2024-2025学年湖北省武汉市高二年级上册9月联考数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年湖北省武汉市高二上学期9月联考数学检测试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知复数0+1）（2+掰1）在复平面内对应的点位于第二象限，则实数切的取值范围为

（）

A.（―8,2）B.（2,+oo）C.D.（―2,2）

2.平行六面体—ZnCQi中，。为与42的交点，设方茄=R数=己，

用万,B忑表示50，则（）

A.BO=a-b—cB.BO—a-\—b—c

22

C.BO=-—a+b+cD.BO=-—a+—b+c

222

3.被誉为“湖北乌镇，荆门丽江”的莫愁村，位于湖北省钟祥市.高高的塔楼，是整个莫愁村最

高的建筑，登楼远跳，可将全村风景尽收眼底.塔楼的主体为砖石砌成的正四棱台，如图所示,

上底面正方形的边长约为8米，下底面正方形的边长约为12米，高约为15米，则塔楼主体

的体积（单位：立方米）约为（）

A2400B.1520C.1530D.2410

4.某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试

3

的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为一，在实验操作中结果为优秀的

4

概率为2,则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（）

3

5.已知外==（加，一3,2）,%=（°，2/），若｛々，叼，4｝不能构成空间的一个基底，

则加=（）

A.3B.1C.5D.7

6.设V4BC的内角48,C的对边分别为“c,且/+〃+仍=02,若角。的内角平分线

CM=2,则X-瓦的最小值为（）

A.8B.4C.16D.12

7,抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记录骰子朝上面的点数，若用x表示红色骰子

的点数，用〉表示绿色骰子的点数，用（X/）表示一次试验结果，设事件E：x+y=8；事件

F：至少有一颗点数为5；事件G:x〉4；事件女：4.则下列说法正确的是（）

A.事件E与事件F为互斥事件B.事件F与事件G为互斥事件

C.事件E与事件G相互独立D.事件G与事件〃相互独立

8,现有一段底面周长为12兀厘米和高为12厘米的圆柱形水管，48是圆柱的母线，两只蜗牛

分别在水管内壁爬行，一只从A点沿上底部圆弧顺时针方向爬行兀厘米后再向下爬行3厘米

到达尸点，另一只从2沿下底部圆弧逆时针方向爬行兀厘米后再向上爬行3厘米爬行到达。点,

则此时线段P。长（单位：厘米）为（）

A.6叵B.6GC.6D.12

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.有一组样本数据%,%，…,%，其平均数、中位数、标准差、极差分别记为见,济冯,4.由这组

数据得到新样本数据%,为，…，匕，其中％=2%-2024（z=l,2,其平均数、中位数、

标准差、极差分别记为外42，。2，出，则（）

A.%-一2024B.b?=b[

C.J=2qD.d?—2d1

10.设。是空间内正方向两两夹角为60。的三条数轴，向量分别与1轴、N

轴.z轴方向同向的单位向量，若空间向量1满足1=》4+了02+203（%,以261^）,则有序实

数组（x,y,z）称为向量）在斜60°坐标系。肛Z（。为坐标原点），记作5=（x/,z）,则下列

说法正确的有（）

A.已知3=（1,2,3）,则同=5

B.已知1=（—1,2,1）,3=（2,—4,—2）,则向量2〃不

C.已知1=（3,—1,2）万=（1,3,0）,则06=0

D.已知力=（1,0,0）,砺=（0,1,0）,0心=（0,0,1）,则三棱锥。—的外接球体积

展也

8

11.在圆锥PO中，PO为高,48为底面圆的直径，圆锥的底面半径为近，母线长为2,

点C为R4的中点，圆锥底面上点M在以4。为直径的圆上（不含4。两点），点8在

A.三棱锥M-R4。的外接球体积为定值

B.直线与直线尸/不可能垂直

C.直线。4与平面所成的角可能为60°

D.AH+HO<2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知3i-1是关于x的实系数方程3/+2.+夕=0的一个根，则实数）的值为

13已知向量点B满足同=2，W=1,G+2B=,则COS,,B=.

2_T2_2

14.V4BC的内角4瓦。的对边分别为a,"c，若6asmC-a-b=a一。,且

2b

VABC的面积为+b+c），则2a+6的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共

77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

15.V48c的内角4瓦。的对边分别为凡”。，已知（2c—b）cos/-acosB=0

（1）求A；

（2）若点〃在8C上，且满足而=标,2屈=2,求V45C面积的最大值.

16.某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网

络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下

图所示的频率分布直方图所示的频率分布直方图.

（1）根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；

（2）成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的

成绩至少为多少分；

（3）已知落在［60,70）内的平均成绩为67,方差是9,落在［60,80）内的平均成绩是73,方差

是29,求落在［70,80）内的平均成绩和方差.

（附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为记两组数据总体

的样本平均数为W,则总体样本方差52=-^―+（1—访『］+-^―+（兀—访）［）

17.如图，在长方体48CD—中，=1,48=2,点£在棱48上移动.

£>iG

AEB

(1)当点E在棱48的中点时，求平面REC与平面。CR所成的夹角的余弦值；

(2)当NE为何值时，直线4。与平面々EC所成角的正弦值最小，并求出最小值.

18.甲、乙、丙三人玩“剪刀、石头、布”游戏(剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀)，规定每局中：

①三人出现同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得2分，输者负1分；

③三人出现三种手势均得0分.当有人累计得3分及以上时，游戏结束，得分最高者获胜，已

知三人之间及每局游戏互不受影响.

(1)求甲在一局中得2分的概率片；

(2)求游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率£；

(3)求游戏经过两局就结束的概率片.

19.在空间直角坐标系。一平中，己知向量力=(见"c),点《(xo/o/o).若直线/以日为

方向向量且经过点Po,则直线/的标准式方程可表示为土也=匕匹=^^(abcW0)；

abc

若平面。以力为法向量且经过点《，则平面a的点法式方程表示为

fit(x-xo)+&(y-yo)+c(z-zo)=O,

x-1y-2z

(1)已知直线/的标准式方程为=平面/的点法式方程可表示为

1-V32

43x+y-z+5=0,求直线/与平面%所成角的余弦值；

(2)已知平面a2的点法式方程可表示为2x+3y+2-2=0,平面外一点尸(1,2,1),点尸到

平面％的距离；

(3)(i)若集合M={(x,y,zMx|+|y/2,|z|Vl},记集合M中所有点构成的几何体为S,

求几何体S的体积；

(ii)若集合N={(x,y,z)||x|+|y|<2,|v|+|z|<2,|z|+|x|<2).记集合N中所有点构成的几

何体为T，求几何体T相邻两个面(有公共棱)所成二面角的大小.

2024-2025学年湖北省武汉市高二上学期9月联考数学检测试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知复数0+1）（2+掰1）在复平面内对应的点位于第二象限，则实数加的取值范围为

（）

A.B.（2,+co）C.D.（―2,2）

【正确答案】B

【分析】化简得（l+i）（2+/ni）=（2—加）+（加+2）i,根据题意列出不等式组求解即可.

【详解】解：因为（l+i）（2+mi）=（2-加）+（加+2）i,

又因为此复数在第二象限，

2-m<0

所以Vc7解得7">2.

m+2>0

故选：B.

2.平行六面体468—48013中，。为4G与42的交点，设在=a2万=冗五彳=己,

用己表示50，则（）

A.BO=a-bT—cB.BO=aT—b—c

22

C.BO=—ci+b+cD.BO=—uH—b+c

222

【正确答案】D

［分析］由平行六面体的性质和空间向量的线性运算即可求解;

【详解】如图：

Ci

由平行六面体的性质可得

BO=BBl+Bp=AAl+^BD=AA1+^^AD-AB^=c+^(b-a)=-^a+^b+c,

故选：D.

3.被誉为“湖北乌镇，荆门丽江”的莫愁村，位于湖北省钟祥市.高高的塔楼，是整个莫愁村最

高的建筑，登楼远跳，可将全村风景尽收眼底.塔楼的主体为砖石砌成的正四棱台，如图所示,

上底面正方形的边长约为8米，下底面正方形的边长约为12米，高约为15米，则塔楼主体

的体积(单位：立方米)约为()

A.2400B.1520C.1530D.2410

【正确答案】B

【分析】根据题意，利用棱台的体积公式，准确运算，即可求解.

【详解】由题意，正四棱台的上底面边长约为8米，下底面边长约为12米，高约为15米,

可得正四棱台的上底面面积为64平方米，下底面面积为144平方米，

则塔楼主体的体积约为K=1(64+144+764x144)xl5=1520立方米.

故选：B.

4.某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试

3

的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为一，在实验操作中结果为优秀的

4

概率为2,则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（）

3

7151

A.—B.一C.—D.一

122123

【正确答案】C

【分析】根据独立事件的概率公式与互斥事件的概率加法公式可求概率.

【详解】根据题意可得该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为：

12315

—X——|——X—二——.

434312

故选：C.

5.已知々二（一1,9,1）,%-（冽,一3,2）,%二（0,2,1）,若卜不能构成空间的一个基底,

则加=（）

A.3B.1C.5D.7

【正确答案】B

【分析】直接利用基底的定义和共面向量求出结果.

【详解】若｛屋最可不能构成空间的一个基底，

/."1，几2，%共面，

二.存在九使々=/1%+4%,

—l=2m+0

即<9=—3A+2〃，

1=2A+〃

2=-1

解得〃=3,

m=1

故选.B

6.设V4BC的内角4瓦。的对边分别为见仇。，且若角。的内角平分线

CM=2,则k.瓦的最小值为（）

A.8B.4C.16D.12

【正确答案】A

【分析】先根据结合余弦定理求。，再根据S“BC=S“CM+S〃CM，结

合面积公式得到

ab-2(Z?+^)>4y[ab，进而求出的最小值，再根据数量积定义求衣1

【详解】因为"+〃+必=",

a2+/-c2

所以cosC二

2ab2

所以T

12冗1711冗

由S“BC-VV所以一absin——=—b-CM-sin—+—tz-CM-sin—,

一口“CM丁口ABCM'232323

化简得到ab=26+2a,

所以的=2(b+a)24j^,则仍216,当且仅当。=b=4时，等号成立,

所以就.丽=|衣(怎,05；=1■仍28,

所以就3的最小值为8.

故选：A.

7,抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记录骰子朝上面的点数，若用x表示红色骰子

的点数，用y表示绿色骰子的点数，用(xj)表示一次试验结果，设事件E:x+y=8；事件

F：至少有一颗点数为5；事件G:x〉4；事件笈：4.则下列说法正确的是()

A.事件E与事件F为互斥事件B.事件F与事件G为互斥事件

C.事件£与事件G相互独立D.事件G与事件〃相互独立

【正确答案】D

【分析】分别写出事件£、F、G、〃所包含的基本事件，根据互斥事件的定义判断A,B；

根据独立事件的定义判断C,D.

【详解】解：由题意可知E={(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)}；

F={(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(6,5)}；

G={(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}；

H={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4)}；

对于A,因为Ec/={(3,5),(5,3)},所以事件E与事件尸不是互斥事件，故错误；

对于B,因为GcR={(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,5)},所以事件G与事件尸不

是互斥事件，故错误；

5121

对于C,因为EcG={(5,3),(6,2)},尸(£)二一,尸(G)=—=—,

36363

21

尸(£CG)=W=RWP(£)F(G),所以事件£与事件G不相互独立，故错误；

对于D,因为={(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4)},

24?1212?

=[0(G)=力=7，P(HnG)=—=-=P(H)P(G),

363363369

所以事件E与事件G相互独立，故正确.

故选：D.

8,现有一段底面周长为12兀厘米和高为12厘米的圆柱形水管，4B是圆柱的母线，两只蜗牛

分别在水管内壁爬行，一只从A点沿上底部圆弧顺时针方向爬行兀厘米后再向下爬行3厘米

到达尸点，另一只从B沿下底部圆弧逆时针方向爬行兀厘米后再向上爬行3厘米爬行到达。点，

则此时线段长(单位：厘米)为()

A.672B.6GC.6D.12

【正确答案】A

【分析】根据已知条件建系结合弧长得出角及点的坐标，最后应用空间向量两点间距离计算.

【详解】应用圆柱的特征取上下底面的圆心,B0,为z,y轴，再过。作0B的垂线为x轴,

如图建系，

过。向圆。作垂线垂足为2，BQL，设圆。半径为忆2a=12兀，所以尸=6,

所以血=/BOQ1x6=兀/BO2=£,则口卜,—350）,Q（3,—3e3）,

同理，过尸向圆O作垂线垂足为Pi，则凡-3,-3店0）,尸卜3,-36,9）,

所以|尸@=^（3+3）2+02+（9-3）2=672.

故选：A.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.有一组样本数据西,马，…,当，其平均数、中位数、标准差、极差分别记为%,4,q,4.由这组

数据得到新样本数据%,券，…，匕，其中％=2为—2024«=1,2「一,〃），其平均数、中位数、

标准差、极差分别记为电力2，。2，42,则（）

A.2~2%-2024B.b2=bx

C.=2。］D.d?—2dl

【正确答案】ACD

【分析】根据新旧数据间样本的数字特征的关系对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】依题意，平均数的=2%-2024,中位数d=2乙-2024,标准差。2=2。「极差

d、—2d1，

所以ACD选项正确，B选项错误.

故选：ACD

10.设Ox,Oy,。是空间内正方向两两夹角为60°的三条数轴，向量分别与x轴/

轴.Z轴方向同向的单位向量，若空间向量,满足1=》9+3^2+203（》//€1i）,则有序实

数组（X/,Z）称为向量N在斜60。坐标系。町2（。为坐标原点），记作5=（X,〉,Z）,则下列

说法正确的有（）

A.已知N=（1,2,3）,则同=5

B.已知a=（—1,2,1）,/?=（2,—4,—2）,则向量&〃B

C.已知1=（3,—1,2）,3=（1,3,0）,则］.6=0

D.已知力=（1,0,0）,砺=（0,1,0）,0心=（0,0,1）,则三棱锥。—4BC的外接球体积

展逅

8

【正确答案】AB

【分析】先明确同=同=同=1,.根据同2=（疗求同，判断A

的真假；根据3=-2a判断B的真假；计算£与判断C的真假；判断三棱锥。-N8C的形

状，求其外接球半径及体积，判断D的真假.

【详解】由题意：卜1,同=同=1，e\'e2=e\'e3=e2'e3=~^-

对A:因为

—*—*—►—*।|2/—►—►—►\2—»2—»2—*2—*—*—>—*—*—>

Q=6+2g+3e3n同=\ex+2e2+3e31-ex+4e2+9%+4,g+6,+12%q

=1+4+9+2+3+6=25,所以同=5.故A正确;

—

对B：因为a=—+2e2+63,b=2e1—4e22e3，所以B=—2a，所以a//5.故B正确;

对C：a=-e2+2e3,Z?=^+3e2»

因为

2

a-b=^3ej-e2+2e3j-+3e2j=3e^+9e1-e2--e2-3e2+2,•e3+6e2-e3

91

=3+--------3+l+3=8wO,故C错误；

22

对D：由题意，三棱锥O-48C是边长为1的正四面体.如图：

过。作OE_L平面48C,垂足为E,则E在V48C的中线4D上，且/E：ED=2：1,

设正四面体O-4BC外接球球心为G,则点G在OE上，且G亦为正四面体。-4BC内切

球球心，设GO=A,GE=r.

R…旦r

”如

则《3

R2=r2+-4

3

所以正四面体。-ABC外接球的体积为.％=3兀尼=±成3=虫.兀故口错误.

338

故选：AB

11.在圆锥P。中，PO为高,4B为底面圆的直径，圆锥的底面半径为正，母线长为2,

点。为尸/的中点，圆锥底面上点M在以4。为直径的圆上（不含4。两点），点H在

上，且尸2，加，当点/运动时，则（）

A.三棱锥M-R40的外接球体积为定值

B.直线CH与直线PN不可能垂直

C.直线。4与平面所成的角可能为60°

D.AH+HO<2

【正确答案】AD

【分析】由条件结合线面垂直判定定理证明AM_1_平面尸。攸，由此证明AM±PM,再证

明点。为三棱锥R4O的外接球球心，判断A,证明尸2,平面O7/C,由此证明

PALCH,判断B；证明08,平面P4/,由此可得NQ47/为直线。4与平面所成

的角，解三角形求其正弦，判断C,证明。解三角形求/7/+77O,结合基本不等

式求其范围，判断D.

【详解】gOM,AM,AH,OC,CM,CH,

对于A,易知POJ_平面ZMu平面/M8，所以W_LP。，

因为点M在以为直径的圆上（不含A、0）,

所以OM^PO=O,（Wu平面POM,尸Ou平面POM,

所以平面RW,又H/u平面P（W,

所以/ML尸W,又。为尸/的中点，PA=2,

所以CO=C4=CP=CM=1,

所以点。为三棱锥的外接球的球心，

所以三棱锥M-PZO的外接球的半径为r=1,

所以三棱锥M-R40的外接球体积为定值，A正确；

由已知，P01A0,PA=2,AO=也,

所以PO=^22—（也j=也=40

所以△户"为等腰三角形，连接。C,又。为PZ的中点，故PZLOC,

又PA_LOH,OHcOC=O,OHu平面07/C,OCu平面07/C,

则PZ,平面07/C,又CHu平面O〃C,所以PZLC”,故B错误.

因为4W_L平面POM,又。〃u平面0OM,所以4A/_LO7/,

又PA工OH,PAC\AM=A,Wu平面尸ZM,P4u平面尸ZM,则OH，平面,

所以。4在平面PZAf上的射影为277,

所以NOAH为直线OA与平面PAM所成的角，

设(W=x,则PM72+X1,又OHPM=OMPO,

所以OH=¥^

A/2+X2

./z^ATTOHx

所以sm/O4f/=—-/丁,

OAV2+x2

X

令/0/7/=60°，则/—=,解得、=迷,

V2W2

即QW=&，与。河＜。4矛盾，C错误;

对于D中，因为平面R4M,/〃(=平面尸4\1,

所以OH_LAH,又OH二,-,OA-V2，

—

所以AH+HO<2,D正确.

故选：AD

关键点点睛：解决多面体的外接球问题的关键在于由条件确定

其外接球的球心的位置，由此确定外接球的半径.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知3i-1是关于x的实系数方程3犬+2.+夕=0的一个根，则实数夕的值为

【正确答案】3

【分析】将3i—1代入方程3/+2px+q=0求解即可.

【详解】3i—1代入方程3/+2内+4=0,

得3（3i-l）2+2p（3i_l）+q=0,

化简得（—24—20+q）+（6p—18）i=0,

故K-24—-I2pI+q=0'

解得，

q=30

故填：3

13.已知向量满足同=2，W=l,G+2B=（2j^,l）,则cos,,B=.

【正确答案】-##0.125

8

【分析】先利用坐标运算求解=3,根据数量积的运算律结合模的公式列式求得

一1

a-b=-,从而利用数量积的定义求解即可.

4

【详解】因为万+23=（2夜,1）,所以5+2."（2行『+12=3,

又同=2,问=1,所以卜+2川=加+2盯=切+夜+好*=舟4展3=3，

一］一1a-b1

所以展6=—,所以c°sa，b==田=6.

4\a\-\b\X

La2_,2_2

14.V48c的内角48,c的对边分别为见“c,^^asmC-a-b=--—,且

2b

yABC的面积为?a+b+c),则2a+6的最小值为

【正确答案】6+2J5

7T

【分析】根据三角恒等变换以及余弦定理可得c=—,即可利用面积可得

3

2a2—（/+2）。+2/—3=0有根，即可利用判别式求解.

【详解】由百asinC-a-6——―—J可得zGabsinC—Zba—Z/一^,

即2y/3absmC-2ba=a2+b2-c2=labcosC，

由于abw。,故GsinC—cosC=1nsin^C-—,

由于0£（0,兀），故。―因此C—四=工，故0=巴，

''6\66）663

a2+b2-c2

cosC二=a2+b2-c2=ab，

lab2

VABC的面积为(a+/?+c)故——(a+/?+c)=—aZ>sinCna+/?+c=aZ)，

4v72

由于。=Qb—Q—b>a—bnb>2,c=ab-a-b>b-a^>a>2,

故2a+b>6,

^c=ab-a-b代入/+/_02=力可得。2+/一（。6一。一力）2_处,

化简得ab+3=2(a+b),

将其代入ab+3=2(a+b),且可得2Q?-(%+2)Q+2%-3=0,

则△=(厂+4f+4)-8⑵-3)20,解得/26+2C，或0</46-2后，(舍去)

故最小值为6+2夜.

故6+2夜

关键点点睛：由仍+3=2(a+A)可得2/一«+2"+2/—3=0有实数根，利用判别式求解.

四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共

77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.V45C的内角的对边分别为“c,已知(2c—6)cos/—acosB=0

(1)求A；

(2)若点〃在8C上，且满足丽7=就,ZM=2,求V45C面积的最大值.

7T

【正确答案】(1)-

3

(2)迪

3

【分析】(1)利用正弦定理、三角恒等变换，结合三角形内角的取值范围、特殊角的三角函

数值求解即可；

(2)利用向量的线性运算、余弦定理、基本不等式、三角形面积公式即可求解.

【小问1详解】

(2c-/?)cosA-acosB=0,

由正弦定理得(2sinC—sin_S)cos4—sin4cos3=0,

/.2sinCcosA-(sinBcosA+cosBsinA)=0,

/.2sinCcosA-sin(A+B)=0f

/.2sinCcosA=sinC,

CG(0,71),

sin。w0,

/.cosA=—

2

,71

A——.

3

【小问2详解】

——•1—--.

:.AM=-(AB+AQ,

--------*21*2------***2

AM=~(AB+2ABAC+AC),

又AM=2,

：.4=+〃+2bc-COSy),

:,16=c2+b2+be>2bc+bc=3bc，

：.bc<—,当且仅当b=c=生8时，等号成立，

33

:.AABC的面积S=—bcsinA<—x—x^-=4G,

22323

即VABC面积的最大值为生8.

16.某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网

络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下

图所示的频率分布直方图所示的频率分布直方图.

（1）根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；

（2）成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的

成绩至少为多少分；

（3）已知落在［60,70）内的平均成绩为67,方差是9,落在［60,80）内的平均成绩是73,方差

是29,求落在［70,80）内的平均成绩和方差.

（附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为.见七,5；;〃,马,只记两组数据总体

的样本平均数为w,则总体样本方差s1=-^―"+伍-司［+-^―序+伍-刃）1）

m+nL'7Jm+n\_\'J

【正确答案】（1）平均数为71,众数为75.

(2)88.

（3）平均数为76,方差为12.

【分析】（1）在频率分布直方图中，平均数等于每组的组中值乘以每组的频率之和；众数是

最高矩形横坐标的中点，据此求解.

（2）依题意可知题目所求是第90%分位数，先判断第90%分位数落在哪个区间再求解即可；

（3）先求出每组的比例，再根据分层随机抽样的平均数及方差求解即可.

【小问1详解】

一至六组的频率分别为0.10,0.15,0.15,0.30,0.25,0.05,

平均数=45x0.10+55x0.15+65x0.15+75x0.30+85x0.25+95x0.05=71.

由图可知，众数为75.

以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为71分，众数为75分.

【小问2详解】

前4组的频率之和为0.10+0.15+0.15+0.30=0.70<0.90,

前5组的频率之和为0.70+0.25=0.95>0.90,

第90%分位数落在第5组，设为X,则0.70+（x—80）x0.025=0.90,解得x=88.

“防溺水达人”的成绩至少为88分.

【小问3详解】

［60,70）的频率为015,［70,80）的频率为0.30，

所以［60,70）的频率与［60,80）的频率之比为0„30]_

3

［70,80）的频率与［60,80）的频率之比为———=-

0•15I0.303

设［70,80）内的平均成绩和方差分别为兀应,

12——

依题意有73=—x67+—X/，解得x,=76,

33-2

29=-x[9+（67-73）2]+-xPf+（76-73）2L解得S；=12,

33--

所以[70,80）内的平均成绩为76,方差为12.

17.如图，在长方体4BCD—4B1G，中，=1,48=2,点£在棱48上移动.

D,C,

AEB

（1）当点E在棱48的中点时，求平面QEC与平面所成的夹角的余弦值；

（2）当NE为何值时，直线4。与平面QEC所成角的正弦值最小，并求出最小值.

【正确答案】（1）逅

6

（2）当4£=2时，直线4。与平面AEC所成角的正弦值最小，最小值为巫

5

【分析】（1）以。为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得

平面"EC的一个法向量，平面DC。的一个法向量，利用向量法可求平面AEC与平面

所成的夹角的余弦值;

(2)设Z£=冽，可求得平面QEC的一个法向量，直线的方向向量。4,利用向量法可得

.a4—加

sm3=、2-，可求正弦值的最小值.

,2(2-加)-+10

【小问1详解】

以D为坐标原点，DA,DC,DD［所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,

当点E在棱48的中点时，则占］(0,0,l),E(l,L0),C(0,2,0),Q(0,0,0),/(l,0,0),

贝！I西=(-1,-1,1),EC=(-1,1,0),DA=(1,0,0),

设平面QEC的一个法向量为)=(%，NZ)，

n-ED,=-x-y+z=0

则—1,令x=l,则y=l,z=2,

n-EC=-x+v=0

所以平面D】EC的一个法向量为n=(1,1,2),

又平面OCA的一个法向量为方N=(1,0,0)，

—内向1V6

所以cosD4,zi='i=一，

\DA\\n\Vl+l+4xl6

所以平面D{EC与平面DC。所成的夹角的余弦值为逅；

6

【小问2详解】

设AE=m,

则(0,0,1),E(l,/n,0),C(0,2,0),D(0,0,0),4(1,0/),

则可=(―1,—加，1),^C=(-l,2-m,0),(0<m<2),DAX=(1,0,1),

z

设平面DXEC的一个法向量为n=(x,y,z)>

"-»

n-ED,=-x-my+z=0

则<一,，令y=l,则x=2-加,z=2,

n-EC=-x+(2—m)y=0

所以平面。i£C的一个法向量为[=(2—a1,2),

设直线AXD与平面DXEC所成的角为。,

.„In*DAI12-m+2I4-m

则sin3=————}>=i—-===/

In|*|DA.|J(2—m)2+1+4x7171,2(2—mp+lO

令4一加=I£[2,4],

sin0-—.————=——i———i

2

贝U-2)+10,2j+18L_8+18L(l_22+90，

Vtt2\t981

当，=2时，sin。取得最小值，最小值为典.

5

18.甲、乙、丙三人玩“剪刀、石头、布”游戏(剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀)，规定每局中:

①三人出现同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得2分，输者负1分；

③三人出现三种手势均得0分.当有人累计得3分及以上时，游戏结束，得分最高者获胜，已

知三人之间及每局游戏互不受影响.

(1)求甲在一局中得2分的概率耳；

(2)求游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率£；

(3)求游戏经过两局就结束的概率片.

【正确答案】(1)!

【分析】（1）根据题意可画出树状图，得到甲得2分情况有9种，从而可求解；

（2）游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的情况有2种：①第一局甲得2分，第二局

甲得1分，则第一局乙丙得负一分，第二局得1分，②第一局甲得1分，第二局甲得2分，

则第一局乙丙得1分，第二局乙丙得负1分，然后求出每种情况的概率从而可求解；

（3）游戏经过两局就结束总共有4种情况：①仅1人得3分，②有2人得分为3分，③仅1

人得4分，④有2人分别得4分，然后求出每种情况的概率从而可求解.

【小问1详解】

根据题意，画出树状图，如图：

剪刀

剪刀石头布

典刀石头布剪刀石头布剪刀石头布

石头

典刀石头布

91H右头布91B石头布的刀石头布

布

附刀石头布

帆”石头布石头布石头布

所以每局中共有27种情况，其中甲在一局中得2分的情况有（出手势顺序按甲乙丙）:

（剪刀、剪刀、布）、（剪刀、布、剪刀）、（剪刀、布、布）、

（石头、石头、剪刀）、（石头、剪刀、石头）、（石头、剪刀、剪刀）、

（布、布、石头）、（布、石头、布）、（布、石头、石头）、

91

一共有9种情况，所以甲在一局中得2分的概率4=一=—.

1273

【小问2详解】

游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的情况有2种：

①第一局甲得2分，第二局甲得1分：

则乙第一局得负1分，第二局得1分；则丙第一局得负1分，第二局得1分;

由（1）中树状图可知满足情况有:

第一局：（剪刀、布、布）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、石头、石头）、

第二局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石头、石头、石头）

331

此时概率为—x—=一种情况,

272781

②第一局甲得1分，第二局甲得2分，则第一局乙丙得1分，第二局乙丙得负1分,

则乙第一局得1分，第二局得负1分；则丙第一局得1分，第二局得负1分;

由（1）中树状图可知满足情况有:

第一局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石头、石头、石头）

第二局：（剪刀、布、布）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、石头、石头）、

331

此时概率为3义二=一

272781

112

综上所述：游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率巴=—+—=—