八年级上册数学三角形的角平分线知识点和典型习题分类附答案

八年级数学·暑假预习课 吕忠皓编第第页第5讲三角形的角平分线基本知识（熟记，会画图，要提问。）角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等。如何证明？角的平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。如何证明？三角形的内心：三角形的内角平分线的交点叫做三角形的内心。三角形的内心的性质：三角形的内心到三角形三条边的距离相等。如何证明？【角的平分线的性质】【基本题型】【易】如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置．

【易】如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB、DF⊥AC，垂足为E、F，求证：EB=FC．【易】如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点，PE//AB，交BC于点E，PF//AC，交BC于点F。求证：点D到PE和PF的距离相等。【中】已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，点F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证：DF=EF．【中】如图，∠1=∠2，AE⊥OB于点E，BD⊥OA于点D．AE，BD交于点C，试说明AC=BC．【中】如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接EF，则EF与AD的关系是______．【中】如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF．求证：

（1）CF=EB；

（2）∠CBA+∠AFD=180°．

【中】【周长】如图，三角形纸片中，AB=8cm，BC=6cm，AC=5cm．∠ABC的平分线交AC于点D，AC⊥BC，DE⊥AB，求△ADE的周长．【中】【周长】如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB=6cm．求△BDE的周长．【中】【面积】如图：在△ABC中，AD是它的角平分线．求证：S△ABD：S△ACD=AB：AC；S△ABD：S△ACD=DB：DC；AB：AC=DB：DC．

【中】【面积】如图，BD平分∠ABC，DE垂直于AB于E点，△ABC的面积等于90，AB=18，BC=12，则DE等于______．【中】【面积】如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，则△ABD的面积是_________．【中】【面积】如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是______．

【难】【用角的平分线构造全等直角三角形】如图，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD，说明:∠B+∠D=180°．【难】【用角的平分线构造全等直角三角形】已知：如图，四边形ABCD中，AB＞AD，AC平分∠DAB，∠B+∠D=180°．

求证：CD=CB．

【难】【用角的平分线构造全等直角三角形】在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证：DE=DF．参考答案作AOB的平分线，交AB于点M。提示：先证DE=DF，再证△BDE≌△CDF即可，或者用勾股定理也行。提示：利用平分得到同位角相等，再用角的平分线的性质即可。提示：先证△ODP≌△OEP，再证△DPF≌△EPF即可。提示：先用角平分线证明CD=CE，再证△ACD≌△BCE。提示：EF⊥AD，由垂直证明直角，得∠ADE=∠ADF，由角的平分线证DE=DF，再证△DEG≌△DFG，得∠DGE=∠DGF，再由邻补角的关系可证∠DGE=90°。提示：（1）证△CDF≌△EDB即可（2）由前一问的全等可得∠CBA=∠CFD，再由∠CFD+∠AFD=180°可证。提示：用角平分线的性质和三角形全等，7cm。提示：先证CD=DE，得△BDE的周长=BE+BC，再证△ACD≌△AED，得AE=AC，从而BC=AE，△BDE的周长=BE+AE=AB=6cm。提示：（1）过点D作DE⊥AB于点E，DFAC于点F，则DE=DF，；（2）过点A作AG⊥BC于点G，则，（3）由前两问的结论可得之。提示：作DF⊥BC于点F，则DE=DF。因为，故将题中数字代入下式即可，。提示：作DE⊥AB于点E，则DE=CD=2，OK。提示：与第6题思路一样。提示：作CF垂直BC于F，CE垂直AD的延长线于E，则CE=CF，再证△CDE≌△CBF，得∠CDE=∠B。提示：辅助线同上题，用∠B+∠D=180°证∠CDE=∠B，再证△CDE≌△CBF，完事。提示：作DG⊥AB于G，DH⊥AB于H，再证△DEH≌△DFG即可。【角平分线的判定】【中】如图，已知AB=AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D、E，CD与BE相交于点F，求证：AF平分∠BAC．

【中】如图，已知BF=CF，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D、E，CD与BE相交于点F，求证：AF平分∠BAC．【中】已知：如图，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，且BD=CD．求证：△BDE≌△CDF；点D在∠A的平分线上．【中】如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC．求证：OA平分∠BAC．

【中】如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC，求证：AD是∠BAC的平分线．

【中】如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于点C．

求证：点C在∠AOB的平分线上．参考答案提示：先证△AEB≌△ADC（AAS），得AE=AD．再证Rt△ADF≌Rt△AEF（HL），得∠DAF=∠EAF。提示：证△BDF≌△CEF（AAS），得DF=EF即可。提示：（1）由AAS可证；（2）由△BDE≌△CDF得DE=DF，可证。提示：先证△OBE≌△OCD，得OD=OE即可。提示：用HL证△BED≌△CFD，得DE=DF即可。提示：用SAS证△OME≌△OND，用AAS证△DMC≌△ENC，作CG⊥OA于G，CF⊥OB于F，用AAS证△CGM≌△CFN，得CG=CF即可。【角平分线的交点】【易】【等距离问题】如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于O．

（1）求证：点O到三边AB、BC、CA的距离相等；（2）点O在∠A的平分线上吗？【易】【等距离问题】某市有一块有三条公路围成的三角形绿地，现准备在绿地中建一小亭供人小憩，使小亭中心到三条公路的距离相等，试确定小亭的中心位置．【易】【等距离问题】如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于P．求证：点P到三边AB，BC，CA所在的直线的距离相等．【易】【等距离问题】如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD．求证：AD是∠BAC的外角平分线．

【中】【平行线+角平分线】如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，求证：∠EAB=∠EAD．【中】【平行线+角平分线】如图，AD∥BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，且点E是DC的中点．探索AB，AD和BC的关系，并证明之．【中】【平行线+角平分线】如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为_____，∠APB=_____．参考答案提示：（1）过O作AB，AC，BC的垂线段，证明这三条线段相等即可。提示：作三角形两角的平分线，交点即为所求点。提示：过点P作两外角的各边的垂线段，证各线段均相等。提示：过点P作两外角的各边的垂线段，证各线段均相