原点的对称点为

【注意】第一象限内的点关于原点的对称点在第三象限，第二象限内的点关于原点的对称点在

第四象限，坐标轴上的点关于原点的对称点仍在坐标轴上.

【辨析】关于坐标轴对称和关于原点对称的点的坐标的对比

名称区别举例

关于X轴横坐标相同，纵坐标互为

关于坐P(x,J)关于X轴的对称点为々(x,-y)

对称相反数

标轴对

关于y轴横坐标互为相反数，纵坐

称尸(x,y)关于y轴的对称点为巴(-%,j)

对称标相同

横、纵坐标分别互为相反

关于原点对称P(x,y)关于原点的对称点为6(-羽-y)

数

【拓展】若点片(西,%)线(％/2)关于点尸(》/)对称，则》=±1迤，＞=七三.

1.下列电视台图标，属于中心对称图形的是（）

&B❾▲@

2.如图，△/£>£可由△C4B旋转而成，点8的对应点是E,点Z的对应点是。，在平面直角

坐标系中，三点坐标为2（1,0）,8（3,0）,。（1,4）,则旋转中心尸的坐标为（）

A.（3,2）B.（2,3）C.（3,4）D.（4,3）

3.正五边形绕它的对称中心旋转后能与自身完全重合，则旋转角度至少为（）

A.36°B.50°C.72°D.1O80

4.若点尸（-犯3-机）关于原点对称的点在第四象限，则m满足（）

A.m>3B.m<0C.0<m<3D.m<0或加>3

5.如图，在△4BC中,NR4c=50。,将△4BC绕点c逆时针旋转30。得到△DEC,连接4D,则

NBAD的度数为（）

A.20°B,25°C.30°D,45°

6.如图，△48C与△。£尸关于点。成中心对称，则下列结论不成立的是（）

A.CO=FOB.ZOBC=NOEF

C.ABHEFD.点8与点£是对应点

7.如图，将Z\ABC绕点C（O,-1）旋转180。得到乙ABC.设点H的坐标为（。力）,则点A的坐标为

A.(—a,—b)B.(—a,—b—1)C.(-a,-b+1)D.(—tz,—b—2)

8.如图，。是等边△NBC内一点，OA=3,。8=4,OC=5,将线段80以点8为旋转中心

逆时针旋转60。得到线段8。'，则NZ08的度数为（)

A.1OO0B.12O0C.13O0D.150。

9.若点与点8（-4,〃）关于原点对称，则加〃=

10.如图，将△48C绕点C顺时针旋转100。得到△££>C.若点Z,D,E在同一条直线上,

ZACB=35°,乙4DC的度数为.

11.如图，ZiZBC和△£>£（7关于点C成中心对称，若ZC=2,48=4,ZBAC=90°,则4E

的长是

12.如图，RtZXCMB的顶点Z(-4,8)在抛物线3；=口/上，将Rt/XCMB绕点。顺时针旋转90。,

得至I[△。⑺，边与该抛物线交于点尸，则点尸的坐标为.

13.平面直角坐标系中，△ZBC的位置如图所示(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方

(1)若△4用。1和△4BC关于原点。成中心对称，画出△4AG；

(2)将绕着点同顺时针旋转90。，画出旋转后得到的△其与d；

(3)直接写出点鸟的坐标.

14.如图，乙ABC和ADEF关于点。成中心对称.

(1)找出它们的对称中心。；

(2)若28=7,AC=5,BC=6,求的周长.

15.如图，在乙ABC中,N8=50°,ZBCA=90°.将乙ABC绕点A逆时针旋转60°得到,点B

的对应点为点。，连接CE,CE与2。相交于点O.

⑴若ZC=6,求CE的长；

(2)求NCQD的度数.

16.如图(1),在RtzXZBC和RtZXADE中，ABAC=ZDAE=90°,ZD=45°,ZC=30°,固

定RtA^C,将RtAADE绕点Z按顺时针方向旋转。。(0<«<180).

图(1)图(2)图(3)图(4)

(1)如图(2),当DELZC时，求a的值.

(2)如图(3),当。E//BC时，求a的值.

(3)当0<a<90时，如图(4),连接8。，8C与相交于点凡试探究在旋转过程中

N1+N2+N3的大小是否发生改变.若不发生改变，请求出此定值；若发生改变，请说明理由.

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第三期

答案以及解析

1.答案：B

解析：观察图形可知,B中图形绕着该图形中心旋转180。仍与本身重合，

故属于中心对称图形的是B.

故选：B.

2.答案：A

解析：如图，连接BE,分别作和BE的线段垂直平分线，且交于点尸.则尸点即为旋转中心.

由图可知P点坐标为（3,2）,即旋转中心的坐标为（3,2）.

故选：A.

3.答案：C

解析：正五边形绕中心点旋转一定的角度后能与自身完全重合，

则其旋转的角度至少为36出0°=72°.故选：C.

5

4.答案：C

解析：点尸（-机,3-m）关于原点对称的点为（加，-3+加），

•.•点尸（-%,3-m）关于原点对称的点在第四象限，

m>0

<，解得0<加<3,

—3+m<0

故选：C.

5.答案：B

解析：由ABAC=50。,将△48C绕点C逆时针旋转30。得至U△QEC,

得/ACD=30。,CA=CD,

得==（180—30）+2=75。，

得NA4O=75—50=25°.

故选：B.

6.答案：C

解析：A.CO=FO,

AABC与乙DEF关于点。成中心对称，,CO=FO,

,此选项正确，不符合题意；

B.ZOBC=ZOEF,

BC//EF,ZOBC=ZOEF,

,此选项正确，不符合题意；

C.AB//EF,

•:.•.此选项不正确，符合题意；

D.点3与点E是对应点，

•.•点2与点E是对应点，.•.此选项正确，不符合题意.

故选：C.

7.答案：D

解析:设/(私〃)由于Z(m,〃)、H(a,b)关于C(0,-1)点对称,

一.心a+m.b+n,

可知：-----=0,-------=-1,

22

解得：m=-a,n=-b-2,

A(-a,-b-2),

故选：D.

8.答案：D

解析：如图，连接。。'，

•••线段8。以点8为旋转中心逆时针旋转60°得到线段8。'，04=3,08=4,OC=5,

：.BO'=BO=4,AO'BO=60°,

/XBOO'为等边三角形，；.ABOO'=60°,

:aaBC为等边三角形，；.B4=BC,ZABC=60°,

ZO'BO-ZABO=ZABC-NABO,即ZO'BA=ZOBC,

在△O'氏4和△08C中，

O'B=OB

<AO'BA=ZOBC,

BA=BC

/.△0,5^A05C（SAS）,

O'A=OC=5,

在△Z。。'中，O'A=5,00'=4,0A=3,

：.OA2+OO'2=32+42=25=O'A1,

ZAOO'=90°,

NAOB=ZBOO'+ZAOO'=60°+90°=150°.故选：D.

解析：•.•点幺(私-3)与点8(-4,〃)关于原点对称，

m=4,n=3mn=4x3=12.

故答案为：12.

10.答案：75°/75度

解析：：将乙ABC绕点C顺时针旋转100°得到4EDC,

：.ZDCE=ZACB=35°,AC=CE,NZC£=100。，

/.NE=40°,

:点D,E在同一条直线上，

/.ZADC=NDCE+NE=350+40°=75°.

故答案为：75°.

11.答案：472

解析：•:△DEC与△4BC关于点C成中心对称，

/\ABC^/\DEC,

AB=DE=4,AC=DC=2,ND=NBAC=90。,

AD=AC+DC=4

由勾股定理得：AE=siAD2+DE2="2+42=472

故答案为：4V2.

12.答案:(272,4)

解析：•••R3O4B的顶点Z(-4,8)在抛物线y=ax2±,

8=ax(—4)2,解得：a=g.

解析式为了

•••R304B的顶点为幺（-4,8）,

OB=0D=A,

•:R30AB绕点。顺时针旋转90°,得到△OCD,:.CD//x轴,

.•.点D和点P的纵坐标均为4,

二令y=4,得4=!1，解得：x=±2\/2,

2

•.•点尸在第一象限，.•.点尸的坐标为：（2后,4）

故答案为（2正,4）.

13.答案：（1）图形见