2022-2023学年北京朝阳区高三（上）期中数学试题及答案

2022北京朝阳高三（上）期中数学（考试时间120分钟150分）本试卷分为选择题分和非选择题分第一部分（选择题共分）一、选择题共题，每题440分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知复数z=i(2−i)，则|z|=（A）3（）5（）3（D）5（2）已知集合A={0,1,2}，B={xN|0x3}，则A（A）{0,1}（）{1,2}（）{0,1,2}（D）{0,1,2,3}（3）下列函数中，在区间(0,+)上单调递减的是（A）y=log2x（）b”是“3ab”的y=2−x（）y=x+1（D）y=x3（4a0（A）充分而不必要条件（）必要而不充分条件（）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）已知球O的半径为2,球心到平面的距离为3,则球O被平面截得的截面面积为（A）π（）πB（）3πCD）2π（6）在平面直角坐标系xOy的顶点与坐标原点OxπP(4,3)，则+)的值为417（A）−7f(x)（）−（）1g(x)=f(2x)+x2（D）7f(2)=2f(−2)=（7）已知为定义在R上的函数，2，且为奇函数，则（A）4−（）（）0C（）2D（8）如图，在四棱锥P−中，1，其余的六条棱长均为2，则该四棱锥的体积为==11P（A）（）（）（D）6136113DAC133B第（）题（9是边长为2D在线段上，=2E在线段CD△CAE与△CDB的面积相等，则的值为23131323（A）−（）−（）（D）（10）现实生活中，空旷田野间两根电线杆之间的电线与峡谷上空横跨深涧的观光索道的钢索有相似的曲线形态，这类曲线在数学上常被称为悬链线．在合适的坐标系中，这类曲线可用函数ae2x+bf(x)=(ab0,e=2.71828来表示．下列结论正确的是exAab0，则函数f(x)为奇函数（）若ab0，则函数f(x)有最小值Cab0，则函数f(x)为增函数（）若ab0，则函数f(x)存在零点第二部分（非选择题共二、填空题共5题，每题5分，共1x+1（）函数f(x)=x+2+的定义域是．（12）已知向量a=(1,m)，b=(2,1)，且a⊥b，则m=．π（13）将函数f(x)=x+)(0)的图象向左平移π个单位长度后得到函数g(x)的图象，则6g(−π)=g(x)为偶函数，则的最小值是．x,x≥1,f(x)=aRa=0f(x)（14）已知函数其中．若，则函数的值域是；若函数(x+a)2,x1,y=f(x)−1a有且仅有2个零点，则的取值范围是.11（15）已知{a}是各项均为正数的无穷数列，其前n项和为S，且+=（nN*nnnSn论：①S+S2S；132②a+a2a；1321③对任意的nN*，都有an1+；n④存在常数A1，使得对任意的nN*aA，都有．n其中所有正确结论的序号是．三、解答题共6题，共分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（1613已知函数f(x)sin2x2cosx．=−2（Ⅰ）求f(x)的最小正周期及值域；（Ⅱ）求f(x)的单调递增区间．（1715−ABCABBAABBA⊥平面ACCA，2，=AA1=4，111111111D，E分别是BC，AB的中点．11B1E（Ⅰ）求证：DE//平面ACCA；11（Ⅱ）若侧面ACCA是正方形，11D1（ⅰ）求证：AC⊥；A11（ⅱ）求直线AC与平面所成角的正弦值．11C1（1813π在△a=2B=△6存在且唯一，并求（Ⅰ）c的值；（Ⅱ）△的面积．条件①：b=1；14条件②：b=2；条件③：A=．4注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．（1914已知公差大于0的等差数列{n}满足2512，+=aa=35S{a}的前n项和．n，为数列34n（Ⅰ）求{n}的通项公式；N（Ⅱ）若S，a，a(m,i)成等比数列，求m，i的值．m2i（2015已知函数f(x)=ex+asinx−1(aR)．(0,f(0))处的切线方程；y=f(x)（Ⅰ）求曲线（Ⅱ）若函数在点f(x)x=0a处取得极小值，求的值；在mx(0,m)f(x)0a，求的取值范围．（Ⅲ）若存在正实数，使得对任意的，都有（2115已知集合A{1,2,3,=（N，≥WAn，若W中元素的个数为m≥），且存在，uvuu+v=2k(kN)，则称W是A的P(m)子集．P（Ⅰ）若n4，写出A的所有=子集；（Ⅱ）若W为A的P(m)子集，且对任意的，st（s），存在kN，使得s+t=2k，求的值；m（Ⅲ）若n20，且A的任意一个元素个数为的子集都是A的=mP(m)子集，求的最小值．m参考答案一、选择题（共10小题，每小题440分）（1B（6D（2C（7A（3B（8C（4A（9C（A（D二、填空题（共5小题，每小题525分）356（）[2,−（14）[0,+))（）213）2(−2,0]15）①②③三、解答题（共6小题，共85分）（16共13解：（Ⅰ）因为f(x)=sin2x−cos2x−1π=2sin(2x−)−1，42π所以f(x)的最小正周期T==π．2ππ由−≤sin(2x−)1，得−2−≤2sin(2x−)−≤2−1．44πππ当2x−=2π+(kZ)，即x=π+(kZ)时，f(x)取得最大值；428πππ当2x−=2π−(kZ)，即x=π−(kZ)时，f(x)取得最小值．428所以f(x)的值域为[−2−1,2−1]．……………8分ππ（Ⅱ）函数ysinx的单调递增区间为=[2kπ−,2kπ+](kZ)．22πππ由2kπ−≤2x−≤2kπ+(kZ)，242π3π得kπ−≤x≤kπ+(kZ)．88π3π所以f(x)的单调递增区间为[kπ−,kπ+](kZ)．88……………13分（17共15解：（Ⅰ）取AC中点F，连接，1F．因为点D是BC的中点，B11所以DF//BA，且DF=BA．E2D又因为点E是AB的中点，111A12所以EA1//BA，且EA=BA．F1C1所以EA1//，且EADF．=1所以四边形1E是平行四边形．所以DE//FA1．又因为DE平面ACCA，FA平面ACCA，11111所以DE//平面ACCA．11……………5分（Ⅱ）因为侧面A为矩形，所以BAAA1．⊥11又因为平面1A1⊥平面，1A1z且平面1A平面1AAA1，=1B11所以平面所以BA⊥AC．因为侧面ACCA是正方形，⊥1A．E1D1AyF11所以ACAA1．⊥C1x如图建立空间直角坐标系A−xyz，则，D(2,，E，A(0,0)，C(4,0)．11所以=(2,，=，AC=(4,0)．11（ⅰ）因为AC=0，所以AC1⊥AE．111（ⅱ）设平面的法向量为n=(x,y,z)，n+z=2x即则n=4y+z=0.令z4，则=x=−2y=−1，n=(−−4)．于是．设直线AC与平面所成角为，11|n|(4,0)(4)|221则sin===．|AC||n|4212111221所以直线AC与平面所成角的正弦值为．11……………15分（18共13解：选择条件②：b=2．abasinB（Ⅰ）由正弦定理=，得sinA=．sinAsinBbπ2又因为a=2，B=，b=2，所以sinA=．64在△ABC中，因为ab，所以0ABπ，π144故0A，A=1sinA=−2．2所以sinC=sin(A+B)=sinAB+AsinB23144126+14==+==．428acasinCsinA6+14因为，所以c=．……………9分……………13分sinAsinC2116+14123+7（Ⅱ）△ABC=acsinB=2=．2224选择条件③：A=．42（Ⅰ）因为0Aπ，所以sinA=1cosA−2=．46+14故sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=．8acasinCsinA6+14===又因为，a=2，所以c．sinAsinC2……………9分116+14123+7（Ⅱ）△ABC=acsinB=2=．2224……………13分（19共14解{n}的公差为d，d0.因为2512，所以+=a+a=12．34又因为3435，d0，=所以3=5，a=74．故d=2，a=11．所以n1(nd2n1(n=+−=−N).……………7分n(a+a)（Ⅱ）因为n2n1，所以=−S=n1n=n2.2因为S，a，a成等比数列，m2i所以Smi=a22，即m2(2i−=9．而m,iN，所以m=1，2i−1=9；或m=3，2i−1=1．经检验，符合题意．i=5所以m=1，；或m=3，i=1．……………14分（20共15解f(x)=ex+asinx1(a−R)，得f(x)=e+ax．xf(0)=0=+f(0)1a，又，y=f(x)(0,f(0))yf(0)=f(0)(x−0)−，所以曲线在点处的切线方程为y=+a)x即．……………4分=−f(0)0，则a=−1．f(x)=e−x．（Ⅱ）由题意知此时f(x)=exsinx1，则−x当x0时，f(x)f(x)=ex−x1−x≥，0+)上单调递增．所以在区间=g(x)=ex+sinx．g(x)f(x)设设，则(x)=g(x)，则(x)excosx．=+π因为当x(,0)时，−(x)0，2π−g(x)(,0)所以在区间上单调递增．2ππππ−−−10，−又g(=+−=g(0)=10，)e2sin()e222π故存在0(−,0)，使g(0)=0．2所以当x(0,0)时，g(x)0．g(x)(0,0)所以在区间上单调递增．g(x)g(0)=0f(x)0，即当x(0,0)时，，即f(x)(0,0)上单调递减．所以在区间f(x)x=0故函数在处取得极小值．所以a=−1．……………10分−sinx−1．π（Ⅲ）①若a≥−，当1x(0,)时，sinx0，所以f(x)ex≥2y=exsin−x−在区间+)上单调递增，1由（Ⅱ）已证，所以所以ex−sinx−1e0−sin0−1=0．πf(x)0在区间)上恒成立．2mx(0,m)f(x)0，都有，此时不存在正实数，使得对任意的所以a≥−1不合题意．②若a−1，f(x)=ex+ax，设h(x)f(x)=h(x)=ex−asinx，则．π当x(0,)时，h(x)exasinxexsinx0，=−+2πf(x))上单调递增．所以在区间2πππf(0)=1+a0f(m)=0．=m(0,)而，f()e20，故存在，使22x(0,m)x(0,m)f(x)0，即f(x)m)在区间上单调递减．所以当所以当时，时，f(x)f(0)=0．所以a−1符合题意．(,a综上，的取值范围是．……………15分（21共15解：（Ⅰ）当n=4时，A=2,3,4}，A的所有P子集为2,3}{1,3,4}，．……………4分（Ⅱ）当n≥3时，取W=3}，因为1+3=22，所以W是A的P(2)子集，此时m=2．若m≥3，设a，a，aW且≤aaa．312312依题意，1+2=2k，a+a=2k，a+a=2k,其中k，k，kN．1323123123因为a+aa+aa+a，所以2kk22k．123121323所以kkk．123又因为k，k，kN3，12所以k≥k+1．32因为2(12a)++=2k+k+k3，2212312++=(2k+k+22)k．所以123123121=(2k+k+22)k−2k=(2k+k−2k2)．3所以11233122k3因为2所以2k+kk+k=k12，222212222k+k−k0．22123所以a0，与a≥1矛盾．11综上，m=2．……………9分（Ⅲ）设A{20,12}，=A={19,13}A={18,14}A={17,15}A={11,5}A={10,6}，，，，，234561A={9,7}，A={1,3}，B={2}，B={4}，B={8}，B={16}．781234m设W的元素个数为．若W不